中點模型的構造、等積模型

1、幾何綜合題型一：中點模型的構造中點模型 中線（點）：倍長（類）中線 兩中點：中位線 等腰三角形底邊中點：三線合一 直角三角形斜邊中點：斜邊中線 =斜邊一半構造兩等腰 中垂線：中垂線上的點連兩端點有些題目的中點沒有直接給出，此時需要挖掘題目中隱含的中點條件，并適時添加輔助線.典題精練【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，點M為邊AD的中點，過點C作AB的垂線交AB于點9 / 7E，若/ EMD = 3 / MEA .求證：BC=2AB.(a)【解析】證法一：如右圖(a),延長EM交CD的長線于點E，連結CMTAB / CD ,/ MED = / MEA .又 AM = DM，/ AME = /

2、DME AFM 也厶 DE M . EM =EM/ AB / CD , CE丄 AB, EC 丄 CD . CM是Rt ECE斜邊EE的中線， ME =MC . ME D E CM , / EMC=2 ME D =2 / AEM ./ EMD =3 / MEA ,/ CMD=/DCM,MD=CD ./ AD = 2DM , AB=CD , AD=BC , BC=2AB .F證法二：如右圖（b）,過點 M作MM / AB交BC于M，過點M 作 M E / ME交AB的延長線于點 E，連接EM 點 M 是 BC 的中點，EE AB， E BM EAM，M E B MEA , M MD EAM E

3、BM點M是Rt EBC斜邊BC的中點， M E BM , BEM M BE - E BM 180 BEM / EMD = 3 / MEA , M MD 2 MEA, E BM 2 M EB1- 180 BEM 2 M E B , M E B 90 BEM 2 E EM E EM EE , BM AB BC = 2AB.【例2】 如圖所示，分別以厶 ABC的邊AB、AC為邊，向三角形的外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，點M為BC中點，EF 求證：AM丄EG ;(2)求證：EG=2AM .【解析】 如圖所示，延長 AM到N，使MN= AM,延長MA交EG于 點P,連接BN、NC./ BM =

4、CM ,四邊形ABNC是平行四邊形. BN = AC = AG ./ EAG + / BAC = 180 ,/ ABN +/ BAC = 180 , / EAG = / ABN./ AE = AB, EAG ABN. / AEG =Z BAN.又/ EAB = 90 , / EAP + / BAN = 90 . / AEP + / EAP = 90 . MA丄 EG. 證明：T EAGA ABN , EG = AN = 2AM .題型二：平移及等積變換典題精練E是AB上一點，F(xiàn)G丄DE于點H【例3】 已知：如圖，正方形 ABCD中, 求證：FG = DE .求證：FD + BG . 2FG .

5、【解析】延長 GC到點P,使得GP = DF，連接EP, DP . DF / GP , GP = DF四邊形DFGP為平行四邊形 FG = DP, FG / DP又 FG 丄 DE , DP 丄 DE/ ADE = / CDP在厶ADE和厶CDP中DAE DCPDA DCADE CDP ADE CDP DE = DP = FG由知道 DEP為等腰直角三角形 EP 2DE 2FG在厶 EGP 中，EG + DF = EG + GP PE =2 FG當EG / FD時，取到等號【例4】 如下圖，過平行四邊形 ABCD內(nèi)的一點P作邊的平行線 EF、GH，若 PBD的面積為8平方分米，求平行四邊形 P

6、HCF的面積比平行四邊形 PGAE的面積大多少平方分米？【解析】根據(jù)差不變原理，要求平行四邊形PHCF的面積與平行四邊形PGAE的面積差，相當于求平行四邊形 BCFE的面積與平行四邊形 ABHG的面積差.如右圖,連接CP、AP.可得:bcpadp1 ABCD2abpS BDPadpSabcD2所以bcdS ABPS BDP而 Sa bcp11Sbcfe ， Sa abpSabhg，22所以SbcfeSabhg2 SABCPSa abp2 BDP16（平方分米）.題型三：旋轉(zhuǎn)典題精練【例5】 已知 ABC和厶ADE都是等腰直角三角形，/ABC=Z ADE=90。，點M是CE的中點， 連接BM.如

