醫(yī)用高等數(shù)學(xué)：復(fù)習(xí)２

1、第一章第一章 分析基礎(chǔ)分析基礎(chǔ) 函數(shù)函數(shù) 極限極限 連續(xù)連續(xù) 研究對象研究對象 研究方法研究方法 研究橋梁研究橋梁 函數(shù)與極限函數(shù)與極限 （Function :兩個重要極限兩個重要極限 :無窮小量無窮小量,無窮大量的概念無窮大量的概念,等價無窮小量及其運(yùn)算性等價無窮小量及其運(yùn)算性 質(zhì)質(zhì),同階無窮小量同階無窮小量,高階無窮小量高階無窮小量,低階無窮小量的概念低階無窮小量的概念 :掌握連續(xù)的概念掌握連續(xù)的概念,初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性,并會并會 利用連續(xù)性求極限利用連續(xù)性求極限 初等函數(shù)初等函數(shù) (1) 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù) 常函數(shù)、冪函數(shù)、常函數(shù)、冪函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

2、數(shù)、對數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)反三角函數(shù) (2) 初等函數(shù)初等函數(shù) 由六類基本初等函數(shù)由六類基本初等函數(shù) 否則稱為否則稱為非初等函數(shù)非初等函數(shù) . 并可用并可用一個式子一個式子表示的函數(shù)表示的函數(shù) , 經(jīng)過經(jīng)過有限次有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步四則運(yùn)算和復(fù)合步 驟所構(gòu)成驟所構(gòu)成 ,稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù) . 2 22 ln sin,4,(arctan) 3arccos xxx x xxeyeye x 000 ( )xxxxxf x 定義 如果 從 的左側(cè)（）無限趨于 時，函數(shù) 0 ( )f xx無限趨于常數(shù)A，則稱A為函數(shù)在點(diǎn) 處的左極限 0 0 lim( )(0) xx f xA

3、f xA （left limit）,記為或 0 000 0 0 ( ) ( ) (lim ),lim( )(0) xx xxxxxf x f xx rightitf xAf xA 如果 從 的右側(cè)（）無限趨于 時，函數(shù) 無限趨于常數(shù)A，則稱A為函數(shù)在點(diǎn) 處的右極限 記為， x 0 0 x 0 xx 0 xx 0 ( )f xxx函數(shù)當(dāng)時極限存在的充分必要條件是 它的左極限和右極限同時存在且相等； 0 lim( ) xx f xA 00 lim( )lim( ) xxxx f xf xA 推論推論:左右極限不存在或左右極限存在不相等左右極限不存在或左右極限存在不相等 極限不存在 給定函數(shù)給定函數(shù)

4、 1,0 ( )0,0 1,0 xx f xx xx 討論討論 0 x時時)(xf的極限是否存在的極限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理 3 .因?yàn)橐驗(yàn)?)(lim 0 xf x ) 1(lim 0 x x 1 )(lim 0 xf x ) 1(lim 0 x x 1 顯然顯然 , )0()0( ff 所以所以)(lim 0 xf x 不存在不存在 . x y O 1 1 xy 1 1 xy 結(jié)論結(jié)論 m mm n nn x bxbxb aaxxa 1 10 1 0 lim（a00，b00，m,n0). 解：解： 1）m=n, 原式原式 0 0 10 10 11 11 lim b a x

5、b x bb x a x aa nn nn x 2）mn, 原式原式 0 11 lim 10 1 0 mm m n mnmn x x b x bb xaaxxa 3）mn，原式，原式=. 可見可見 , 函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x 一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 定義定義:)(xfy 在在 0 x的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim 0 0 xfxf xx 則稱函數(shù)則稱函數(shù) .)( 0 連續(xù)在xxf (1) )(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x 即即)( 0 xf (2) 極限極限)(lim 0 xf xx (3). )()(lim 0 0 xfxf xx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)

6、 連續(xù)必須具備下列條件連續(xù)必須具備下列條件: 存在存在 ; 且且 有定義有定義 ,存在存在 ; 0 0 limsinsin xx xx 0 0 lim coscos xx xx 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù) 一切初等函數(shù)一切初等函數(shù) 在在定義區(qū)間內(nèi)定義區(qū)間內(nèi) 連續(xù)連續(xù) 例如例如, 2 1xy 的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為 1, 1 (端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù)端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù)) 一元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)，其圖形是一條連續(xù)不斷一元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)

