正態(tài)分布的性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用舉例

1、華北水利水電學(xué)院 正態(tài)分布的性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用舉例 課程名稱：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 專業(yè)班級(jí)：電氣工程及其自動(dòng)化091班 成員組成：姓名：鄧 旗 學(xué)號(hào)：2 姓名：王宇翔 學(xué)號(hào)：1 姓名：陳 涵 學(xué)號(hào)：2 聯(lián)系方式： 2012年5月24日 1 引言:正態(tài)分布(normal distribution)又名高斯分布(Gaussian distribution), 是一個(gè)在數(shù)學(xué)、物理及工程等領(lǐng)域都非常重要的概率分布，在 統(tǒng)計(jì)學(xué)的許多方而有著重大的影響力。本文就從正態(tài)分布的實(shí)際性質(zhì)應(yīng)用舉例等各個(gè)方面進(jìn) 行簡(jiǎn)單闡述并進(jìn)行探討，使同學(xué)們能夠?qū)λ莆盏闹R(shí)有更淸楚地認(rèn)識(shí)。 2研究問(wèn)題及成果： 正態(tài)分布性質(zhì)： 3。原則

2、及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布； 實(shí)際應(yīng)用舉例說(shuō)明 摘要：正態(tài)分布是最重要的一種概率分布。正態(tài)分布概念是由徳國(guó)數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家 Moivre于1733年首次提岀的，但由于徳國(guó)數(shù)學(xué)家Gauss率先將其應(yīng)用于天文學(xué)研究，故此 正態(tài)分布又稱髙斯分布。在許多實(shí)際問(wèn)題中遇到的隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布： 在生產(chǎn)中，產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如電子管的使用壽命，電容器的電容量，零件的尺寸。鐵水 含磷量，紡織品的纖度和強(qiáng)度等一般都服從正態(tài)分布。在測(cè)量中，如大地測(cè)量，天平稱量 物體，化學(xué)分析某物之中某元素的含量等，測(cè)量結(jié)果一般服從正態(tài)分布。在生物學(xué)中，同 一群體的某種特性指標(biāo)，如某地同齡兒童的身髙，體重，肺活量，在一泄條件下生長(zhǎng)

3、的農(nóng)作 物的產(chǎn)呈:等一般服從正態(tài)分布。在氣象學(xué)中，某地每年7月份的平均氣溫，平均溫度以及 降水量等一般也服從正態(tài)分布。總之。正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象，社會(huì)現(xiàn)象以及生產(chǎn), 科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域中。本文就從正態(tài)分布的實(shí)際性質(zhì)應(yīng)用舉例等各個(gè)方而進(jìn)行簡(jiǎn)單闡述并 進(jìn)行探討，使同學(xué)們能夠?qū)λ莆盏闹R(shí)有更清楚地認(rèn)識(shí)。 關(guān)鍵詞：正態(tài)分布 The nature of the normal distribution and the example of practical application Abstract： the normal distribution is the probability distr

4、ibution of one of the most important Normal distribution concepts is Germany first proposed by mathematician and astronomer Moivre in 1733, but since Germany mathematician Gauss first applied in astronomy, so also called the Gaussian distribution of the normal distribution. In many practical problem

5、s encountered in the approximate normal distribution random variables are subject to, or： in production, product quality indicators, such as the life of the tube, the capacitance of capacitors, dimensions of the part Phosphorus content in hot metal, textile fibers and strength are generally subject

6、to the normal distribution In surveying, geodesy, weighing scales objects, such as chemical analysis of some of the content of an element, General normal distribution measurement results In biology, a certain characteristic index of the same group, such as a certain age children，s height, body weigh

7、t, vital capacity, under certain conditions the yield of crops on the growth of General normal distribution In meteorology, a place every July average temperature, average temperature and precipitation generally normal distribution All in all. Normal distribution is widely present in natural phenome

8、na, social phenomena, as well as the production, in the various fields of science and technology This article from the actual properties of the normal distribution apply to explore various aspects, such as for example a simple elaboration and, enable students to acquire knowledge have a better under

