(整理)第二章晶體的結(jié)合

1、精品文檔原子間相互作用勢(shì)為1. 有一晶體，平衡時(shí)體積為 v0 ,ur 二證明第2章晶體的結(jié)合習(xí)題U 0.如果相距為r的兩原子互作用勢(shì)為精品文檔(1)體積彈性模量為K=U 0mn9Vo .(2) 求岀體心立方結(jié)構(gòu)惰性分子的體積彈性模量解答設(shè)晶體共含有 N個(gè)原子，則總能量為U(r)= 1 二二 u rij .2 i j由于晶體表面層的原子數(shù)目與晶體內(nèi)原子數(shù)目相比小得多，因此可忽略它們之間的基異，于是上式簡(jiǎn)化為N = , U= u rij .2 j設(shè)最近鄰原子間的距離為R則有q1再令A(yù)m = v =,An八 j aj平衡時(shí)R=F01nj aj,得到Nu=20由平衡條件dU(R)dR2由(1),(2)

2、兩式可解得A2UoAm -N(m -n)嘰2UoR)n AnRrnRm,nnRo.N (m n)利用體積彈性模量公式【參見固體物理教程k= R2 佰u2 得 K=9Vo ：:R Ro1 N _ m(m 1) 2U0nRmR N(m- n)9Vo 2 |L(2.14)1 N式-mg+O% 丄 n(n +1)% 1 9Vo 2ROR01* n(n +1) 2UomRn 1 R01 N(m-n 廠-uom由于 Uo 0,因此 Uo =Uo,于是 K= Uo 口1.9Vo(1) 由固體物理教程(2.18)式可知，一對(duì)惰性氣體分子的互作用能為 u(r)二-攔弓.若令r rAB %,則N個(gè)惰性氣體分子的互

3、作用勢(shì)能可表示為4BA-U (r) =2Ne A2R _A6由平衡條件dU(R)dRRq.進(jìn)一步得 U 0 = U (R0)0可得R代入 K=U0UO.并取 m=6, n=12, V= J4 R03 得 K=9Vo3罷冋39VoA12A&A1270.1 ；對(duì)體心立方晶體有 A6 = 12.25, A,2 =9.11.于是K -3 .2. 一維原子鏈，正負(fù)離子間距為a,試證：馬德隆常數(shù)為- 2 1n2.解答相距rij的兩個(gè)離子間的互作用勢(shì)能可表示成 u(小乎4 町jrj設(shè)最近鄰原子間的距離為R 則有ry= ajR,N上廠urj1ajnaj1- _丄 jaj為離子晶格的馬德隆常數(shù)，式中+;-號(hào)分別

4、對(duì)應(yīng)于與參考離子相異和相同的離子 號(hào),對(duì)正離子取負(fù)號(hào)，考慮到對(duì)一維離子兩邊的離子是正負(fù)對(duì)稱分布的 ，則有4=21aj|!1 2 3 4基中.任選一正離子作為參考離子,在求和中對(duì)負(fù)離子到正利用正面的展開式1n(1+ x)234XXX X -234則總的離子間的互作用勢(shì)能1111并令 X =1得=1n(1+1)=1n2.于是，一維離子鏈的馬德常數(shù)為=2 1n212343. 計(jì)算面心立方面簡(jiǎn)單格子的A和A12(1) 只計(jì)最近鄰；(2) 計(jì)算到次近鄰；(3) 計(jì)算到次近鄰.解答圖2.26示出了面心立方簡(jiǎn)單格子的一個(gè)晶胞 .角頂O原子周圍有8個(gè)這樣的晶胞，標(biāo)號(hào)為1的原子是原子 O的最近鄰標(biāo) 號(hào)為2的原子

