圓錐曲線極點(diǎn)極線問(wèn)題[參照分析]

1、圓錐曲線的極點(diǎn)與極線在高考中的應(yīng)用劉定勇（安徽省寧國(guó)中學(xué) ，242300） 圓錐曲線的極點(diǎn)與極線理論在高考中應(yīng)用較多，原因有二：其一，有高等數(shù)學(xué)背景，結(jié)論非常完美；其二，運(yùn)用高中知識(shí)解決問(wèn)題，能夠考查學(xué)生思維、計(jì)算多方面能力.文1給出了兩個(gè)較為簡(jiǎn)潔的結(jié)論：命題1 橢圓，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線. 雙曲線，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線.拋物線，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線.命題 2 圓錐曲線中極線共點(diǎn)于P，則這些極線相應(yīng)的極點(diǎn)共線于點(diǎn)P相應(yīng)的極線.反之亦然.稱為極點(diǎn)與相應(yīng)極線對(duì)偶性. 以上結(jié)論在文2中有證明.如圖給出橢圓的極點(diǎn)與對(duì)應(yīng)極線的簡(jiǎn)圖：P在橢圓內(nèi)P在橢圓外題1、（2010湖北文15）.已知橢圓的兩焦點(diǎn)為,點(diǎn)滿足,則|+|的取值范圍

2、為_(kāi)，直線與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)_.解析：第一個(gè)問(wèn)題，依題意知，點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部.畫(huà)出圖形，由數(shù)形結(jié)合可得范圍為.第二個(gè)問(wèn)題，其實(shí)是非常容易做錯(cuò)的題目.因?yàn)樵跈E圓的內(nèi)部，所以很多學(xué)生誤以為直線與橢圓一定有兩個(gè)交點(diǎn)，但直線并不經(jīng)過(guò).還有學(xué)生看到這樣的結(jié)構(gòu)，認(rèn)為是切線，所以判斷有一個(gè)公共點(diǎn).事實(shí)上，是對(duì)應(yīng)的極線，在橢圓的內(nèi)部，由命題2畫(huà)出相應(yīng)極線，此直線與橢圓不可能有交點(diǎn)，故交點(diǎn)數(shù)為0個(gè).如果能夠用極點(diǎn)與極線理論，本題能夠快速解決.而常規(guī)方法只能聯(lián)立方程用判別式判斷了.題2、（2010重慶文21）已知以原點(diǎn)為中心，為右焦點(diǎn)的雙曲線的離心率.（）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；（）如題圖，已知過(guò)點(diǎn)的直

3、線：與過(guò)點(diǎn)（其中）的直線：的交點(diǎn)在雙曲線上，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點(diǎn)，求的值. 解析：（I）C的標(biāo)準(zhǔn)方程為C的漸近線方程為 （II）如圖，直線和上顯然是橢圓的兩條切線，由題意點(diǎn)在直線和上，MN即是由E點(diǎn)生成的橢圓的極線.因此直線MN的方程為 MN的方程求出后剩下工作屬常規(guī)計(jì)算.設(shè)G、H分別是直線MN與漸近線及的交點(diǎn)，由方程組解得故因?yàn)辄c(diǎn)E在雙曲線所以分析：如果是常規(guī)方法求直線MN的方程，只能是觀察：由題意點(diǎn)在直線和上，因此有故點(diǎn)M、N均在直線上，因此直線MN的方程為應(yīng)該說(shuō)很難觀察，所以很多學(xué)生只能不了了之.題3、（2010江蘇18）、在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)

4、為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過(guò)點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m0,.（）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（）設(shè),求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）.解析：（）（）很簡(jiǎn)單，略.（）我們先看看常規(guī)做法：點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線，與橢圓聯(lián)立得直線，與橢圓聯(lián)立得當(dāng)時(shí)，直線MN方程為： 令，解得：.此時(shí)必過(guò)點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）.所以直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）.分析：怎么樣？目瞪口呆吧.應(yīng)該說(shuō)，一點(diǎn)也不難，但是很難算對(duì).如果知道點(diǎn)T的坐標(biāo)為，事實(shí)上T的軌跡是，可以看成是一條極線：，所以它一定過(guò)定點(diǎn)D（1，0）

5、. 題4、已知橢圓C的離心率，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為，。（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)S。試問(wèn)：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫(xiě)出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。解法一：（）設(shè)橢圓的方程為。1分，。4分橢圓的方程為。5分（）取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為7分,若，由對(duì)稱性可知交點(diǎn)為若點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為。8分以下證明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。事實(shí)上，由得即，記，則。9分設(shè)與交于點(diǎn)由得設(shè)與交于點(diǎn)由得10，12分，即與重合，這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。13分解法二：（）取得，直線的方程是直線的方程

6、是交點(diǎn)為7分取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為若交點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為。8分以下證明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。事實(shí)上，由得即，記，則。9分的方程是的方程是消去得以下用分析法證明時(shí)，式恒成立。要證明式恒成立，只需證明即證即證式恒成立。這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。解法三：（）由得即。記，則。6分的方程是的方程是7分由得9分即12分這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。13分2006高考全國(guó)卷（21）（本小題滿分為14分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A、B是熱線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M。（I）證明為定值；（II）設(shè)的面積為S，寫(xiě)出的表達(dá)式，并求S的最小值。（21）（本小題滿分13分）設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)滿足，經(jīng)過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)滿足,求點(diǎn)的軌跡方程。（20）（本小題滿分13分）點(diǎn)在橢圓上，直線與直線垂直，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的傾斜角為，直線的傾斜角為.（I）證明: 點(diǎn)是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)；（II）證明:構(gòu)成等比數(shù)列。我們知道，各省市專家在命制有關(guān)圓錐曲線高考題時(shí)，一定會(huì)站在一個(gè)比較高的位置出發(fā)，比較新穎的角度來(lái)考慮.而往往他們能夠一眼看穿的結(jié)論、一招制敵的辦法卻不為高中同學(xué)所熟知.所以，如果我們能夠了解一些圓錐曲線的極點(diǎn)極線知識(shí)，可以