第30講 概率-2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)必過精品專題(解析版)

1、 第30講 概 率1事件的分類事件類型定義概率必然事件不可能事件在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件隨機(jī)事件01 之間2.概率：一般地，表示一個隨機(jī)事件 a 發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，叫做這個隨機(jī)事件 a 發(fā)生的概率3概率的計(jì)算(1)公式法：對于簡單的事件直接用公式法計(jì)算即可；事件a發(fā)生的可能的結(jié)果總數(shù)mp(a)；所有可能的結(jié)果總數(shù)n(2)列表法：當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩步計(jì)算時，且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，可采用列表法列出所有可能的結(jié)m果，再根據(jù) p(a) 計(jì)算概率；n(3)畫樹狀圖法：當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩步或兩步以上的計(jì)算時，可采用畫樹狀圖表示所有可能的結(jié)果，再根據(jù)mp(a) 計(jì)算概率n4幾何概型求概

2、率：與幾何圖形有關(guān)的概率的計(jì)算，一般是用幾何圖形中的面積比進(jìn)行求解，計(jì)算公式為事件a可能發(fā)生的面積p(a).幾何圖形總面積5頻率與概率m(1)用頻率估算概率：一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)下，隨機(jī)事件 a 發(fā)生的頻率 (這里 n 是總試驗(yàn)次數(shù)，它必n須相當(dāng)大，m 是在 n 次試驗(yàn)中事件 a 發(fā)生的次數(shù))會穩(wěn)定到某個常數(shù) p.于是，我們用 p 這個常數(shù)表示事件 a發(fā)生的概率，即 p(a)p；(2)頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：概率是用來表示一個隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，只要有一個隨機(jī)事件存在，就有一個概率存在，而頻率是通過試驗(yàn)得到的，它隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化； 聯(lián)系：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大時，頻率穩(wěn)定在概率

3、的附近擺動，為了求出一個隨機(jī)事件的概率，通常需要大量的重復(fù)試驗(yàn)，用所得的頻率來估計(jì)隨機(jī)事件的概率.考點(diǎn) 1：頻率與概率【例題 1】（2019湖北省仙桃市7 分）為了解某地七年級學(xué)生身高情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生，測得他們的身高（單位：cm），并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請結(jié)合圖中提供的信息，解答下列問題（1）填空：樣本容量為 100 ，a 30 ；（2）把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；（3）若從該地隨機(jī)抽取 1 名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生身高低于 160cm 的概率【分析】（1）用 a 組的頻數(shù)除以它所占的百分比得到樣本容量，然后計(jì)算b 組所占的百分比得到 a 的值；（2）利用 b 組的頻數(shù)為 30 補(bǔ)全

4、頻數(shù)分布直方圖；（3）計(jì)算出樣本中身高低于 160cm 的頻率，然后利用樣本估計(jì)總體和利用頻率估計(jì)概率求解【解答】解：（1）15所以樣本容量為 100；100，b 組的人數(shù)為 100153515530，所以 a% 100%30%，則 a30；故答案為 100，30；（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖為： （3）樣本中身高低于 160cm的人數(shù)為 15+3045，樣本中身高低于 160cm的頻率為 0.45，所以估計(jì)從該地隨機(jī)抽取 1 名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生身高低于 160cm的概率為 0.45歸納：利用頻率估計(jì)概率：用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確考點(diǎn) 2：一步概率【例題 2

5、拋擲一枚質(zhì)地均勻的立方體骰子一次，骰子的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字 1，2，3，4，5，6，則朝上一面的數(shù)字為 2 的概率是（）a.b.c.d.【答案】a【分析】拋擲一枚質(zhì)地均勻的立方體骰子一次，則朝上一面的數(shù)字可以是 1,2,3,4,5,6 六種情況，其中朝上一面的數(shù)字為 2 的只有一種情況，根據(jù)概率公式計(jì)算即可?！窘馕觥?：拋擲一枚質(zhì)地均勻的立方體骰子一次，則朝上一面的數(shù)字共出現(xiàn)六種等可能情況，其中朝上一面的數(shù)字為 2 的只有一種情況，則朝上一面的數(shù)字為 2 的概率是故答案為：a,考點(diǎn) 3：幾何概型求概率【例題 3】（2018 貴陽）（3.00 分）如圖，小穎在圍棋盤上兩個格子的格點(diǎn)上任意擺放黑