7、，其圖形是一條連續(xù)不斷 的曲線；的曲線； 0 sin lim1. x x x 兩個重要極限兩個重要極限 e)1(lim 1 x x x 說明利用復(fù)合函數(shù)求極限的運(yùn)算法則說明利用復(fù)合函數(shù)求極限的運(yùn)算法則 此結(jié)論可推廣到此結(jié)論可推廣到 ( )05 sin ( )sin(1) lim1lim1 ( )(1) xx xx xx ( ) 1 ( ) ( ) lim (1)e, x x x 1 0 lim(1)e z z z 例例. 求求 1 5 lim(1) . x x x 解解: 令令 1 5 lim(1) x x x 11 5 155 5 lim(1) x x x e 說明說明 ：若利用若利用, e

8、)1 (lim )( )( 1 )( x x x 則則 原式原式 11 1 e)1 (lim x x x 一、一、 無窮小無窮小（極限為（極限為0的量）的量） 定義定義1 . 若若 0 xx 時時, 函數(shù)函數(shù),0)(xf則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf 0 xx )x(或 為為 時的時的無窮小量無窮小量(dimensionless)，簡稱無窮小，簡稱無窮小 . )x(或 二二:無窮大量的概念無窮大量的概念 三三:無窮大量與無窮小量的關(guān)系無窮大量與無窮小量的關(guān)系 根據(jù)無窮小量的定義以及極限的定義和運(yùn)算法則，可以證根據(jù)無窮小量的定義以及極限的定義和運(yùn)算法則，可以證 明無窮小量有如下性質(zhì)：明無窮小量有如下性

9、質(zhì)： 性質(zhì)性質(zhì)1 有限個無窮小量的和、差、積以及常數(shù)與無窮小量的乘有限個無窮小量的和、差、積以及常數(shù)與無窮小量的乘 積仍為無窮小量。積仍為無窮小量。 性質(zhì)性質(zhì)2 有界函數(shù)與無窮小量的乘積仍為無窮小量。有界函數(shù)與無窮小量的乘積仍為無窮小量。 定義定義. ,0lim 若若則稱則稱 是比是比 高階高階的無窮小的無窮小, )(o lim, 若若 若若 , 1lim 若若 lim0,C 或或 ,設(shè)設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小是自變量同一變化過程中的無窮小, 記作記作 則稱則稱 是比是比 低階低階的無窮小的無窮小; 則稱則稱 是是 的的同階同階無窮小無窮小; 則稱則稱 是是 的的等價等價無窮小無窮小,

10、 記作記作 若若 lim0,C 例如例如 , sin xx 1,sin(1) (1)xxx在時 , 1lim 若若 或或 則稱則稱 是是 的的等價等價無窮小無窮小, 記作記作 0 sin lim1, x x x 時時當(dāng)當(dāng) 0 x 000 tan1ln(1) lim1; lim1; lim1; x xxx xex xxx 結(jié)合復(fù)合函數(shù)求極限的性質(zhì)結(jié)合復(fù)合函數(shù)求極限的性質(zhì),我們有我們有 利用等價無窮小量來計(jì)算極限利用等價無窮小量來計(jì)算極限 00 00 0 , ,() ( ) ( ) (1)lim( ) ( ),lim( ) ( ); ( )( ) (2)lim,lim ( )( ) o xxxx

11、xxxx f g hU x f xg x f x h xAg x h xA h xh x BB f xg x 定理：設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，且有 若則 若則 第二章微分學(xué)第二章微分學(xué) 掌握掌握:導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 微分的概念微分的概念,求函數(shù)的微分求函數(shù)的微分 利用洛必達(dá)法則求極限利用洛必達(dá)法則求極限 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷極值的兩個充判斷極值的兩個充 分條件分條件,駐點(diǎn)的概念駐點(diǎn)的概念 導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義 定義定義1 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) )(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x 0 lim xx

12、0 0) ()( xx xfxf x y x 0 lim )()( 0 xfxfy 0 xxx 存在存在,)(xf并稱此極限為并稱此極限為 )(xfy 記作記作: ; 0 xx y ; )( 0 x f ; d d 0 xxx y 0 d )(d xxx xf 即即 0 xx y )( 0 x f x y x 0 lim x xfxxf x )()( lim 00 0h xfhxf h )()( lim 00 0 則稱函數(shù)則稱函數(shù) 若若 的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , 在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x處處可導(dǎo)可導(dǎo), 在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x的的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù). x y x 0 lim x xfxxf x )()( l

