壓電陶瓷測(cè)量原理

1、 壓電陶瓷及其測(cè)量原理 近年來(lái)，壓電陶瓷的研究發(fā)展迅速， 取得一系列重大成果，應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大，已深入 到國(guó)民經(jīng)濟(jì)和尖端技術(shù)的各個(gè)方面中， 成為不可或缺的現(xiàn)代化工業(yè)材料之一。 由于壓電材料 的各向異性， 每一項(xiàng)性能參數(shù)在不同的方向所表現(xiàn)出的數(shù)值不同， 這就使得壓電陶瓷材料的 性能參數(shù)比一般各向同性的介質(zhì)材料多得多。同時(shí)， 壓電陶瓷的眾多的性能參數(shù)也是它廣泛 應(yīng)用的重要基礎(chǔ)。 （一） 壓電陶瓷的主要性能及參數(shù) （1）壓電效應(yīng)與壓電陶瓷 在沒(méi)有對(duì)稱中心的晶體上施加壓力、 張力或切向力時(shí)， 則發(fā)生與應(yīng)力成比例的介質(zhì)極化， 同時(shí)在晶體兩端將出現(xiàn)正負(fù)電荷，這一現(xiàn)象稱為正壓電效應(yīng)；反之，在晶體上施加電場(chǎng)時(shí)

2、， 則將產(chǎn)生與電場(chǎng)強(qiáng)度成比例的變形或機(jī)械應(yīng)力， 這一現(xiàn)象稱為逆壓電效應(yīng)。 這兩種正、 逆壓 電效應(yīng)統(tǒng)稱為壓電效應(yīng)。 晶體是否出現(xiàn)壓電效應(yīng)由構(gòu)成晶體的原子和離子的排列方式， 即晶 體的對(duì)稱性所決定。 在聲波測(cè)井儀器中， 發(fā)射探頭利用的是正壓電效應(yīng)， 接收探頭利用的是 逆壓電效應(yīng)。 2）壓電陶瓷的主要參數(shù) 1、介質(zhì)損耗 介質(zhì)損耗是包括壓電陶瓷在內(nèi)的任何電介質(zhì)的重要品質(zhì)指標(biāo)之一。在交變電場(chǎng)下，電介 質(zhì)所積蓄的電荷有兩種分量：一種是有功部分（同相） ，由電導(dǎo)過(guò)程所引起；另一種為無(wú)功 部分（異相） ，由介質(zhì)弛豫過(guò)程所引起。介質(zhì)損耗是異相分量與同相分量的比值，如圖1 所 示， IC 為同相分量， IR為異

3、相分量， IC 與總電流 I 的夾角為 ，其正切值為 tan IR 1 ICCR 其中 為交變電場(chǎng)的角頻率， R 為損耗電阻， C 為介質(zhì)電容。 圖 1 交流電路中電壓 - 電流矢量圖（有損耗時(shí)） 2、機(jī)械品質(zhì)因數(shù) 機(jī)械品質(zhì)因數(shù)是描述壓電陶瓷在機(jī)械振動(dòng)時(shí)， 材料內(nèi)部能量消耗程度的一個(gè)參數(shù)， 它也是衡 量壓電陶瓷材料性能的一個(gè)重要參數(shù)。 機(jī)械品質(zhì)因數(shù)越大， 能量的損耗越小。 產(chǎn)生能量損耗 的原因在于材料的內(nèi)部摩擦。機(jī)械品質(zhì)因數(shù)Qm 的定義為： Qm 2 諧振時(shí)振子儲(chǔ)存的機(jī)械能 諧振時(shí) 振子每周所 損失的機(jī)械能 機(jī)械品質(zhì)因數(shù)可根據(jù)等效電路計(jì)算而得 1 s R1C 1 sL1 R1 式中 R1為等效

4、電阻（ ）， s 為串聯(lián)諧振角頻率（ Hz）， C1 為振子諧振時(shí)的等效電容 F）， L1 為振子諧振時(shí)的等效電感。 Qm 與其它參數(shù)之間的關(guān)系將在后續(xù)詳細(xì)推導(dǎo)。 不同的壓電器件對(duì)壓電陶瓷材料的Qm 值的要求不同，在大多數(shù)的場(chǎng)合下（包括聲波 測(cè)井的壓電陶瓷探頭） ，壓電陶瓷器件要求壓電陶瓷的 Qm 值要高。 3、壓電常數(shù) 壓電陶瓷具有壓電性， 即在其外部施加應(yīng)力時(shí)能產(chǎn)生額外的電荷。 其產(chǎn)生的電荷與施加 的應(yīng)力成比例，對(duì)于壓力和張力來(lái)說(shuō)，其符號(hào)是相反的，電位移 D （單位面積的電荷）和 應(yīng)力 的關(guān)系表達(dá)式為： D Q dr A 式中 Q 為產(chǎn)生的電荷（ C），A 為電極的面積（ m2），d 為壓