6、、白兩個棋子，且兩個棋子不在同一條網(wǎng)格線上，其中，恰好擺放成如圖所示位置的概率是（） abcd【答案】a【解析】：恰好擺放成如圖所示位置的概率是 = ，故選：d考點(diǎn) 4：概率的綜合計(jì)算【例題 4】 (2018承德模擬)從背面相同的同一副撲克牌中取出紅桃 9 張，黑桃 10 張，方塊 11 張，現(xiàn)將這些牌洗勻背面朝上放在桌面上(1)求從中抽出一張是紅桃的概率；(2)現(xiàn)從桌面上先抽掉若干張黑桃，再放入與抽掉的黑桃張數(shù)相同的紅桃，并洗勻且背面都朝上排開后，隨2機(jī)抽一張是紅桃的概率不小于 ，問至少抽掉了多少張黑桃？5(3)若先從桌面上抽掉 9 張紅桃和 m(m6)張黑桃后，再在桌面上抽出一張牌，當(dāng) m

7、 為何值時，事件“再抽出的這張牌是方塊”為必然事件？當(dāng) m 為何值時，事件“再抽出的這張牌是方塊”為隨機(jī)事件？并求出這個事件的概率的最小值93 .【解析】(1)抽出一張是紅桃的概率是91011 10(2)設(shè)至少抽掉了 x 張黑桃，放入 x 張的紅桃，9x2 .根據(jù)題意，得解得 x3.91011 5答：至少抽掉了 3 張黑桃(3)當(dāng) m 為 10 時，事件“再抽出的這張牌是方塊”為必然事件，1111 .當(dāng) m 為 9，8，7 時，事件“再抽出的這張牌是方塊”為隨機(jī)事件，p(最小)（107）11 14歸納： (1)判斷使用列表或畫樹狀圖方法：列表法一般適用于兩步計(jì)算；畫樹狀圖法適合于兩步及兩步以上

8、求概率；(2)不重不漏地列舉出所有事件出現(xiàn)的可能結(jié)果，并判定每種事件發(fā)生的可能性是否相等；(3)確定所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù) n 及所求事件 a 出現(xiàn)的結(jié)果數(shù) m；m(4)用公式 p(a) 求事件 a 發(fā)生的概率n 一、選擇題：1. （2019浙江紹興4 分）為了解某地區(qū)九年級男生的身高情況，隨機(jī)抽取了該地區(qū) 100 名九年級男生，他們的身高 x（cm）統(tǒng)計(jì)如下：組別（cm）人數(shù)x1605160x17038170x18042x18015根據(jù)以上結(jié)果，抽查該地區(qū)一名九年級男生，估計(jì)他的身高不低于180cm 的概率是（）a0.85b0.57c0.42d0.15【答案】d【解答】解：樣本中身高不低于 1

9、80cm 的頻率0.15，所以估計(jì)他的身高不低于 180cm 的概率是 0.15故選：d2. （2019湖北天門3 分）下列說法正確的是（）a了解我市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況，適合全面調(diào)查b甲、乙兩人跳遠(yuǎn)成績的方差分別為 s 3，s 4，說明乙的跳遠(yuǎn)成績比甲穩(wěn)定22甲乙c一組數(shù)據(jù) 2，2，3，4 的眾數(shù)是 2，中位數(shù)是 2.5d可能性是 1%的事件在一次試驗(yàn)中一定不會發(fā)生【答案】c【解答】解：a了解我市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況，適合抽樣調(diào)查，a 錯誤；b甲、乙兩人跳遠(yuǎn)成績的方差分別為 s 3，s 4，說明甲的跳遠(yuǎn)成績比乙穩(wěn)定，b 錯誤；22甲乙c一組數(shù)據(jù) 2，2，3，4 的

10、眾數(shù)是 2，中位數(shù)是 2.5，正確；d可能性是 1%的事件在一次試驗(yàn)中可能會發(fā)生，d 錯誤故選：c1 13. （2019山東省德州市 4 分）甲、乙是兩個不透明的紙箱，甲中有三張標(biāo)有數(shù)字 ， ，1 的卡片，乙4 2中有三張標(biāo)有數(shù)字 1，2，3 的卡片，卡片除所標(biāo)數(shù)字外無其他差別，現(xiàn)制定一個游戲規(guī)則：從甲中任取一張卡片，將其數(shù)字記為 a，從乙中任取一張卡片，將其數(shù)字記為 b 若 a，b 能使關(guān)于 x 的一元二次方程 ax +bx+120 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則甲獲勝；否則乙獲勝則乙獲勝的概率為（）23594913abcd【答案】c【解答】解：（1）畫樹狀圖如下： 由圖可知，共有 9 種等可能的

