初中幾何經(jīng)典例題及解題技巧

1、初中幾何證明技巧及經(jīng)典試題證明兩線段相等1 兩全等三角形中對應(yīng)邊相等。2. 同一三角形中等角對等邊。3. 等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。4. 平行四邊形的對邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。5. 直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。6. 線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。7. 角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。8. 過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。%同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的 弦相等。0.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑 分成的兩 段相等。兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式

2、中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等。2兩圓的內(nèi) （外）公切線的長相等。13 等于同一線段的兩條線段相等。證明兩個角相等1. 兩全等三角形的對應(yīng)角相等。2. 同一三角形中等邊對等角。3. 等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。4. 兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等。5. 同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。*6同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎Φ膱A心角相等，圓周角相等，弦切角等 于它所 夾的弧對的圓周角。*7圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。8 相似三角形的對應(yīng)角相等。%圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。10.等于同一角的兩個角相等。證明兩條直線互相垂直1等

3、腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。2. 三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。3在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。4. 鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。5. 一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。6. 兩條直線相交成直角則兩直線垂直。7. 利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。8. 利用勾股定理的逆定理。9. 利用菱形的對角線互相垂直。F0.在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙摇＠冒雸A上的圓周角是直角。證明兩直線平行1. 垂直于同一直線的各直線平行。2. 同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。3. 平行四邊形的對邊平行。

4、4. 三角形的中位線平行于第三邊。5. 梯形的中位線平行于兩底。6. 平行于同一直線的兩直線平行。7. 一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應(yīng)成比例，則這條直線 平行于 第三邊。證明線段的和差倍分1 作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。2. 在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。3. 延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。4. 取長線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。5. 利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上 的中 線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。證明角的和差倍分1 與證明線段的和、差、倍、分思路相同。2.

5、利用角平分線的定義。3. 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。證明線段不等1. 同一三角形中，大角對大邊。2. 垂線段最短。3. 三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。4. 在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。*5同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。6. 全量大于它的任何一部分。證明兩角的不等1. 同一三角形中，大邊對大角。2. 三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。3. 在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也 大。*4同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。5. 全量大于它的任何一部分。證明比例式或等積式1. 利用相似三角形對

6、應(yīng)線段成比例。2. 利用內(nèi)外角平分線定理。3. 平行線截線段成比例。4. 直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。氣與圓有關(guān)的比例定理相交弦定理、切割線定理及其推論。6利用比利式或等積式化得。證明四點(diǎn)共圓 鋼對角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓。*2外角等于內(nèi)對角的四邊形內(nèi)接于圓。*3同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓（頂角在底邊的同側(cè)）。% 同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。*5到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓知識歸納：1. 幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力 有著很 大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有 關(guān)平面圖形的 位置關(guān)系。這兩類問題常常可以相互轉(zhuǎn)化，如證明平行

7、關(guān)系可轉(zhuǎn) 化為證明角等或角互 補(bǔ)的問題。2. 掌握分析、證明幾何問題的常用方法：（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件岀發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理 的應(yīng) 用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決；（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條 件， 然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為 止；（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合 法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與 結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。3. 掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此 要善于 將復(fù)

8、雜圖形分解成基本圖形。在更多時候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時往往 需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。一. 證明線段相等或角相等兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很 多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最 常用的方法是 利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的 判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例1已知:如圖1所示，ABC中，C=90, AC 二 BC, AD 二 DB, AE 二 CF。求證：DE八 DF分析：由ABC是等腰直角三角形可知，AB=45,由D是AB中點(diǎn)，可考慮連結(jié) CD易得CD=

9、AD,上DCF二45”。從而不難發(fā)現(xiàn) 蟲DCF三PAE證明：連結(jié)CD說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作 頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角 三角形中，更 應(yīng)該連結(jié)CD,因?yàn)镃D既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延長ED到 G,使DG= DE連結(jié)BG證EFG是等腰直角三角形。例2己知：如圖2所示，AB=CD AD= BC, AE CF。求證：/ E=Z F證明：連結(jié)AC在ABC和CDA中，在BCE和DAF中，說明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角 形，這 時應(yīng)注意：（1）制造的全等三角形應(yīng)分別包括