5、電應(yīng)變常數(shù)（ C/N ）。 在 逆壓電效應(yīng)中，施加電場(chǎng) E 時(shí)將成比例地產(chǎn)生應(yīng)變 S，所產(chǎn)生的應(yīng)變 S 是膨脹還是收縮， 取決于樣品的極化方向。 S=dE DS 兩式中的壓電應(yīng)變常數(shù) d 在數(shù)值上是相同的，即 d E 另一個(gè)常用的壓電常數(shù)是壓電電壓常數(shù)g，它表示應(yīng)力與所產(chǎn)生的電場(chǎng)的關(guān)系， 或應(yīng)變 與所引起的電位移的關(guān)系。常數(shù) g 與 d 之間有如下關(guān)系： g d 式中 為介電系數(shù)。 在聲波測(cè)井儀器中， 壓電換能器希望具有較高的壓電應(yīng)變常數(shù)和壓 電電壓常數(shù)，以便能發(fā)射較大能量的聲波并且具有較高的接受靈敏度。 4、機(jī)電耦合系數(shù) 當(dāng)用機(jī)械能加壓或者充電的方法把能量加到壓電材料上時(shí)，由于壓電效應(yīng)和逆壓

6、電效 應(yīng)，機(jī)械能（或電能）中的一部分要轉(zhuǎn)換成電能（或機(jī)械能） 。這種轉(zhuǎn)換的強(qiáng)弱用機(jī)電耦合 系數(shù) k 來(lái)表示，它是一個(gè)量綱為一的量。機(jī)電耦合系數(shù)是綜合反映壓電材料性能的參數(shù)， 它表示壓電材料的機(jī)械能和電能的耦合效應(yīng)。機(jī)電耦合系數(shù)的定義為： k2= 電能轉(zhuǎn)變?yōu)闄C(jī)械能或者 k2= 機(jī)械能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔?輸入電能 輸入機(jī)械能 機(jī)電耦合系數(shù)不但與材料參數(shù)有關(guān)， 還與具體壓電材料的工作方式有關(guān)。 對(duì)于壓電陶瓷 來(lái)說(shuō)，它的大小還與極化程度相關(guān)。它只是反映機(jī)、電兩類能量通過(guò)壓電效應(yīng)耦合的強(qiáng)弱， 并不代表兩類能量之間的轉(zhuǎn)換效率。 壓電材料的耦合系數(shù)在不同的場(chǎng)合有不同的要求， 當(dāng)制 作換能器時(shí)，希望機(jī)電耦合系數(shù)越大越

7、好。 （二）壓電換能器的等效電路 壓電換能器的等效電路表示法， 是利用電學(xué)網(wǎng)絡(luò)術(shù)語(yǔ)表示壓電陶瓷的機(jī)械振動(dòng)特性， 即 把某些力學(xué)量模擬為電學(xué)量的方法。把壓電換能器用等效電路來(lái)表示，有很多優(yōu)點(diǎn)：其一， 可以把力學(xué)上復(fù)雜的振動(dòng)問(wèn)題有效地進(jìn)行簡(jiǎn)化；其二， 為了得到換能器的各個(gè)參數(shù)， 從而定 量地分析或篩選換能器； 其三， 實(shí)際應(yīng)用的需要， 因?yàn)樵趯?shí)際的應(yīng)用當(dāng)中， 壓電換能器也是 接入到具體的電子線路中的， 得到壓電換能器的等效電路能夠更好地對(duì)其外圍電路進(jìn)行匹配 設(shè)計(jì)。由此可見(jiàn)，得到壓電換能器的等效電路是十分必要的。 2.3 壓電換能器的諧振特性 將壓電換能器按照?qǐng)D 2-2 所示線路連接。當(dāng)改變信號(hào)頻率

8、時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)壓電陶 瓷換能器的電流也隨著發(fā)生變化，其變化規(guī)律如圖 2-3（a）所示。從圖 2-3（ a）可以看出， 當(dāng)信號(hào)為某一頻率 fm 時(shí)，通過(guò)壓電陶瓷換能器的電流出現(xiàn)最大值Imax ；而當(dāng)信號(hào)變到另 2-3 ( b)所示。 頻率 fn 時(shí)，傳輸電流出現(xiàn)最小值 Imin 。由流經(jīng)它的電流隨頻率的變化可以看出，壓電陶瓷 換能器的阻抗是隨頻率的變化而變化的，其變化規(guī)律同電流相反，如圖 圖 2-2 壓電陶瓷換能器諧振特性接線示意圖 圖 2-3 壓電陶瓷換能器電流、阻抗同頻率的關(guān)系曲線 (a)電流 -頻率關(guān)系曲線(b)阻抗 -頻率關(guān)系曲線 從圖中可以看出，當(dāng)信號(hào)頻率為f m時(shí)，通過(guò)壓電陶瓷換

9、能器的電流最大，即其等效阻 抗最小，導(dǎo)納最大；當(dāng)信號(hào)頻率為f n時(shí)，通過(guò)壓電陶瓷換能器的電流最小，即其等效阻抗 最大，導(dǎo)納最小。因此把 f m稱為最大導(dǎo)納頻率或最小阻抗頻率；而把fn 稱為最小導(dǎo)納頻率 或最大阻抗頻率。 而當(dāng)信號(hào)頻率繼續(xù)增大時(shí)， 還會(huì)出現(xiàn)一系列的電流的極大值和極小值， 如 圖 2-4 所示。 圖 2-4 壓電陶瓷換能器電流隨頻率變化示意圖（多諧振模式） 2.2.4 壓電換能器的等效電路 根據(jù)交流電路相關(guān)知識(shí)，對(duì)于圖 2-5 所示好的 LC 電路來(lái)說(shuō)，其阻抗 Z 也隨著頻率 的變化而變化。在圖 2-2 所示的線路中，用 LC 電路代替壓電陶瓷換能器，可以發(fā)現(xiàn)，在 壓電陶瓷換能器的

