常微分公式方程

1、文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯歡迎下載支持常微分方程第一二章考測(cè)驗(yàn)試卷(8)班級(jí)：學(xué)號(hào)：姓名：得分：一. 填空題(10分)1 . 稱為一階線性方程，它有積分因子 ，其通解為。2 .當(dāng)時(shí)，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=O 稱為恰當(dāng)方程。3. 方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=O 有只含x的積分因子的充要條件是 有只含y的積分因子的充要條件是 。4 . 稱為伯努禾寸方程，它有積分因子 。5 . 稱為黎卡提方程，若它有一個(gè)特解 ，則經(jīng)換，可化為伯努利方程。二. 求一曲線，是其切線在縱軸之截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)。(10分)三. 出伯努利方程的積分因子。(15分)四. 求下

2、列方程的通解。(45分)1 . y3 x3(1 y) 02 dy = x y 12dx x y 333. x(4ydx+2xdy)+y (3ydx+5xdy)=04. (y-1-xy ) dx+xdy=05. =y+sinxdx6. (x 2 y3+xy)y =17. (x 2 -1)y +y2-2xy+1=02xy2 3x28. 飛 dx+ 4 dy=0y y五. 證明題。(20分)(1) 一階非齊線性方程的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程的解(2) 齊線性方程的任一解的常數(shù)倍或任兩解之和仍為其解。11文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已整理，word版本可編輯參考答案一.填空題。1. dy =P (x) d

3、xy+Q(x)P(x)dx e2M (x, y)N(x, y)yxP(x)dxP(x)dxe ( Q(x)e dx c)3.(x)(y)4. dy P(x)y Q(x)yn dx5. 孚 P(x)y Q(x)y2 dx(n 1)P(x)dx eR(x) y(x)=y(x)+z.解：設(shè)曲線的切點(diǎn)為（x,y),設(shè)切線的方程為Y-y=y (X-x),由題意得：y-xy =x,即 d =- -1dx x令x得 y=ux 則=u-1u=-ln x +c 即=-In x +cdxx與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0,y-xy ）, （x-上）y方程的通解為y=cx-xIn x.解：伯努利方程為：包=P(x)y+Q(x)

4、y ndx兩邊同乘以 y n 得：y n = p(x)y n 1 +Q(x) dx貝V p(x)y n 1 +Q(x)dx- y n dy=0y xN-P(x)(1 n)y nn-(n-1)P(x)y則積分因子為(n 1)P(x)(x)=e則 (x)y n dy= (x) p(x)y n 1 +Q(x)dxn(x) =y(X)= y n e(n 1)P(x)則（x）即為伯努利方程的積分因子。四.1解：令y=tx 則方程化為333t x -x (1-tx)=01 t 2 x= - -tt1 2)d( - -t )31dy=(1- t )(-占-2t) dt=(2t25121y= t - t +

5、+c52 t3t -1+tx=0dy=(1- t=t(-t2)=1- t3 t-t- *)dt1 t2則方程的通解為t1t222. 解：方程可化為2xdy+ ydx+ y dy+3dy-xdx-dx=01 3 1 2 兩邊積分即得方程的通解為xy+ 1 y3 +3y-丄x2 -x=c2 2o3. 解：用x y乘以方程兩邊得32425344x y dx+2x yd y +3x y dx+5x y dy=024425335y d x + x dy + y dx +x dy =0” 4235、小d(x y +x y )=0兩邊積分即得方程的通解為x4y2+x3y5=cM N”， y x 1 x 14

6、. 解：因?yàn)?-1Nx(x) =edx=e(x)分別乘方程兩邊得:xe (y-1-xy)dx+exxdy=0ux=e xu=xexy+ (x)yuxxx/ 、x=ey-xye+(x)= e(y-1-xy)(x)= -ex得xu= ex+xye即方程的通解為xxe +xye=c(x)=e5. 解：因?yàn)榉匠虨榫€性方程，所以dxdxy=e ( (sin x)e dx c)=ex( (sin x)e xdx c)6解:x sin x cosx =e (c-2ex方程的通解為xy=cesin x cosxxydxxydxdyx2xy兩邊同乘以2 dx 13 人 1x =x y+y 令 x =zdy則-x

