姚啟鈞《光學(xué)》第三版 課后答案3、

1、1. 證：設(shè)兩個(gè)均勻介質(zhì)的分界面是平面，它們的折射率為和。光線通過(guò)第一介質(zhì)中指定的a點(diǎn)后到達(dá)同一介質(zhì)中指定的b點(diǎn)。為了確定實(shí)際光線的路徑，通過(guò)a,b兩點(diǎn)作平面垂直于界面，是他們的交線，則實(shí)際 光線在界面上的反射點(diǎn)c就可由費(fèi)馬原理來(lái)確定（如右圖）。（1） 反正法：如果有一點(diǎn)位于線外，則對(duì)應(yīng)于，必可在線上找到它的垂足.由于,故光譜總是大于光程而非極小值，這就違背了費(fèi)馬原理，故入射面和反射面在同一平面內(nèi)得證。（2） 在圖中建立坐oxy標(biāo)系，則指定點(diǎn)a,b的坐標(biāo)分別為（）和（），未知點(diǎn)c的坐標(biāo)為（）。c點(diǎn)在之間是，光程必小于c點(diǎn)在以外的相應(yīng)光程，即，于是光程acb為：根據(jù)費(fèi)馬原理，它應(yīng)取極小值，即：

2、， 取的是極值，符合費(fèi)馬原理。故問(wèn)題得證。2.(1)證：如圖所示，有位于主光軸上的一個(gè)物點(diǎn)s發(fā)出的光束經(jīng)薄透鏡折射后成一個(gè)明亮的實(shí)象點(diǎn)。由于球面ac是由s點(diǎn)發(fā)出的光波的一個(gè)波面，而球面db是會(huì)聚于的球面波的一個(gè)波面，固而, .又光程，而光程。根據(jù)費(fèi)馬原理，它們都應(yīng)該取極值或恒定值，這些連續(xù)分布的實(shí)際光線，在近軸條件下其光程都取極大值或極小值是不可能的，唯一的可能性是取恒定值，即它們的光程卻相等。由于實(shí)際的光線有許多條。我們是從中去兩條來(lái)討論，故從物點(diǎn)發(fā)出并會(huì)聚到像點(diǎn)的所有光線的光程都相等得證。除此之外，另有兩圖如此，并與今后常用到：3.解：由的結(jié)果 得： = =10（cm）4.解：由結(jié)果知：

3、（1） , （2） (3) 而 又 5.證： 6.解： 7.解：（1）（2）8.解：s/f/f/-sax 9.證：由圖可知，若 使凹透鏡向物體移動(dòng)的距離亦可得到同樣的結(jié)果。10.解： p11.解： （1）由經(jīng)導(dǎo)知： 按題意，物離物方主點(diǎn)h的距離為， 于是由 （2） 12.解： （1）仍在原處（球心），物像重合（2）13.解：（1）（2）14解： （1）（2）（3） 光路圖如右：15解： （1）（2）（3）16.解：（1）透鏡在空氣中和在水中的焦距分別為： （2）透鏡置于水中的焦距為： 17.解： 18.解：（1） （2） 19.解：透鏡中心和透鏡焦點(diǎn)的位置如圖所示：20.解： 21.解： 該透

4、鏡是由a,b；兩部分膠合而成的（如圖所示），這兩部分的主軸都不在光源的中心軸線上，a部分的主軸在系統(tǒng)中心線下方0.5cm處，b部分的主軸則在系統(tǒng)中心線上方0.5cm處。由于點(diǎn)光源經(jīng)凹透鏡b的成像位置即可（為便于討論，圖（a）（b）（c）是逐漸放大圖像）式中分別為點(diǎn)光源p及其像點(diǎn)離開(kāi)透鏡b主軸的距離，虛線在透鏡b的主軸下方1cm處，也就是在題中光學(xué)系統(tǒng)對(duì)稱(chēng)軸下方0.5的地方同理，點(diǎn)光源p通過(guò)透鏡a所成的像，在光學(xué)系統(tǒng)對(duì)稱(chēng)軸上方0.5的處，距離透鏡a的光心為10cm，其光路圖s畫(huà)法同上。值得注意的是和構(gòu)成了相干光源22.證：經(jīng)第一界面折射成像：經(jīng)第二界面（涂銀面）反射成像：再經(jīng)第一界面折射成像而三