10、諧振頻率處，只要選擇合適的L1、C1、 R1和 C0，通過(guò) LC 電路的電 流和 LC 電路的阻抗的絕對(duì)值隨頻率的變化曲線，分別同圖 2-1 中的（ b）和（ c）的關(guān)系 曲線非常相似。 也就是說(shuō)， 在串聯(lián)諧振頻率附近， 壓電陶瓷換能器的阻抗特性和諧振特性同 LC 電路的阻抗特性和頻率特性非常相似。 因此， 利用機(jī)電類比的方法， 可以用一個(gè) LC 電 路來(lái)表示壓電陶瓷換能器的參數(shù)和特性，這個(gè) LC 電路即為壓電陶瓷換能器的等效電路。 圖 2-5 LC 電路 對(duì)壓電陶瓷換能器來(lái)說(shuō)， 在任何串聯(lián)諧振頻率附近， 其電行為可以用圖 2-3 所示的 LC 電路來(lái)表示。 在壓電陶瓷換能器的串聯(lián)諧振頻率附近

11、， 如果值存在一種振動(dòng)模式， 即沒(méi)有其 它寄生響應(yīng)， 則在串聯(lián)諧振頻率附近很窄的頻率范圍內(nèi)， 可以認(rèn)為壓電陶瓷換能器的等效參 數(shù) R1、C1、 R1和 C0與頻率無(wú)關(guān)。在實(shí)際中通過(guò)選擇合適的尺寸進(jìn)行加工處理，是可以將 所需要的振動(dòng)模式同其他模式充分隔離開(kāi)來(lái)的。 另外，考慮到在實(shí)際中，在通電之后，壓電陶瓷換能器必然會(huì)存在能量的損耗，這一 能量損耗可用一個(gè)并聯(lián)電阻R0來(lái)等效。所以其最終等效電路圖如圖2-6 所示。 圖 2-6 壓電陶瓷換能器等效電路圖 圖中串聯(lián)支路中的 L1 稱為壓電陶瓷換能器的動(dòng)態(tài)電感， C1稱為動(dòng)態(tài)電容， R1稱為動(dòng)態(tài) 電阻。 這三個(gè)參數(shù)用來(lái)表征壓電陶瓷換能器在工作（加電源激勵(lì)

12、產(chǎn)生振動(dòng)） 的情況下， 振動(dòng) 部分所受到的力阻抗和介質(zhì)對(duì)振動(dòng)的反作用的強(qiáng)弱。 并聯(lián)電容 C0 又稱靜態(tài)電容， 表征壓電 陶瓷換能器在未加激勵(lì)的情況下等效為一個(gè)純電容， 它的值的大小與換能器的形狀有關(guān)。 聯(lián)電阻 R0 又稱靜態(tài)電阻，表征換能器的電損耗的大小。 2.2.5 壓電換能器的導(dǎo)納特性 根據(jù)已得到的壓電換能器的等效電路圖， 來(lái)進(jìn)一步分析其導(dǎo)納特性。 為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)， 假定壓電陶瓷換能器沒(méi)有電損耗， 即 R0 =0，此時(shí)其等效電路即為一個(gè)LC 電路， 如圖 2-5 所示。則 Y Y0 Y1 (2-1) 式中： Y 為換能器的總的導(dǎo)納值， Y0 jB0 j 0 為并聯(lián)支路的導(dǎo)納值， Y1 G1

13、jB1 為串聯(lián)支路的導(dǎo)納值。 先對(duì)串聯(lián)支路進(jìn)行分析。 Y0 jB 0 j 0 Z1 1 R1 j L1 j C1 R1 1 j( L1) C1 1 1 得到： 2 R12 ( L1 C1 G1 R1 12 B1 ( L1C1) 2 R12 ( L1 C1 ) 12 2 R12 ( L1 C1) (2-2) 2 若令 R1 ( L1 12 C1 )2 x則 x R1 ( L11 )。由式( 2-2)可得 : C1 R1 2G12 2 G12 2 G1 xGR11,B12(GR11xR12)2GR11 (xR12)G12GR11 2 2 G11 2 2R1 所以， B1 G11 0 兩邊同時(shí)加上

