平面幾何的幾個(gè)重要的定理

1、一、梅涅勞斯定理:平面幾何的幾個(gè)重要的定理定理1若直線l不經(jīng)過(guò)厶ABC的頂點(diǎn)，并且與 的延長(zhǎng)線分別交于P、Q、R，則BP CQ AR “1PC QA RB證：設(shè)hA、hB、hC分別是A、B、C到直線I的垂線的長(zhǎng)度，貝U:BP CQ AR hB he hA ,1PC QA RB hC hA hBABC的三邊BC、CA、AB或它們注：此定理常運(yùn)用求證三角形相似的過(guò)程中的 線段成比例的條件；例1若直角ABC中，CK是斜邊上的高，在AK 上, D是AC的中點(diǎn)， F是DE與CK的交點(diǎn)，證明: 證：在AEBC中，作B的平分線BH則:EBC ACKHBC - ACEHBC HCB = ACE HCB = 9

2、0 即：BH _ CEEBC為等腰三角形作BC上的高EP，貝U : CK二EP 對(duì)于ACK和三點(diǎn)D、E、F依梅涅勞斯定理有：CD AE KF “1DA EK FC 工曰KF EK CK于是 =FC AE AC KF BK即：=FC BE依分比定理有CE是.ACK的平分線， E點(diǎn)BF II CE。EP BPAC 一 BC=bkKC KEFKB 三 CKEBF II CEBKBE【練習(xí)1】從點(diǎn)K引四條直線，另兩條直線分別交這四條直線于C1 Dj，試證:ACBCAD A1C1 A1D1BD B1C1 B1D1定理2:設(shè)P、Q、R分別是 ABC的三邊BC、CA、AB上或它們的延長(zhǎng)線上的 三點(diǎn)，并且P、

3、Q、R三點(diǎn)中，位于ABC邊上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為。或2這時(shí)若訣罟鬻二1求證：P、Q、R三點(diǎn)共線;證：設(shè)直PQ與直線AB交于R，匹 CQ A j PC QA R BA位于 ABC邊上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)也為或2,又 BP CQ AR = J 則:理= PC QA RBR B RB由于在同一直線上的、Q、R三點(diǎn)中，因此R與R或者同在AB線段上，或者同在B的延長(zhǎng)線上；若R與R同在AB線段上，貝R與R必定重合，不然的話設(shè)ARaAR, 這時(shí)AB - AR AB - AR，即BR BR,于是可得空BR BRAR AR這與 = r矛盾BR BR類似地可證得M與R同在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，R與R也重合綜上可得：P、Q、R三點(diǎn)共線；

4、注：此定理常用于證明三點(diǎn)共線的問(wèn)題，且常需要多次使用再相乘；例2點(diǎn)P位于 ABC的外接圓上;人、B1 C1是從點(diǎn)P向BC、CA、AB引的垂線的垂足,證明點(diǎn)Aj、Bj、Cj共線;BA1BP cosPBC證：易得：LCAjCP cosPCBCBjCP cosPCAABjAP cosPACAC jAP cosPABBCjPB cosPBA將上面三條式子相乘，且 PAC = PBC, PAB 二 PCB, PCA PBA 二 j80BAj CBjCAj ABjACjBCj依梅涅勞斯定理可知、Bj點(diǎn)共線；Y【練習(xí)2】設(shè)不等腰: ABC的內(nèi)切圓在三誼C、CA、 AB上的切點(diǎn)分別為、E、F，貝UEF與BC，

5、 FD與CA, DE與AB的交點(diǎn)X、Y、Z在 同一條 直線上；【練習(xí)3】已知直線3, BBi, CCi相交于0,直線AB和AiBi的交點(diǎn)為6,直線BC與BiCi的交點(diǎn)是A2,直線AC與AiCi的交點(diǎn)是B2,試證：A2、B2、C2三點(diǎn)共線；【練習(xí)4!在一條直線上取點(diǎn) E、C、A，在另一條上取點(diǎn) B、F、D，記直線AB和ED ,CD和AF , CD和AF , EF和BC的交點(diǎn)依次為 L、M、N，證明：L、M、N共線練習(xí)i的證明證：若AD/AQ結(jié)論顯然成立；若AD與AiDi相交與點(diǎn)L ,則把梅涅勞斯定理別用于 AiAL 和 Bi BL可得:LC AK AiCi “=i AC AiK LCiAD LD

6、i AiK “=iLD AiDi AKLD BK BiDi “ iBD BiK LDiBC LCi BiK “將上面四條式子相乘得：AD 匹-BDLC BiCi BK =iAC BD AiDi BiCi證：AABC被直線XFE所截，由定理可得:少XC EA FB又；AE二AF代人上式可得:FBXCAZ = EA_ ZB BD將上面三條式子相乘得:bx CYXC YA又；X、Y、Z都不在 ABC的邊上，同理可得=竺YA AFCEAZ iiZB由定理可得X、Y、Z點(diǎn)共線即:AC:AD AiCi ： Ai DiBC BD Bi C i BiDi練習(xí)2的證明練習(xí)3的證明證：設(shè)A2、B2、C2分別是直細(xì)

7、C和B1C1, AC和A1C1, AB和A1 B1的交點(diǎn)， 對(duì)所得的三角形和在它邊上的點(diǎn)：OAB和(A1，B1,C2 ),OBC和(B“ Ci,A2),0AC和(Ai，6,B2)應(yīng)用梅涅勞斯定理有：AA1OB1BC2“ OC1 BB1 CA2_ OA1CC1AB2_11 1OA1BB1AC 2 CC1 OB1 BA2AA1OC1CB2將上面的三條式子相乘得:竺二iac2 cb2 ba2由梅涅勞斯定理可知2,B2,C2共線練習(xí)4的證明UE VL WD ,1 VE WL UDWA UC VE1VA WC UE證：記直線EF和CD，EF和AB，AB和CD的交點(diǎn) 分別為U、V、W， 對(duì) UVW， 應(yīng)用梅 涅勞斯定理于五組三元(L,D,E ),( A,M ,F ),(B