fj數(shù)列與極限

1、謹(jǐn)20042005學(xué)年度上學(xué)期高中學(xué)生學(xué)科素質(zhì)訓(xùn)練高三數(shù)學(xué)同步測(cè)試（2）數(shù)列與極限、選擇題（本題每小題5分，共60分）1.在等比數(shù)列a*中，a什a2=2，a3+a4=50，則公比q的值為A . 25C. 52.已知等差數(shù)列an中，a6=a3+ ag=5 ,貝U a9 的值是3.B .15C. 20D. 25給定正數(shù)P,q,a,b,c，其中p=q,若p,a,q成等比數(shù)列,p,b,c,q成等差數(shù)列元二次方bx22ax+c=0A.無實(shí)數(shù)根C. 有兩個(gè)同號(hào)的相異的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)異號(hào)的相異的實(shí)數(shù)根等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn ,若a2 a6 印。為一個(gè)確定的常數(shù)，則下列各數(shù)中也是常數(shù)的是A .S6B

2、 . SnC . S12D . Sl3B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根A . 5016.已知等差數(shù)列B . 501C.2004D. .2004的前n項(xiàng)和為Sn,若m1，且amymi-a； =0，S2m=38，則m等于A . 38B . 20C. 107.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S6 : S3 =1:2，則S9 : S3 =A . 1:2B . 2:3C . 3:4D . 1:3&某人為了觀看2008年奧運(yùn)會(huì)，從2001年起，每年5月10日到銀行存入a元定期儲(chǔ)蓄， 若年利率為p且保持不變，并約定每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2008年將所有的存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(shù)（元）

3、為（）B. a(1 p)8A . a(1 p)7a7C . -(1p) -(1 p)pD .旦1p 8 - 1 p 】p9.已知f x二bx 1為x的一次函數(shù),b為不等于1的常量,r且 g(n )= J1(n =0)fg(n-1),(n _1)設(shè) an=g n - gn-1 n，N.,則數(shù)列af 為A .等差數(shù)列B .等比數(shù)列C.遞增數(shù)列D.遞減數(shù)列an +bnn an bnC. 010.已知 log b 2 log a 20,則 lim n n 的值為D .不存在11.北京市為成功舉辦 2008年奧運(yùn)會(huì)，決定從2003年到2007年5年間更新市內(nèi)現(xiàn)有全部出 租車，若每年更新的車輛數(shù)比前一年遞

4、增10%，則2003年底更新車輛數(shù)約為現(xiàn)有總車輛數(shù)的（參考數(shù)據(jù) 1.14=1.46 1.15=1.61）（）D. 20%A . 10%B . 16.4%C. 16.8%12.已知 f(3) =2, f (3) = 2,則 lim2x - 3f (x)x -3的值為D. 不存在二、填空題（本題每小題4分，共16分）13 .已知等比數(shù)列an及等差數(shù)列bn，其中d =0，公差dM0.將這兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相力口，得一新數(shù)列1 , 1 , 2,，則這個(gè)新數(shù)列的前10項(xiàng)之和為 .14 .設(shè)數(shù)列an滿足a1=6, a2=4, a3=3，且數(shù)列 an+1 - a. （n N*）是等差數(shù)列，求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式

5、.x15 .設(shè)f X %，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和方法，求f2 11 11 11的值為.16 .（文）黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案：則第n個(gè)圖案中有白色地面磚塊.(理)已知an把數(shù)列fan 的各項(xiàng)排成三角形狀;a2 a3 a4記A (m,n)表示第a5a6a7a8m行，第n列的項(xiàng)，貝U A ( 10， 8)=三、解答題(本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分12分)已知一個(gè)數(shù)列an的各項(xiàng)是1或3首項(xiàng)為1，且在第k個(gè)1和第 k+1 個(gè) 1 之間有 2k-1 個(gè) 3，即 1 , 3, 1 , 3, 3, 3, 1, 3,

6、 3, 3, 3, 3, 1，.記數(shù) 列的前n項(xiàng)的和為Sn .(1)試問第2004個(gè)1為該數(shù)列的第幾項(xiàng)？(2 )求 a2004 ；(3) S2004 ；(4 )是否存在正整數(shù) m，使得Sm=2004 ?如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理 由.18.(本小題滿分12分)如圖，曲線 y2=x(y-0)上的點(diǎn)P與x軸的正半軸上的點(diǎn) Qj及原邊長為 an ,n N* （記 Qo 為 0）, Qn &,0 .(1)求a1的值；(2)求數(shù)列 a.的通項(xiàng)公式a*;(3)求證:當(dāng)n _ 2時(shí)，有1 1+22a2nan 1 an 219.(本小題滿分12分)假設(shè)你正在某公司打工，根據(jù)表現(xiàn)，老板給你兩個(gè)加薪