14、（ ） ，可得 （G1 1 2 2 1 2 21R1 )2 B12 (21R1)2(2-3) 若以電導(dǎo)為橫坐標(biāo)， 電納為縱坐標(biāo)， 則式（ 2-3）表示一個(gè)以 11 2R ,0）為圓心， 2R 為 半徑的圓，也即是我們所說(shuō)的導(dǎo)納圓。如圖 2-7 中虛線所示 圖 2-7 導(dǎo)納圓圖 對(duì)于串聯(lián)支路進(jìn)行分析，根據(jù)串聯(lián)諧振頻率的定義，令 B1 =0，則由式（ 2-3 ）可得到 G1=0 或 G1 1 R1 。由于實(shí)際的壓電陶瓷換能器的動(dòng)態(tài)電阻 R0 不可能為零， 根據(jù)式（ 2-2） 中 G1的表達(dá)式可以知道，只有 G1 1 R1 滿足串聯(lián)諧振的條件。 1 即：L1 C1 0 ，所以 可以得到串聯(lián)支路的諧振

15、頻率（又稱機(jī)械共振頻率） L1C1(2-4) R1 接著考慮加入靜態(tài)電容后的情況。由式（ 2-1 ）可知，考慮靜態(tài)電容后換能器的導(dǎo)納相 當(dāng)于在串聯(lián)支路的電納（虛部）加上Y0 。鑒于一般情況下，壓電陶瓷換能器的機(jī)械品質(zhì)因 數(shù)都較大，也即在串聯(lián)諧振頻率 s 附近， Y0 j C0 的值隨頻率的變化很小，可以近似認(rèn) 為是一個(gè)常數(shù)。 因此， 只需將串聯(lián)支路所得到的導(dǎo)納圓的縱坐標(biāo)向上平移一個(gè)常數(shù)，而橫坐 標(biāo)保持不變即可得到加入靜態(tài)電容后換能器的導(dǎo)納關(guān)系圖，如圖 2-7 中點(diǎn)劃線所示。若再 考慮到換能器的靜態(tài)電阻并不為零， 則實(shí)際中的導(dǎo)納圓不可能與縱軸相切， 而是向橫軸的正 向平移一定的量（平移距離的大小

16、取決于靜態(tài)電阻的阻值） ，如圖 2-7 中實(shí)線圓所示 對(duì)導(dǎo)納圓圖進(jìn)行簡(jiǎn)要的分析可知：當(dāng) f f s 即s 時(shí)，電納值大于零，當(dāng) f fs 即 s時(shí)，電納值小于零。所以，隨著頻率的增加，導(dǎo)納圓是沿順時(shí)針?lè)较蜃兓?。另外?在串聯(lián)諧振頻率的附近， 還存在著兩個(gè)頻率點(diǎn)使得換能器總的電納為零， 此時(shí)電源信號(hào)經(jīng)過(guò) 換能器之后只有幅值的改變， 而沒(méi)有相位的變化， 也即電壓和電流信號(hào)同相位。 這兩個(gè)頻率 中，值較小的那個(gè)頻率 fr 稱為諧振頻率，較大 fa 的稱為反諧振頻率。另外還存在使得換 能器的導(dǎo)納值取得最大的頻率 fm ，導(dǎo)納值最小的頻率 fn 。連接原點(diǎn)和串聯(lián)諧振頻率點(diǎn)， 與導(dǎo)納圓的交點(diǎn)處的頻率 f

17、 p 稱為并聯(lián)諧振頻率。 另外， 需要特別指出的是， 上述討論是在一個(gè)振動(dòng)模態(tài)諧振頻率 s 附近較小的頻率變 化范圍內(nèi)進(jìn)行的，并且只有在導(dǎo)納圓的直徑遠(yuǎn)大于這個(gè)頻率范圍內(nèi)C0 的變化時(shí)才是正確 的，否則換能器的導(dǎo)納曲線將變得十分復(fù)雜，具有蔓葉曲線的特征。 根據(jù)以上導(dǎo)納圓圖的推導(dǎo)過(guò)程， 下面介紹一下壓電陶瓷換能器等效電路中各個(gè)參數(shù)和導(dǎo) 納圓圖的關(guān)系，并給出各自的計(jì)算公式。 在換能器的導(dǎo)納圓圖中作平行于縱軸的直徑， 交導(dǎo)納圓于兩點(diǎn)， 分別記作 f1、f 2。在 f1 點(diǎn)處，串聯(lián)支路的動(dòng)態(tài)電導(dǎo)和電納值相等，即G1 B1。由式（ 2-2）可得： R1 ( 1L1 1C ) 1C1 R12 ( 1L1 1

18、C ) 1C1 1C )2 1C1 (2-5) 在 f2 點(diǎn)處，串聯(lián)支路的動(dòng)態(tài)電導(dǎo)和電納值相等， 但符號(hào)相反， 即 G1 B1 。由式（ 2-2） R1 可得: 2 R12 ( 2L1 2L1 2C1 12 結(jié)合式（ 2-5 ） 12 21C1 ) R12 ( 2L1 2C1) (2-6) 和式（ 2-6 ），可得： (2-7) L1R1 再由式（ 2-4 ）可得： (2-8) 1sL1 1 L1 機(jī)械品質(zhì)因數(shù)： QMsC1R1R1R1 C1(2-9) C1 2 s L1 Qm 結(jié)合式（ 2-7 ）和（ 2-8 ）可得： 21 11 式（2-5）和式（ 2-6）消去R1得到： 1 2s2 L1