13、im 00 0 右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù): 左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù): 0 000 0 0 0 ( )()()() ()limlim; xxx f xf xf xxf x fx xxx 0 000 0 0 0 ( )()()() ()limlim; xxx f xf xf xxf x fx xxx 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù) 定理定理. 函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x)(xfy ,)()( 00 存在與xfxf 且且 )( 0 xf. )( 0 xf 可導(dǎo)的可導(dǎo)的充分必要條件充分必要條件 是是 )( 0 x f 存在存在 )( 0 xf)( 0 xf 2 sin10 ( ) 0 xx f x xx 求：的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù) 二、二、 導(dǎo)

14、數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 曲線曲線)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)),( 00 yx的切線斜率為的切線斜率為 )(tan 0 x f 若若 ,)( 0 x f切線與切線與 x 軸垂直軸垂直 . 曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)處的處的),( 00 yx 切線方程切線方程:)( 000 xxxfyy 法線方程法線方程: )( )( 1 0 0 0 xx xf yy )0)( 0 x f ,)( 0 時 x f x y O )(xfy C T 0 x M 0 lim x y x 00 ( )(,()f xxf xx曲線在的切線存在，也不垂直與 軸； 幾何意義：幾何意義： 2021-5-28 三、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 定理定理1

15、. 的和、 差、 積、 商 (除分母 為 0的點(diǎn)外) 都在點(diǎn) x 可導(dǎo), 且 可導(dǎo)都在點(diǎn)及函數(shù)xxvvxuu)()( )()(xvxu及 )()( )()() 1 (xvxuxvxu )()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu )( )()()()( )( )( )3( 2 xv xvxuxvxu xv xu )0)(xv 2021-5-28 ) (cscx xsin 1 x 2 sin )(sinx x 2 sin 例. 求證求證,sec)(tan 2 xx 證證: .cotcsc)(cscxxx x x x cos sin )(tan x 2 cos xx cos)(sin)

16、(cossinxx x 2 cos x 2 cosx 2 sin x 2 sec xcos xxcotcsc 類似可證:,csc)(cot 2 xx.tansec)(secxxx 2021-5-28 四、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 ) arcsin(x 2 1 1 x ) arccos(x 2 1 1 x ) arctan(x 2 1 1 x ) cotarc(x 2 1 1 x 2021-5-28 在點(diǎn) x 可導(dǎo), 五、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 定理定理3.( )ug x)(ufy 在點(diǎn) )(xgu 可導(dǎo)復(fù)合函數(shù) fy ( )g x且在點(diǎn) x 可導(dǎo), d ( )( ) d y f u g x x 或， xux

17、 uyy dx du du dy dx dy 2021-5-28 例如,)(, )(, )(xvvuufy x y d d )()()(xvuf y u v x u y d d v u d d x v d d 關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo). 推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形此法則可推廣到多個中間變量的情形. 2021-5-28 , )cos(eln x y 求 . d d x y 解解: x y d d )cos(e 1 x )sin(e( x x e )tan(ee xx 2021-5-28 六:隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 若由方程 0),(yxF可確定 y 是 x 的函數(shù) , 隱函

18、數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則:用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；直接對方程兩邊用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；直接對方程兩邊 求導(dǎo)求導(dǎo). 函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù) （implicit function ）. 則稱此 隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法: 0),(yxF d ( , ( )0 d F x y x x 兩邊對 x 求導(dǎo)( 注意 y = y(x) ) (含導(dǎo)數(shù) 的方程) y 練習(xí)：練習(xí)： lncos2 xy eyxx y 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ()ln2sin2 xy y eyxyyxx x 2sin2 ()ln2sin2 ln xy xy y xye y x yeyxyyxx xxx 2021-5-28 例. 求求

19、sin cos3(0) x yxx（） 的導(dǎo)數(shù) . 解解: 兩邊取對數(shù) , 化為隱式 lnsinlncos3yxx 兩邊對 x 求導(dǎo) y y 1 coslncos3xx 1 sin( sin3 )3 cos3 xx x sin cos3(coslncos33sintan3 ) x yxxxxx 七:取對數(shù)的求導(dǎo) 六、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 若參數(shù)方程 )( )( ty tx 可確定一個 y 與 x 之間的函數(shù) )(, )(tt可導(dǎo), 且,0 )( )( 22 tt 則 0)( t 時, 有 x y d d x t t y d d d d t x t y d d 1 d d )( )( t

