圓錐曲線基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)

1、圓錐曲線 概念、方法、題型、及應(yīng)試技巧總結(jié) 1. 圓錐曲線的兩個(gè)定義 （1）第一定義 中要重視“括號(hào)”內(nèi)的限制條件 ：橢圓中 ，與兩個(gè)定點(diǎn) F1，F(xiàn)2的距離 的和等于常數(shù) 2a ，且此常數(shù) 2a一定要大于 F1F2 ，當(dāng)常數(shù)等于 F1F2 時(shí)，軌跡是線段 F 1 F 2 ，當(dāng)常數(shù)小于 F1F2 時(shí)，無軌跡； 雙曲線中 ，與兩定點(diǎn) F1，F(xiàn)2 的距離的差的絕對(duì)值 等于常數(shù) 2a ，且此常數(shù) 2a一定要小于 | F 1F 2 | ，定義中的 “絕對(duì)值”與 2a0,b0）中，離心率 e 2 ,2, 則兩條漸近線夾角 的取值范圍是 3）拋物線 （以 y2 , ）； 32 2px（p 0）為例）：范圍：

2、 x 0,y R ；焦點(diǎn)： 答： 一個(gè)焦點(diǎn) （ p ,0） ，其中 p 的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離； 2 對(duì)稱性 ：一條對(duì)稱軸 0，沒有 對(duì)稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)（ 0,0 ）； 準(zhǔn)線 ：一條準(zhǔn)線 x p； 2； 離心率 ： c ，拋物 a 如設(shè)a 0,a 5、點(diǎn) P(x0, 2 2 x0 y0 2 2 a b2 2 2 x0 y0 外 b2 1 2 x y0) 和橢圓 2 a R，則拋物線 2 y 4ax2 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 2 by22 1( a 0） 的關(guān)系 ： 答： (0,16a) ）； 1）點(diǎn) P（x0, y0） 在橢圓 1 ；（ 2）點(diǎn) P（x0,y0）在橢圓上 2 x0 2 a 2

3、 by022 1； 3）點(diǎn) P（x0,y0） 在橢圓 a2 6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 ： （ 1 ）相交 ：0 直線與橢圓相交； 曲線相交不一定有0 ，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一 個(gè)交點(diǎn)，故0 是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；0 直線與拋 物線相交，但直線與拋物線相交不一定有0 ，當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，直線 與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故0 也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必 要條件。 如（ 1）若直線 y=kx+2 與雙曲線 x2-y 2=6的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則 k 的取值范圍 直線與雙曲線相交，但直線與雙 是 （答： （-

4、15 ,-1） ）； 3 1恒有公共點(diǎn)，則 m 的取值范圍是 x2 （2）直線 ykx 1=0 與橢圓 5 （答： 1，5）（ 5，+）； 22 3）過雙曲線 xy1的右焦點(diǎn)直線交雙曲線于A、B 兩點(diǎn)，若 AB 4，則 12 這樣的直線有 _ _條（答： 3）； （2）相切： 0 直線與橢圓相切； 0 直線與雙曲線相切； 0 直 線與拋物線相切； （3）相離 ：0 直線與橢圓相離； 0 直線與雙曲線相離； 0 直 線與拋物線相離。 特別提醒 ：（ 1）直線與雙曲線、拋物線只有一 個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形 ：相 切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交 ,但只有一個(gè)交點(diǎn)；

5、如果 22 直線與拋物線的軸平行時(shí) ,直線與拋物線相交 ,也只有一個(gè)交點(diǎn)； （ 2）過雙曲線 x2 y2 1 a 2 b 2 外一點(diǎn) P（x0,y0） 的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：P點(diǎn)在兩條漸近線之間且 不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切 線，共四條； P 點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的 直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條； P 在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩 條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P 為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線； （3） 過拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩

6、條切線和一條平行于對(duì)稱 軸的直線。 如（1）過點(diǎn) （2,4） 作直線與拋物線 y2 8x只有一個(gè)公共點(diǎn)， 這樣的直線有 （答： 22 2）； （ 2） 過點(diǎn) （0,2）與雙曲線 x y 1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍為 9 16 4 4 5 （答： , ）； 33 2 （3） 過雙曲線 x2 y 1的右焦點(diǎn)作直線 l 交雙曲線于 A、 B 兩點(diǎn)，若 AB 4，則 2 滿足條件的直線 l 有條（答： 3）； （4）對(duì)于拋物線 C： y2 4x ，我們稱滿足 y02 4x0的點(diǎn) M（x0,y0）在拋物線的內(nèi) 部，若點(diǎn) M（x0,y0）在拋物線的內(nèi)部，則直線 l： y0y 2（x （答：