5、是O原子的最近鄰，標(biāo)號(hào)為3的原子是O原子的次次近鄰.由此得到，面心立方簡(jiǎn)單格子任一原子有 12個(gè)最近鄰,6 個(gè)次近鄰及24個(gè)次次近鄰.以最近鄰距離度量，其距離分別為：aj =1,aj =2,aj二 3.由圖2.6面心立方晶胞只計(jì)最近鄰時(shí) 傀(1) =12*計(jì)算到次近鄰時(shí)陽(yáng)+6-1+6 12A6（2） =12*人2（2） =12*-I +6J丿12（1 y-I =12.J丿112, A/）/*126126= 12.750,=12.094.(3)計(jì)算到次次近鄰時(shí)6A /C、11八訂丿(1平-I11丿指數(shù)較大，A12收斂得很快，而A6是 14.45 與 12.13.4.用埃夫琴方法計(jì)算二維正方離子(

6、正負(fù)兩種)格子的馬德隆常數(shù).1 解答馬德隆常數(shù)的定義式為=、,式中+、j aj實(shí)際是一個(gè)面心正方格子，圖2.7示出了一個(gè)埃夫琴晶胞為4*(1/2).對(duì)參考離子庫(kù)侖能的貢獻(xiàn)為A6（3） =12 | +6A2（3） =12*中的冪指數(shù)較小1 6 12.750 0.899 = 13.639,3121 12.094 0.033 = 12.127.3,因此A6收斂得較慢,通常所采用的面心立方簡(jiǎn)單格子的24*24*由以上可以看出，由于A12中的幕A和A12的數(shù)值分別-號(hào)分別對(duì)應(yīng)于與參考離子相異和相同的離子，二維正方離子(正負(fù)兩種)格子,.設(shè)參考離子o為正離子，位于邊棱中點(diǎn)的離子為負(fù)離子，它們對(duì)晶胞的貢獻(xiàn)圖

7、2.7二維正方離子晶格4* -_21 *頂角上的離子為正離子,它們對(duì)晶胞的貢獻(xiàn)為4*(1/4),對(duì)參考離子庫(kù)侖能的貢獻(xiàn)為4*-產(chǎn)4 .因此通過(guò)一個(gè)埃夫琴晶胞算出的2馬德隆常數(shù)為 =114*4* 241 、2= 1.293.再選取22 =4個(gè)埃夫琴晶胞作為考慮對(duì)象，這時(shí)離子 O的最的鄰，次近鄰均在所考慮的范圍內(nèi)，它們對(duì)庫(kù)侖能的貢獻(xiàn)為頂角上的離子對(duì)為庫(kù)侖能的貢獻(xiàn)為4- ,而邊棱上的離子對(duì)庫(kù)侖能的貢獻(xiàn)為24* -F4 ,這時(shí)算岀的馬德隆常數(shù)為81 14*8* 2_22 5精品文檔faJF1.k1J*、gT3IJ*1itdrI+h jL-JbfFk圖2.8 4個(gè)埃夫琴晶胞同理對(duì)32 =9個(gè)埃夫琴晶胞進(jìn)

8、行計(jì)算，所得結(jié)果為一4_4U 42) , 2 J5 J84*12318*-2,101、4* 品 188*1；：_2= 1.611對(duì)42=16個(gè)埃夫琴晶胞進(jìn)行計(jì)算44 Z 48+2- | +4*124-8*1,所得結(jié)果為4、v 548 j8*14* -2 - 48+ _134J810172532= 1.6142個(gè)埃夫琴晶胞來(lái)計(jì)算二維正方離子當(dāng)選取n算,大學(xué)物理，Vo1.14,No.12,1995.) 為n 11代4八(-什,11tj(正負(fù)兩種)格子的馬德隆常數(shù)4 An八B8Cn,其計(jì)算公式(參見劉策軍，二維NaC1晶體馬德隆常數(shù)計(jì)Dn I n 1.其中/ 、1+/X1 + 1 2 J12 +12