9、standing Key words： Normal distribution Practical application 正態(tài)分布的性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用舉例 概率論在一左的社會(huì)條件下，通過(guò)人類的社會(huì)實(shí)踐和生產(chǎn)活動(dòng)發(fā)展起來(lái)，被廣泛應(yīng)用于 各個(gè)領(lǐng)域，在國(guó)民經(jīng)濟(jì)的生產(chǎn)和生活中起著重要的作用。而正態(tài)分布是概率論中的基礎(chǔ)，很 多問(wèn)題都依賴于正態(tài)分布，因此，可以從正態(tài)分布的性質(zhì)來(lái)研究其應(yīng)用，更廣的應(yīng)用到實(shí)際 中。下而先來(lái)看看正態(tài)分布的性質(zhì)。 若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為： /(X) -CO X 4-00 則稱X服從參數(shù)為口，0 的正態(tài)分布或高斯分布，記為XN （ u,。2） U表示總體的期望，。表示標(biāo)準(zhǔn)差

10、正態(tài)曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對(duì)稱，曲線與橫軸間的而積總等于1。 具體性質(zhì)： 集中性：正態(tài)曲線的高峰位于正中央，即均數(shù)所在的位置。 對(duì)稱性：正態(tài)曲線以均數(shù)為中心，左右對(duì)稱，曲線兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交。 均勻變動(dòng)性：正態(tài)曲線由均數(shù)所在處開(kāi)始，分別向左右兩側(cè)逐漸均勻下降。 注意：服從正態(tài)分布的變量的頻數(shù)分布由P、o完全決泄 U變換：為了便于描述和應(yīng)用，常將正態(tài)變量作數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。U是正態(tài)分布的位置 參數(shù)，描述正態(tài)分布的集中趨勢(shì)位垃。正態(tài)分布以X二u為對(duì)稱軸，左右完全對(duì)稱。 當(dāng)。恒泄后，u越大，則曲線沿橫軸向右移動(dòng)：反之，u越小，則曲線沿橫軸向左移 動(dòng)。 a變換：正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即均數(shù)u和標(biāo)準(zhǔn)差

11、。，可記作N （ u , o ）: 均數(shù)U決左正態(tài)曲線的中心位程：標(biāo)準(zhǔn)差0決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度。0越 小，曲線越陡悄：0越大，曲線越扁平。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布: 當(dāng)，時(shí)稱隨機(jī)變劭服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度為心器心 只要變量XN（u a2）,就可經(jīng)下式轉(zhuǎn)換為u = 0. o = 1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為 （0,1），此變換也稱為標(biāo)準(zhǔn)變換，氓二標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對(duì)處理問(wèn)題有很重要的幫助。 3。原則: 正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間（u - 3。，u亠3。）之內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率 只有乩 通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正 態(tài)分布N （,）的隨機(jī)變量只?。∕ -

12、30, U+3。）之間的值，并稱為3。原則。 正態(tài)分布的應(yīng)用舉例 估汁頻數(shù)分布 制泄醫(yī)學(xué)參考值范用 正態(tài)分布是許多統(tǒng)汁方法的理論基礎(chǔ) 例 出生體重低于2500克為低體重兒。若由某項(xiàng)研究得某地嬰兒出生體重均數(shù)為 3200克，標(biāo)準(zhǔn)差為350克，估訃該地當(dāng)年低體重兒所占的比例。 當(dāng)年該地新生兒岀生體重，則服從正態(tài)分布A13200, 350）。先求 2500 - 3200 c u = = -2 350 再査標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得：0（-2）二 即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下從一8到“=一2范圍內(nèi)的而積為從而在正態(tài)分布M3200, 350） 曲線下，從一8到X =2500的比例為%, 即:X (70-604) =4 (2)二(

13、2)走路線 二到達(dá)的概率:PMF70)二6(70-604) =P二。所以應(yīng)走路線二。(2)有65分鐘可用，走路 線一到達(dá)的概率:P(F65)二(65-5010)二二，走路線 二到達(dá)的概率:P(乙F65)二巾 (65-504) =O二，所以應(yīng)該走路線一 3。 苴次,正態(tài)分布可以幫助應(yīng)聘者分析形式，對(duì)應(yīng)聘狀況做正確估計(jì):具體案例如下: 某企業(yè)準(zhǔn)備通招聘考試招收300乞職工，其中正式工280人,臨時(shí)工20人;報(bào)考的人數(shù)是 1657人，考試滿分是400分，考試后得知，報(bào)拿者的成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(166, 2),360分以上的高分考生31人,某考生B得256分，問(wèn)：他能否被錄取能否被聘用為正式 工