10、求證中一量；（2）添輔助線能夠直接得到的兩個全等三角形。二. 證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用 同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對應(yīng)成比例、三 角形中位線定理 證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個角等于90 ,或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證。例3如圖3所示，設(shè)BP、CQ是ABC的內(nèi)角平分線，AH AK分別為A至U BP、 CQ的垂線。求證：KH/ BC分析：由己知，BH平分/ ABC又BHLLAH,延長AH交BC于N,貝U B心BN, AH=HN同理，延長AK交BC于M,貝UC心CM AK= KM從而由三角

11、形的中位 線定 理，矢口 KH/BC證明：延長AH交BC于N,延長AK交BC于M/ BH 平分/ ABC Z ABH 二 Z NBH又 BH! AH Z AHB = Z NHB =90 BH 二 BH同理，C心CM, AK= KM 二KH是心AMN的中位線KH/MN 即 KH/BC說明：當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時，則此三角形必 為等腰三 角形。我們也可以理解成把一個直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對 稱）而成一個等 腰三角形。例 4己知：如圖 4 所示，AB= ACZA = 90,AE = BF,BD = DC。求證：FD丄ED證明一：連結(jié)AD在ADE和丄BDF中，說明：有等腰

12、三角形條件時，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線 是常用輔助線。證明二 如圖5所示，延長ED到M,使DM= ED,連結(jié)FE, FM, BM說明：證明兩直線垂直的方法如下：（1）首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，見 本題證二。（2）找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個銳角互余。3）證明二直線的夾角等于90 o三. 證明一線段和的問題（-）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較 短線 段。（截長法）例5己知：如圖6所示在占ABC中，NB = 60。，/ BAG / BCA勺角平分線AD CE相交于Q求證：AO AE+ CD分析：在AC

13、上截取AF= A呂易知CAEOAFO ,.。由B=60,知.5. 6 =60,八 60, . 2.3=120。1 二/2=60 ,得：FOC 二 DOC , FC 二 DC證明：在AC上截取AF二AE又.B =60即 AC = AE CD（二）延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條 線段，證明該線段等于較長線段。（補(bǔ)短法）例6己知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC , E在BC上，EAF =45o 求證：EF= BE+ DF分析：此題若仿照例1,將會遇到困難，不易利用正方形這一條件。不妨 延長CB 至 G,使 BG= DFo證明：延長CB至G,使BG=DF在正方

14、形 ABCD 中，ABG =/D =90 , AB = AD又 EAF 二 45即/ GAE=Z FAE中考題：如圖8所示，已知iABC為等邊三角形，延長BC到D,延長BA到E,并且使AE二 BD,連結(jié)CE D呂求證：EOED證明：作DF/AC交BE于FABC是正三角形：BFD是正三角形又 AE= BD 即 EF二 AC題型展示：證明幾何不等式：例題：已知：如圖9所示，1一2, ABAC。求證：BD DC證明一：延長AC到E,使AE= AB,連結(jié)DE在ADE和ADB中，證明二 如圖10所示，在AB上截取AF二AC,連結(jié)DF則易證厶ADF二ADC 說明：在有角平分線條件時，常以角平分線為軸翻折構(gòu)

15、造全等三角形，這 是常用輔 助線。實(shí)戰(zhàn)模擬：1 已知：如圖11所示，“BC中，.C=90, D是AB上一點(diǎn)，DELGD于1D,交BC于E,且有AC二AD二CE。求證：DE二CD22已知：如圖12所示，在ABC中，.A = 2. B, CD是/C的平分線。求證：BOAC+ AD3. 已知：如圖13所示，過ABC的頂點(diǎn)A,在/ A內(nèi)任引一射線，過B、C作此 射線的垂線BP和CQ設(shè)M為BC的中點(diǎn)。求證：M圧MQ4. ABC 中，.BAC =90, AD_BC 于 D,求證：AD :丄 AB AC BC【試題答案】1. 證明：取CD的中點(diǎn)F,連結(jié)AF又 1 4 = 90 , . 1. 3 = 902. 分析：本題從已知和圖形上看好象