9、 丿 2占2 +22 2丁22 +12 丿BnCn 4+ ,2n -1)2 (n -1)2, (n -1)12 2(n -2)(-1)心,(n-1)212+8Jn2 +n22jn2+(n+1)25.用埃夫琴方法計(jì)算 CsCl型離子晶體的馬德隆常數(shù)(1) 只計(jì)最近鄰(2) 取八個(gè)晶胞解答(1)圖2.29是CsCl晶胸結(jié)構(gòu)，即只計(jì)及最近鄰的最小埃夫琴晶胞Dn(-1)n25212,圖2.29 a是將Cs 雙在體心位置的結(jié)構(gòu)，圖2.9(a)是將ci -取在體心位置的結(jié)構(gòu)，容易求得在只計(jì)及最近鄰情況下，馬德隆常數(shù)為1.lb)圖2.29(a) Cs取為體心的CsC1晶胞,(b) C1 取為體心的CsC1晶

10、胞(2) 圖2.10是由8個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞,8個(gè)最近鄰在埃夫琴晶胞內(nèi)，每個(gè)離子對(duì)晶胞的貢獻(xiàn)為1,它們與參考離子異號(hào)，所以這8個(gè)離子對(duì)馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn)為8埃夫琴晶胞6個(gè)面上的離子與參考離子同號(hào),它們對(duì)埃夫琴晶胞的貢獻(xiàn)是丄，它們與參考離子的距離為22R. 3它們對(duì)馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn)為-2!里)2M;3圖2.10 8 個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的一個(gè)埃夫琴晶胞埃夫琴晶胞楞上的12個(gè)離子，與參考離子同號(hào)，它們對(duì)埃夫琴晶胞的貢獻(xiàn)是丄它們與參考離子的距離為 2 2R它們對(duì)馬德隆4x 312*(1/4)1常數(shù)的貢獻(xiàn)為-埃夫琴晶胞角頂上的 8個(gè)離子，與參考離子同號(hào)，它們對(duì)埃夫琴晶胞的貢獻(xiàn)是它們與參考離子2

11、J238的距離為2R它們對(duì)馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn)為 -8* 1 8 ,由8個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞計(jì)算的馬德隆常數(shù)28_6* (1/2)2/ .312* (1/4)2 238* (1/8)2= 3.064806.為了進(jìn)一步找到馬德常數(shù)的規(guī)律,我們以計(jì)算了由27個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞的馬德隆常數(shù) ，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，由27個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞的馬德隆常數(shù)是 0.439665.馬德隆常 數(shù)的不收斂，說(shuō)明CsCl晶胞的結(jié)構(gòu)的馬德隆常數(shù)不能用傳統(tǒng)的埃夫琴方法計(jì)算.為了找出合理的計(jì)算方法，必須首先找出采用單個(gè)埃夫琴晶胞時(shí)馬德隆常數(shù)不收斂的原因 .為了便于計(jì)算，通常取參考離子處于埃夫琴晶胞的中心

12、.如果以Cs 作參考離子，由于埃夫琴晶胞是電中性的要求，則邊長(zhǎng)為2 pa (p是大于或等于1的整數(shù))的埃夫琴晶胞是由(2 P)3個(gè)CsCl晶胞所構(gòu)成，埃夫琴晶胞最外層的離子與參考離子同號(hào)，而邊長(zhǎng)為(2p+1)的埃夫琴晶胞是由(2p+1) 3個(gè)CsCl晶胞所構(gòu)成，但埃夫琴晶胞的最外層離子與參考離子異號(hào)，如果以C1作參考離子也有同樣的規(guī)律，設(shè)參考離子處于坐標(biāo)原點(diǎn) O ,沿與晶胞垂直的方向(分別取為x,y,z圖2.11示岀了 z軸)看去，與參考郭 同號(hào)的離子都分布在距 o點(diǎn)ia的層面上，其中i是大于等于1的整數(shù)，與o點(diǎn)離子異號(hào)的離子都分布在距 o點(diǎn)(i -0.5 ) a的層 面上，圖2.11(a)示