7、的方案:（i）每年年末加1000元；（n）每半年結(jié)束時(shí)加 300元。請(qǐng)你選擇。1 ）如果在該公司干 10 年，問兩種方案各加薪多少元？2）對(duì)于你而言，你會(huì)選擇其中的哪一種？2n 120.(本小題滿分12分)已知數(shù)列：an啲前n項(xiàng)的均倒數(shù)”為(1) 求(an /的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)cn引，試判斷并說明Cn 1 -Cn n N的符號(hào)；2n+1(3) (理)設(shè)函數(shù)f (x) = -x2 4x 孔，是否存在最大的實(shí)數(shù) 當(dāng)x 時(shí)，對(duì)2n +1于一切自然數(shù)n，都有f(x)0。(文)已知bn二tan t 0，數(shù)列b 的前n項(xiàng)為Sn 求卜乂石的值。21.(本小題滿分12分)若Sn和Tn分別表示數(shù)列 an和

8、g的前n項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)n.an - -2(n 1)，T* 3Sn=4n.(I)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(n)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線ln的斜率為bn.且與曲線y =x2有且僅一個(gè)交點(diǎn)，與軸交于1Dn,記 dn =|Dn D 丨-(2 n 7)求 dn ；(川)若Xndn1 dn (n N)求證:lim(X1 x?x. - n) =1.n_)pc2dn d22.(本小題滿分14分)已知數(shù)列an 中，印=1,且點(diǎn)P(an,anInEN* )在直線x y+1 = 0(1)求數(shù)列(2)若函數(shù)a ?的通項(xiàng)公式；123n ,f (n)nn +a1 n + a2 n +a3n +an(3)f (n)的最小

9、值；1設(shè)bn = -,Sn表示數(shù)列b 的前項(xiàng)和。試問：是否存在關(guān)于 anS S2 S3Sn d = Sn _ 1 Q n對(duì)于一切不小于n的整式g n，使得2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫出g n的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由。參考答案(二)一、選擇題(每小題 5分，共60分)：(1) .D (2). C (3).A (4).B (5). A (6). C (7).C (8). D (9).B (10).B (11). B (12).B提示(9) B n 1, an = b g n1 i亠 1 - g n1 二 b1 g n1 iT=b -1 b g n-21】1二bb-1g n-2

10、b=bb-1bg n- 31】b二b2b-1g n -3 b2 二二 bnd b -1 g 0bn=bnb-11 = bn、填空題（每小題 4分，共16 分）(13). 978 ；(14).ann2 -7n 182(n N*); (15).5 ; (16). (文)(理)2(1)89提示13。設(shè)an的公比為 q，由題知:| 玄1 0 = 1,| a1 = 1, ag + d = 1, 解得 2 時(shí)，an=(an an- 1)+(an-1 an-2)+ + a2)+ a1)+a115.=(n 4)+(n 5) + +( 1)+( 一 2)+6=2n 7n 182(n N*)4X4X 2-設(shè)Sn2

11、n -7n 182n=1也合適4X4X 22=1f罟=10f右f器=10 Sn = 5IL J111三、解答題(共74分，按步驟得分)17. 解：將第k個(gè)1與第k+1個(gè)1前的3記為第k對(duì)，即(1 , 3)為第1對(duì)，共1+1=2項(xiàng)；(1, 3,3,3)為第 2 對(duì)，共 1+( 2X 2-1) =4 項(xiàng)；(1,3,3,3, ,3)為第 k 對(duì)，共 1+(2k-1) =2 k v*=共2k個(gè)3項(xiàng)；.故前 k對(duì)共有項(xiàng)數(shù)為 2+4+6+2 k=k(k+1). 2分(I)第2004個(gè)1所在的項(xiàng)為前2003對(duì)所在全部項(xiàng)的后 1項(xiàng)，即為 2003(2003+1)+仁4014013(項(xiàng)).4 分(n)因 44

12、X 45=1980, 45 X 46=2070,故第 2004 項(xiàng)在第 45 對(duì)內(nèi)，從而 a2oo4=3.7 分(川)由(n)可知，前2004項(xiàng)中共有45個(gè)1，其余1959個(gè)數(shù)均為3,于是Soo4=45+3X 1959=5922. 9 分2(W)前k對(duì)所在全部項(xiàng)的和為Sk(k+1) =k+3 k( k+1) -k=3 k +k.易得，S25(25+1)=3X 252+25=1900, S26(26+d=3X 262+26=2054, $51=1901，且自第 652 項(xiàng)到第702項(xiàng)均為3,而2004- 1901=103不能被3整除，故不存在 m 使$=2004. 12分18. 解(1)由條件可

