圓錐曲線綜合試題(全部大題目)含答案

1、2 2(2015年天津卷)19.(本小題滿分14分)已知橢圓 篤+爲=1(ab0)的左焦點為a bF (-c,0 )，離心率為二3，點m在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2+y2 =截得34的線段的長為c，|FM|=.3(I) 求直線FM的斜率；(II) 求橢圓的方程；(III) 設動點P在橢圓上，若直線 FP的斜率大于 2 ，求直線OP(O為原點)的斜率的取值范圍.1. 平面上一點向二次曲線作切線得兩切點，連結兩切點的線段我們稱切點弦.設過拋物線x2 2py外一點P(x0,y0)的任一直線與拋物線的兩個交點為C、D，與拋物線切點弦 AB的交點為Q。(1 )求證：拋物線切點弦的方程為x0x

2、 p(y+ y0)；(2)求證：1 1 2 PC |PD | |PQ |2. 已知定點F( 1, 0),動點P在y軸上運動，過點 P作PM交x軸于點M,并延長 MP到點 N,且 PM PF 0,| PM | | PN |.(1) 動點N的軌跡方程；(2) 線I與動點N的軌跡交于A, B兩點，若OA OB 4,且46 | AB | 4 30，求直 線I的斜率k的取值范圍.2 2 23.如圖，橢圓Ci1的左右頂點分別為 A、B，P為雙曲線C2 : 1右支343上(X軸上方)一點，連 AP交C1于C，連PB并延長交C1于。，且厶ACD與厶PCD的面積 相等，求直線PD的斜率及直線 CD的傾斜角.4.

3、已知點M ( 2,0), N(2,0)，動點P滿足條件| PM |PN | 2.2 .記動點P的軌跡為W .(I)求W的方程;(n)若代B是W上的不同兩點,O是坐標原點，求uur uuuOA OB的最小值.2 25. 已知曲線 C的方程為：kx2+(4-k)y2=k+1,(k R)(I)若曲線C是橢圓，求k的取值范圍；(n)若曲線c是雙曲線，且有一條漸近線的傾斜角是60,求此雙曲線的方程；(川)滿足(H)的雙曲線上是否存在兩點P, Q關于直線I: y=x-1對稱，若存在，求出過 P,Q的直線方程；若不存在，說明理由。6. 如圖(21)圖，M (-2, 0)和N (2, 0)是平面上的兩點， 動

4、點P滿足：PM PN 6.(1)求點P的軌跡方程；2若PM -PN =,求點P的坐標.1 cos MPN2 2 2 27. 已知F為橢圓篤爲 1 (a b 0)的右焦點，直線丨過點F且與雙曲線 爲 1a ba b的兩條漸進線l1, l2分別交于點M,N，與橢圓交于點 A, B.(I)若 MON，雙曲線的焦距為4。求橢圓方程。3UUU uuuuurn 1 ULLT(II )若OM MN 0 ( O為坐標原點)，F(xiàn)A AN，求橢圓的離心率e。328.設曲線G：篤 y2 1( a為正常數(shù))與C2: y2 2(x m)在x軸上方只有一個公共點 P。 a(I)求實數(shù) m的取值范圍(用a表示)；1(n)

5、O為原點，若C1與x軸的負半軸交于點 A，當0 a 時，試求 OAP的面積的最2大值(用a表示)。15年高考題答案(19)本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程和圓的方程、 直線與圓的位置關系、一元二次不等式等基礎知識考查用代數(shù)方法研究 曲線的性質，考查運算求解能力，以及用函數(shù)與方程思想解決問題的能力。滿分14分.23，又由a,2222,2小 2b +c，可得 a 3c ,b 2c .2c(I)解：由已知有ax設直線FM的斜率為k(k f 0)，則直線2kc+2 c2b 2b ，解得k23下1(II )解:由(I)得橢圓方程為2 x 3c2兩個方程聯(lián)立，消去y,整理得3x22cx2

6、3第一象限，可得M的坐標為 c, c .有3FM的方程為y k(x c).由已知，有2yr 1，直線FM的方程為y43 xc ，2c235 c20，解得x5 十一 c，或 xc.因為點M在3l、22頂J4/3FMJ(c c)c 0解得V332 2c 1，所以橢圓的方程為 1.32(III)解：設點P的坐標為 x,y，直線FP的斜率為t，得t ，即x 1y t x 1 x 1 ，yt(x1),與橢圓方程聯(lián)立2 x2y_消去y，1,32t J6 2x:f 2，解得3-p xp(x 1)22設直線OP的斜率為m，得m整理得2x2 3t2(x1，或 1p x p 0.-，即y1)26.又由已知，得mx

7、(x 0)，與橢圓方程聯(lián)立，整理可1. (1)略(2)為簡化運算，設拋物線方程為(X x0)2 2p(y y0)，點Q, C, D的坐標分別為(X3, 丫3),(捲，),(X2, y2)，點 P(0,0)，直線 y kx ,2(x Xo)2p(kx yo)22一方面。要證1PC1|PD|2|PQ|化斜為直后112只須證：X1X2X3由于11X1x22(xopk)X1X2XX22X02pkX 2(Xo pk)x Xo 2pyo 0另一方面，由于 P(o,0)所以切點弦方程為：X)(x xo) p( y 2yo)PF (1, y),由PM PF20，因此，動點的軌跡方程為y2 4x(x 0).4分

