第1章 行列式

1、第1章 行列式 1.1.1 二階行列式 對(duì)于二元一次方程組 , , 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 定義二階行列式 21122211 2221 1211 aaaa aa aa d 則當(dāng) 0 2221 1211 aa aa d 時(shí)上述二元一次方程組有唯一解,并且通過(guò)帶入消元法方程 組的解為 1.1 二階與三階行列式 , 21122211 211112 2 21122211 122221 1 aaaa abab x aaaa abab x 即可用二階行列式表示為 2221 1211 222 121 1 aa aa ab ab x , 2221 1211 221 111 2

2、aa aa ba ba x 例例1 解二元一次方程組 12 12 21, 34, xx xx 解解 1 7 7 13 21 14 21 1 x , 1 7 7 13 21 43 11 2 x 1.1.2 三階行列式 定義三階行列式為 333231 232221 131211 aaa aaa aaa d 112233122331132132 112332122133132231 a a aa a aa a a a a aa a aa a a 則三元一次方程組 11 11221331 21 12222332 31 13223333 , , , a xa xa xb a xa xa xb a xa

3、xa xb 當(dāng) 0 333231 232221 131211 aaa aaa aaa d 時(shí)方程組的解可用三階行列式表示為 333231 232221 131211 33323 23222 13121 1 aaa aaa aaa aab aab aab x 333231 232221 131211 33331 23221 13111 2 aaa aaa aaa aba aba aba x 333231 232221 131211 33231 22221 11211 3 aaa aaa aaa baa baa baa x 例例2 計(jì)算行列式 112 021 113 d 解解 112 021 11

4、3 1 231 1 ( 1)20 1 1 1 1 1 0322( 1) 8 d 1.2 逆序與對(duì)換 1.2.1 排列與逆序 自然數(shù) 1,2,n 組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n元排列,記為 n ppp 21 . 規(guī)定按從小到大的順序排列的叫做標(biāo)準(zhǔn)排列（自然排列）. 123n為標(biāo)準(zhǔn)排列. 即排列 定義定義1 在一個(gè)排列中,如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反, 即前面的數(shù)大于后面的數(shù),那么它們就稱為一個(gè)逆序,一個(gè)排列 中逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).排列n ppp 21 的逆序數(shù)記為)( 21n ppp 計(jì)算排列逆序數(shù)的方法: 對(duì)于排列n ppp 21 ,其逆序數(shù)為每個(gè)元素的逆序數(shù)之和. n ppp

5、21中元素 (1,2,) i p in ，如果比 i p 大且排在前面的元素有 i t個(gè)，就說(shuō)的逆序數(shù)為 , 全體元素的逆序數(shù)之和為 即對(duì)于排列 i p i p i t 12 1 n ni i ttttt 即 )( 21n ppp 1 n i i t 例例3 求排列 536214的逆序數(shù). 解解 在排列 536214中 (536214)0 1034210 定義2 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列, 逆序數(shù)為奇數(shù)的 排列稱為奇排列. 1.2.2 對(duì)換 定義定義3 把一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置互換而其余的數(shù)不動(dòng) 就得到另一個(gè)排列,這樣一個(gè)變換稱為一個(gè)對(duì)換.對(duì)換改變排列的 奇偶性. 將一個(gè)奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排

6、列需要奇數(shù)次對(duì)換,將一個(gè)偶排列 變成標(biāo)準(zhǔn)排列需要偶數(shù)次對(duì)換. 1.3 階行列式的定義 定義定義4 由nn個(gè)數(shù)組成數(shù)表 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 從中選取處在不同行不同列的n個(gè)元素相乘 n ppp aaa 111 21 ,其中 n ppp 21為n, 2 , 1的一 個(gè)全排列,并冠以符號(hào) )( 21 ) 1( n ppp ,則 n n n ppp ppp ppp aaa 111 )( 21 21 21 ) 1( 為n階行列式,記作稱和 nnnn n n aaa aaa aaa d 21 22221 11211 或簡(jiǎn)記為 det() ,( ,1,2,)

7、 ij dai jn,其中 ij a表示處在第i 行,第 j 列位置的元素. 例例4 計(jì)算行列式 . 22 11 nn a a a 其中未寫(xiě)出部分全為零. 解解 在行列式的展開(kāi)式中共有 ! n個(gè)乘積 12 12 n ppnp aaa ,顯然如果 1 1 p 則 1 1p a 必為零, 從而這個(gè)項(xiàng)也必為零,因此只須考慮 1 1 p 的項(xiàng).同理只須考慮 nppp n , 3, 2 32 ,也即行列式的展開(kāi)式 中只有 nn aaa 2211 (其他的項(xiàng)乘積均為零),而 0)12(n, 因而其符號(hào)為正.因此 . 2211 22 11 nn nn aaa a a a 定義定義5 對(duì)角線以上（下）的元素全