20、t 0)( t 時, 有 y x d d y t t x d d d d t y t x d d 1 d d )( )( t t (此時看成 x 是 y 的函數(shù) ) 關(guān)系, 2021-5-28 二、微分運(yùn)算法則二、微分運(yùn)算法則 三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 第三節(jié)第三節(jié) 一、微分的概念及幾何意義一、微分的概念及幾何意義 函數(shù)的微分 2021-5-28 的微分微分, 定義定義2.7: 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在點(diǎn) 的增量可表示為 0 x )()( 00 xfxxfy ( A 為不依賴于為不依賴于x 的常數(shù)的常數(shù)) 則稱函數(shù) )(xfy 而 稱為xA在)(xf 0 x點(diǎn)記作

21、,dy即 dyA x )( xoxA 在點(diǎn) 0 x可微可微, 0 () lim0 x ox x 2021-5-28 定理 : 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點(diǎn) 可微的充要條件充要條件是 0 x )(xfy 在點(diǎn) 處可導(dǎo), 0 x且, )( 0 xfA即 0 d()yfx dx 2021-5-28 1. .基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式 dc = 微分的基本公式及其運(yùn)算法則微分的基本公式及其運(yùn)算法則 0. dx = x - -1dx. dex =exdx.dax = axlnadx. .d 1 x x .d ln 1 x ax dsin x =cos xdx.dcos x = - - si

22、n xdx. dtan x = sec2 xdx. dcot x =- - csc2 xdx. dsec x = sec xtan xdx. dcsc x =- - csc xcot xdx. ln x dax dlog 2021-5-28 .d 1 1 2 x x .d 1 1 2 x x .d 1 1 2 x x .d 1 1 2 x x arcsin x d arccosx d arctan x d cot x darc 2021-5-28 三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式 一、一、 型未定式型未定式 0 0 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 洛必達(dá)法則 2021-5-28

23、一、 1) lim( )lim ( )0 xaxa f xg x ( ) 3) lim ( ) xa fx g x 存在 (或?yàn)?) ( )( ) limlim ( )( ) xaxa f xfx g xg x 2)( )( ),f xg x與可導(dǎo)( )0g x 且 定理定理1 型未定式型未定式 0 0 (洛必達(dá)法則) 2021-5-28 二、 型未定式型未定式 1) lim( )lim( ) xaxa f xg x ( ) 3) lim ( ) xa fx g x 存在 (或?yàn)? ( ) lim ( ) xa f x g x 定理定理 2. ( ) lim ( ) xa fx g x (洛必

24、達(dá)法則) 2)( )( ),f xg x與可導(dǎo) ( )0g x且 2021-5-28 用洛必達(dá)法則應(yīng)注意的事項(xiàng)用洛必達(dá)法則應(yīng)注意的事項(xiàng) , 0 0 )1(才可能用法則才可能用法則的未定式的未定式或或只有只有 , 0 0 或或 只要是只要是 則可一直用下去則可一直用下去; ; (3) (3) 每用完一次法則每用完一次法則, ,要將式子整理化簡要將式子整理化簡; ; (5) (5) 為簡化運(yùn)算經(jīng)常將法則與等價無窮小及極為簡化運(yùn)算經(jīng)常將法則與等價無窮小及極 限的其它性質(zhì)結(jié)合使用限的其它性質(zhì)結(jié)合使用. . (2) (2) 在用法則之前在用法則之前, ,式子是否能先化簡式子是否能先化簡; ; (4) (

25、4) 運(yùn)算過程中有非零極限因子，可先算出極限運(yùn)算過程中有非零極限因子，可先算出極限; ; 2021-5-28 三、其他未定式:,0 , ,00,1 型 0 解決方法解決方法: 通分 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 0 0 0 取倒數(shù) 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 0 0 1 0 取對數(shù) 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 例例. 求).0(lnlim 0 nxx n x 型0 解解: 原式 n xx x ln lim 0 1 1 0 lim n x xxn 0)(lim 0 n x n x 洛洛 2021-5-28 型型 00 ,1 ,0. 3 ln0 1ln 0ln0 1 0 0 0 取對數(shù)取對數(shù) .0 通過通過 )(ln)()( )( xfxgxg exf

26、 將三種不定式轉(zhuǎn)化為將三種不定式轉(zhuǎn)化為0.型。型。 例例 解解 .lim 0 x x x 求求 )0( 0 xx x e ln 0 lim 原式原式 xx x e lnlim 0 2 0 1 1 lim x x x e 0 e . 1 x x x e 1 ln lim 0 2021-5-28 練習(xí)練習(xí) 解解 .)(cotlim ln 1 0 x x x 求求)( 0 ,)(cot )ln(cot ln 1 ln 1 x xx ex 取對數(shù)得取對數(shù)得 )ln(cot ln 1 lim 0 x x x x xx x1 sin 1 cot 1 lim 2 0 xx x xsincos lim 0 ,