13、出了同號(hào)離子層，圖2.11(b)示出了異號(hào)離子層.aLMVO77圖2.11 離子層示意圖(a)表示同號(hào)離子層，O離子所在層與O 離子所在層相距ia 精品文檔(b)表示異號(hào)離子層，0離子所在層和o離子所在層相距(i -0.5 ) a當(dāng)CsCI埃夫琴晶胞邊長(zhǎng)很大時(shí)，晶胞最外層的任一個(gè)離子對(duì)參考離子的庫(kù)侖能都變得很小，但它們對(duì)參考離子總的庫(kù)侖能不能忽略.對(duì)于由(2p) 3個(gè)CsCI晶胞所構(gòu)成的埃夫琴晶胞來(lái)說(shuō)，最外層有 6*(2 p) 2個(gè)與參考離子同號(hào)的離子，它們與參考離子的距離為(i/2) pa( . 3 2)pa，它們與參考離子的庫(kù)侖能為pe24二；0a量級(jí)，這是一個(gè)相對(duì)大的正值.對(duì)于由(2p+

14、i)3個(gè)csci晶胞所構(gòu)成的埃夫琴晶胞來(lái)說(shuō)，離外層有6*(2 p+1)2個(gè)與參考離子異號(hào)的離子，它們與參考離子的庫(kù)侖能為-pe24二；0a量級(jí)，這是一個(gè)絕對(duì)值相對(duì)33大的負(fù)值，因此，由(2p) 3個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞所計(jì)算的庫(kù)侖能，與由(2p+1) 3個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞所計(jì)算的庫(kù)侖能會(huì)有較大的差異.即每一情況計(jì)算的庫(kù)侖能都不能代表CsCl晶體離子間相互作用的庫(kù)侖能.因此這兩種情況所計(jì)算的馬德隆常數(shù)也必定有較大的差異，由1個(gè)CsCl晶胞、8個(gè)CsCl晶胞和27個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞的計(jì)算可知，CsCl埃夫琴晶胞體積不大時(shí)，這種現(xiàn)象已經(jīng)存在.為了克服埃夫琴方法在計(jì)算馬

15、德隆常數(shù)時(shí)的局限性，可采取以下方法，令由(2 p) 3個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞計(jì)算的庫(kù)侖能為U 1，3由(2 p+1)個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞所計(jì)算的庫(kù)侖能為Ur，則CsCl晶體離子間相互作用的庫(kù)侖能可近似取作1U (U1 U2)(1)2因子1/2的引入是考慮除了 (2 p+1) 3個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞最外層離子外，其他離子間的庫(kù)侖能都累計(jì)了兩偏，計(jì)算U1和U2時(shí)要選取體積足夠大的埃夫琴晶胞，此時(shí)埃夫琴晶胞最外層離子數(shù)與晶胞內(nèi)的離子數(shù)相比是個(gè)很小的數(shù)，相應(yīng)的馬德隆常數(shù)應(yīng)為是由(2 p)3個(gè)CsC1晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞計(jì)算的值其中：叫-j埃夫琴晶胞所計(jì)算成本的值.為簡(jiǎn)化計(jì)算

16、，特選取晶胞邊長(zhǎng)a為計(jì)算單位，由于2R =、. 3a，所以.1 二亠，2J1八j1 a；丿士丄由(2.ai丿p+1) 3個(gè)CsC1晶胞構(gòu)成的其中ai是某一離子到參點(diǎn)的距離與 a的比值.考慮到對(duì)稱性，對(duì)選定的埃夫琴晶胞，把晶胞的離子看成分布在一個(gè)個(gè)以參考離子為對(duì)稱心的正六面體的六個(gè)面上 六個(gè)面上的離子分別計(jì)算.3由(2 p)個(gè)CsC1晶胞構(gòu)成埃夫琴晶胞時(shí)，由分析整理可得，體積不同的正六面/p -1由(2 p+1) 3 個(gè) CsC12晶胸構(gòu)成埃夫琴晶胞時(shí)，p、 Bii繪Dp(5)其中：Aikxy,2 、2 2y i2(仁 i p)，(6)，故到負(fù)號(hào).x、y是離A表示與o點(diǎn)距離為ia的6個(gè)面上所有的

