加法原理乘法原理

1、.奧賽天天練第16講加法原理、第17講乘法原理、第18講兩種原理的綜合運(yùn)用。這三講將初步介紹計(jì)數(shù)研究中最基本、最常用的兩個(gè)原理：加法原理和乘法原理。計(jì)數(shù)就是數(shù)數(shù)，即把一些對(duì)象的個(gè)數(shù)數(shù)出來。簡單的計(jì)數(shù)可以一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)。對(duì)于比較復(fù)雜的計(jì)數(shù)，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)很難，可以利用加法原理和乘法原理幫助我們計(jì)數(shù)。 加法原理：完成一件工作共有N類方法。在第一類方法中有m1種不同的方法，在第二類方法中有m2種不同的方法，在第N類方法中有mn種不同的方法，那么完成這件工作共有Nm1m2m3mn種不同方法。運(yùn)用加法原理計(jì)數(shù)，關(guān)鍵在于合理分類，不重不漏。要求每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方

2、法，互不相同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)。合理分類也是運(yùn)用加法原理解決問題的難點(diǎn)，不同的問題，分類的標(biāo)準(zhǔn)往往不同，需要積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)。乘法原理：完成一件工作共需N個(gè)步驟：完成第一個(gè)步驟有m1種方法，完成第二個(gè)步驟有m2種方法，完成第N個(gè)步驟有mn種方法，那么，完成這件工作共有m1m2mn種方法。運(yùn)用乘法原理計(jì)數(shù)，關(guān)鍵在于合理分步。完成這件工作的N個(gè)步驟，各個(gè)步驟之間是相互聯(lián)系的，任何一步的一種方法都不能完成此工作，必須連續(xù)完成這N步才能完成此工作；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對(duì)應(yīng)的完成此工作的方法也不同。這兩個(gè)基本原理是排列和組

3、合的基礎(chǔ)，與教材聯(lián)系緊密（如四下搭配的規(guī)律），教學(xué)時(shí)要先通過生活中淺顯的實(shí)例，如購物問題、行程問題、搭配問題等，幫助孩子理解兩個(gè)原理，再讓孩子學(xué)習(xí)運(yùn)用原理解決問題。運(yùn)用兩個(gè)原理解決的都是比較復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題，在解題時(shí)要細(xì)心、耐心、有條理地分析問題。計(jì)數(shù)時(shí)要注意區(qū)分是分類問題還是分步問題，正確運(yùn)用兩個(gè)原理。靈活機(jī)動(dòng)地分層重復(fù)使用或綜合運(yùn)用兩個(gè)原理，可以巧妙解決很多復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題。小學(xué)階段只學(xué)習(xí)兩個(gè)原理的簡單應(yīng)用。奧賽天天練第16講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題1【題目】：用1角、2角和5角的三種人民幣（每種的張數(shù)沒有限制）組成1元錢，有多少種方法？【解析】：運(yùn)用加法原理，把組成方法分成三大類：只取一種人民幣組成

4、1元，有3種方法：10張1角；5張2角；2張5角。取兩種人民幣組成1元，有5種方法：1張5角和5張1角；一張2角和8張1角；2張2角和6張1角；3張2角和4張1角；4張2角和2張1角。取三種人民幣組成1元，有2種方法：1張5角、1張2角和3張1角的；1張5角、2張2角和1張1角的。所以共有組成方法：3+5+2=10（種）。奧賽天天練第16講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題2【題目】：各數(shù)位的數(shù)字之和是24的三位數(shù)共有多少個(gè)？【解析】：一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，最大只能是9，24可分拆為：24=9+9+7； 24=9+8+7；24=8+8+8。運(yùn)用加法原理，把組成的三位數(shù)分為三大類：由9、9、8三個(gè)數(shù)字可組成3個(gè)

5、三位數(shù)：998、989、899；由9、8、7三個(gè)數(shù)字可組成6個(gè)三位數(shù)：987、978、897、879、798、789；由8、8、8三個(gè)數(shù)字可組成1個(gè)三位數(shù)：888。所以組成三位數(shù)共有：3+6+1=10（個(gè)）。奧賽天天練第16講，拓展提高，習(xí)題1【題目】：有一批長度分別為1，2，3，4，5，6，7和8厘米的細(xì)木條若干，從中選取適當(dāng)?shù)?根木條作為三條邊可以圍成多少個(gè)不同的三角形？【解析】：圍三角形的依據(jù)：三根木條能圍成三角形，必須滿足任意兩邊之和大于第三邊。要滿足這個(gè)條件，需要且只需要兩條較短邊的和大于最長邊就可以了。這道題的計(jì)數(shù)比較復(fù)雜，需要分層重復(fù)運(yùn)用加法原理。根據(jù)三角形三邊長度情況，我們先把