7、2 dx _ dz dy dydz3ydy=-zy-y z=e (dy3 ydy ,y e dy +c)z=ce1 22y2+y-27解：y (x)=x為方程的特解，令 y(x)= y (x)+z為方程的解，則則方程可化為(x2-1)dz 2一 =-zdx1y 2=ce 2 +y -2,y=0為方程的通解。x,2dz2(x -1)(1+)+(x+z)-2x(x+z)+1=0dxdz 1變量分離得- =廠血1 1x 1_ = _ Inz 2x 1積分得:+c11lx 1= In +cy x 2|x 18解：兩邊同乘以2xy3dxy4dy3323+y2 dy=0y dx x dy6yX213叫心即

8、方程的通解為：X3 + ly3=cy3 3五證明：(1)設(shè)一階非齊線性方程為y =P (x) y+Q(x)(* )dx齊線性方程為魚=卩(x) y ( * )dx設(shè)y1,y 2為(*)的任意兩個(gè)解些=P(x)y+Q(x)dxdy1則 - =P (x) y1 +Q(x) dxd(yi y2)_dyidxdx學(xué)=卩(刈 i-y2)dxy1-y 2為方程(* )的解，命題成立。(2)設(shè)y1 ,y 2為(* )的任意兩個(gè)解，c為任意常數(shù)d (cyjdxc=cP(x)y i=P(x)(cy i)dxdd)dxc字=cP(x)y 2 =P(x)(cy 2) dx則其方程的常數(shù)倍仍為方程(*)的解d (cy

9、i cy2)dxdyic 一dxcyL=P(x)(cyi)+P(x)(cy 2)dx=P(x)(cy i+cy 2)則cy 1 +cy 2為方程的解。命題成立。常微分方程第一、二章測(cè)驗(yàn)試卷(14)一. 填空題：1 .當(dāng) 時(shí)，方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=O稱為恰當(dāng)方程，或者全微分方程。2 . 稱為一階線性方程，它有積分因子，其通解3 . 稱為奇次方程。4 . 稱為伯努利方程，它有積分因子.求下列方程的解1.2.3.dydxdydxdydxxy1 x2y tgyx x2x3y e4. ydx+(y-x)dy=05. x矽dx求微分方程dy y (y)2x6.7.8.9.y 2x2y(

10、y 2-x 2)】：-的通解;dx xey y求微分方程/+ = 0滿足用）的特解.10. y(x Iny)11. (x 2y)dx xdy 012. ydy x(1 y2)dx13. 矽 y c)2dx x x14 .求微分方程1滿足初始條件：的特解.答案、填空題:文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯歡迎下載支持213文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已整理，word版本可編輯M (x, y)N(x, y)yxdy dxp(x)yp(x)dxQ(x)(x) ep(x)dx /p(x)dxy=e( Q(x)dxe+c)dyyg - xdxdy dxp(x)yQ(x)yn(n 0.1)y nen 1

11、p(x)dx求下列方程的解：%dx解：當(dāng)y 0時(shí)，分離變量得等式兩端積分得In y即通解為y C . 1解:令y u,屯u沁x dxdx解:齊次方程的通解為令非齊次方程的特解為代入原方程，確定出di y hn(12tguCe3xC(x)1 xx2) In CC(x)e 3x15x_e C51.2.3.4.1.2.3.4.5.6.原方程的通解為+ 1 2xCe3x+ e5解: dxduu, 一dyduu,-dx1In4ydudyxdudx2y2x2x3y(u21)解：令xp, y則dx ym爭(zhēng)d(p2epp)(2pep p2ep)dpp文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯歡迎下載支持p