17、離子對(duì)馬德隆常數(shù)的面貢獻(xiàn)，因?yàn)檫@些離子與參考離子同號(hào)子在平面 oxy、上的坐標(biāo)，k，代表6個(gè)面上等價(jià)離子的個(gè)數(shù)，其取值規(guī)則為：xy(1) 在角上(如E點(diǎn))，即x=i且 y、= i.時(shí)，kxy、=8；(2) 在棱與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(如f點(diǎn))，x=i且y、= o或x=0且y、= o時(shí)，k =6x y(3) 在棱上的其他點(diǎn)(如H、I點(diǎn))即不滿足上述條件，且x=i或V、=i.時(shí)，k =12x y(4) 在 O 點(diǎn)，即 x =0 且 y = o 時(shí)，kx y =6精品文檔（5）在除0點(diǎn)外的面上的點(diǎn)（如J點(diǎn)）,即不滿足上述條件時(shí),xy =24.i -0.5 i _0.5k B,2xy(仁七 P),(7)x s

18、y 乍 x y (i - 0.5)2Bi代表距o點(diǎn)距離為（i -0.5 ） a的6個(gè)面上的離子對(duì)馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn)，因?yàn)檫@種些離子與參考離子異號(hào)，故取正號(hào).x , y是離子在平面 x y上的坐標(biāo)，kxy代表這6個(gè)面上等價(jià)離子的個(gè)數(shù)，其取值規(guī)則為： 在角上（如K點(diǎn)）,即x =i且y = i.時(shí),kxy =8;（2）在棱下（如L、M點(diǎn)）,即不滿足不述條件，且x =i或y=i時(shí)，k =12；x y（3）在面上（如N點(diǎn)）好不滿足上述條件時(shí)，k =24x yCik x y2 2Ci表示在邊長(zhǎng)為取值：i i:xy2（心 P），222X 4）y 衛(wèi) x y i2 pa的晶胞最外層，即與參考離子相距 pa的6個(gè)

19、面上的離子對(duì)馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn),應(yīng)取負(fù)號(hào)，與Ai的不同在于k 的x y(1)在角上:k x y=k xy/8；在棱上:-k ,=k/4;x yiix y在面上:，k=k /2.、IIx yxyi _0.5i _0.5Dix =0.5 y =0.5kxy/.(i2 2 2x y (i -0.5)二 P),精品文檔Di表示在邊長(zhǎng)為2（P 1）a的晶胞最外層，即與參考離子相距（p+0.5） a的離子層對(duì)馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn)，應(yīng)取正號(hào)，與Bi的不同在于k的取值:x y（1）在角上，在棱上，在面上，I WIk = k /8；x yx yI WIk = k /4；x yx yI WIk = k /2.x yx

20、y表2.1給出了計(jì)算結(jié)果，給出的是由分別對(duì)應(yīng)2p和2p+1的打和）2求得的，實(shí)際上，=和）2只需對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)相近的埃夫琴晶胞即可 如取對(duì)應(yīng)2p和2p-1的埃夫琴晶胞也可得到一樣的收斂結(jié)果，由以上數(shù)據(jù)可見，馬德隆常數(shù)隨晶胞邊長(zhǎng)的增大而迅速收斂.該方法適用于NaC1結(jié)構(gòu)以外離子晶體馬德隆常數(shù)的計(jì)算.表2.21 CsC1晶體結(jié)構(gòu)馬德隆常數(shù)2p2p+123.06480630.439665P 1.752235543.10240150.4155941.7589975103.119695110.405077P 1.7623860503.122891510.402453P 1.76267201003.122991

21、1010.4023581.76267452003.1230162010.4023341.7626750300：3.1230213010.402329P 1.76267504003.1230224010.402327P 1.76267455003.1230235010.4023271.75267506003.1230236010.4023261.7626745700：3.1230247010.402326P 1.7626750800 :3.1230248010.402326P 1.76267506.只計(jì)及最近鄰間的排斥作用時(shí)，一離子晶體離子間的互作用勢(shì)為產(chǎn)2Xe4，(D2 R (1)最近鄰最近鄰