27、 1 . 1 e原式原式 2021-5-28 第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 與極值與極值 一、單調(diào)性的判別法 二、函數(shù)的極值及其求法 2021-5-28 確定某個函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是確定某個函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是： （1）確定函數(shù)的定義域確定函數(shù)的定義域。 ）不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)，并并（和和）（）求求出出使使（xfxf 02 這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，將定義域分為若干個區(qū)間這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，將定義域分為若干個區(qū)間。 （3）確定）確定)(x f 在各個子區(qū)間內(nèi)的符號，從而判斷在各個子區(qū)間內(nèi)的符號，從而判斷 ）的的單單調(diào)調(diào)性性。（出出xf 2021-5-28 定理 1 (極值第一判別法) ,)(

28、0 的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設(shè)函數(shù)xxf且在空心鄰域 內(nèi)有導(dǎo)數(shù), 0時 由小到大通過當(dāng)xx (1) )(x f “左左正正右右負(fù)負(fù)” , ;)( 0 取極小值在則xxf(2) )(x f “左左負(fù)負(fù)右右正正” , .)( 0 取極大值在則xxf 0 ( )f xx則在處沒有極值點(diǎn)(3) )(x f 的符號保持不變的符號保持不變, x y o 0 x x y o 0 x 2021-5-28 x y o 0 x 0 x 求極值的步驟求極值的步驟: : );()1(x f 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù) (2)( )0;fx求駐點(diǎn)，即方程的根 與不可導(dǎo)點(diǎn)； ;,)()3(判斷極值點(diǎn)判斷極值點(diǎn)在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號在駐點(diǎn)左右的正負(fù)

29、號檢查檢查x f .)4(求極值求極值 ( (不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形) ) x y o 定理定理4(4(第二充分條件第二充分條件) ) 證證)1( x xfxxf xf x )()( lim)( 00 0 0 , 0 異號，異號，與與故故xxfxxf )()( 00 時，時，當(dāng)當(dāng)0 x)()( 00 xfxxf 有有, 0 時，時，當(dāng)當(dāng)0 x)()( 00 xfxxf 有有, 0 所以所以，函數(shù)函數(shù))(xf在在 0 x處取得極大值處取得極大值 同理可證 同理可證(2).(2). 第三章積分學(xué)第三章積分學(xué) :原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念; :不定積分的概念不定積分的概念; :會用換元積分法會用

30、換元積分法,分部積分法分部積分法; :定積分的概念定積分的概念,性質(zhì)性質(zhì),幾何意義幾何意義; :微積分基本公式微積分基本公式; :定積分的換元積分法和分部積分法定積分的換元積分法和分部積分法; 2021-5-28 一、 原函數(shù)與不定積分的概念 定義定義3. 1 . 若在區(qū)間 I 上定義的兩個函數(shù) F (x) 及 f (x) 滿足 )()(xfxF,d)()(dxxfxF或 在區(qū)間 I 上的一個原函數(shù) . 則稱 F (x) 為f (x) 存在原函數(shù) . 上在則Ixf)( 定理定理 ,)(上連續(xù)在區(qū)間若函數(shù)Ixf 2021-5-28 定義3. 2. )(xf在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為Ixf在)

31、( 上的不定積分,d)(xxf 其中 若 , )()(xfxF 則 CxFxxf )(d)( C 為任意常數(shù) ) C 稱為積分常數(shù)積分常數(shù), 不可丟不可丟 ! 記作 2021-5-28 (1) ( )d( )f xxf x d xxfd)(xxfd)( ( )( )fx dxf xC ( )( )df xfx dx ( )( )fx dxdf xd ( )( )f xf xC (2) dxxC 特別是： ( ) ( )f f x x 無論是先求導(dǎo)再積分；還是先積分后求導(dǎo)； 都參加了兩種運(yùn)算，而這兩種運(yùn) 都會被 算是互逆的； 兩還原出來種運(yùn)算互相抵消； 只 ； 積分要是加常數(shù)C （4） （3）

