保三角形函數(shù)

1、精品文檔12、 ( 北京市東城區(qū)2008 年高三綜合練習二) 已知函數(shù)f ( x) 滿足下列條件：函數(shù) f ( x) 的定義域為 0 ， 1 ；對于任意x 0,1, f ( x)0,且f (0)0, f (1)1；對于滿足條件x10, x20, x1x21 的任意兩個數(shù)x1, x2 , 有f ( x1x2 )f (x1)f ( x2 ).（ 1）證明：對于任意的0xy1,有 f ( x)f ( y) ；（ 2）證明：于任意的0x1,有 f (x)2x ；（ 3）不等式f ( x)1.9x 對于一切 x 0 ， 1 都成立嗎？試說明理由.（ 1）證明：對于任意的0xy1,則0 y x1, 可得

2、f ( y x) 0所以 f ( y)f ( yxx)f ( yx)f (x)f ( x),即對于任意的0xy 1, 有 f ( x)f ( y).5 分（ 2）證明：由已知條件可得f (2x)f ( x)f ( x) 2 f ( x).當x時020,0 , f (0)即當x時, f ( x)2 x.0假設存在 x00,1 ,使得 f ( x0 )2x0 ,則x0 一定在某個區(qū)間1,1(k*) 上.2kk 1N2設 x01,1,則2 x0 ,4 x0 ,k12k2k 1,2x0 均在區(qū)間 0,1內(nèi).則 f (2 x0 )4x0 , f (4 x0 ) 8x0 , , f ( 2k 1 x0 )

3、2k x0 .由 x01k ,1k 1 ,可知 12 k 1 x01,且 2 k x0 1,222所以 f (2 k 1 x0 )f (1)1,又 f (2k 1 x0 ) 2 k x01.從而得到矛盾 ,因此不存在 x00,1 ,使得 f ( x0 )2x0 .所以對于任意的0x1, 有 f (x)2x.10 分（ 3）解：取函數(shù)0,0x1 ,f (x)121,x1.2則 f (x) 顯然滿足題目中的（ 1），（ 2）兩個條件，任意取兩個數(shù) x1 , x2 , 使得 x1 0, x2 0, x1 x2 1,。1 歡迎下載精品文檔若 x1 , x20, 1, 則 f ( x1 x2 ) 0 f

4、 ( x1 ) f ( x2 ),2若 x1 , x2 分別屬于區(qū)間 0, 1 和 1 ,1 中一個 ,22則 f ( x1x2 )1f ( x1 )f ( x2 ),而 x1 , x2不可能都屬于 1 ,1 , 2綜上可知 , f (x)滿足題目中的三個條件 .而 f (0.51)11.90.510.969.即不等式f ( x)1.9x并不對所有 x 0,1都成立 .13、 ( 北京市海淀區(qū)2008 年高三統(tǒng)一練習一) 一個函數(shù)fx ，如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a, b, c 都在 fx 的定義域內(nèi)，就有fa , fb , fc 也是某個三角形的三邊長，則稱fx 為 “ 保三角形函

5、數(shù) ” （ I ）判斷 f1xx ， f2 xx ， f3 xx2 中，哪些是 “ 保三角形函數(shù) ”，哪些不是，并說明理由；（ II ）如果 gx 是定義在 R 上的周期函數(shù)，且值域為0,，證明 gx 不是 “ 保三角形函數(shù) ” ；（ III ）若函數(shù) Fxsin x ， x0, A 是 “ 保三角形函數(shù) ” ，求 A 的最大值（可以利用公式 sin xsin y2sin xy cos xy ）22解：（ I ） f1x , f 2x 是“保三角形函數(shù)”，f 3 x不是“保三角形函數(shù)”1分任給三角形，設它的三邊長分別為a, b,c ，則 abc ，不妨假設 a 剟c,bc ，由于 ababc0

6、 ，所以 f1x , f2 x 是“保三角形函數(shù)” .3分對于 f 3x ， 3， 3， 5 可作為一個三角形的三邊長，但323252 ，所以不存在三角形以 32 ,3 2 ,5 2 為三邊長，故f3x不是“保三角形函數(shù)”4分（ II ）設 T 0 為 gx 的一個周期，由于其值域為0,，所以，存在 nm0 ，使得 g m1, g n2 ，。2 歡迎下載精品文檔nmT m,Tm, n 這三個數(shù)可作為一個三角形的三邊長，取正整數(shù)，可知T但 g Tm 1 ， gTm1, g n2不能作為任何一個三角形的三邊長故gx不是 “ 保三角形函數(shù) ” 8分（ III） A 的最大值為 59分65一方面，若A

7、，下證 Fx 不是 “ 保三角形函數(shù) ”.6取, 5, 50, A ，顯然這三個數(shù)可作為一個三角形的三邊長，但266sin1,sin 51 ,sin 51不能作為任何一個三角形的三邊長，故Fx 不是26262“保三角形函數(shù) ” .另一方面，以下證明A5是 “ 保三角形函數(shù) ” 時， F x6(0, 5 ) ，則分類討論如下：對任意三角形的三邊a,b, c ，若 a, b, c（ 1） abc 26，此時 a 2b c255，同理， b,c，6633a, b, c ( , 5 )，故sa i b n c1 ,s ， in,11362sin a sin b1sin c 22同理可證其余兩式. si