6、圍成的三角形分為兩大類：第一大類：圍成三角形的三根木條，至少有兩根木條等長（包括三根等長的）。由題目條件，圍成的等腰三角形腰長可以為1、2、3、4、5、6、7、8厘米，根據(jù)三角形腰長，第一大類又可以分為8小類，三邊長依次是：腰長為1的三角形1個(gè)：1、1、1。腰長為2的三角形3個(gè)：2、2、1；2、2、2；2、2、3。腰長為3的三角形5個(gè)：3、3、1；3、3、2；3、3、3；3、3、4；3、3、5。腰長為4的三角形7個(gè)：4、4、1；4、4、2；4、4、7。腰長為5的三角形8個(gè)：5、5、1；5、5、2；5、5、8。同理，腰長為6、7、8厘米的三角形都是8個(gè)。第一大類可圍成的不同的三角形：1+3+5+

7、7+84=48（個(gè)）。第二大類：圍成三角形的三根木條，任意兩根木條的長度都不同。根據(jù)最長邊的長度，我們?cè)侔训诙箢悋傻娜切畏譃槲逍☆悾ㄗ铋L邊不可能為是3厘米、2厘米、1厘米）：最長邊為8厘米的三角形有9個(gè)，三邊長分別為：8、7、6；8、7、5；8、7、4；8、7、3；8、7、2；8、6、5；8、6、4；8、6、3；8、5、4。最長邊為7厘米的三角形有6個(gè)，三邊長分別為：7、6、5；7、6、4；7、6、3；7、6、2；7、5、4；7、5、3。最長邊為6厘米的三角形有4個(gè)，三邊長分別為：6、5、4；6、5、3；6、5、2；6、4、3。最長邊為5厘米的三角形有2個(gè)，三邊長分別為：5、4、3；5、

8、4、2。最長邊為4厘米的三角形有1個(gè)，三邊長為：4、3、2。第二大類可圍成的不同的三角形：9+6+4+2+1=22（個(gè)）。所以，這一題共可以圍成不同的三角形：48+22=70（個(gè)）。奧賽天天練第16講，拓展提高，習(xí)題2【題目】：一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)在有10把鑰匙和10把鎖全部都搞亂了，最多要試驗(yàn)多少次才能全部配好鎖和相應(yīng)的鑰匙？【解析】：要求“最多”多少次配好鎖和鑰匙，就要從最糟糕的情況開始考慮：第1把鑰匙要配到鎖，最多要試9次（如果9次配對(duì)失敗，第10把鎖就一定是這把鑰匙，不用再試）；同理，第2把鑰匙最多要試8次；第9把鎖最多試1次，最好一把鎖不用試。所以，最多試驗(yàn)次數(shù)為：9+8+7+2

9、+1=45（次）。奧賽天天練第17講，模仿訓(xùn)練，練習(xí)1【題目】：某人到食堂去買飯菜，食堂里有4種葷菜，3種蔬菜，2種湯。他要各買一樣，共有多少種不同的買法？【解析】：運(yùn)用乘法原理，把買飯菜分為三步走：第一步：選湯有2種方法。第二步：選葷菜有4種方法。每種選湯方法對(duì)應(yīng)的都有4種選葷菜的方法，湯和葷菜共有2個(gè)4種，即8種不同的搭配方法。第三步：選蔬菜有3種方法。葷菜和湯有8種不同的搭配方法，每種搭配方法，對(duì)應(yīng)的都有3種選蔬菜的方法與其二次搭配，共有8個(gè)3種，即24種不同搭配方法。如下圖所示： 所以，共有不同的買法：243=24（種）。奧賽天天練第17講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題2【題目】：用數(shù)字0，3，8，

10、9能組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？【解析】：運(yùn)用乘法原理，把組數(shù)過程分為三個(gè)步驟：第一步：確定三位數(shù)百位上數(shù)字，有3種選法（最高位不能為0）。第二步：確定十位上數(shù)字，有3種選法。從上面四個(gè)數(shù)字中確定任意一個(gè)不為0的數(shù)字放在百位上，十位上都會(huì)剩下三個(gè)數(shù)字供選擇。因此，對(duì)應(yīng)百位上數(shù)字的每種選法，十位上數(shù)字都有3種不同的選擇方法，兩個(gè)數(shù)字共有3個(gè)3種，即9種不同的組成方法。第三步：確定個(gè)位上數(shù)字，有2種選法。從上面四個(gè)數(shù)字中去掉百位和十位上數(shù)字任意一種組成，個(gè)位上都會(huì)剩下2個(gè)不同的數(shù)字供選擇。因此，對(duì)應(yīng)百位和十位上數(shù)字的任意一種組成方法，個(gè)位上都有2種不同的選擇方法，三個(gè)數(shù)字共有9個(gè)2種，即18中不

11、同的組成方法。所以，能組成的不重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為:332=18(個(gè))。奧賽天天練第17講，拓展提高，習(xí)題1【題目】：下圖中共有16個(gè)方格，要把A，B,C,D四個(gè)不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子，問共有多少種不同的放法？ 【解析】：運(yùn)用乘法原理，把放棋子的過程分為三個(gè)步驟：第一步：放棋子A。棋子A可以任意放，有16種放法。（如下圖一）第二步：放棋子B。棋子B不能放在棋子A所在的行或列，對(duì)應(yīng)棋子A的每一種放法，棋子B都可以放在剩下的9個(gè)方格的任意一格里，有9種放法。（如下圖二）第三步：放棋子C。棋子C不能放在棋子A、B所在的行或列，對(duì)應(yīng)前面的每一種放法，棋子C可以放在剩下的4個(gè)

12、方格的任意一格里，有4種放法。（如下圖三）第四步：放棋子D。棋子D不能放在棋子A、B、C所在的行或列，對(duì)應(yīng)前面的每一種放法，棋子D都只有1種放法。（如下圖四）所以，四顆棋子共有不同的放法：16941=576（種）。奧賽天天練第17講，拓展提高，習(xí)題2【題目】：用4種不同的顏色給下圖的這幅地圖染色，使相鄰的兩塊顏色不相同，共有多少種不同的染法？【解析】：這個(gè)染色問題比較復(fù)雜，需要分層、綜合運(yùn)用加法原理和乘法原理。第一步：給A染色，可以任選一種顏色，有4種染色方案。第二步：給B染色，有3種染色方案。對(duì)應(yīng)的A的每種染色方案，B都有剩下的與A不同的3種顏色供選擇，A、B配色方案共有4個(gè)3種，即12種。

13、第三步：給C染色，有2種染色方案。對(duì)應(yīng)于A、B的每一種配色方案，C都有剩下的與A、B不同2種顏色供選擇，A、B、C三塊配色方案共有12個(gè)2種，即24種。所以前三步共有不同染法：432=24（種）。第四步：給D染色，有兩種染色方案。由前三步，A、B、C三塊已染上三種互不相同的顏色，一共有四種顏色，D可以染與A、B、C各不相同的第四種顏色（簡稱為色四）；D、B不相鄰，D也可以染與B相同的顏色。我們根據(jù)D的顏色分為兩大類計(jì)數(shù)：第一大類：給D染色四。如下圖，A色、B色和C色為前三步24種配色方案中的任意一種配色方案的三種不同顏色分配。D染色四，E可以染A色或B色。 E染A色，F(xiàn)只能染一種顏色色四（如上

14、左圖），這時(shí)，G有B色和C色兩種顏色可以選擇，對(duì)于G的每種選擇，H都有對(duì)應(yīng)的2種選擇。這種類型共有不同染法：2411122=96（種）。E染B色，F(xiàn)可以染色四（如上中圖），也可以染A色（如上右圖）。分兩小類計(jì)數(shù)，這種類型共有不同染法：2411122+2411112=144（種）。第一大類共有染法：96+144=240（種）。第二大類：給D染B色。如下圖，A色、B色和C色為前三步24種配色方案中的任意一種配色方案的三種不同顏色分配。 D染B色，E有A色或色四兩種選擇，對(duì)應(yīng)于D的每一種選擇F只有一種選擇、G也只有一種選擇、H有2種選擇。第二大類共有染法：2412112=96（種）。 所以，這題共有

15、染法：240+96=336（種）。奧賽天天練第18講，模仿訓(xùn)練，練習(xí)1【題目】：如下圖，一只小甲蟲要從A點(diǎn)出發(fā)沿著線段爬到B點(diǎn)，要求任何點(diǎn)和線段不可重復(fù)經(jīng)過，問這只甲蟲有多少種不同的走法？ 【解析】：把小甲蟲要從A點(diǎn)出發(fā)沿著線段爬到B點(diǎn)的走法分為兩大類：第一類：分兩步，最先到達(dá)C點(diǎn)，再到B點(diǎn)。第一步從A到C只有一種走法（不能經(jīng)過D點(diǎn)）；第二步從C點(diǎn)到B點(diǎn)有3種走法。共有走法:13=3(種)。第二類：分兩步，最先到達(dá)D點(diǎn)，再到B點(diǎn)。第一步從A到D有2種走法（不能經(jīng)過C點(diǎn)）；第二步從D點(diǎn)到B點(diǎn)有3種走法。共有走法:23=6(種)。所以，小甲蟲共有不同的走法：13+23=9(種)。奧賽天天練第18講

