概率與統(tǒng)計(3)

1、個人精心收集整理.word可編輯.歡迎下載支持第41練隨機(jī)變量及其分布列題型一離散型隨機(jī)變量的期望例12014年男足世界杯在巴西舉行，為了爭奪最后一個小組賽參賽名額，甲、乙、丙三支國家隊要進(jìn)行比賽，根據(jù)規(guī)則：每支隊伍比賽兩場，共賽三場，每場比賽勝者得3分，負(fù)者1得0分，沒有平局，獲得第一名的隊伍將奪得這個參賽名額.已知乙隊勝丙隊的概率為 1，甲51 1隊獲得第一名的概率為 1，乙隊獲得第一名的概率為 三.615(1) 求甲隊分別戰(zhàn)勝乙隊和丙隊的概率P1, P2；(2) 設(shè)在該次比賽中，甲隊得分為E,求E的分布列和數(shù)學(xué)期望.破題切入點(1)利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式，結(jié)合甲隊獲得第一名與

2、乙隊獲得第一名的條件列出方程，從而求出P1 , P2；(2)先根據(jù)比賽得分的規(guī)則確定甲隊得分E的可能取值，然后利用相互獨立事件的概率計算公式分別求解對應(yīng)的概率值，列出分布列求其期望.解(1)根據(jù)題意，甲隊獲得第一名，則甲隊勝乙隊且甲隊勝丙隊，1所以甲隊獲第一名的概率為P1X P2= .6乙隊獲得第一名，則乙隊勝甲隊且乙隊勝丙隊，1 1所以乙隊獲第一名的概率為(1 -P1)x 5=2 1解，得P1=3，代入，得P2= 4,2 1所以甲隊?wèi)?zhàn)勝乙隊的概率為 3甲隊?wèi)?zhàn)勝丙隊的概率為 4.E可能取的值為0,3,6,2 1 1當(dāng)=0時，甲隊兩場比賽皆輸，其概率為P(= 0) = (1 -(1-；)=:;2

3、1127當(dāng)=3時，甲隊兩場只勝一場，其概率為p( = 3)=3 x (1-)+4 x (1 3)= 122 1 1當(dāng)=6時，甲隊兩場皆勝，其概率為P(= 6) = 3x- = 6.所以E的分布列為3036P1 7111所以 E( 3 = ox 4 + 3X12+ 6X 6=才題型二相互獨立事件的概率例2紅隊隊員甲、乙、丙與藍(lán)隊隊員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對A、乙對B、丙對C各一盤.已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6、0.5、0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立.(1) 求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；用3表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求3的分布列和數(shù)學(xué)期望E(3.破題切入點設(shè)“甲勝A”為事件

4、D, “乙勝B”為事件E, “丙勝C”為事件F，則第問就是求事件 DET + D至F + D EF + DEF的概率，根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互 獨立事件的概率乘法公式進(jìn)行計算.第問中的3可取0,123,分別對應(yīng)事件DEF，&EF + DeT + DEF, DEF+ dT F+ d EF , DEF，求出其概率就得到了3的分布列，然后按照數(shù)學(xué)期望的計算公式求數(shù)學(xué)期望.解(1)設(shè)“甲勝A”為事件D, “乙勝B”為事件E, “丙勝C”為事件F，則D,E, T分別表示甲不勝 A、乙不勝B、丙不勝C的事件.因為 P(D)= 0.6, P(E)= 0.5 , P(F) = 0.5，由對立事件的概率

5、公式，知P(D )= 0.4 , P(E)=0.5, P( F ) = 0.5.紅隊至少兩人獲勝的事件有DET , dEf , D EF , DEF.由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為P=P(DE ) + P(DW F) + P(D EF) + P(DEF) = 0.6X 0.5X 0.5+ 0.6 X 0.5X 0.5+ 0.4X 0.5X 0.5 + 0.6X 0.5X 0.5= 0.55.(2) 由題意，知3的可能取值為0,123.因此 P( 3= 0) = P(D E F )= 0.4 X 0.5X 0.5= 0.1,P(3= 1) = P(

6、 D E F) + P( D E F ) + P(D E F ) = 0.4X 0.5 X 0.5 + 0.4X 0.5X 0.5 +0.6X 0.5X 0.5 = 0.35,P(E= 3) = P(DEF) = 0.6X 0.5 X 0.5= 0.15.由對立事件的概率公式，得P(E= 2) = 1 P(= 0) P( = 1) P(E= 3) = 0.4.所以E的分布列為30123P0.10.350.40.15因此 E( 3 = 0X 0.1 + 1 X 0.35+ 2X 0.4+ 3X 0.15= 1.6.題型三二項分布問題例3 (2013山東)甲、乙兩支排球隊進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲

7、得比賽的勝利，比賽隨即1 2結(jié)束.除第五局甲隊獲勝的概率是專外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是芻假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立.(1)分別求甲隊以3 : 0,3 : 1,3 ： 2勝利的概率；若比賽結(jié)果為3 : 0或3 : 1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為3 : 2,則勝利 方得2分，對方得1分求乙隊得分 X的分布列及數(shù)學(xué)期望.破題切入點理解相互獨立事件、二項分布的概念，掌握離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算.解(1)記“甲隊以3 : 0勝利”為事件A1, “甲隊以3 : 1勝利”為事件A2, “甲隊以3： 2 勝利”為事件A3,由題意，知各局比賽結(jié)果相互獨立，2 3 8故 P(A1

8、) = (3) = 27，2 2 2 2 2 8p(A2)=C3(3 (1 3 x 3= 27，222214p(A3) = 53)(1 3)X 2 = 27.所以甲隊以3 : 0勝利、3 : 1勝利的概率都為27,以3 : 2勝利的概率為27.設(shè)“乙隊以3 : 2勝利”為事件A4,由題意，知各局比賽結(jié)果相互獨立，所以卩(人4)=詼|)當(dāng)個位為偶數(shù)時，有 5 X 5= 25（個）符合條件的兩位數(shù).因此共有20+ 25= 45（個）符合條件的兩位數(shù)，其中個位數(shù)為 0的兩位數(shù)有5個，所以所求概(|)2x (12=27.由題意，知隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0,1,2,3,根據(jù)事件的互斥性，得P(X

9、= 0) = P(Ai + A2)= P(Ai) + P(A2)= 26 , 又 P(X= 1)= P(A3)=務(wù)，4P(X=2)= P(A4)= 27,P(X = 3) = 1 - P(X= 0) - P(X= 1) - P(X = 2)3 1=27= 9，故X的分布列為X0123P所以 E(X) = 0X 16+ 1 X + 2 X + 3X 丄=-27272799總結(jié)提高（1）離散型隨機(jī)變量的期望的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機(jī)變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二 是定性，對于特殊類型的期望可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對于一般類

10、型的隨機(jī)變量，應(yīng) 先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計算，注意離散型隨機(jī)變量的取值與概率間的對應(yīng).（2）兩個事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件的發(fā)生與否沒有關(guān)系， 在一些問 題中我們可以根據(jù)問題的實際意義來判斷兩個事件是否相互獨立.（3）對于能夠判斷為服從二項分布的隨機(jī)變量，可直接代入公式.1 .從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個，其個位數(shù)為0的概率是（） 當(dāng)個位為奇數(shù)時，有 5 X 4= 20（個）符合條件的兩位數(shù). 2A.4 B.1 C.2 D.19399答案D解析個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)，則個位數(shù)與十位數(shù)中必有一個奇數(shù)一個偶數(shù)，所以可以分兩類.個人精心收集整理.word可

11、編輯.歡迎下載支持率為p= 45=19.2 . （2013廣東）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123p則X的數(shù)學(xué)期望E（X）等于（3 5A.2 B. 2C2 D. 3答案 A3313解析 E(X) = 1x9+ 2 x + 3 X一=-51010 21 13. （2014綿陽模擬）甲射擊命中目標(biāo)的概率是 2，乙命中目標(biāo)的概率是，丙命中目標(biāo)的概率是11現(xiàn)在三人同時射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為 （）3247代4坯C.5 D吊答案 A解析 設(shè)甲命中目標(biāo)為事件A，乙命中目標(biāo)為事件B,丙命中目標(biāo)為事件 C,則目標(biāo)被擊中的事件可以表示為 AU B U C,即擊中目標(biāo)表示事件A、B、C中至少有一個發(fā)生. p（7a -b -c ）= p（瓜）p（百）p（c ）=1 - P(A) - P(B) P(C)1 14 = 4.13故目標(biāo)被擊中的概率為1- P( A - B - C )= 1-4 =.4. 一個籃球運動員投籃一次得 3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c（a, b, c （0,1），已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1（不計其他得分的情況），則ab的最大值為（） ab = 6 3a 2b 140,解得n石.所以n= 4或n= 5.設(shè)“生產(chǎn)5件芯片乙所獲得的利潤不少于140元”為事件A,則 P(A) =