11、結(jié)果，其中能使乙獲勝的有 4 種結(jié)果數(shù)，4乙獲勝的概率為 ，9故選：c4. （2019湖北武漢3 分）從 1.2.3.4 四個數(shù)中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，分別記為 a.c，則關(guān)于 x 的一元二次方程 ax +4x+c0 有實(shí)數(shù)解的概率為（2）14131223abcd【答案】c【解答】解：畫樹狀圖得：由樹形圖可知：一共有 12 種等可能的結(jié)果，其中使 ac4 的有 6 種結(jié)果，1關(guān)于 x 的一元二次方程 ax +4x+c0 有實(shí)數(shù)解的概率為 ，22故選：c5. （2019湖北省隨州市3 分）如圖，在平行四邊形 abcd 中，e 為 bc 的中點(diǎn)，bd，ae 交于點(diǎn) o，若隨機(jī)向平行四邊形 abcd

12、內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為（ ）111816a.10b.12c.d.【答案】b【解析】解：e 為 bc 的中點(diǎn)，s = s ，s = s ，s = s = s ，=，boeaobaobabdboeabdabcd米粒落在圖中陰影部分的概率為 ，故選：b 二、填空題：6. (2019 甘肅省隴南市)（4 分）一個猜想是否正確，科學(xué)家們要經(jīng)過反復(fù)的實(shí)驗(yàn)論證下表是幾位科學(xué)家“擲硬幣”的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：實(shí)驗(yàn)者擲幣次數(shù)德摩根6140蒲豐404020480.507費(fèi)勒100004979皮爾遜 羅曼諾夫斯基36000180310.50180640396990.492出現(xiàn)“正面朝上”的次數(shù)頻率3109

13、0.5060.498請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)硬幣出現(xiàn)“正面朝上”的概率為 0.5 （精確到 0.1）【答案】0.5【解答】解：因?yàn)楸碇杏矌懦霈F(xiàn)“正面朝上”的頻率在 0.5 左右波動，所以估計(jì)硬幣出現(xiàn)“正面朝上”的概率為 0.5故答案為 0.57. （2019 浙江麗水 3 分）一個布袋里裝有 2 個紅球、3 個黃球和 5 個白球，除顏色外其它都相同攪勻后任意摸出一個球，是白球的概率為.1【答案】25 1【解答】袋子里裝有 2 個紅球、3 個黃球和 5 個白球共 10 個球，從中摸出一個球是白球的概率是 = 10 28. （2019黑龍江省齊齊哈爾市3 分）在一個不透明的口袋中，裝有一些除顏色外完全

14、相同的紅、白、黑三種顏色的小球已知袋中有紅球 5 個，白球 23 個，且從袋中隨機(jī)摸出一個紅球的概率是 ，則袋中黑球的個數(shù)為【答案】22.【解答】解：設(shè)袋中黑球的個數(shù)為 x，根據(jù)題意得 ，解得 x22，即袋中黑球的個數(shù)為 22 個 1 19. （2019山東省德州市 4 分）甲、乙是兩個不透明的紙箱，甲中有三張標(biāo)有數(shù)字 ， ，1 的卡片，乙4 2中有三張標(biāo)有數(shù)字 1，2，3 的卡片，卡片除所標(biāo)數(shù)字外無其他差別，現(xiàn)制定一個游戲規(guī)則：從甲中任取一張卡片，將其數(shù)字記為 a，從乙中任取一張卡片，將其數(shù)字記為 b若 a，b 能使關(guān)于 x 的一元二次方程 ax2+bx+10 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則甲獲勝

15、；否則乙獲勝則乙獲勝的概率為.4【答案】9【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：由圖可知，共有 9 種等可能的結(jié)果，其中能使乙獲勝的有 4 種結(jié)果數(shù)，4乙獲勝的概率為 ，9三、解答題：10. （2019海南省8 分）為宣傳 6 月 6 日世界海洋日，某校九年級舉行了主題為“珍惜海洋資源，保護(hù)海洋生物多樣性”的知識競賽活動為了解全年級 500 名學(xué)生此次競賽成績（百分制）的情況，隨機(jī)抽取了部分參賽學(xué)生的成績，整理并繪制出如下不完整的統(tǒng)計(jì)表（表 1）和統(tǒng)計(jì)圖（如圖）請根據(jù)圖表信息解答以下問題：（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了 50 個參賽學(xué)生的成績；（2）表1中a 8 ；（3）所抽取的參賽學(xué)生的成績的中位數(shù)