12、p兩邊積分x e2 ppe c或者y oy p e7.解：令 y xu，則 y u xdu， dx代入原方程，得duu xudx當(dāng)u 0時(shí)，2u，分離變量，再積分，得1 u1Inx C， uln|xC即：xy ln x C8.解：令y t，則原方程的參數(shù)形式為由基本關(guān)系式積分 y 2t2 et 1) C得原方程參數(shù)形式通解9. 解：方程為齊次一階線性微分方程，可分離變量上式兩端積分得其中為任意常數(shù)，將：】代入上式，得；=二，滿足初始條件的特解為10.解:令y p，則原方程的參數(shù)形式為 由基本關(guān)系式y(tǒng)，有dx積分得y p ln p C11.解:方程化為令y xu，則dy u xdU，代入上式，得

13、dxdx分量變量，積分，通解為原方程通解為y Cx2 x12.解：當(dāng)y 1時(shí)，分離變量得等式兩端積分得13.x巴，代入原方程，得dx即 y21 Ce xxu，則 yduu x u dx22文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已整理，word版本可編輯0時(shí),分離變量，再積分，In x1u InxC即:In x C14.解：原方程是變量可分離方程，即 ki v = - lnH -+ 兩端積分，得-即? -I冷由條件宀：，得 所以方程的特解為-lv_ 常微分方程第一、二章測(cè)驗(yàn)試卷 （15） 解方程.1. 求解方程（x+1 ） 業(yè)-ny= ex （x 11的通解n為常數(shù)。dx2. 求解方程dy=-的通解。dx 2x y

14、3 求方程dy=6 - x y的通解。dx X4 .求解方程(1COSX+ )y1 Xdx+( - 2 )dy=05.求解方程(yo )26.求方程y= (丫)dx-x矽+x的解。dx 2二.填空。(證明題1 2.3.45而方程dxy=0的通解為1ny=c (x 1)即 y=c(x)(xn1)*微分后得到3=d(X 1)n+n (x 1)n1c(x)dx dx把*代入得到dc(x)dxx=ex積分求得c(x)= e + c 代入*得到原方程的通解為)的方程，稱為變量分離方程。)的方程，稱為常微分方程。)的方程，稱為伯努利方程。 )叫做積分因子。)的方程，叫做黎卡提方程。設(shè)M (x,y )與N

15、(x,y )在長(zhǎng)方形 Q內(nèi)是二次連續(xù)可微且N 0,則方程Mdx+Ndy=0 在Q上有連續(xù)可微的，只含一個(gè)變數(shù)x的積分因子的充要條件是，Q2 2NMNNM內(nèi)有N (亍)=()x yyyxy一解方程。dy n x /八 n1. 解：方程可改寫為 d- y=e (x 1)dx x 1n xy= (x 1)(e + c)2.解：原方程可改為2dx 2x y dx 2=即=x - ydy y dy y方程dx = 2x的通解dy y2為x=c y同上解的演方程的通解為dx=Pdyn(x) y+Q(x) y3.解：這是 n=2時(shí)的伯努利方程令z=1y算得dzdx2綏代入原方程得dx6z+x它的通解為xcz

16、=-6x2+X88X=c這就是原方程的通解另外當(dāng)y=08dz dx時(shí)也是方程的解。4 .解：因?yàn)?y12，故方程是恰當(dāng)方程。y原方程整理得到dsin x+dln或者寫為 d(si nx+ln yx+)=0于是方程的解為ysi nx+ Iny + _ =c這里yc為常數(shù)5.解：方程可改寫為 xdx+ydy=x2y dx1或一 d(22 2 2 2x + y)=_ x y dx則原方程的積分因子為2,所以乘之得到y(tǒng):2 2故通解為 x y =x+c或者c(c 2x)6 解：令=p,得到y(tǒng)=dxxp2X*2兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得到p=2p 亞dxxdpdx或者(蟲 1) (2p - x)=0dx0得到p=