7、圖，點D在AB上，連接DM，并延長DM交BC于點N,可探究得出 BD與BM 的數(shù)量關系為.如圖，點 D不在AB上，中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立， 說明理由.圖1【解析】BD = 2BM結論成立，證明：連接DM，過點C作CF / ED，與DM的延長線交于點 F，連接BF，可證得 MDE BA MFC, DM = FM , DE = FC, AD = ED = FC,作AN丄EC于點N ,由已知/ ADE =90 , / ABC=90 ,可證得/ 1 = / 2，/ 3 = / 4,/ CF / ED,/ 1 = / FCM ,/ BCF = / 4 + / FCM = / 3

8、+ / 1= / 3 + / 2 = / BAD. BCFBA BAD, BF = BD，/ 5 = / 6,/ DBF = / 5 +/ABF = / 6 + / ABF = / ABC = 90 DBF是等腰三角形，點M是DF的中點，則厶BMD是等腰三角形， BD=-2BM【例6】已知正方形 ABCD，在BC邊上取一點 E，作EFAE交 BCD的外角平分線于 F ,求證：AE EF 訓練1.如圖所示,等腰梯形 ABCD中，AB / CD, AD = BC , AC與BD交于點O, / AOB=60 ,【解析】法一：如圖，連接AC ,過E作EG BC ,交AC于G .T AEG 90 GEF

9、 , FEC 90 GEF , AEG FEC .又I GEC為等腰直角三角形， GE CE .又 ECF 9045135 , EGA 18045135 ,ECF EGA , AEG FEC，故 AE EF .法二：如圖，過E作EG BC，交FC的延長線于G ,連接AC ,則 ECG DCF 45 , EGF 45 , EG EC .而 ACE 45 , EGF ECA .又 FEG 90 FEC , AEC 90 FEC ,- FEGAEC，有 EFG EAC , AE EF .法三：在 AB上截取BN=BE，證明 ANE ECF即可;思維拓展訓練（選講）P、Q、R分別是 OA、OB、OC的

10、中點，求證： PQR是正三角形.【解析】證明：如右圖，連接 BP、CR.四邊形ABCD是等腰梯形， AD = BC, OA = OB, OC = OD . / AOB = 60 AOB、 COD都是正三角形./ P是OA的中點，R是OD的中點, BP 丄 OA, CR丄 OD ./ PR是厶ODA的中位線,11 PR = 2ad 丄 BC 22 PR = PQ = QR. PQR是正三角形.訓練2.如圖，四邊形 EFGH中，若12，貝U 3必然等于 4 .請運用結論證明下述問題：如圖，在平行四邊形ABCD中取一點P，使得 56 ,求證： 78.(1)HA【分析】此題為信息題，難點在于如何理解已

11、知條件,經(jīng)觀察我們發(fā)現(xiàn)，若1和2，位置為時可得出3和4相等（本質(zhì)為四點共圓）.圖中,5與6關系并不像條件所示，因此，需要改變角位置，而這點可以通過構造平行四邊形來解決.而構造平行四邊形，恰可以達到改變角位置作用, 種方法.為使 5與 6成形，我們可有如下四【解析】分別過點 B、P 作 BK IIAP,PK II AB ,交于點KBKII AP ,PK II AB BKAP ,PK AB ,5BKP ,7BPK ABCD ,AB II CD PKII CD ,PK CD，連接CK .（6不動移5）四邊形PKCD為平行四邊形 PD CK AD BC ADP BCK 8 BCK在四邊形 BKCP中，

12、BKP BPK BCK 78（/5? 不動不移動）（/ 5（不動動移氏）訓練3. 已知：在厶ABC中，BC = a, AC = b,以AB為邊作等邊三角形 ABD .探究下列問題： 如圖，當點D與點C位于直線 AB的兩側(cè)時，a = b = 3,且/ ACB =60 貝U CD =; 如圖（b），當點D與點C位于直線 AB的同側(cè)時，a = b = 6,且/ ACB =90 則CD =; 如圖（c），當/ ACB變化，且點D與點C位于直線AB的兩側(cè)時，求 CD的最大值及 相應的/ ACB的度數(shù).(b)【解析】3 . 3 ； 3 6 3.2 ;如圖（d）,以點D為中心，將 DBC逆時針旋轉(zhuǎn)60則點B落在點A,點C落在 點 E,連接 AE、CE、DE . CD =