8、為零的行列式稱為 下（上）三角行列式. 由例4還可得出關(guān)于上、下三角行列式的如下結(jié)論: . 2211 222 11211 nn nn n n aaa a aa aaa . 2211 21 2221 11 nn nnnn aaa aaa aa a 例例5 計(jì)算行列式 1 (1) 2,1 2 12,11 1 ( 1). n n n n nnn n a a a aa a 解解 在行列式的展開(kāi)式中共有! n個(gè)乘積 12 12 n ppnp aaa , 顯然如果 1 pn則 1 1p a 必為零,從而這個(gè)項(xiàng)也必為零,因此只須考慮 1 pn 的項(xiàng).同理只須考慮 23 1,2,1 n pnpnp ,也即行列

9、式的展 開(kāi)式中只有 1,2,1,1nnn a aa (其他的項(xiàng)乘積均為零),而 (1) ( (1)21)0 12(1) 2 n n n nn 因而其符號(hào)為 (1) 2 ( 1) n n ，因此 .) 1( 1 ,1, 2, 1 2 )1( 1 , 1, 2 , 1 nnn nn n n n aaa a a a 由例5還可得出下三角行列式的如下結(jié)論： .) 1( 1 ,1, 2, 1 2 )1( 1 , 1, 221 , 111 nnn nn n n n aaa a aa aa .) 1( 1 ,1, 2, 1 2 )1( 1,1 , 21, 2 , 1 nnn nn nnnnn nn n aa

10、a aaa aa a 以上各種形式是計(jì)算行列式的常用形式,應(yīng)該對(duì)這幾種形式 加以注意并加強(qiáng)對(duì)它們的理解和應(yīng)用. 1.4 行列式的性質(zhì) 行列式的計(jì)算是一個(gè)重要的問(wèn)題,也是一個(gè)很麻煩的問(wèn)題.對(duì)于 n階行列式,當(dāng)n很大時(shí)直接從行列式的定義進(jìn)行行列式的計(jì)算 幾乎是不可能的.為此有必要對(duì)行列式的性質(zhì)進(jìn)行研究,從而簡(jiǎn) 化行列式的計(jì)算. 記 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa d aaa 11211 12222 12 n nt nnnn aaa aaa d aaa 稱行列式 t d為行列式d的轉(zhuǎn)置行列式. 性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等,即 nnnn n n nnnn n

11、n aaa aaa aaa aaa aaa aaa d 21 22212 12111 21 22221 11211 性質(zhì)性質(zhì)2 互換行列式的兩行(列)元素,則行列式變號(hào). 推論推論1 若行列式中某兩行元素對(duì)應(yīng)相等,則行列式的值為零. 性質(zhì)性質(zhì)3 行列式某行元素都乘以數(shù)k等于用k乘以行列式,即 nnnn inii n nnnn inii n aaa aaa aaa k aaa kakaka aaa 21 21 11211 21 21 11211 推論推論2 由性質(zhì)3知若行列式中某行(列)元素含有公因數(shù) k 可以將數(shù)k提到行列式外. ,則 推論推論3 若行列式的某兩行(列)元素對(duì)應(yīng)成比例,則此行列

12、式的 性質(zhì)性質(zhì)4 若行列式的某一行(列)是兩組數(shù)之和,則這個(gè)行列式可 值為零. 以寫(xiě)成兩個(gè)行列式的和,即 nnnn inii n nnnn inii n nnnn ininiiii n aaa bbb aaa aaa aaa aaa aaa bababa aaa 21 21 11211 21 21 11211 21 2211 11211 此性質(zhì)可以推廣到某一行元素為多組數(shù)之和的形式. 性質(zhì)性質(zhì)5 把行列式中某行(列)元素的 k 倍加到另外一行(列)的 對(duì)應(yīng)元素上去,行列式的值不變.即 1112111121 112212 111 111 12 12 nn ijijinjniiin jjj jjj

13、 nnnn nnnn aaaaaa akaakaakaaaa aaaaaa aaaaaa 例例6 計(jì)算行列式 d 的值,其中 3402 2430 0132 5231 d 解解 3402 2430 0132 5231 d 21 41 2 2 1 3 25 0 3 5 10 0 3 42 0 6 8 13 rr rr 42 32 2 1 3 25 0 3 5 10 0 01 12 0 0 27 rr rr 42 2 1 3 25 0 3 5 10 0 01 12 0 0 0 17 rr 5117) 1()3(1 例例7 計(jì)算行列式d的值,其中 2111 1211 1121 1112 d 解法一解法