17、x+c代入*得到方程的通解為2y= +cx+ C 又從 2p - x=0 解得22X、xp=代入*又得到方程的一個(gè)解 y=-24填空。1. 形如dy f(x) (y)的方程dx2. 如果子微分方程中，自變量只有一個(gè)，我們把這種微分方程稱為常微分方程3. 形如9丫=卩(x) y+Q(x) y 的方程稱為伯努利方程dx，4.如果存在可微函數(shù)(x, y) 0使得(x, y)M ( x,y )dx+ (x, y) N(x,y)dy=0 為一恰當(dāng)方程，即使 M dx+ Ndy d 則稱(x, y) 為積分因子5.形如dydx=P ( x )2y +Q(x)y+R(x)的方程叫做黎卡提方程證明題解：證必要

18、性。若(x)，則y0，從一般積分因子充要條件得/ MN、N-(),對(duì)y求導(dǎo)得到xyxNd2mN=(2 ),與上式聯(lián)立，即得ydxyx yNMN2m2n()=N (2 );yyxyx y充分性：若上條件成立，且N0，則有r 1MN12m2n1NMN)=-(2 )2()yNy xNyx yNyyx12 2MNNMN=了N2 )-()0Nyx yyyx1 M N這說明函數(shù)（）僅是x的函數(shù)，記為（x），則Nyx(x) = e(x)dx是方程 Mdx+Ndy=0的積分因子。事實(shí)上,3N2 = Jnx dx衛(wèi)上）Nyxn+= (x)xM ( (x)M) y y常微分方程第三章測(cè)驗(yàn)試卷、填空2 y 2上，則

19、經(jīng)過點(diǎn)y2定義在矩形域R:2x2,1、方程屯dx（0, 0）的解的存在區(qū)間是（2、函數(shù)f（x,y）稱為在R上關(guān)于y滿足利普希茨條件，如果（），對(duì)于所有x, yi , x,y2 R都成立。3、如果f（x,y）在R上連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茨條件，則 屯f x,ydx存在唯一的解y x，定義于區(qū)間x x0 h上，連續(xù)且滿足初始條件X。y，這里，h=（）.4、皮卡逐步逼近函數(shù)序列是（）。5、 若函數(shù)f（x,y）在區(qū)域G內(nèi)（），且關(guān)于y滿足利普希茨條件，則方程f x,y的解yx,Xo,y。作為x,Xo,y。的函數(shù)在它的存在范dx圍內(nèi)是（）。6、若 x為畢卡逼近序列，則有 x n x （）。7、形如（)的

20、方程，稱為克來羅方程。8求dy f (x, y)滿足 dx(xo)yo的解等價(jià)于求積分方程()的連續(xù)解。9、微分方程的奇解是()二、計(jì)算題dy 221、求初值問題dX x y R：|x 1 1, y 1的解的存在區(qū)間，并求其y 10第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計(jì)。2、求x c2 y c24曲線族的包絡(luò)3、求一曲線，使它上面的每一點(diǎn)的切線截割坐標(biāo)軸使兩截距之和等于常數(shù)c.4、 方程dy x y2經(jīng)過（0，0）的第二次近似解。dx25、求矽 x 1 d y 0的解，并求其奇解.dxdx6、 求y ,1 y2 y 1的奇解三、證明題（10分）1、 試證：就克萊洛方程來說，p-判別曲線和方