16、，模仿訓(xùn)練，練習(xí)2【題目】：從5幅國畫，3幅油畫，2幅水彩畫中選取兩幅不同類型的畫布置教室，問有幾種不同的選法？【解析】：在三種不同類型的畫里選擇兩種不同類型畫有3種不同的選法，因此先把所有的選法分為三大類：第一類：選1幅國畫、1幅油畫。分兩步完成，第一步選1幅國畫有5種選法，第二步選油畫有3種選法。對(duì)于前面國畫的每一種選法，油畫都有3種選法，共有選法：53=15（種）。第二類：選1幅國畫、1幅水彩畫。與第一類同理，共有選法：52=10（種）。第三類：選1幅油畫、1幅水彩畫。與第一類同理，共有選法：32=6（種）。所以，共有不同的選法：15+10+6=31（種）。奧賽天天練第18講，鞏固訓(xùn)練，

17、習(xí)題1【題目】：如下圖，要從A點(diǎn)沿線段走到B點(diǎn)，要求每一步都是向右、向上或向斜上方，問有多少種不同的走法？ 【解析】：如下圖，先用字母標(biāo)出圖中的每一個(gè)點(diǎn)，沿右上方向從點(diǎn)A到點(diǎn)B可以分為多步走，而每一步的走法又可以分為幾類，比較復(fù)雜，需要重復(fù)綜合使用加法原理和乘法原理。 上圖中，從右上往左下逐步分析：因?yàn)槊恳徊蕉际窍蛴?、向上或向斜上方，因此每個(gè)點(diǎn)只能經(jīng)過它左、下或左下方的點(diǎn)到達(dá)。最后一步到達(dá)點(diǎn)B的走法有兩類：由I到B或由J到B。A到B的不同走法種數(shù)，就等于A到I的走法種數(shù)與A到L的走法種數(shù)之和。此前一步，到點(diǎn)I的走法有兩類：由F到I或由G到I,走法種數(shù)即A到F的走法種數(shù)與A到G的走法種數(shù)之和；到

18、點(diǎn)J的走法有三類：分別由I、G或H到J,走法種數(shù)即A到I的走法種數(shù)、A到G的走法種數(shù)與A到H的走法種數(shù)之和。依次類推從左下到右上標(biāo)出點(diǎn)A到每個(gè)點(diǎn)的走法種數(shù)，逐層解題：第一層：從A到C、D、E三個(gè)點(diǎn)只能向右，都只有1種走法。第二層：到F點(diǎn)有兩類走法，分別由A、C到達(dá)，每類都只有一種走法，共2種走法；到G點(diǎn)有三類走法，分別由F、C、D到達(dá)，三類走法種數(shù)之和為4種；到H點(diǎn)有三類走法，分別由G、D、E到達(dá)，三類走法種數(shù)之和為6種。第三層：到I點(diǎn)有兩類走法，分別由F、G到達(dá)，兩類走法種數(shù)之和為6種；到J點(diǎn)有三類走法，分別由I、G、H到達(dá)，三類走法種數(shù)之和為16種。最后一步到B點(diǎn)有兩類走法，分別由I、J到

19、達(dá)，兩類走法種數(shù)之和為22種。所以，從A到B共有不同的走法22種。按：類似的復(fù)雜路線問題，都可以用這種方法求解。奧賽天天練第18講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題2【題目】：如下圖，用紅、綠、藍(lán)、黃四種顏色涂編號(hào)為1，2，3，4的長方形，使任何相鄰的兩個(gè)長方形的顏色都不同。一共有多少種不同的涂法？ 【解析】：涂色的過程可以分為三步。第一步：給1號(hào)長方形涂色，有4種涂法?？梢赃x任意一種顏色。第二步：給2號(hào)長方形涂色，有3種涂法。對(duì)于1號(hào)長方形每種不同的涂法，2號(hào)長方形都可以在剩下的3種顏色里選任意一種，即有3種涂法。所以，前兩步1號(hào)和2號(hào)長方形共有配色方案4個(gè)3種：43=12（種）。第三步：給3號(hào)、4號(hào)長方形涂色。 3號(hào)長方形與1號(hào)相鄰，與2號(hào)不相鄰，對(duì)于1、2號(hào)長方形的每一種配色方案，3號(hào)長方形都可以選與1號(hào)不同的3種顏色，按3號(hào)長方形的涂色情況，可把本題的涂法分為兩大類：第一大類，3號(hào)長方形選與2號(hào)相同的顏色。3號(hào)長方形只有一種涂法，這時(shí)4號(hào)長方形可以選與2號(hào)不同的3種顏色，有3種涂法。第一類共有不同涂法：1213=36（種）。第二類，3號(hào)長方形選與1、2號(hào)都不同的顏色。3號(hào)長方形有2種涂法，這時(shí)4號(hào)長方形可以選剩下的與2號(hào)、3號(hào)不同的2種顏色，有2種涂法。第二類共有不同涂法：1222=48（種）。 所以，這題一共有不同的涂法：36+4