13、得 R -a1,a1，代入曲線y2=x(yZ0)得I22丿3 212八玄1玄1,玄1 0, 玄1; 5分4 23?Sn =6 a2 m an點(diǎn) R 1(Sn2 an 1,2an 1)代入曲線y3 21= x(y-0)并整理得 Sn =;an17an1,*321321于是當(dāng)n_2,n N時(shí)，十Sn-Sn二務(wù)1)-(/)13即 2(an 1 4)=4n 1 an) (a. 1 一a.)10分2ann；12分2 * :an 1 an 0, a. 1 -an(n 一2,n N )3 2 14 2又當(dāng)n =1時(shí),Sa2 a2,. a2( 舍去)4 23 3* -a2 - a1，故 an 1 - an(n

14、 N )332 2所以數(shù)列 an是首項(xiàng)為一、公差為一的等差數(shù)列，3 319. 解：設(shè)方案一第n年年末加薪an，因?yàn)槊磕昴┘有?1000元，則an=1000n ；設(shè)方案二第n個(gè)半年加薪bn,因?yàn)槊堪肽昙有?300元，則bn=300n；（1）在該公司干10年（20個(gè)半年），方案1共加薪S10=a1+ a2+印0=55000元。方案 2 共加薪 T20=b1+ b2+ b20=20 X 300 + 20L?012 300 =63000 元；6 分2（2）設(shè)在該公司干n年，兩種方案共加薪分別為：Sn=a1+ a2 + 環(huán)=1000 X n+ n（n1000 =500n2+ 500n2T2n=b1 +

15、b2+ b2n=2n X 300+（2n 一1）300 =600n2+ 300n 10 分2令 T2n Sn 即: 600n2 + 300n500n2+ 500n，解得:n 2，當(dāng) n=2 時(shí)等號(hào)成立。如果干3年以上（包括3年）應(yīng)選擇第二方案；如果只干 2年，隨便選；如果只干1年，當(dāng)然選擇第一方案。12分20. 解：（1）a1*2an4an二 n 2n 1 ,印 a?a*=（n - 1）2n-1兩式相減，得an = 4n d n 一 2 , 6=3,. an = 4n -d n N(2)2n 14n -12n 132n 132n 3Cn 1 cn32n 12n 3-0,即 Cn 1-Cn。（3

16、）（理）由（2）知c1 =1是數(shù)列 ?中的最小項(xiàng),2a./ x _ -時(shí)，對(duì)于一切自然數(shù) n ,都有f (x) _ 0，即- x 4x -cn,n 1-x2 4x _ci =1，即 x2 -4x 1 _0 ,解之，得 x _2 . 3或x _ 2 - 3 ,12分(文) b- =t4-d,S- =t3 t?嚴(yán),t 0當(dāng) t = 1 時(shí)，Sn = n , lim = 1;當(dāng) t 1 時(shí)， nY SnlimSA“im=t4 ;ni SnJ.， 1 _ t當(dāng) 0 : t : 1 時(shí),lim= 1。綜上得，lim -n1,(0t 乞1) f，心)12分21解：(I) ； an - -2(n1)d 八2

17、Sn2Tn = 3Sn 4n - -3n -5n 2 分-3 - 5 - -8當(dāng) n 一2時(shí),bn 二 Tn.bn - -6n -2.4 分y = bn x + m2(ll)設(shè)ln:y=bnx+m.由2得x 一bnx-m = O由于僅有一個(gè)公共點(diǎn)y = x2244.In :y =(-6n -2)x -(3n 1)2.6分.4m=0. m-色-回習(xí) (3n 1)2令 x=0 得 y=-(3 n 1)2. Dn(0,-3( n 1)2)D-1(0,-3( n 4)2)112 21|DnDn1H；(3n 4)2 -(3n 1)2=6n 533 dnDnDn 1 | -(2n 7) =4n -28分2

18、 2 2dn 1 dn (dn dn)1 二21=1 ( 11)10 分2dndn 1(2n -1)(2n 1)2n1 2n 11 1 1 1 1 1.X1 X2Xn - n =(1) () -() =1 一-33 5 2n1 2n 1 2n 1.lim (% x2 亠 亠 xn - n) =1.12分22.(本小題滿分14分)解:(1 : 點(diǎn) P(an,an 十)在直線 xy1=0上，即 即 十一a n =1,且 a1 =1.數(shù)列:an 是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列。a =1 (n -1)1 =n(n _2)二他滿足an.川川川II川川I川川川川III川川1|3分(2)： f(n)二2n111111f(n 1)=-，1 分n+2n+3n+42n2n+12