32、不定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 2021-5-28 基基 本本 積積 分分 表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)); );1( 1 )2( 1 C x dxx ;|ln)3( Cx x dx dx x 2 1 1 )4(;arctanCx dx x 2 1 1 )5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx 2021-5-28 xdxsin)7(;cosCx x dx 2 cos )8( xdx 2 sec;tanCx x dx 2 sin )9( xdx 2 csc;cotCx (10); xx e dxeC (11); (01) ln x x a a dxCaa a 且 不定積分不定積

33、分 掌握第一類,第二類換元法; 掌握分部積分法 2021-5-28 dxxxf)()( CxF duuf xu )( )( )( 第一類換元公式第一類換元公式（湊微分法） 說明：使用此公式的目的在于化難為易 CxFCuF duufdxxxf xu )()( )()()( )( 定理定理1 1 難難 易易 換元公式 可導(dǎo)，則有，具有原函數(shù)設(shè))()()(xuuFuf 2021-5-28 常用的幾種配元形式: 1)()df axbx ()f axb )(dbxa a 1 1 2)()d nn f xxx )( n xf n xd n 1 3)(sin )cos dfxx x )(sin xfxsin

34、d 4)(cos )sin dfxx x )(cosxfxcosd 2021-5-28 5)(e )e d(e )de xxxx fxf 1 6)(ln ) d(ln )dlnfxxfxx x 例 求求. )ln21 ( d xx x xln21 xlnd 解解: 原式 = xln212 1 )ln21 (dx Cx ln21ln 2 1 2021-5-28 設(shè)設(shè) )(tx 是是單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)，且且 0)( t )(,)()()( 1 xtctFdtttf 又又設(shè)設(shè) )()(ttf 具具有有原原函函數(shù)數(shù)，即即 定理定理2 2 .)()( 1 cxFdxxf 則則 注：注：1）保證代

35、換）保證代換x= (t)的單調(diào)連續(xù)（有反函數(shù)）；的單調(diào)連續(xù)（有反函數(shù)）； 第二類積分換元公式第二類積分換元公式 )( 1 )()()()2 xt dtttfdxxf 代換代換 x= (t)，一起換。，一起換。代回原變量 2021-5-28 小結(jié): 1. 第二類換元法常見類型第二類換元法常見類型: ,d),() 1 xbaxxf n 令 n bxat ,d),()2 xxf n dxc bxa 令 n dxc bxa t ,d),()3 22 xxaxf令 taxsin ,d),()4 22 xxaxf令taxtan ,d),()5 22 xaxxf令taxsec 2021-5-28 (16)t

36、an dxx xxdcot)17( Cx cosln Cx sinln 2. 常用基本積分公式的補(bǔ)充常用基本積分公式的補(bǔ)充 7) 分母中因子次數(shù)較高時, 可試用倒代換倒代換 ,d)()6 xaf x 令 x at 2021-5-28 x xa d 1 )20( 22 x xa d 1 )22( 22 x ax d 1 )23( 22 x ax d 1 )21( 22 C a x a arctan 1 C ax ax a ln 2 1 C a x arcsin Caxx)ln( 22 x ax d 1 )24( 22 Caxx 22 ln 2021-5-28 分部積分公式分部積分公式 xvuuv

37、xvudd uvvuvudd 分部積分法 “ 反對冪指三反對冪指三” b a dxxf)( 0 1 lim( ) n ii i fx ）據(jù)定積分的定義，在）據(jù)定積分的定義，在a，b上連續(xù)非負(fù)函數(shù)的定積上連續(xù)非負(fù)函數(shù)的定積 分總表示由分總表示由y=f(x)，x=a，x=b與與x軸圍成的單曲邊梯形的軸圍成的單曲邊梯形的 面積，即面積，即 b a dxxf )( 的幾何意義是由的幾何意義是由y=f(x)，x=a，x=b與與x軸圍成區(qū)域的軸圍成區(qū)域的 代數(shù)面積代數(shù)面積 ） 定積分是一個數(shù)，定積分是一個數(shù)， 不定積分是一個函數(shù)的原函數(shù)的全體不定積分是一個函數(shù)的原函數(shù)的全體 因此，定積分和不定積分是兩個完全不同的概念因此，定積分和不定積分是兩個完全不同的概念 定積分存在定理定積分存在定理 定理定理3.4 上連續(xù)在函數(shù),)(baxf .,)(可積在baxf 定理定理3.5 ,)(上有界在函數(shù)baxf且只有有限個間斷點(diǎn) (證明略) .,)(可積在baxf ( ),( ),f xa bf xa b在上可積 則在上連續(xù) 定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在) a b b a xxfxxfd)(d)(. 1 0d)( a a xxf 2.d b a xba xxg b a d)( xxf