5、次的放大率由分別得又對(duì)于平面鏡成像來(lái)說(shuō)有：可見(jiàn)，當(dāng)光從凸表面如射時(shí)，該透鏡的成像和平面鏡成像的結(jié)果一致，故該透鏡作用相當(dāng)于一個(gè)平面鏡 證畢。23.解：依題意所給數(shù)據(jù)均標(biāo)于圖中由于直角棱鏡的折射率n=1.5，其臨界角， 故，物體再斜面上將發(fā)生全反射，并將再棱鏡左側(cè)的透鏡軸上成虛像。 有考慮到像似深度，此時(shí)可將直角棱鏡等價(jià)于厚度為h=6cm的平行平板，由于的結(jié)果可得棱鏡所成像的位置為： 故等效物距為：對(duì)凹透鏡來(lái)說(shuō)： 對(duì)凸透鏡而言，即在凹透鏡左側(cè)10cm形成倒立的虛像，其大小為24.解： 其光路圖如下：25.解：26.解：27.解：經(jīng)第一界面折射成像：經(jīng)第二界面（涂銀面）反射成像：再經(jīng)第一界面折射成

6、像 即最后成像于第一界面左方4cm處28.解： 依題意作草圖如下： 第一次成像： 第二次成像： 1) 求兩次象的大小之比：2) 3) 可見(jiàn)： 若，則d無(wú)解，即得不到對(duì)實(shí)物能成實(shí)像的透鏡位置 若，則d0，即透鏡在e中央，只有一個(gè)成像位置， 若，則可有兩個(gè)成像位置。故，欲使透鏡成像，物和屏的距離l不能小于透鏡焦距的4倍但要滿足題中成兩次清晰的像，則必須有 證畢。 注：當(dāng)時(shí)，有d0，則。 即只有能成一個(gè)像的位置。29.解： 其光路頭分別如下：30.解：31.解：其草圖繪制如下32.解：（1）（2）33.解：34.解：其光路圖如下：35.解：（1）由折射定律： nsin=sin 所以=sin-1(si

7、n/n)又 臨界角c=sin-1（1/n）即c 故是部分反射。（2）由圖知：=（-）+，即=2-，而=-2, 所以=-4+2.（3）因?yàn)閐/d=-4d/d+2=0，即：d/d=1/2, 而：=sin-1（sin/n）,dsin-1x/dx=1/(1-x)1/2. 即：d/d=cos/n(1-sin2/n2)1/2=1/2,1-sin2/ n2=4cos2/n21=sin2/n2+ cos2/n2+ /n2=1+3cos2. 所以cos2=（n2-1）/3.或：=cos-1（n2-1/3）1/2. 36.因?yàn)閚/s/-n/s=(n/-n)/r.(1) 1 因?yàn)閚/=1.5,n=1,s1=r1=4

8、(cm)所以1.5/s1/ -1/4 =(1.5-1)/4,1.5/s/1=1/4 +0.5/4=3/8.所以s1/=81.5/3 =4(cm). 即在球心處。2 因?yàn)閚/=1,n=1,s2=s/+(9-8)/2 =4.5cm.所以1/s2/ -1/s/1=0, s2/=s2=4.5cm. 即像仍在球心處。（3）1 因?yàn)閚/=1.33, 1.5,r=1.5mm,s=1mm.所以1.33/ s/1-1.5/1=(1.33-1.5)/1.5.1. 33/ s/1=1.5+1.33/1.5 1=1.39.所以s/1=1.33/1.39=0.96(mm)又 s2=50-(1.5-0.96)=49.46

9、(mm).故 1/ s2/-1.33/49.46=1-1.33/50 s2=0.0203 s2/=49.26 （mm）所以 d（內(nèi)）=2r(內(nèi))=2(50-49.26)=1.481.5（mm）2 由 n/=1 n=1.33 r=50mm s=48.5（mm） 所以 1/s1/-1.33/48.5=1.33./50 1/s1/=1.33/48.5+1/50-1.33/50=0.0208 所以 s/48.1（mm） d（外）=2r/(外)=2(50-48.1)4（mm）(2) 1 n/=1.5 n=1.0 r1=4cm s1=4-0.15=3.85cm 1.5/ s1/ -1/3.85=(1.5-

10、1.0)/41.5/ s1/=1/3.85=0.5/40.385 s1/=1.5/0.3853.896(cm)2 又 n/=1.0 n=1.5cm s2=3.896+0.5=4.396(cm) 1/s2/-1.5/4.396=(1-1.5)/4.5 1/s2/=1.5/4.396-0.5/4.50.23 s/24.348(cm)d=2(4.5-4.348) 0.304(cm) 3mm37. （1） 證：物像具有等光程性，即： sl1ps1=so1o2s2s1sl2s2=so1o2s2sl1p=sl1ps1-ps1=sl1ps1-ps1 sl2s2p=sl2s2+s2p= =ps2而 so1o2