19、C1 則fs f1f2 2-10) 動(dòng)態(tài)電阻的值可以通過(guò)導(dǎo)納圓的直徑求得： R0 1 D 靜態(tài)電容 C0 的值也可由導(dǎo)納圓偏離橫軸的距離來(lái)確定： C0 y0 2-12) 2-11) 式中 y0 為圓心的縱坐標(biāo)。 靜態(tài)電阻 R0 的值可由導(dǎo)納圓偏離縱軸的距離（或圓心的橫坐標(biāo)）來(lái)確定： R0 x0 1 1 2R1 2-13) 式中 x0 為圓心的橫坐標(biāo)。 至此，我們已得到壓電陶瓷換能器等效電路中所有參數(shù)的計(jì)算公式。 2.3 測(cè)量原理 在上一節(jié)中， 得到的壓電陶瓷換能器等效電路參數(shù)的計(jì)算公式都是基于導(dǎo)納圓的， 也即 是基于各個(gè)頻率下的電導(dǎo)和電納值的， 因此我們需要得到每個(gè)頻率點(diǎn)的導(dǎo)納值。 為此采用圖

20、 2-8 所示的測(cè)量原理圖進(jìn)行測(cè)量。 圖 2-8 壓電陶瓷換能器測(cè)量原理示意圖 圖 2-8 中，AC 為頻率可控的交流信號(hào)源， R 表示源內(nèi)阻， Rm 稱為精密電阻， U A 為 加在壓電陶瓷換能器山的電壓信號(hào) U B 為經(jīng)過(guò)換能器之后的電壓信號(hào)。根據(jù)前面章節(jié)所介 紹的壓電陶瓷的導(dǎo)納特性可以知道，在經(jīng)過(guò)換能器之后的電壓信號(hào) UB相對(duì)于 U A會(huì)有一個(gè) 幅度和相位的變化。不失一般性，在這里設(shè)定： UA U Amej ，U B UBmej（ ）（2-14） 其中： UAm ，UBm 分別表示兩路信號(hào)的幅值，為信號(hào)的角頻率， 為信號(hào)的初始 相位， 為兩路信號(hào)的相位差。 按照習(xí)慣表達(dá)，先求壓電陶瓷換能

21、器的阻抗，再取倒數(shù)得到導(dǎo)納。 Z UI U A UB UB 將式（ 2-14）代入得 U Ame Z U Bme jU Bmej j ( ) = Rm (UU Am e j 1) Bm = Rm( U Am cos 1) j U Am sin R jX = m UBm U Bm 對(duì)應(yīng)得到： R Rm(U Am cos 1)， XRmUAm sin U Bm U Bm 再由導(dǎo)納和阻抗的關(guān)系可得 11 Y G jB Z R jX 2-15) 即： G ， B R2 X2 X R2 X2 2-16) 由以上推導(dǎo)可以看出， 換能器的導(dǎo)納和阻抗值僅與加在其兩端的電壓信號(hào)的幅值比和相 位差有關(guān)，因此只需要

22、得到兩路信號(hào)的幅值和相位信息即可得到換能器等效電路的各個(gè)參 數(shù)。而實(shí)際中， 只需要對(duì)兩路信號(hào)進(jìn)行采樣， 再通過(guò)對(duì)采樣所得數(shù)據(jù)進(jìn)行處理便可得到幅值 和相位信息。 2.4 正弦信號(hào)的測(cè)量方法 根據(jù)上一節(jié)介紹的測(cè)量原理可知， 要得到壓電換能器在測(cè)試頻率下的電導(dǎo)和電納值， 就 需要測(cè)得其兩端正弦信號(hào)的幅值比和相位差。 但是實(shí)際中， 硬件電路實(shí)現(xiàn)的僅是對(duì)兩路信號(hào) 的 A/D 轉(zhuǎn)換采集，也即是得到的是兩路正弦信號(hào)的一系列的離散的點(diǎn)。在這一節(jié)中，將介 紹從這些采集到的離散的點(diǎn)計(jì)算其幅值和相位的方法。 2.4.1 數(shù)字相關(guān)法 隨著微處理器和大規(guī)模集成電路的迅速發(fā)展， 在測(cè)試系統(tǒng)中， 越來(lái)越多的傳統(tǒng)的測(cè)量方 法

23、被數(shù)字化測(cè)量方法所取代。 近年來(lái)， 由于相關(guān)函數(shù)法具有提高測(cè)試精度， 減少或簡(jiǎn)化硬件 設(shè)計(jì)，能夠充分利用測(cè)試系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和微型計(jì)算機(jī)， 提高測(cè)試系統(tǒng)的可靠性和可 維護(hù)性的諸多優(yōu)點(diǎn)，使得相關(guān)技術(shù)原理在相位差的測(cè)量及數(shù)字信號(hào)處理中得到了廣泛應(yīng)用， 并展現(xiàn)出良好的應(yīng)用前景 1、相關(guān)函數(shù)法原理 相關(guān)函數(shù)法利用兩同頻正弦信號(hào)的延時(shí)為零時(shí)的互相關(guān)函數(shù)值與其相位差的余弦值成 正比的原理獲得相位差。 設(shè)兩路被測(cè)信號(hào)為： x(t) A sin( 2 ft) Nx(t)， y(t) B sin(2 ft ) Ny(t) (2-17) 其中： A 、 B 分別表示兩路信號(hào)的幅值， f 表示信號(hào)的頻率， Nx