14、一 分別將行列式的第二行、第三行、第四行加到第 一行得 1234 2111 5555 1111 1211 1211 1211 5 1121 1121 1121 1112 1112 1112 rrrr d 21 31 41 1111 0100 55 0010 0001 rr rr rr 解法二解法二 利用行列式的性質(zhì)將行列式的第一行和第四行互換可得 21 3142 41 2 1112 1112 1112 1211 0101 0101 1121 0011 0011 2111 0113 0014 rr rrrr rr d 43 1112 0101 5 0011 0005 rr 例例8 計(jì)算行列式d的

15、值,其中 1241 1321 2132 0562 d 解解 21 31 2 1241 1241 1321 0562 0 2132 0350 0562 0562 rr rr d 例例9 計(jì)算行列式d的值,其中 2222 2222 2222 2222 (1)(2)(3) (1)(2)(3) (1)(2)(3) (1)(2)(3) aaaa bbbb d cccc dddd 解解 把前一列乘以 ( 1)加到后一列上去得 2 2 2 2 212325 212325 212325 212325 aaaa bbbb d cccc dddd 再將第三列乘以加到第四列上去，第二列乘以加到( 1) ( 1) 第

16、三列上去得 2 2 2 2 2122 2122 2122 2122 aa bb d cc dd 由于此時(shí)行列式的第三列和第四列相等，因此由行列式的 性質(zhì)可得0d 1.5 行列式按行（列）展開(kāi) ij m 1.5.1 余子式與代數(shù)余子式 定義定義6 在 n階行列式 n d中劃去元素 ij a 所在的第i行和第j 列的元素,剩下的 (1) (1)nn個(gè)元素按原來(lái)的排法構(gòu)成一個(gè) 1n 階的行列式,稱為元素ij a 的余子式,記作 ij m .對(duì)冠以 符號(hào) ji ) 1(后稱為元素 ij a 的代數(shù)余子式,記為 ij a ,即 ij ji ij ma ) 1( 1.5.2 行列式按行（列）展開(kāi) 引理引理

17、 設(shè)d是一個(gè)n階行列式，如果其中第i行所有元素除 ij a 外都為零，那么這個(gè)行列式的值等于 ij a 乘以它的代數(shù) ij a ，即 余子式 ijij da a 定理定理1 行列式的值等于其某行（列）元素與其代數(shù)余子式乘 積之和,即 ； ininiiii aaaaaad 2211 ), 2 , 1(ni njnjjjjj aaaaaad 2211 ), 2 , 1(nj 這個(gè)定理稱為行列式按行(列)展開(kāi)法則 31 1 2 51 3 4 2 0 1 1 1 5 3 3 d 例例10 算行列式d的值,其中 解解 13 43 2 3 3 3112 5111 511 5134 11131 1 ( 1)

18、1111 2011 0010 550 1533 5530 cc cc d 21 1 3 511 62 6201 ( 1)( 6) ( 5)2 ( 5)40 55 550 rr 例例11 計(jì)算行列式d的值，其中 abab dbaba abab 解解 123 222222 rrr ababababab dbabababa abababab 21 31 111100 2()2() cc cc abbabaabbaab abababba 2 2()2()() aab ababab ab ba 22 2()()ab aabb 例例12 設(shè)行列式d為 2111 2413 1021 3111 d 求 242

19、221 32aaa的值. 解 242221 32aaa為行列式 2111 2413 1032 3111 1 d 按第二行的展開(kāi)式,因此 242221 32aaa的值等于行列式 1 d.而 14 24 2 2 4 1 3 1113 71013 7101 2301 0001 ( 1) ( 1)154 3142 1542 571 1112 5712 cc cc d 13 23 4 230 23 213302 ( 33)3 ( 21)3 2133 571 rr rr 因此 332 242221 aaa 作為定理1的推論,我們有 推論推論 n階行列式的d的任意一行(列)的各元素與另一行(列) 對(duì)應(yīng)元素的

20、代數(shù)余子式乘積之和等于零,即 0 2211 sninsisi aaaaaa ， 或 0 2211 nsnjsjsj aaaaaa 綜合定理1及其推論，我們有關(guān)于代數(shù)余子式的下述性質(zhì)： n k jkik ji jid aa 1 0 或 n k kjki ji jid aa 1 0 1.6 克萊姆法則 1.6.1 克萊姆（cramer）法則 現(xiàn)在我們來(lái)應(yīng)用行列式解決線性方程組的問(wèn)題.在這里只 考慮方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的情形. 定理定理2 如果線性方程組 11 11221 21 122222 1 122 (1) nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 的系數(shù)構(gòu)成的行列式 0 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa d 那么線性方程組) 1 (有解,并且解是惟一的,解可以由下式給出 d d x d d x d d x n n , 2 2 1 1 其中 j d 是行列式 d 中第 j列換成方程組的常數(shù)項(xiàng) n bbb, 2