21、程通解的C-判別曲線同樣是方程通解的包絡(luò)，從而為方程的奇解.2、試用一階微分方程解的存在唯一性定理證明：一階線性方程 魚Pxy Q x，當(dāng)p（x）, Q（x）在，上連續(xù)時(shí)，其解存 dx在唯一。3、 假設(shè)函數(shù)f x,y于x0,y0的領(lǐng)域內(nèi)是y的不增函數(shù)，試證方程矽f x,y滿足條件y xy的解于x x 側(cè)最多只有一個(gè)。dx第四章測(cè)驗(yàn)卷一、填空1、如果X1（t）,X2（t）, Xk（t），是n階齊線性微分方程的K個(gè)解，則它們的線性組合（）也是該方程的解。文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯歡迎下載支持2、 若函數(shù)xi（t）,x2（t）, xn（t）,在區(qū)間a t b上線性相關(guān)，則在a,b

22、上它們的伏朗斯基行列式是（ ）3、函數(shù)組e2t,e t,e3t的伏朗斯基行列式是（）4、 行如（）的方程稱為歐拉方程5、 解線性方程的常用方法有（），（），（ ），（ ）。6、 在歐拉方程中，當(dāng)它的特征方程的m 重實(shí)根 k k0 則該歐拉方程的 m 個(gè)解為（）7、 n階齊線性微分方程的線性無關(guān)解的最大個(gè)數(shù)等于n，則可得n階齊線性微分方程的所有解構(gòu)成（）8、若 xi t i 1,2, ,n 是齊線形方程的 n 個(gè)解， w t 為其伏朗斯基行列式，則 w t 滿足一階線性方程（）。9、 若 x1 t ,x2 t ,x2 t , ,xn t 為 n 階齊線形方程的 n 個(gè)解，則它們線形 無關(guān)的充要條

23、件是（）。10、 （）稱為 n 階齊線性微分方程。11、 x1 （t） 非零為二階齊線性方程 x a1 （t） x a2 （t）x 0的解，這里a1 t 和 a2 t 于區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 x2 t 是方程解的充要條件是 （）12、 常系數(shù)非齊線性方程中，若 f tb0tm b1tm 1bm 1t bm e t ，其中 與bi為實(shí)常數(shù)，那么方程有形如（）的特解。13、在 n 階常系數(shù)齊線性方程中， a1,a2 ,an 為常數(shù)，則它的特征方程為（）。14、若方程p x dy q x y 0中滿足（）條件，則方程dxdx有形如yanxn的特解n 015、 微分方程xy 2y 3y4 0的階數(shù)

24、為（）。16、 設(shè)xi t0是二階齊線性方程x ai t x a2 t x 0的一個(gè)解，則方程的通解可表為（）二、計(jì)算1、x4x5x2x2t 32、s2asa2s ef3、x2x3xe t cost4、xxsi ntcos2t5、 求方程x4x5x2x 2t 3的通解。6、求通解y 1匚2y7、求特解 y 2y y xex ex， y 1 y 11&設(shè)二階非齊線性方程的三個(gè)特解為丫1 x, y2 x sin x, y? x cosx求其通解9、求解方程 xy 2 1 x y 2 x y o x 010、 求方程 x3y x2y 4xy 3x2 的通解11、tx x t2 t 012、求方程 時(shí)

25、 4x tsin2t的通解，已知它對(duì)應(yīng)的齊線性方程的基本dt2解組為 cos2t,sin 2t13、求XX X 20的解。14、1 x2 y 2xy 2y 0三、證明題1.試驗(yàn)證害占罟代x 0有基本解組t,e，并求方程d2x dt2t dx1 t dt1的通解2. 設(shè)xi t i 1,2, ,n是齊線形方程(4.2 )的任意n個(gè)解。它們所構(gòu) 成的伏朗斯行列式記為wt ，試證明wt滿足一階線形方程 w a1 t w 0，因而有：3. 設(shè)可導(dǎo)函數(shù)x滿足x cosx 2 0 t sintdt x 1，求x4. 若函數(shù)冶t , X2 t , ,xn t為n階齊線性方程的n個(gè)線性相關(guān)解，則 它們的伏朗斯