22、以外- ,(2)r式中扎P是常數(shù),R是最近鄰距離，求晶體平衡時(shí)解答設(shè)離子數(shù)目為,原子間總的互作用勢(shì).2N,以rij = aj r表示第j個(gè)離子到參考離子i的距離，忽略表面效應(yīng)，則總的相互作用能可表示為2 、1U=N1E -十e+ 送 he1邢丿(=N表示最近鄰)十丄H丿為馬德隆常數(shù)，+號(hào)對(duì)應(yīng)于異號(hào)離子，-號(hào)對(duì)應(yīng)于同號(hào)離子;Z為任一離子的最近鄰數(shù)目，設(shè)平衡時(shí)R=R0 ,由平衡條件dU dRRoe2平衡時(shí)的總相互作用為U(R。)= N-Ne2f P1R。RR0丿7.設(shè)離子晶體中，離子間的互作用勢(shì)為 2 .-+2,最近鄰R Rm2_乞，最近鄰以外r(1)求晶體平衡時(shí)，離子間總的相互作用勢(shì)能u(r)=

23、U(Ro)證明：U(R0)二其中是馬德隆常數(shù)，Z是晶體配位數(shù)解答(1)設(shè)離子數(shù)目為2n,以rij二aj r表示第j個(gè)離子到參考離子i的距離，忽略表面效應(yīng)，則總的相互作用能可表示-2 )U=N1送-+ ej訃丿右八表示最近鄰)=N亡+ZR,為馬德隆常數(shù)，+號(hào)對(duì)應(yīng)于異號(hào)離子號(hào)對(duì)應(yīng)于同號(hào)離子.Z為任一離子的最近鄰數(shù)目，設(shè)平衡時(shí)R=R)由平衡條件dUI . e2 Zmbdr=o,得 Zmb=，e2RoR(mJ即RoZmbm -1于是，晶體平衡時(shí)離子間總的相互作用勢(shì)能Zmb Z bNZb / 小 薩(m-1).(2)晶體平衡時(shí)離子間的相互作用勢(shì)能可進(jìn)一步化為m 二Z m dU 0= N |R(mR(mU

24、= _(m -1)Nb由上式可知Uommi1(,! me2m) mJ(m-1)Nb 1 兀Zm2(mb)mIZ8. 一維離子鏈，其上等間距載有正負(fù) 距，設(shè)離子電荷為2N個(gè)離子，設(shè)離子間的泡利排斥只出現(xiàn)在最近鄰離子之間，且為b/R n , b,n是常R是兩最近鄰離子的間(i)試證明平衡間距下令晶體被壓縮，使(n- 1)q21 n2；c=;UR)= 一如遊加SR。R0 Ro(1-：)，試證明在晶體被壓縮單位長(zhǎng)度的過(guò)程中外力作功的主項(xiàng)為c= 2其中R解答求原子鏈被壓縮了 2 NR0、；eC；e I： 1)時(shí)的外力(1)因?yàn)殡x子間是等間距的a，且都等于R所以認(rèn)定離子與第j個(gè)離子的距離rj總可表示成為r

25、j=a j R互作用勢(shì)能j是一整 數(shù)，于是離子間總 的U(R)2r qn-2-Nr+12bJ4懲。24叭rj 一R i ai)Rn 一其中+、-分別對(duì)應(yīng)相異離子和相同離子的相互作用.一維離子晶格的馬德隆常數(shù)(參見本章習(xí)題2)為無(wú)士丄 =21n2.i I印利用平衡條件dU(R)dR=oRo得到b=q21 n2R；-1R；4nRn4on2 /2Nq21 n2 1U (R) = -4叭迅在平衡間距下U(Ro) 一沁11 I.4 二；0R0n(2)將互作用勢(shì)能在平衡間距附近展成級(jí)數(shù)fdU )1U(R)二U(R)(R-Rn)ldR 丿Ro2由外力作的功等于晶體內(nèi)能的增量，可得外力作功的主項(xiàng)為(R-Ro)