24、(t) 、 N y (t) 分別表 x(t)和 y(t)是相關(guān)的， 示兩路信號(hào)的干擾噪聲信號(hào)， 表示兩路信號(hào)的相位差。顯然，信號(hào) 則兩路信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)為： 1 Rxy( ) T 1 Rxy( ) T T 0 x(t)y(t )dt (2-18) T 0 Asin( 2 ft) Nx(t) Bsin(2 f(t ) ) Ny(t )dt 1 式中 T 為信號(hào)的周期，即 T 1 當(dāng) =0 時(shí)，有 Rxy(0) 1 0 A sin(2 ft) Nx (t) Bsin(2 ft ) Ny (t)dt 由于噪聲信號(hào)之間不相關(guān)，噪聲和信號(hào)之間也不相關(guān)，將上式進(jìn)一步展開(kāi)得： Rxy 1 ABsin(2 f

25、t ) sin(2 ft )dt T ABsin(2 ft )sin( 2 ft ) cos cos(2 ft ) sin dt 1 ABsin(2 ft)sin(2 ft) 1 cos dt ABcos 2 所以，可以得到相位差的計(jì)算公式： arccos( 2 Rxy (0) AB (2-19) 而信號(hào)幅值的大小可由信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)求得 Rx( ) 1 T2T x(t)x(t )dt 1 T2T Asin(2 ft)Asin(2 f(t )dt T2 (2-20) 當(dāng) =0 時(shí)，有 1 Rx(0) T1 1T 2T A2 sin2(2 ft)dt A2 2 所以可得信號(hào)幅值的計(jì)算公式： A2

26、Rx (0) (2-21) B2Ry (0) 將上式代入式( 2-19)，可得相位差計(jì)算公式的另一種表達(dá)式： arccos( Rxy (0) Rx(0)Ry(0) (2-22) 而在實(shí)際中， 是沒(méi)有完整精確的信號(hào)的表達(dá)式的， 有的是對(duì)信號(hào)的模數(shù)轉(zhuǎn)換所得到的離 散的數(shù)據(jù)，離散序列的自相關(guān)和互相關(guān)的計(jì)算公式如下： 1n1 Rxy(0)x(i)y(i) ni0 1 n 1 2 Rx(0) 1 x(i)2(2-23) n i 0 1n1 Ry(0) 1 y(i)2 n i 0 式中： n 表示采樣個(gè)數(shù)， i 表示第 i 個(gè)采樣點(diǎn)， x(i) 、 y(i) 分別表示兩路信號(hào)的第i 個(gè) 點(diǎn)的轉(zhuǎn)換得到數(shù)值。

27、 由式( 2-23)分別求出兩路信號(hào)的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)值之后，再由式(2-21)和式(2-22) 即可得到兩路信號(hào)各自的幅值和它們之間的相位差。但是， 需要指出的是， 由數(shù)字相關(guān)法求 得的相位差， 并不能區(qū)分是超前還是滯后， 這就需要采用其他方法來(lái)確定相位差符號(hào)的正負(fù) 號(hào)。根據(jù)前面測(cè)量原理中的介紹，由式(2-15)和式( 2-16)可知，壓電陶瓷換能器的電導(dǎo) 值僅取決于兩路信號(hào)相位差的余弦值， 而電納的值是在電導(dǎo)值取得最大的時(shí)候發(fā)生變號(hào)。 由 此，可以先求得電導(dǎo)的值， 再通過(guò)循環(huán)找其最大值， 并從使電導(dǎo)取得最大值時(shí)的相位差開(kāi)始， 把相位差變號(hào)，得到新的相位差序列，再由新的相位差序列求電納的值

28、即可。圖 2-9 表示 的為采用數(shù)字相關(guān)法對(duì)一號(hào)壓電換能器測(cè)量數(shù)據(jù)的處理結(jié)果，其中( a)表示的是導(dǎo)納圓圖， (b)表示的是電導(dǎo)和電納值隨測(cè)試頻率的變化曲線。 (a) (b) 圖 2-9 數(shù)字相關(guān)法處理結(jié)果 2、相關(guān)函數(shù)法的特點(diǎn)及誤差分析 通過(guò)上面對(duì)相關(guān)函數(shù)法測(cè)量原理的理論推導(dǎo)過(guò)程可以看出， 相關(guān)函數(shù)法測(cè)量信號(hào)的幅值 和相位差與信號(hào)的頻率無(wú)關(guān)。 也即是說(shuō)相關(guān)函數(shù)法不受頻率的影響， 可以用來(lái)測(cè)量未知頻率 的信號(hào)的相位差。同時(shí)， 相關(guān)函數(shù)法測(cè)量原理的推導(dǎo)都是基于正弦函數(shù)的，因此， 它只能用 于測(cè)量正弦或余弦信號(hào)，并不能測(cè)量一般的周期信號(hào)。 由于噪聲干擾信號(hào)和原信號(hào)并不相關(guān)， 所以相關(guān)函數(shù)法能夠有效