26、基行列式wt 05. 試證n階非齊線性方程存在且最多存在 n+1個(gè)線性無關(guān)解。常微分方程第五章測(cè)驗(yàn)試卷一、填空題1、方程組x A(t)x的n個(gè)解X1(t), X2(t),|Q, Xn(t)線性無關(guān)的充要條件2、若矩陣A具有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量V1,V2,川,Vn，它們對(duì)應(yīng)的特征值分別是1, 2,|, n，那么矩陣(t)=是常系數(shù)線性方程組x A(t)x的一個(gè)基解矩陣。3、 x A(t)x一定存在一個(gè)基解矩陣(t)，如果(t)是x A(t)x的任一解,那么4、 若(t)是x A(t)x的基解矩陣，則x A(t)x f(t)滿足x(t)的解(t)=。5、 在證明用皮卡逼近時(shí)，我們對(duì)于所有的正整數(shù)

27、k有如下估計(jì)：II k(t) ki(t)|o6、 若(t)是xA(t)x的基解矩陣，貝卩向量函數(shù)(t)=是x A(t)x f(t)的滿足初始條件(to)0的解；向量函數(shù)(t) =是x A(t)x f(t)的滿足初始條件(to)的解。7、寫出關(guān)于矩陣指數(shù)exp At的性質(zhì)、 _8假設(shè) 是方程xA(t)x的三重根，則exp At二。9、 若定義在a,b上的n個(gè)向量函數(shù)x/t)召兇,XnJT,i 1,2, ,n，則 他們的伏朗斯基行列式為 W(t) 。10、 方程組x/ A(t)x的n個(gè)線性無關(guān)的解稱之為x/ A(t)x的一一個(gè)。11、 若(t)和(t)都是x/ A(t)x的基解矩陣，則(t)與(t

28、)具有關(guān)系：。12、A 是n n常數(shù)矩陣，則矩陣指數(shù) expA=;13、 若(t)是常系數(shù)方程組x =A(t)x的基解矩陣，則expAt二14、 如果矩陣A , B是可交換的，即 AB=BA，則。15、 假設(shè)1, 2, , k分別是矩陣 A的m,n2, ,nk重不同特征值，且V1 V2Vk , A jE njVj0 , j 1,2, ,k，則 x At x 的滿足初始26文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已整理，word版本可編輯文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯歡迎下載支持條件0 的解為16、若印忌,f(t)是a,b上的連續(xù)函數(shù)，花皿是方程x ai(t)x a2(t)x 0 的兩個(gè)線性無關(guān)解，則

29、 x ajt)x a2(t)x f (t)的通解為：。二. 計(jì)算x 2x y z1. 求 y x 2y z的基解矩陣。z x y 2z2 12. 試求矩陣A的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。1 43. 試求初值問題x 1 1 x e , xx1 , x 01的解。0 10x214. 試求方程組x Ax的基解矩陣，并求滿足初始條件(0) 的解(t):5. 試求方程x x tgt的一個(gè)解。6. 試用逐步逼近法求方程組滿足初始條件x(0)1第三次近似解。7、求方程x51055242010 x的通解。3三、證明題1、給定方程x5x 6xf(t)其中 f(t)在0 t上連續(xù)，試?yán)贸?shù)變易公式，證明：如果f(t

30、)在0 t 上有界，則上面的方程的每一個(gè)解在2、假設(shè)m不是矩陣A的特征值，試證非齊線性方程組x Ax cemt有一解形如 t pemt，其中c,p是常數(shù)向量第六章測(cè)驗(yàn)試卷 （2）存在且唯一、填空題1、若向量函數(shù)g t; y在域R上（），則方程組g t; y , （t0;t0, y0） y0的解dt2、 如果方程組的零解x 0穩(wěn)定，且存在這樣的 0 ,使當(dāng)xo時(shí)滿足 初始條件x to Xo的解x（t）均有（）時(shí)，則稱x 0為漸進(jìn)穩(wěn)定。3、（）稱為相平面。4、（）稱為駐定方程組。5、滿足（）的點(diǎn)（x*, y*），稱為方程組的奇點(diǎn)。6、 當(dāng)方程組的特征方程有兩個(gè)同號(hào)相異的特征根時(shí)，則當(dāng)（）時(shí)，零解是