26、2,Ro其中利用平衡條件，將 R=R0(1 _、:) ，代入上式，得到1 石 - 1)q21 n2 1W= - 2 4瓏0 Ro晶體被壓縮單位長(zhǎng)度的過(guò)程中，外力作的功的主項(xiàng)1 (n - 1)q21 n22NR6 24瓏 oRo2令 c= (n -1)q 12n2 (CGS)4聴 o Ro得到在晶體被壓縮單位長(zhǎng)度的過(guò)程中，外力作的功的主項(xiàng)為竺2 .(3)設(shè)：二飛時(shí)外力為Fe，由于在彈性范圍內(nèi)，夕卜力與晶格的形變成正比，所以F= ： (2NRo、)，F(xiàn)e= ： (2NRo、e),其中_：i為比例系數(shù)離子鏈被壓縮 2NR：,e過(guò)程中外力作的功2 NRo、e、e=o Fdx = o a(2NRod)2

27、NRod61 1=：(2NRo)2 e =2NReFe.W=U (R) -U(R0)匚We2NR。、)、.由于 We=e(2NRoe)，2所以離子鏈被壓縮了 2NRo、；e時(shí)的外力為q21n2(n -1) eee2(R-R。)Ro29設(shè)泡利排斥項(xiàng)的形式不變，討論電荷加倍對(duì)NaC1晶格常數(shù)，體積彈性模量以及結(jié)合能的影響。解答NaC1離子間的互作用勢(shì)為urij二如果晶體共含有N個(gè)原子,叮二q21.4二;rij，令ry =ajR ,r是最近鄰離子間的距離，則總的互作用勢(shì)能卄q2B4二 0R土丄.aj丿_bnaj精品文檔若平衡時(shí)R=R 0,由平衡條件N S2% _ 2 |4-oRo _ R01 1 得

28、R=(4甥右dU (R)dRnB=0,旳2利用體積彈性模量公式R九K=9VoR)得k=匚(n-1).平衡時(shí)的結(jié)合能為72 陽(yáng) Ro2Nq1一丄.8 殆 0R)J n J由于晶格常數(shù) a與Ro成線形關(guān)系，于是，當(dāng)電荷加倍時(shí)，晶格常數(shù)，體積彈性模量以及結(jié)合能與原來(lái)值的比值為1 a(2q) =4口 a(q) UoK(2q)K(q)n 1二4n1精品文檔39roro由此是平衡時(shí)兩原子間的距離為roP-ro3:4ro2 . l a而平衡時(shí)的勢(shì)能為u ro = - ro根據(jù)定義，解離能為物體全部離解成單個(gè)原子時(shí)所需用的能量，其值等于u(ro)已知解離能為4eV因此得Uo(2q)Uo(q)a P10.兩原子

29、間互作用勢(shì)為u(r) = 8r r當(dāng)兩原子構(gòu)成一穩(wěn)定分子時(shí)，核間距為3 A ,解離能為4eV,求一:和：.解答當(dāng)兩原子構(gòu)成一穩(wěn)定分子即平衡時(shí)，其相互作用勢(shì)能取極小值，于是有du(r)dr3：2 =4eV.4ro再將 ro =3 A,1eV=1.602*10 2 erg 代入(1)(3)兩式，得心-272- =7.69*1。 erg?cm728-=1.4o*1o erg?cm .11. NaC1晶體的體積彈性模量為 2.4*10 帕，在2萬(wàn)個(gè)大氣城壓作用下，原子相互作用勢(shì)能增加多少？晶格常數(shù)將縮小百分之幾？( 帕=10 個(gè)大氣壓)解答假定在外力作用下，晶體的形變?yōu)閺椥孕巫?，此時(shí)可將K視為常量，由

30、固體物理教程(2.6)式K空,鳥丿T精品文檔得 P -Po - - fdV - -K1 nV.式中Po =1個(gè)大氣壓,P=2*10 4個(gè)大氣壓,Vo為晶體在壓強(qiáng)為Po時(shí)的體積，F(xiàn)b _P由此得 v=v oe K及f Po-PV=V-Vo=Vo ek _1在彈性形變情況下，體積的相對(duì)變化率VV1 因此，由固體物理教程(2.10)式P=K - V oV o可知體積彈性械量K甚大于壓強(qiáng)P ,于是V Vo(Po - P)再根據(jù) p V 二一:u K得相互作用勢(shì)能增加量為單位體積熱能增加量為U PV ：uP(Po -P)KPVo(Po -P)K2*1o9(2*1o9 -1o5)1o2.4* 1o1 J.