29、的抑制噪聲干擾。 但是， 如果在系統(tǒng)中存在相關(guān)性較強(qiáng)的干擾信號(hào)， 并且信噪比又比較低的情況下， 相關(guān)函數(shù)法測(cè)量 誤差就會(huì)比較大。 由相關(guān)函數(shù)法離散序列的最終計(jì)算公式可以看出， 其計(jì)算結(jié)果與采樣的點(diǎn) 數(shù)有關(guān)， 也即是說(shuō)測(cè)量誤差的大小與采樣點(diǎn)數(shù)是相關(guān)的， 采樣點(diǎn)數(shù)越大， 計(jì)算結(jié)果越接近真 實(shí)值，測(cè)量誤差也就越小。 綜合以上對(duì)相關(guān)函數(shù)法的特點(diǎn)的分析， 可知相關(guān)函數(shù)法對(duì)于采樣轉(zhuǎn)換信號(hào)中的直流偏移 和噪聲等干擾具有很強(qiáng)的抑制能力， 它的誤差主要是因?yàn)椴捎糜邢揲L(zhǎng)度的樣本代替了高斯白 噪聲和均勻分布的 A/D 量化誤差，使得被檢正弦信號(hào)與噪聲信號(hào)并非完全不相關(guān)。所以， 相關(guān)函數(shù)法的測(cè)量誤差與 A/D 轉(zhuǎn)換的

30、位數(shù)、信號(hào)的信噪比和采集點(diǎn)數(shù)有關(guān)。 2.4.2 快速離散傅里葉變換法 現(xiàn)代信號(hào)分析采用數(shù)字化方式實(shí)現(xiàn)， 其核心是離散傅立葉變換， 它完成了從時(shí)域到頻域 的轉(zhuǎn)換，不僅可以實(shí)現(xiàn)線性譜分析，而且還是均方譜分析的關(guān)鍵。離散傅立葉變換( DFT ) 實(shí)現(xiàn)了信號(hào)首次在頻域表示的離散化， 使得頻域也能夠用計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理， 但由于用于實(shí)際 時(shí)計(jì)算量太大而使應(yīng)用受到限制。 直到 1965 年由 Cooly 和 Tukey 建立了一種快速傅立葉 變換 FFT 時(shí)， DFT 的應(yīng)用才成為現(xiàn)實(shí) 1、 FFT 獲取正弦波幅值和相位的原理 設(shè)采集正弦信號(hào)得到的離散序列為x(n)，n=1,2，KN 。則該序列的離散傅里葉變

31、換為： N 1j2 k n X(k) DFTx(n) x(n)e N n0 N1 x(n)cos( n0 2k N 2k n) jsin( N n) ReX(k) Im X(k) k 0,1,2,N -1( 2-24) 則其初始相位為： Re X (k )f0 arctan( ),k 0 1 Im X(k)fs 其中： fs 是信號(hào)的采樣頻率， N 是采樣長(zhǎng)度。 在對(duì)時(shí)域離散序列進(jìn)行傅立葉變換之后， 可以得到其離散的幅度譜和相位譜， 在幅度譜 和相位譜中找到對(duì)應(yīng)時(shí)域波形的頻率的譜線就可以得到時(shí)域的正弦波形的幅值和相位信息。 圖 2-10 所示的是采用快速離散傅里葉變換法對(duì)采集到的數(shù)據(jù)處理的結(jié)果

32、。 ( a)(b) 圖 2-10 快速離散傅里葉變換法處理結(jié)果 2、 FFT 的特點(diǎn)及誤差分析 通過(guò)傅里葉變換可以只提取基波參數(shù)， 因此諧波的存在并不影響基波成分， 所以諧波的 存在對(duì)應(yīng)用這種方法測(cè)量相位差幾乎沒(méi)有影響； 對(duì)于噪聲干擾， 只有當(dāng)高斯白噪聲接近基波 的頻率分量時(shí)才會(huì)影響到基波的相位， 所以應(yīng)用 FFT 法測(cè)量相位差也能有效地抑制高斯白 噪聲干擾。但是，實(shí)際上信號(hào)是連續(xù)的無(wú)限長(zhǎng)的序列，用 FFT 對(duì)其進(jìn)行譜分析時(shí)，必須截 短形成有限長(zhǎng)序列， 再進(jìn)行周期延拓， 這樣就不可避免的造成信號(hào)頻譜的泄漏， 由此便產(chǎn)生 了相位差測(cè)量誤差。 誤差現(xiàn)象主要是：混疊現(xiàn)象、 柵欄效應(yīng)和截?cái)嘈?yīng)。要想減

33、小相位差測(cè) 量誤差， 就必須提高譜分辨率。 實(shí)際中可通過(guò)提高采樣頻率或者增加采樣數(shù)據(jù)長(zhǎng)度來(lái)提高譜 分辨率，進(jìn)而達(dá)到減小相位差測(cè)量誤差的目的。 2.4.3 正弦曲線參數(shù)擬合法 設(shè)被測(cè)的正弦信號(hào)為： f (t) A0 sin(2 ft ) D (2-25) 其中： f 表示信號(hào)頻率， A0 表示被測(cè)信號(hào)幅值， 表示被測(cè)信號(hào)的初始相位角， D 表 示被測(cè)信號(hào)的直流分量。 由于被測(cè)信號(hào)的頻率為已知的， 故只需對(duì)測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行三參數(shù)的 正弦曲線擬合，即可得到被測(cè)信號(hào)的幅值和相位信息。為此，進(jìn)一步將上式展開(kāi)可得： f A sin( 2 ft) B cos(2 ft) D (2-26) 其中： A A0 c