11、s2s1-so1o2s2=s1s2=l=sl1ps1-sl2s2 =sl1p-sl2s2p =（sl1ps1-ps1）-（+ps2） = (sl1ps1-sl2s2)-ps1-ps2 = l-( ps1+ps2)故有= l-( s1p+s2p) 得證。 （2） 當(dāng)=j時(shí)為干涉相長(zhǎng)，是亮紋。=（2j=1）/2時(shí)相消，是暗紋。 且條紋僅出現(xiàn)在光軸的上方（s1s2p）的區(qū)域內(nèi)。故 在（s1s2p）區(qū)域內(nèi)放置的垂直于垂線的光屏上可看到亮暗相間的半圓形干涉條紋。（ 剖開(kāi)后的透鏡為半圓形）（3） n/=1.0 n=1.5 r=1.5mm s=1mm 1/s/ -1.5/1 =(1-1.5)/1.5 1/s

12、/=1.5-1/31.167. s/0.857 d(內(nèi))=2(1.5-0.857) 1.268(mm)38. da db,該玻璃板可視為薄透鏡，且是近軸光線。圓板中心處的折射率為n（0），半徑為r處的折射率為n（r），則由物像之間的等光程性知： n1l +n2l/=n1a+n(0)d+n2b,而：n1=n2=1 l=（a2+r2）1/2 l/=(b2+r2)1/2即：（a2+r2）1/2+n(r)d+(b2+r2)1/2=a+b+ n(0)d n(r)d= n(0)d+a+b-（a2+r2）1/2-(b2+r2)1/2 故 n(r)= n(0)+a+b-（a2+r2）1/2-(b2+r2)1/

13、2/d討論：若為平行光照射時(shí)，且折射后會(huì)聚于焦點(diǎn)f, 則有n(r)d+(f/+r2)1/2=n(0)d+. 即： n(r)=n(0)+ f/-(f/+r2)1/2/d. 當(dāng)d f/ 時(shí)，有 ：n(r) n(0)-r2/2df/.圖示： l r l/ a b a b d f f39（1） n/s1/ -n/s1=(n/-n)/r1 n/=1.5, n=1.0, s1= -40cm, r1= -20cm 1.5/ s1/=1/(-40) +(1.5-1.0)/(-20)= -1/20, s1/= -201.5= -30(cm). (2) 1/ s2/+1/s2=2/r2, s2=s1/= -30c

14、m, r2= -15cm 1/ s2/=2/ r2 -1/s2=2/ (-15) 1/(-30)= -1/10, s2/= -10(cm). (3) n/s3/ -n/s3=(n/-n)/r1 s3=s2/= -10cm r1 = -20cm n/=1.0 n=1.5. 1/ s3/=(1.0-1.5)/( -20) +1.5/( -10) = -1/8 (4) =123, =y/y=ns/n/s . 1= ns1/n/s1=1/2 2= ns2/ / (-n/s2)= - s2/ s2= -1/3 3= ns3/n/s3=6/5. =1/2(-1/3)6/5= -1/5= -0.2.故最后像

15、在透鏡左方8cm處，為一大小是原物的0.2倍倒立縮小實(shí)像。圖示：40. 證： o1p1= -s1, o2p2=s2, p1a1= l1 , a2p2=l2, a1m=a2n=h, o1o2=d., l1=(-s1)+o1m2+h21/2, l2=s2+o2n2+h21/2. 在近軸條件下，o1mr1 o2n -r2 即: o1mh2/2r1 o2nh2/2( -r2). p1a1a2p2=n1l1+nd-o1m-o2n+n2l2 =n1(-s1)+o1m2+h21/2+nd-o1m-o2n+n2s2+o2n2+h21/2 =n1-s1+h2/2r12+h21/2+nd-h2/2r1-h2/2(-r2)+n2s2+h2/2(-r2)2+h21/2 當(dāng)a1點(diǎn)在透鏡上移動(dòng)時(shí)，r1和r2是常量，h是常量，根據(jù)費(fèi)馬原理， 對(duì)h求導(dǎo)，并令其等于0，即 dp1a1a2p2/dh =0,得： n1-s1+h2/2r1h/r1 +h/l10 nh/r1 nh/(-r2)+ n2s2+h2/2(-r2)h/(-r2) +h/l2=0. 在近軸條件下，hr1, h=1, 即y/l=1.22/d. d=1.22l/y dmi