31、 m3 =1.67*1。8J. m3設(shè)晶格常數(shù)為a ,則有V - a3,是一常數(shù)，于是VVoao得晶格常數(shù)縮小的百分比為a1AV1 Pao3Vo_3 K2*1o9 -1o51o3* 2.4* 1o=2.8%.佃)12g12.雷納德一瓊斯為u(r)=4名 一 | 一 一 |,小7丿一證明：r= 1.12二時(shí)勢(shì)能最小，且 u(r)= - ；當(dāng)r=匚時(shí)，u(r)=o說(shuō)明；和二 的物理意義.解答當(dāng)r =ro時(shí)u(r)取最小值u(ro),由極值條件du口a12a6 i=0 得 4e12 13 + 6 7idr丄寺roro )于是有 ro =216；=1.12 二再代入u的表示式得lro J2當(dāng)r=二時(shí)則

32、有精品文檔精品文檔61=0 ,u(ct) =4名-.一.卜)9丿-是兩分子間的結(jié)合能，所以:即是兩分子處于平衡時(shí)的結(jié)合能，二具有長(zhǎng)度的量綱，它的物理意義是，二是互作用勢(shì)能為0時(shí)由于u(r)兩分子間的間距.13如果離子晶體中離子總的相互作用勢(shì)能為U(r) = N_ZXe丄川求晶體的壓縮系數(shù)，其中，Q為常數(shù),z為配位數(shù).解答壓縮系數(shù)k等于體積彈性模量 K的倒數(shù)，即kNR2弋23丿& 9Vo 2號(hào) o Ro式中Ro為平衡時(shí)相鄰原子間的距離，由平衡條件弋2 N3-2|2二；oRo衛(wèi)巾得：R Ro即eEPu 一竺.2陽(yáng) oZ7Ro由以諸式得0,k=竺NR。島尋門Nq218oVo1 12Ro-y-2, L

33、AB -I AB 2 -I圖2.12正方體積元六個(gè)面上的應(yīng)力14.取一 x y z立方體積元，以相對(duì)兩面中點(diǎn)連線為轉(zhuǎn)軸，列岀轉(zhuǎn)動(dòng)方程，證明應(yīng)力矩陣是一個(gè)對(duì)稱矩陣.解答如圖2.21所示,在彈性體內(nèi)取一立方體積元，體積元邊長(zhǎng)分別為.lx, Ay, Cz,C點(diǎn)的坐標(biāo)是x,y,z.對(duì)于以前后兩面中心 AB為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，上下 表面上的應(yīng)力Tyx形成了力偶，左右兩表面上的應(yīng)力Txy也形成了力偶，體積元繞AB軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為盯yziziz(Tyzy x y- Tyz ：x ：y? -仏精品文檔基中ab是體積元繞AB軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)角，Iab是體積元繞AB軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其值為精品文檔由上式可知，當(dāng)x, :：

34、y, :：z趨于0時(shí),轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iab更快地趨于0,于是轉(zhuǎn)動(dòng)方程化為(GTyzTyz+Ay+ Tyz -(cTzyTzy +Ay、即丿內(nèi)丿因?yàn)閼?yīng)力的梯度不能突變，所以當(dāng)趨于時(shí)，由上式可得Tyz =TzyTzy = 0-0精品文檔同理可得xzTxy由此可知，應(yīng)力矩陣TxxTxyTxz 1TxxTxyTxz!Ty xTy yTyzTxyTy yTyzTzxTzyTzz 一iTxzTyzTzz_jy x -是一個(gè)對(duì)稱矩陣C11C12C1300C12C11C1300C13C13C3300000C4400000C44-O0000彈性波的傳播方向單位矢量(c122y - cC66 )lxl y0(C12 C66 )l xl yC11l xC66 y - C00 I Vx!0C