31、 漸進(jìn)穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為（）。當(dāng)（）時(shí)，零解是不穩(wěn)定的，對(duì) 應(yīng)的奇點(diǎn)稱為（）。7、當(dāng)方程組的特征方程的特征根為純虛根時(shí)，則其結(jié)點(diǎn)稱為（），在這種情況下零解是（）。、求解題：求方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性 dxdyy,2x3y.dtdtdx,dycc1 x y, 2 3x y.dtdt、求出方程組的奇點(diǎn)，并討論相應(yīng)的駐定解的穩(wěn)定性態(tài)dx1 dt1、2、y,x(1 x y),d v(2 3x y)37文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已整理，word版本可編輯四、用形如V（x, y） ax2 by2的李雅普諾夫函數(shù)，確定下列方程組的穩(wěn)定性。1、dxdt2 dy xy飯2、dxdt232x y y .

32、2xy2.3、dxdt2 dyxy石2yx 答案一、填空題1連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茲條件2、如果把時(shí)間t當(dāng)作參數(shù)，僅考慮x,y為坐標(biāo)的歐氏空間3、2 0 ；穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)；1 , 2 0 ；不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)、求解題：求方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性4、中心；非漸進(jìn)穩(wěn)定的1、解：求奇點(diǎn):y 02x 3y 0x 0得故奇點(diǎn)為（0,0）y 0由| A E|。得2(1)( 2) 0得到兩個(gè)同號(hào)相異負(fù)實(shí)跟根，所以奇點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的2、解：求奇點(diǎn):2 3x y 01X 44得 2故奇點(diǎn)為y丄2 22dXXY得dt dYdt3XY故A1 13 11320由AE0得1 1312 2 2現(xiàn)將原方程組作x

33、x 2，丫 y 1的替換0得 11,3, 21,3這樣就得到兩個(gè)異號(hào)實(shí)根，所以奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)，零解是不穩(wěn)定的。、求出方程組的奇點(diǎn)，并討論相應(yīng)的駐定解的穩(wěn)定性態(tài)X 解：dydtdx2x x dt1 3 _y -xy2 4xy*1 24y求奇點(diǎn):2x x1 3y ：xy2 4xy 01 2得1y1X2y2X3ya1當(dāng)奇點(diǎn)為y1所對(duì)應(yīng)的線性方程的1 1, 2所以奇點(diǎn)(11)(2 )00,0為結(jié)點(diǎn)，零解是不穩(wěn)定的。2當(dāng)奇點(diǎn)為0,2時(shí)先作變換Xx,Y y方程(*)變?yōu)?所對(duì)應(yīng)的線性方程的A0120121)(-)0所以奇點(diǎn)0,2為結(jié)點(diǎn)，零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的當(dāng)奇點(diǎn)為(1,0)時(shí)先作變換X x 1,Y y方程(*)變?yōu)?1,2所以奇點(diǎn)1,0為鞍點(diǎn)，零解是不穩(wěn)定的四、用形如V(x, y)ax2by2的李雅普諾夫函數(shù)，確定下列方程組的穩(wěn)定性。1、解:dV V dxdtx dtV dy222ax( x xy2) 2by( 2x2y y dt取 a 1,b1V X2尹2為定正的dV 2x2 y4 0dt為定負(fù)的所以零解穩(wěn)定2、dVV dxV2ax(dtx dtydt取a1,b 1則V2x ydV2x20為常負(fù)的dt所以零解穩(wěn)定3、dVV dxV2ax(dtx dtydt取a1,b 1則V2x ydV2