16、落在的“組別”是 c ；（4）請你估計(jì)，該校九年級競賽成績達(dá)到 80 分以上（含 80 分）的學(xué)生約有 320 人表1 知識競賽成績分組統(tǒng)計(jì)表組別分?jǐn)?shù)/分60x7070x8080x9090x100頻數(shù)aabcd101418 【分析】（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取學(xué)生：1836%50（人）；（2）a501814108；（3）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取 50 名學(xué)生，中位數(shù)落在 c 組；（4）該校九年級競賽成績達(dá)到 80 分以上（含 80 分）的學(xué)生有 500320（人）【解答】解：（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取學(xué)生：1836%50（人），故答案為 50；（2）a501814108，故答案為 8；（3）本次調(diào)查

17、一共隨機(jī)抽取 50 名學(xué)生，中位數(shù)落在 c 組，故答案為 c；（4）該校九年級競賽成績達(dá)到 80 分以上（含 80 分）的學(xué)生有 500320（人），故答案為 32011. (2018遵義)某超市在端午節(jié)期間開展優(yōu)惠活動，凡購物者可以通過轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的方式享受折扣優(yōu)惠，本次活動共有兩種方式，方式一：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲，指針指向 a 區(qū)域時，所購買物品享受 9 折優(yōu)惠、指針指向其他區(qū)域無優(yōu)惠；方式二：同時轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲和轉(zhuǎn)盤乙，若兩個轉(zhuǎn)盤的指針指向每個區(qū)域的字母相同，所購買物品享受 8 折優(yōu)惠，其他情況無優(yōu)惠在每個轉(zhuǎn)盤中，指針指向每個區(qū)城的可能性相同(若指針指向分界線，則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤)1(1)若顧客選擇方式一，

18、則享受 9 折優(yōu)惠的概率為 ；4(2)若顧客選擇方式二，請用樹狀圖或列表法列出所有可能，并求顧客享受8 折優(yōu)惠的概率解：畫樹狀圖如下： 由樹狀圖可知，共有 12 種等可能結(jié)果，其中指針指向每個區(qū)域的字母相同的有 2 種結(jié)果，2 1p(顧客享受 8 折優(yōu)惠) .12 612. (2019 湖北仙桃)（7 分）為了解某地七年級學(xué)生身高情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生，測得他們的身高（單位：cm），并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請結(jié)合圖中提供的信息，解答下列問題（1）填空：樣本容量為 100 ，a 30 ；（2）把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；（3）若從該地隨機(jī)抽取 1 名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生身高低于 160cm的

19、概率【分析】（1）用a組的頻數(shù)除以它所占的百分比得到樣本容量，然后計(jì)算b組所占的百分比得到a的值；（2）利用b組的頻數(shù)為 30 補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（3）計(jì)算出樣本中身高低于 160cm的頻率，然后利用樣本估計(jì)總體和利用頻率估計(jì)概率求解【解答】解：（1）15所以樣本容量為 100；100，b組的人數(shù)為 100153515530，所以a% 100%30%，則a30；故答案為 100，30；（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖為： （3）樣本中身高低于 160cm 的人數(shù)為 15+3045，樣本中身高低于 160cm 的頻率為 0.45，所以估計(jì)從該地隨機(jī)抽取 1 名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生身高低于 160cm 的

20、概率為 0.4513. (2018邢臺三模)嘉嘉和琪琪一塊去選汽車牌照，現(xiàn)只有四個牌照可隨機(jī)選取，這四個牌照編號末尾數(shù)字如圖所示牌照末尾數(shù)字?jǐn)?shù)量(個)516172(1)求嘉嘉選取牌照編號末尾數(shù)字是 6 的概率；(2)求她倆選取牌照編號末尾數(shù)字正好差 1 的概率【解析】：(1)一共有四個牌照，四種等可能結(jié)果，其中末尾數(shù)字是 6 的只有一種等可能結(jié)果，以 p(搖到牌1照末尾數(shù)字是 6) .4(2)將這四個牌照編號，末尾數(shù)字為 5 的記為 a，末尾數(shù)字為 6 的記為 b，末尾數(shù)字為 7 的分別為 c ，c ，21abcc12(b，c )1(b，c )212c2(c ，a)2(c ，b)2(c ，c )21一共有 12 種等可能結(jié)果，其中末尾數(shù)字正好差 1