14、？ 這類問(wèn)題求解大致分為這樣三個(gè)步驟:首先根據(jù)問(wèn)題中所給信息:高于360分的 有31人，利用分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，遇到正態(tài)分布一般多聯(lián)想到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求出。2;然 后根據(jù)招收300名職工這個(gè)信息，再次利用分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布求出最低分?jǐn)?shù)線，將B的成績(jī) 與最低分?jǐn)?shù)線比較，從而確立是否被錄取;最后，如果根據(jù)比較結(jié)果確定B被錄取，再求出第 280人的分?jǐn)?shù)與B的成績(jī)比較，或者根據(jù)B的成績(jī)求出高于B成績(jī)的人數(shù)，再與280比較， 進(jìn)而確定B是否被錄取為正事員工。 醫(yī)學(xué)參考值范用也稱醫(yī)學(xué)正常值范【札它是指所謂“正常人”的解剖、生理、生化等指 標(biāo)的波動(dòng)范I羽。 所謂“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影響研究指

15、標(biāo)的疾病和有關(guān)因素的同 質(zhì)人群。 制泄醫(yī)學(xué)參考值范困的步驟： 1、隨機(jī)抽取足夠數(shù)量的“正常人”樣本： 2、控制測(cè)量誤差，對(duì)選左的“正常人”進(jìn)行準(zhǔn)確而統(tǒng)一的測(cè)左； 3、判左是否應(yīng)該分組，分別制泄各組正常值范圉： 4、根據(jù)專業(yè)知識(shí)確定采用雙測(cè)正常值范|卞還是單側(cè)正常值范用 5、選左適當(dāng)?shù)陌俜址秶?5%最常用 6、正常人與病人的數(shù)據(jù)重疊較多時(shí)，應(yīng)確左可疑范圍。 計(jì)算醫(yī)學(xué)參考值范圍常用的方法： 正態(tài)分布法：適用于正態(tài)或近似正態(tài)分布資料。 雙側(cè)界：片土 us 單側(cè)上界：X+us單側(cè)下界：X -us 例 某地調(diào)查正常成年男子144人的紅細(xì)胞數(shù)(近似正態(tài)分布)，得 均數(shù)% = 55 38x 1012/L

16、標(biāo)準(zhǔn)差S = 0 44x 1012 / L估計(jì)該地成年男子紅細(xì)胞數(shù)的95%參考 值范圍。 因紅細(xì)胞數(shù)過(guò)多或過(guò)少都為異常，故此參考值范用應(yīng)是雙側(cè)范用。又因?yàn)榇酥笜?biāo)近似正 態(tài)，故可用正態(tài)分布法求95%參考值范用的上下限 X 1.965 = 55.38 1.96(0.44) = (54.52,56.24) 某地調(diào)查110名健康成年男性的第一秒肺通氣疑得均數(shù) 乂 = 42麗準(zhǔn)差 S=0.7厶請(qǐng) 據(jù)此估計(jì)該地成年男子第一秒肺通氣量的95%參考值范圍。 因?yàn)榈谝幻敕瓮饬績(jī)H過(guò)低屬異常，故此參考值范帀屬僅有下限的單側(cè)參考值范羽。又因此 指標(biāo)近似正態(tài)分布，故可用正態(tài)分布法求其95%參考值范怫1如下： J - 1. 645 = 4. 2 - 1. 64 X 0. 7 = 3. 052Z 即不低于。 正態(tài)分布是許多統(tǒng)訃方法的基礎(chǔ)。后而將講到的t檢驗(yàn)、方差分析、相關(guān)回歸分析等多 種統(tǒng)計(jì)方法均要求分析的指標(biāo)服從正態(tài)分布。 同時(shí)，對(duì)于非正態(tài)分布資料，實(shí)施統(tǒng)計(jì)處理的一個(gè)重要途徑是先作變量的轉(zhuǎn)換，使轉(zhuǎn)換 后的資料近似正態(tài)分布，然后按正態(tài)分布的方法作統(tǒng)汁處