7、相離）； y2 則1 p x2 x0 ）與拋物線 C 的位置關(guān)系是 5）過拋物線 的長分別是 p、 q ， 4x 的焦點(diǎn) F 作一直線交拋物線于 1 P、Q 兩點(diǎn)，若線段 PF 與 FQ 6）設(shè)雙曲線 16 答： 1）； q 2 y 1 的右焦點(diǎn)為 F ，右準(zhǔn)線為 9 l ，設(shè)某直線 m 交其左支、右 （填大于、 小于 支和右準(zhǔn)線分別于 P,Q,R，則 PFR和 QFR 的大小關(guān)系為 或等于 ） （答：等于） ； （ 7）求橢圓 7x2 4y2 28上的點(diǎn)到直線 3x 2y 16 0的最短距離（答： 8 13 ）； 13 （8）直線 y ax 1與雙曲線 3x2 y2 1交于 A、 B兩點(diǎn)。當(dāng)

8、 a為何值時(shí)， A、 B分 別在雙曲線的兩支上？當(dāng) a 為何值時(shí)，以 AB 為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)？（答： 3, 3 ； a 1 ）； 7、焦半徑（圓錐曲線上的點(diǎn) P到焦點(diǎn) F的距離） 的計(jì)算方法 ：利用圓錐曲線的第二 定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑 r ed ，其中 d 表示 P 到與 F 所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的 距離。 2 y 1上一點(diǎn) P 到橢圓左焦點(diǎn)的距離為 3 ，則點(diǎn) P 到右準(zhǔn)線的 16 2 如（ 1）已知橢圓 x 25 答： 35 ）； 3 （2）已知拋物線方程為 y2 8x，若拋物線上一點(diǎn)到 y 軸的距離等于 5，則它到拋物 線的焦點(diǎn)的距離等于 ； （ 3） 若該拋物線上的點(diǎn)M 到

9、焦點(diǎn)的距離是 4，則點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 7,（2, 4） ）； 距離為 答： 2 x 25 2 y 1 上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn) 9 25 ）； 12 2x上的兩點(diǎn) A、B 到焦點(diǎn)的距離和是 5，則線段 AB 的中點(diǎn)到 y 軸 2）； 2 6）橢圓 y 1內(nèi)有一點(diǎn) P（1, 1） ， F 為右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn) M，使 43 4）點(diǎn) P 在橢圓 P 的橫坐標(biāo)為 答： （ 5）拋物線 y2 的距離為 （答： 2 x 2 x 分別為 r1,r2，焦點(diǎn) F1PF2 的面積為 S ，則在橢圓 2 a arccos （2b2 1） ，且當(dāng) r1 r2 即 P 為短軸端點(diǎn)時(shí)， r1

10、r2 最大為 b max arccos 22 c 2； a S 2 線 x2 a 2 b2 tanc| y0 |，當(dāng) |y0 | b即 P 為短軸端點(diǎn)時(shí)， y22b2 y2 1的焦點(diǎn)三角形有： arccos 1 2b br1r2 Sm ax的最大值為 1 ； Sr1r2 sin 2 bc； 對(duì)于雙曲 2 b cot 。 2 MP 2MF 之值最小，則點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 26 答： （236 , 1）； 8、焦點(diǎn)三角形 （橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形） 問題 ：常利用第 定義和正弦、 余弦定理求解。 設(shè)橢圓或雙曲線上的一點(diǎn) P（x0,y0）到兩焦點(diǎn) F1,F2 的距離 y2 1 中

11、， b2 如 （1）短軸長為 5，離心率 e 2的橢圓的兩焦點(diǎn)為 F1、F2，過 F1作直線交橢圓于 3 A、 B兩點(diǎn)，則 ABF 2的周長為 （答： 6）； （2）設(shè) P 是等軸雙曲線 x2 y2 a2（a 0）右支上一點(diǎn)， F1、F2 是左右焦點(diǎn)，若 PF2 F1F2 0 ，|PF1|=6，則該雙曲線的方程為（答： x2 y2 22 xy 3）橢圓1的焦點(diǎn)為 F1、F2，點(diǎn) P 為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) 4 ）； PF1 0 時(shí)， 點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)的取值范圍是 答： （ 3535 5 , 5 ） ）； 4）雙曲線的虛軸長為 6 4，離心率 e 6 ， F1、 2 F2是它的左右焦點(diǎn)，若過 F1的

12、直線 94 k= ab22xy0 a y0 ；在雙曲線 22 xy 22 ab 1中，以 P（x0,y0）為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率 k= b2 x0 2 a y0 ；在拋物線 與雙曲線的左支交于 A、B 兩點(diǎn)，且 AB 是 AF2 與 BF2 等差中項(xiàng)，則 AB （答： 8 2 ）； （ 5 ）已知雙曲線的離心率為2， F1、 F2 是左右焦點(diǎn)， P 為雙曲線上一點(diǎn)，且 22 F1PF2 60 ， S PF F 12 3求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（答： x y 1）； 9、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（ 1）以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和 準(zhǔn)線相切；（2）設(shè) AB為焦點(diǎn)弦， M為準(zhǔn)線與 x

13、軸的交點(diǎn)，則 AMF BMF；（ 3）設(shè)AB 為焦點(diǎn)弦， A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為 A1，B1，若 P為 A1 B1的中點(diǎn)，則 PA PB；（4）若 AO的延長線交準(zhǔn)線于 C，則 BC平行于 x 軸，反之，若過 B點(diǎn)平行于 x 軸的直線交準(zhǔn)線于 C 點(diǎn)，則 A，O， C 三點(diǎn)共線。 10、弦長公式 ：若直線 y kx b 與圓錐曲線相交于兩點(diǎn) A、B，且 x1,x2 分別為 A、 B 的橫坐標(biāo)，則 AB 1 k2 x1 x2 ，若 y1, y2 分別為 A、B 的縱坐標(biāo)，則 AB 1 12 y1 y2 ，若弦 AB 所在直線方程設(shè)為 x ky b ，則 AB 1 k2 y1 y2 。 k2

14、特別地，焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦） ：焦點(diǎn)弦的弦長的計(jì)算，一般不用弦長公式計(jì)算，而是將 焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。 如（ 1）過拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 A （ x1 ， y1）， B（x 2， y2）兩點(diǎn)，若 x1+x2=6，那么 |AB|等于 （答： 8）； 2 （2）過拋物線 y2 2x焦點(diǎn)的直線交拋物線于 A、B兩點(diǎn)，已知 |AB|=10 ，O 為坐標(biāo) 原點(diǎn)，則 ABC重心的橫坐標(biāo)為 （答： 3）； 11、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題： 遇到中點(diǎn)弦問題常用 “韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法” 求解。 22 在橢圓 x2 y2 1中，以 P（x0, y0 ）為中點(diǎn)的弦所在

15、直線的斜率 a2 b2 y0 y2 2px（p 0） 中，以 P（ x0 , y0）為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率 k= p 。 x2 如（ 1）如果橢圓 36 答： x 2 y 8 0）； 2 y 1 弦被點(diǎn) A（ 4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是 9 2）已知直線 2 y= x+1 與橢圓 x2 a2 2 by2 1(a b b 0） 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，且線段 AB 的中點(diǎn)在直線 L： x 2y=0 上，則此橢圓的離心率為 答： 22 ）； 3）試確定 的取值范圍，使得橢圓 2 y 1 上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線 3 2 13 2 13 , ）； 13 13 0 是直線與圓錐曲線相交

16、于兩點(diǎn)的必要條件， 故在求解有關(guān)弦長、 對(duì)稱問題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)0 ！ 12你了解下列結(jié)論嗎 ？ 2 y 1 的漸近線方程為 b2 1 y 4x m 對(duì)稱（答： 特別提醒 ：因?yàn)?1） 2 雙曲線 x 2 a y b x 為漸近線（即與雙曲線 a 2 x 2 a 2 x 2 a 2 y b2 2 y b2 0； 1共漸近線）的雙曲線方程為 2 x 2 a 2 y b2 （ 為參數(shù)， 0）。 22 如 與雙曲線 x y1有共同的漸近線，且過點(diǎn) 9 16 2 y2 1） 4 ( 3,2 3) 的雙曲線方程為 4x2 答： 9 （ 3）中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為 4）橢圓、

17、雙曲線的通徑（過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦）為 2 mx 2b ，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到 a 2 ny 1 ； b2 相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為 b ，拋物線的通徑為 2p ，焦準(zhǔn)距為 p； c 通徑是所有焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）中最短的弦； 若拋物線 y2 2px（ p 0）的焦點(diǎn)弦為 AB， A（x1, y1）,B（x2, y2） ，則 2 p ,y1y2 4 2 y 2 px（ p 5） 6） | AB| x1 x2 p ； x1 x2 2 p2 若 OA、 OB是過拋物線 恒經(jīng)過定點(diǎn) （2 p,0） 13動(dòng)點(diǎn)軌跡方程 ： （1）求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍； （2）求軌跡方程的常用方

18、法： 直接法 ：直接利用條件建立 x, y之間的關(guān)系 F（x, y） 0； 7） 0） 頂點(diǎn) O 的兩條互相垂直的弦，則直線 AB 如已知?jiǎng)狱c(diǎn) P 到定點(diǎn) F（1,0） 和直線 x 3的距離之和等于 4，求 P的軌跡方程 （答： 22 y2 12（x 4）（3 x 4） 或 y2 4x（0 x 3） ）； 待定系數(shù)法 ：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方 程，再由條件確定其待定系數(shù)。 如線段 AB 過 x 軸正半軸上一點(diǎn) M（m，0）（m 0），端點(diǎn) A、B到 x軸距離之積為 2m，以 x 軸為對(duì)稱軸，過 A、O、B 三點(diǎn)作拋物線，則此拋物線方程為 2 （答： y2 2x