34、os ,B A0 sin 從而將被測(cè)信號(hào)的幅值和初始相角轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)A 、 B 的求取。 其基本思想就是尋找合適的A 、 B 和 D 的值，使得其測(cè)量殘差的平方和取得最小。 s為采樣 1 設(shè)每個(gè)頻率下測(cè)量的時(shí)間序列為 ti,(i 1,2,3 n) ，n 為測(cè)量數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)， fs 頻率， fi 為每個(gè)點(diǎn)的測(cè)量值。則測(cè)量殘差的表達(dá)式為： n 2 f (t) A sin( 2 fti) B cos(2 fti ) D2(2-27) i1 要使得上式取得最小值，可對(duì)其參數(shù)求偏導(dǎo)，并令其為零。即： f (i) A sin( 2 fti) B cos(2 fti ) D AA BB 20 DD i1 n

35、f (i) A sin( 2 fti ) B cos(2 fti) D2 0 i1 n f (i) Asin( 2 fti) B cos(2 fti ) D2 0 i1 (2-28) 進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到： nn sin(2 fti ) A sin(2 fti) B cos(2 fti) Dsin(2 fti)f(i) i 0 i 0 nn cos(2 fti ) Asin(2 fti) B cos(2 fti) D cos(2 fti)f(i) (2-29) i 0 i 0 nn Asin(2 fti) Bcos(2 fti) D f (i) i 0 i 0 對(duì)于式( 2-29)，構(gòu)造如下三個(gè)矩陣

36、： sin2 ft1 T cos2 ft1 1 sin2 ft2 . cos2 ft2 . 11 sin2 ftn cos2 ftn ,X 1 A B ,F D f1(t1) f1(t2) f1(tn) 式( 2-29)可寫(xiě)成如下矩陣形式： 上式中 X 的解為： X ( T ) 1( T F) (2-30) 則被測(cè)信號(hào)幅值的計(jì)算公式為 : A0A2 B2 (2-31) 初始相角的計(jì)算公式為： A0 A0 (2-32) 至此，得到了被測(cè)信號(hào)的幅值和相位信息。 采用同樣的方法對(duì)第二路信號(hào)的采樣數(shù)據(jù)進(jìn) 行處理， 即可得到第二路信號(hào)的幅值和相位信息， 從而求出兩路信號(hào)的幅值比和相位差， 進(jìn) 步便可得到

37、每個(gè)頻率下?lián)Q能器的電導(dǎo)和電納值。圖 2-11 為參數(shù)擬合法的處理結(jié)果。 圖 2-11 正弦曲線參數(shù)擬合法處理結(jié)果 2.5 導(dǎo)納圓的帶約束最小二乘曲線擬合 通過(guò)以上章節(jié)的介紹， 我們已經(jīng)得到了各個(gè)測(cè)試頻率下壓電換能器的電導(dǎo)和電納值， 繪 制出了導(dǎo)納圓圖， 但這還是不夠的。 由壓電換能器等效電路的各個(gè)參數(shù)的計(jì)算公式可以看出， 我們還需要得到導(dǎo)納圓的圓心和半徑的值。 為此，就需要對(duì)所得到的離散點(diǎn)進(jìn)行圓曲線擬合。 擬合圓的方法有很多種，常用的有平均值法、加權(quán)平均法和最小二乘法。 平均值法的思想是分別計(jì)算各個(gè)離散點(diǎn)的橫、 縱坐標(biāo)的平均值， 作為圓心的橫、 縱坐標(biāo)， 將圓心到各個(gè)離散點(diǎn)的距離的平均值作為半徑。 這種方法計(jì)算簡(jiǎn)單， 適用于離散點(diǎn)分布較均 勻的情況， 但對(duì)于分布不均的情況， 所計(jì)算的圓心位置會(huì)偏向離散點(diǎn)分布較密集的一側(cè)， 半 徑的計(jì)算值也會(huì)偏小， 誤差較大。 加權(quán)平均法是對(duì)平均值法的改進(jìn)， 它在計(jì)算圓心坐標(biāo)時(shí)加 入一個(gè)與兩相鄰點(diǎn)間弧長(zhǎng)相關(guān)的系數(shù)，降低了離散點(diǎn)分布不均的影響，減小了誤差。但是， 由于兩相鄰點(diǎn)間的弧長(zhǎng)是無(wú)法精確得到的（實(shí)際中采用兩點(diǎn)間的距離來(lái)代替的） ，所以其誤 差仍較大。 相比之下，最小二乘法具有較高的精度。在查閱相關(guān)文獻(xiàn)之后， 本文采取一種帶 約束的最小二乘法進(jìn)行導(dǎo)納圓的擬合 設(shè)計(jì)算出的電導(dǎo)和電納值的離散點(diǎn)為： (xi,yi)i