8、n a,sin b,sin c 可作為某個三角形的三邊長（ 2） abc2此時， abc，可得如下兩種情況：22ab 時，由于 ab c ，所以，0c a2b .2222由 sin x 在 (0, 上的單調(diào)性可得0sin csin a2b 1；ab2cab2，22時， 0222同樣，由 sinx 在 0,上的單調(diào)性可得0sin csin ab 1 ；222總之， 0sin csin ab 1.252又由 abc0,上單調(diào)遞減，得及余弦函數(shù)在6。3 歡迎下載精品文檔cos a babcos 50 ，cos2cos c2212 sin a sinb 2sin ab cosa b2sin c cos

9、 csin c 22225同理可證其余兩式，所以sin a,sin b,sin c 也是某個三角形的三邊長故 A時，6F x 是 “ 保三角形函數(shù) ”綜上， A的最大值為 5629、 ( 江蘇省常州市北郊中學2008屆高三第一次模擬檢測) 設 M 是由滿足下列條件的函數(shù)f ( x) 構成的集合：“方程f ( x) x 0有實數(shù)根；函數(shù)f ( x) 的導數(shù) f( x) 滿足0f”(x) 1( ) 判斷函數(shù)f (x)xsin x2是否是集合 M中的元素，并說明理由；4( ) 若集合M 中的元素具有下面的性質(zhì)：“若f ( x) 的定義域為 D，則對于任意m, nD ，都存在 x0 m,n ，使得等式

10、 f (m)f (n)(mn) f ( x0 ) 成立”試用這一性質(zhì)證明：方程f (x)x 0 只有一個實數(shù)根；( ) 設 x1是方程 f ( x)x0 的實數(shù)根， 求證：對于 f (x) 定義域中的任意的x2 , x3 ，當 | x2x1 | 1 且 | x3 x1 | 1時， | f ( x3 )f ( x2 ) | 2解： ( ) 易證函數(shù)f (x)xsin xM24滿足條件，因此 f ( x)( ) 假設 f ( x)x0 存在兩個實根,() ，則 f ()0 ， f ()0不妨設，由題知存在實數(shù)( ,) ，使得 f ()f ()() f( ) 成立。f ()， f ()且， f( )

11、1 與已知矛盾， 所以方程 f ( x)x0 只有一個實數(shù)根( )不妨設 xx3，f ( x)0，f ( x)為增函數(shù)， f (x2)f ( x ) ，又f ( x) 123函數(shù) f ( x) x 為減函數(shù)，f (x2 ) x2f (x3 )x3 ， 0f ( x3 )f (x2 ) x3x2 ，即 | f ( x3 )f ( x2 ) | | x3x2 | ，。4 歡迎下載精品文檔24、( 河南省許昌市2008 年上期末質(zhì)量評估) 設 f (x) 是定義在 (0 ，1) 上的函數(shù)， 且滿足：對任意 x (0 ，1) ，恒有 f (x)0 ；對任意x1，x2 (0 ，1) ，恒有 2.( )

12、求證：對任意x (0 ， 1) ，恒有 f (x) f(1 x) ；( ) 求證：對任意的x1、 x2 (0 ， 1) ，恒有 f(x 1) f(x 2) 32、( 江蘇省如東高級中學 2008 屆高三四月份模擬 ) 定義在定義域 D內(nèi)的函數(shù) y=f ( x), 若對任意的 x1、x2 D, 都有 | f ( x1) f ( x2)| 1, 則稱函數(shù) y=f ( x) 為 “ Storm 函數(shù) ” 已知函數(shù)f ( x)= x3 x+a( x 1,1 , aR) （ 1）若 a 2 ，求過點 (1,2) 處的切線方程；（ 2）函數(shù) f ( x) 是否為 “ Storm 函數(shù) ” ?如果是 , 請

13、給出證明 ; 如果不是 , 請說明理由分析 : 本題屬于信息遷移題, 主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值解：（ 1） f ( x) 3x21， k 2 ， 切線方程為 y 2x （ 2）函數(shù) f ( x)= x3 x+a( x 1,1 , aR) 的導數(shù)是 f ( x)=3 x2 1,當 3x2 1=0 時 , 即 x=3 ,3當 x3 時 , f ( x)=3 x21 0; 當 x3 時 , f ( x)=3 x2 10,33故 f ( x) 在 x 1,1 內(nèi)的極小值是 a 2 3 9同理 , f ( x) 在 x 1,1內(nèi)的極大值是a+ 2 3 9 f (1)= f ( 1)= a, 函數(shù) f

14、 ( x)= x3 x+a( x 1,1 , a R) 的最大值是 a+ 2 3, 最小值是 a 2 3 ,因為 | f ( x1) f ( x2)| | f max f min|,99故 | f ( x) f ( x )| | f f43 1min|=12max9所以函數(shù) f ( x)= x3 x+a( x 1,1 , a R) 是 “ Storm 函數(shù) ” 。5 歡迎下載精品文檔35、 ( 山東省鄆城一中2007-2008 學年第一學期期末考試 ) 造船廠年造船量20 艘，造船 x 艘產(chǎn)值函數(shù)為 R x3700x 45x2 10x3（單位： 萬元），成本函數(shù) c x460x 5000（單位 ： 萬 元 ） ， 又 在 經(jīng) 濟 學 中 ， 函 數(shù)fx的 邊 際 函 數(shù) Mfx定 義 為M fxfx1fx（ 1）求利潤函數(shù) P x 及邊際利潤函數(shù) MP x （利潤 =產(chǎn)值成本）（ 2）問年造船量安排多少艘時，公司造船利潤最大（ 3）邊際利潤函數(shù) MP x 的單調(diào)遞減區(qū)間解：（ 1） P x R x C x10 x345x23240x 5000,xN ,1x20 ；MP xPx1Px30x260 x3275, xN ,1 x19（ 2） P x30x 290x32