19、 ）； 定義法 ：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng) 點(diǎn)的軌跡方程； 2 2 0 如 （1） 由動(dòng)點(diǎn) P向圓 x2 y2 1作兩條切線 PA、PB，切點(diǎn)分別為 A、B，APB=600，則 22 動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程為（答： x2 y2 4 ）； （ 2）點(diǎn) M與點(diǎn) F（4,0） 的距離比它到直線 l：x 5 0的距離小于 1，則點(diǎn) M的軌跡方程 是 （答： y2 16x ）； （3） 一動(dòng)圓與兩圓 M：x2 y2 1和N：x2 y2 8x 12 0都外切， 則動(dòng)圓圓 心的軌跡為 （答：雙曲線的一支）； 代入轉(zhuǎn)移法 ：動(dòng)點(diǎn) P（x,y）依賴于另一動(dòng)點(diǎn) Q （ x0

20、, y0 ）的變化而變化， 并且 Q（x0,y0） 又在某已知曲線上，則可先用 x, y的代數(shù)式表示 x0,y0 ，再將 x0 , y0代入已知曲線得要求 的軌跡方程； 2 如動(dòng)點(diǎn) P是拋物線 y 2x 1上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為 A（0, 1）,點(diǎn) M分 PA 所成的比為 2， 則 M的軌跡方程為 （答： y 6x2 1 ）； 3 參數(shù)法 ：當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P（ x, y）坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)， 可考慮將 x, y 均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。 如（ 1）AB是圓 O的直徑，且 |AB|=2 a，M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，作 MNAB，垂足為 N，在 O

21、M 上取點(diǎn) P，使 |OP | | MN |，求點(diǎn) P的軌跡。（答： x2 y2 a| y |）； 22 （2）若點(diǎn) P（ x1 , y1）在圓 x2 y2 1上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn) Q（x1 y1 , x1 y1） 的軌跡方程是 21 （答： y2 2x 1（|x| 2）； （3）過拋物線 x2 4y的焦點(diǎn) F作直線 l 交拋物線于 A、 B兩點(diǎn)，則弦 AB的中點(diǎn) M的 軌跡方程是 （答： x2 2y 2 ）； 注意 ：如果問題中涉及到平面向量知識(shí)，那么應(yīng)從已知向量的特點(diǎn)出發(fā)，考慮選擇 向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或 脫靴子”轉(zhuǎn)化。 22 如已知橢圓 x

22、2 y2 1（a b 0） 的左、右焦點(diǎn)分別是 F1 a2 b2 （c，0）、F2（c，0），Q 是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足 |F1Q| 2a.點(diǎn) P 是線段 F1Q 與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn) T 在線段 F2Q 上，并且滿足 PT TF2 0,|TF2 | 0.（1）設(shè) x 為點(diǎn) P 的橫坐 標(biāo)，證明 c |F1P| ax ；（ 2）求點(diǎn) T 的軌跡 C 的方程； a 在點(diǎn) M，使 F1MF2 的面積 S= b 2 .若存在，求 b2 （答：（1）略；（2） x2 y2 a2 ；（3）當(dāng) b c 3）試問：在點(diǎn) T 的軌跡 C 上，是否存 F1MF2 的正切值；若不存在，請(qǐng)說明理由 a 時(shí)不存在；當(dāng) b

23、2 c a 時(shí)存在，此時(shí) F1MF22） 曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時(shí)應(yīng)注 意軌跡上 特殊點(diǎn) 對(duì)軌跡的“完備性與純粹性”的影響 . 在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中， 常借助于 “平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合 （ 如角平分線 的雙重身份對(duì)稱性、 利用到角公式 ） 、“方程與函數(shù)性質(zhì)” 化解析幾何問題為代數(shù)問題、 “分類討論思想”化整為零分化處理、 “求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等 如果在一條直線上 出現(xiàn)“三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn) ”，那么 可選擇應(yīng)用“斜率或向量” 為橋梁 轉(zhuǎn)化 . 14、解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容： 1） 給出直線的方向向量 u 1,k 或 u m,n ； 2）給出OA OB與 AB相交,等于已知 OA OB過 AB的中點(diǎn) ; 3）給出 PM PN 0 ,等于已知 P是MN 的中點(diǎn) ; 4）給出 AP AQ BP BQ ,等于已知 P,Q與 AB的中點(diǎn)三點(diǎn)共線 rr 5） 給出以下情形之一： AB/ AC ；存在實(shí)數(shù) ,使ABAC ；若存在實(shí) 數(shù) , , 且 uuur 1,使 OC uuur O