8、(2 )設I與拋物線交于點A (X1,y1) ,B(x2,y2),當 l 與 x軸垂直時,所以X3x2 2pk1 Xo pk X3 x：2 pkXopk11 2從而X1X2X3即112PC|PD|PQ|2.()設動點 N 的坐標為(x,y),則 M( x,0), P(0, -)(x0), PM“( x,-),故與I與x軸不垂直，可設直線I的方程為y=kx+b(kM 0),則由OA OB4,得x1x2 y1 y24 6分由點 A，B在拋物線 y2 4x(x 0)上，有yf 4x1, y； 4x2,故yy：8.又 y2=4x, y=kx+b 得 ky2 4y+4b=0, 8 分所以竺“ ，2 k2

9、21 k8,b2k.16(1 2k2),|AB |22k32) 10分因為4.61 k2| AB | 4.30,所以 96廠k32)480.解得直線I的斜率的 取值 范圍是i, 22,1.12分3.由題意得C為AP中點，設C(Xo,yo), A( 2,0)，P(2xo2,2yo),把C點代入橢圓方程、P點代入雙曲線方程可得2 23x 4y123(2x0 2)2 4y12解之得:滄133,故C(1,-), P(4,3),又 B(2,0)y。 一22故直線PD的斜率為423，直線PD的方程為y ?(x 2)2 23 , y (x 聯(lián)立 22 2x y 4 32)解得D(1,13、，故直線CD的傾斜

10、角為902)4.解法(I)由|PM| |PN|= 2,2知動點P的軌跡是以 M,N為焦點的雙曲線的右支，實半軸長a ,2又半焦距c=2，故虛半軸長bc2 a2、22 2 _所以W的方程為1, x 故 x1x22kmX-|X2m22k2 1所以ULW UUUOA OBX1X2y2X1X2(k%m)(kx22 2m) (1 k )x1x2 km(x-i x2) m(1 k2)(m2 2)k2 12k2m21 k2m22k2V又因為X1X20,所以k2 1uuu0，從而OAuuuOB2.綜上，當 AB丄X軸時,uuu uuuOA OB取得最小值2.解法二：(I)同解法的坐標分別為，則(x-i, y-

11、i) , (x2, y2),則2 2Xiy,(Xiyj(xyi)2(i1,2).則 sti :2,且s0,ti0(i1,2)所以UUL UUU1OA OBX1X24(S1 t1)(S2 t2)11SlS22二址22$32址22,當且僅當SS2t1t2，即X1X2時” ”成立y1y2UUU UUU所以OA OB的最小值是2.設A, B5. (1)2令 s Xi yi,ti Xi y,14(s A： t2)xink當k=0或k=-1或k=4時，21，為橢圓的充要條件是k 14 kC表示直線；當kz 0且kz -1且kz 4時方程為k即是 0k2或 2k4(2)為雙曲線的充要條件是0,即k1或-1k

12、 0 或 k 4,當k 1或k 4時,雙曲線焦點在x軸上2 ,a當-1 k 0時,雙曲線焦點在y軸上,b2kk1 2-,aLb2kk1-,得k 6,不符.2綜上得雙曲線方程為：亠76（川）若存在，設直線 PQ的方程為：y=-x+my6x2x m2y2消去y得:4x2724mx 2m 70xo設P,Q的上點是M （x,y。）,貝Vyo3；,M在直線L上,3m21方程（2）的厶0,.存在滿足條件的P、Q,直線PQ的方程為y x -26. （1）由橢圓的定義，點 P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長 因此半焦距c=2,長半軸a=3，從而短半軸2a=6的橢圓.b= . a2 c2, 5，2 2所以橢圓的方

13、程為1.95由|PM gPN21 cosMPN2，PM gPN|cosMPN |PM gPN| 2.因為cosMPN 1,P不為橢圓長軸頂點，故P、M、N構成三角形.在厶PMN中,mN 4,由余弦定理有MN 2由（1）知，點P的坐標又滿足111,所以 PM|2 |PN2 2 PM gPN cosMPN.將代入，得42 PM |2 |PN2 2( PM gPN 2).2故點P在以M、N為焦點，實軸長為2.3的雙曲線 y21上.3由方程組5x2 9y245,x2 3y23.x解得y332股2 .3 3即P點坐標為3、3533一5（,）、（，-一）22 227解：（I）MON 3，M，N是直線1與雙

14、曲線兩條漸近線的交點，33b tan三,a 632雙曲線的焦距為4, a即a,3b 2分2b4 4 分29解得，a 3,b12X2橢圓方程為y 13（II）解：設橢圓的焦距為2c，則點F的坐標為（c,0）OM ON 0,l1直線11的斜率為直線l的斜率為f，直線I的方程為c)設 A(x,y),由 FA解得cab即點nI)cIan3a2c, y13(cabx,一cy)1ax c (- 即3 c1 ab y 3U2-X)y)3c24cab4ca2 ab*10 分o點A在橢圓上,(3c2a2 216a c2)22a16c212分(3c2 a2)2a42 216a c ,(3e21)2 116e29e4 10e2e2橢圓的離心率是e2x 2彳8.(I)由2 y 1222ax 2a x (2m 1)a0,y1 時，Smax 1a 1；當 a a2(x m)設 f (x) x22a2x(2m 1)a2,則冋題(I)轉化為方程在區(qū)間(若0m2 a1，此時Xpa2，當且僅當aa2a，即 02若f(a)f (a)0 ,貝U a ma ;若f ( a)0ma，此時xP2a 2a ,當且僅當 a2a 2a a,若 f (a)0ma，此時xP2 2a 2a , 但 a 2aa，從而m綜上所述，當0a1 時，m -2 1或 a m a ；當a1時，aa。a, a)上有唯一解: