高考總復(fù)習(xí)隨機(jī)變量及其分布

1、v1.0 可編輯可修改復(fù)習(xí)：隨機(jī)變量及其分布 知識網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)認(rèn)知考試大綱要求：1. 理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn) 象的重要性.2. 理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機(jī)變量 的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題.3. 理解 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡單的實(shí)際問題.4. 理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用.重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計算簡單離 散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題.難點(diǎn)：正確寫出離散型隨機(jī)變量的分布列，求出均值與方差。

2、知識要點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：離散型隨機(jī)變量及其分布列1離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，隨機(jī)變量常用希臘字母等表示。2離散型隨機(jī)變量1v1.0 可編輯可修改對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī) 變量；若 是隨機(jī)變量，性（離散型、連續(xù)型）。其中 a,b 是常數(shù)，則 也是隨機(jī)變量，并且不改變其屬3離散性隨機(jī)變量的分布列：設(shè)離散型隨機(jī)變量 可能取得值為 x ,x ,x ,若 取每一個值 x (i=1,2,)的概1 2 3 i率為，則稱表x1x2xipp1p2pi為隨機(jī)變量 的概率分布，簡稱 的分布列.4離散型隨機(jī)變量

3、的分布列都具有下面兩個性質(zhì)： （1）p 0,i=1,2；i（2）p +p +=11 2知識點(diǎn)二：離散型隨機(jī)變量的二點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量 x 的分布列為1p0稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布。知識點(diǎn)三：離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件發(fā)生的次數(shù) 是一個隨機(jī)變量，如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是 p，那么在 n 次獨(dú)立重 復(fù)試驗(yàn)中這個事件恰好發(fā)生 k 次的概率是，于是得到隨機(jī)變量 的概率分布如下：1 k n1v1.0 可編輯可修改p 由于恰好是二項(xiàng)展開式樣的隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布，記作 中的各項(xiàng)的值，所以稱這 ，其中 n,p

4、 為參數(shù)，并記若 ，則 ， 。知識點(diǎn)四：離散型隨機(jī)變量的幾何分布獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某個事件第一次發(fā)生時所作試驗(yàn)的次數(shù) 也是一個正整數(shù)的離散型隨 機(jī)變量。表示在第 k 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時該事件第一次發(fā)生，如果把第 k 次重復(fù)試驗(yàn)時事件 a 發(fā)生記作 a ，事件 a 不發(fā)生記作k且那么離散型隨機(jī)變量的概率分布是：p1p2(1-p)p3(1-p)2pk(1-p)k-1p稱這樣的隨機(jī)變量 服從幾何分布，記作其中若隨機(jī)變量 服從幾何分布 ，則 ，知識點(diǎn)五：超幾何分布在含 m 件次品的 n 件產(chǎn)品中，任取 n 件，其中恰有 x 件次品數(shù)，則事件 概率為：發(fā)生的3v1.0 可編輯可修改，其中 ，稱分布列0 1

5、為超幾何分布列。離散型隨機(jī)變量 x 服從超幾何分布。若隨機(jī)變量 x 服從超幾何分布。知識點(diǎn)六：離散型隨機(jī)變量的期望與方差1、離散型隨機(jī)變量的期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量 的概率分布為，則 ，x1x2xnpp1p2pn則稱均值。的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望，又稱為平均數(shù)、數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平或 集中位置，若 （a,b 是常數(shù)）， 。二項(xiàng)分布的期望：若離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即幾何分布的期望：若離散型隨機(jī)變量服從幾何分布，且4v1.0 可編輯可修改2、離散型隨機(jī)變量的方差：對于離散型隨機(jī)變量 ，如果它所有可能取的值是 x ,x ,x ,，且取這些

6、值的概率分1 2 n別是 p ,p ,p ,，那么，1 2 n稱為隨機(jī)變量 的均方差，簡稱為方差，式中的 e是隨機(jī)變量的期望。d的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記作 。隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度。方 差越大數(shù)據(jù)波動越大。若 （a,b 是常數(shù)），是隨機(jī)變量，則 d（a+b）=a2d。二項(xiàng)分布的方差：若離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即幾何分布的方差：若離散型隨機(jī)變量服從幾何分布，且規(guī)律方法指導(dǎo)1 由于理科學(xué)習(xí)了計數(shù)原理和條件概率以及相互獨(dú)立事件的概率，在概率的計算上理科 出題的范圍非常廣，要求會用計數(shù)原理和排列、組合的知識計算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)

7、及事件發(fā)生的概率. 高考中經(jīng)常把概率的計算問題放在離散型隨機(jī)變量的分布列中考查. 對于離散型隨機(jī)變量的均值與方差特別要注意幾個基本概率模型.考查離散型隨機(jī)變量的分 布列以及均值與方差問題是高考中的熱點(diǎn)問題.2 求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定 的取值情況，然后利用排列、 組合與概率知識求出 取各個值的概率即必須解決好兩個問題，一是求出 的所有取值，二 是求出 取每一個值時的概率，同時按規(guī)范形式寫出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證.3 求離散型隨機(jī)變量的均值（期望）和方差,重要的是能正確寫出分布列.在解題時要注 意判斷一個實(shí)際問題是否屬于二項(xiàng)分布，成功概率是多少，找出其他隨機(jī)變量與二

8、項(xiàng)分布的 隨機(jī)變是間的關(guān)系式，利用二項(xiàng)分布的均值與方差的計算公式求解.經(jīng)典例題精析類型一：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率1、把 n 個不同的球隨機(jī)地放入編號為 1，2，m 的 m 個盒子內(nèi)，求 1 號盒恰有 r 個 球的概率5v1.0 可編輯可修改法一：用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式把 1 個球放入 m 個不同的盒子內(nèi)看成一次獨(dú)立試驗(yàn)，其中放入 1 號盒的概率為 p= ，這樣 n 個球放入 m 個不同的盒子內(nèi)相當(dāng)于做 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 a 恰好發(fā)生 k 次的概率公式知，1 號盒恰有 r 個球的概率法二：用古典概型把 n 個不同的球任意放入 m 個不同的盒子內(nèi)共有 mn個等可能的結(jié)果，其中

9、 1 號盒內(nèi)恰有 r 個球的結(jié)果數(shù)為 c （m1）nr，故所求概率 p（a）=答：1 號盒恰有 r 個球的概率為。舉一反三：【變式 1】十層電梯從低層到頂層停不少于 3 次的概率是多少停幾次概率最大？ 【答案】依題意，從低層到頂層停不少于 3 次，應(yīng)包括停 3 次，停 4 次，停 5 次，直到停 9 次從低層到頂層停不少于 3 次的概率設(shè)從低層到頂層停 次，則其概率為 ，當(dāng)或時，最大，即最大，答：從低層到頂層停不少于 3 次的概率為，停 4 次或 5 次概率最大6v1.0 可編輯可修改【變式 2】實(shí)力相等的甲、乙兩隊(duì)參加乒乓球團(tuán)體比賽，規(guī)定5 局 3 勝制（即 5 局內(nèi)誰 先贏 3 局就算勝出

10、并停止比賽）（1） 試分別求甲打完 3 局、4 局、5 局才能取勝的概率（2） 按比賽規(guī)則甲獲勝的概率【答案】甲、乙兩隊(duì)實(shí)力相等，所以每局比賽甲獲勝的概率為 ，乙獲勝的概率為 記事件記事件記事件=“甲打完 3 局才能取勝”，=“甲打完 4 局才能取勝”，=“甲打完 5 局才能取勝”甲打完 3 局取勝，相當(dāng)于進(jìn)行 3 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且每局比賽甲均取勝甲打完 3 局取勝的概率為 甲打完 4 局才能取勝，相當(dāng)于進(jìn)行 4 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且甲第 4 局比賽取 勝，前 3 局為 2 勝 1 負(fù)甲打完 4 局才能取勝的概率為 甲打完 5 局才能取勝,相當(dāng)于進(jìn)行 5 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且甲第 5 局比賽取勝

11、， 前 4 局恰好 2 勝 2 負(fù)甲打完 5 局才能取勝的概率為(2)事件 “按比賽規(guī)則甲獲勝”，則，又因?yàn)槭录?、彼此互斥，故答：按比賽規(guī)則甲獲勝的概率為 類型二：分布列的性質(zhì)2、若離散型隨機(jī)變量的概率分布列為：7v1.0 可編輯可修改p試求出常數(shù) c 與的分布列。09c2-c13-8c解析：由離散型隨機(jī)變量分布列的基本性質(zhì)知：解得常數(shù)p，從而的分布列為：0 1總結(jié)升華：解題關(guān)鍵是理解隨機(jī)變量分布列的兩個基本性質(zhì)，在寫出的分布列后，要 及時檢查所有的概率之和是否為 1。舉一反三：【變式 1】某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)的分布列如下：p4 5 6 7 8 9 10求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)7”的概

12、率【答案】根據(jù)射手射擊所得的環(huán)數(shù)的分布列，有p(=7)，p(=8)，p(=9)，p(=10).所求的概率為 p(7)+【變式 2】隨機(jī)變量 的分布列如下：其中【答案】成等差數(shù)列，若 ，則；的值是_8v1.0 可編輯可修改由題意知： ，解得 ，所以類型三：離散型隨機(jī)變量的分布列。3、某人參加射擊，擊中目標(biāo)的概率是 。1 設(shè) 為他射擊 6 次擊中目標(biāo)的次數(shù)，求隨機(jī)變量 的分布列；2 設(shè) 為他第一次擊中目標(biāo)時所需要射擊的次數(shù)，求 的分布列；3 若他只有 6 顆子彈，若他擊中目標(biāo)，則不再射擊，否則子彈打完，求他射擊次數(shù) 的 分布列。思路點(diǎn)撥：由已知，某人射擊 6 次相當(dāng)于 6 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，他射擊

13、6 次擊中目標(biāo)的次 數(shù)滿足， ，因此，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布；第一次擊中目標(biāo)時所需要射擊的次數(shù)滿足服從幾何分布。解析：隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布 ，而 的取值為 0,1,2,3,4,5,6，則故 的分布列為：，因此0 1 2 3 4 5 69v1.0 可編輯可修改p設(shè)表示他前次未擊中目標(biāo)，而在第 次射擊時擊中目標(biāo)，則 的取值為全體正整數(shù) 1,2,3, 則 的分布列為12 3 4 p 的取值為 1,2,3,4,5,6，表示前次未擊中，而第 次擊中，而， ；表示前 5 次未擊中，第 6 次可以擊中，也可以未擊中 的分布列為：1 2 3 4 5 6p總結(jié)升華：求離散型隨機(jī)變量分布列要注意兩個問題：一是求出

14、隨機(jī)變量所有可能的值； 二是求出取每一個值時的概率.舉一反三：【變式 1】在 10 件產(chǎn)品中有 2 件次品，連續(xù)抽 3 次，每次抽 1 件，求：（1） 不放回抽樣時，抽到次品數(shù)的分布列；（2） 放回抽樣時，抽到次品數(shù)的分布列.【答案】也可以取 0，1，2，3，放回抽樣和不放回抽樣對隨機(jī)變量的取值和相應(yīng)的 概率都產(chǎn)生了變化，要具體問題具體分析.10v1.0 可編輯可修改（1）隨機(jī)變量取值為 0，1，2p（=0）= = ，p（=1）= = ，p（=2）= = ，所以的分布列為p0 1 2（2）隨機(jī)變量取值為 0，1，2，3p(=k)=c k（k=0，1，2，3）， 所以的分布列如下，p0 123【

15、變式 2】從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取 1 件，假設(shè)事件：“取出的 2 件產(chǎn)品中至多有 1 件是二等品”的概率（1） 求從該批產(chǎn)品中任取 1 件是二等品的概率 ；（2） 若該批產(chǎn)品共 100 件，從中任意抽取 2 件， 表示取出的 2 件產(chǎn)品中二等品的件 數(shù)，求 的分布列【答案】（1）記則故表示事件“取出的 2 件產(chǎn)品中無二等品”，表示事件“取出的 2 件產(chǎn)品中恰有 1 件二等品” 互斥，且 ，于是（2） 的可能取值為解得；若該批產(chǎn)品共 100 件，由（1）知其二等品有件，11v1.0 可編輯可修改故所以 的分布列為， ， 01 2【變式 3】某運(yùn)動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布

16、如下：6078 9 10現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為 . (i)求該運(yùn)動員兩次都命中 7 環(huán)的概率；(ii)求 的分布列；【答案】()求該運(yùn)動員兩次都命中 7 環(huán)的概率為 () 的可能取值為 7、8、9、10；分布列為：7 8 9 10p類型四：離散型隨機(jī)變量的期望和方差12v1.0 可編輯可修改4、已知甲盒內(nèi)有大小相同的 1 個紅球和 3 個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的 2 個紅球和 4 個黑球現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取 2 個球（）求取出的 4 個球均為黑球的概率；（）求取出的 4 個球中恰有 1 個紅球的概率；（）設(shè) 為取出的 4 個球中紅球的個數(shù)，求 的分布

17、列和數(shù)學(xué)期望解析：（）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的 2 個球均為黑球”為事件 為黑球”為事件 ，“從乙盒內(nèi)取出的 2 個球均由于事件相互獨(dú)立，且 ， 故取出的 4 個球均為黑球的概率為 （）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的 2 個球均為黑球，從乙盒內(nèi)取出的 2 個球中，1 個是紅球， 1 個是黑球”為事件，“從甲盒內(nèi)取出的 2 個球中，1 個是紅球，1 個是黑球，從乙盒內(nèi)取出的 2 個球均為黑球”為事件 由于事件互斥，且 ， 故取出的 4 個球中恰有 1 個紅球的概率為（） 可能的取值為 由（），（）得 ， ， 從而的分布列為13v1.0 可編輯可修改0 1 2 3的數(shù)學(xué)期望 總結(jié)升華：求離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差

18、的步驟：1 理解的意義，寫出可能取的全部值；2 求取各個值的概率，寫出分布列；3 根據(jù)分布列，由期望的定義求出 e；4 根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出 d、.舉一反三：【變式 1】某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財會和計算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能 力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過財會培 訓(xùn)的有 60%，參加過計算機(jī)培訓(xùn)的有 75%，假設(shè)每個人對培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且 各人的選擇相互之間沒有影響（i） 任選 1 名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；（ii） 任選 3 名下崗人員，記 為 3 人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)，求 的分布列和期望 【答案】任選 1

19、名下崗人員，記“該人參加過財會培訓(xùn)”為事件，“該人參加過計算機(jī)培訓(xùn)”為事件，由題設(shè)知，事件與相互獨(dú)立，且， （i）法一：任選 1 名下崗人員，該人沒有參加過培訓(xùn)的概率是所以該人參加過培訓(xùn)的概率是法二：任選 1 名下崗人員，該人只參加過一項(xiàng)培訓(xùn)的概率是該人參加過兩項(xiàng)培訓(xùn)的概率是所以該人參加過培訓(xùn)的概率是14v1.0 可編輯可修改（ii）因?yàn)槊總€人的選擇是相互獨(dú)立的，所以 3 人中參加過培訓(xùn)的人數(shù) 服從二項(xiàng)分布 ， ，即 的分布列是0的期望是（或 的期望是1 20. 243）3【變式 2】某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩 次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒

20、制，兩次燒制過程相互獨(dú)立根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為， ，經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為， ，（1） 求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率；（2） 經(jīng)過前后兩次燒制后，合格工藝品的個數(shù)為 ，求隨機(jī)變量 的期望【答案】分別記甲、乙、丙經(jīng)第一次燒制后合格為事件， ， ，（1）設(shè)表示第一次燒制后恰好有一件合格，則（2）法一：因?yàn)槊考に嚻方?jīng)過兩次燒制后合格的概率均為 故 法二：分別記甲、乙、丙經(jīng)過兩次燒制后合格為事件，所以 ，則，15v1.0 可編輯可修改所以，于是，【變式 3】a、b 兩個代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官?，每?duì)三名隊(duì)員，a

21、 隊(duì)隊(duì)員是 a ，a ，a ，1 2 3b 隊(duì)隊(duì)員是 b ，b ，b ，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下：1 2 3對陣隊(duì)員a 對 b1 1a 對 b2 2a 對 b3 3a 隊(duì)隊(duì)員勝的概率 a 隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊(duì)得 1 分，負(fù)隊(duì)得 0 分，設(shè) a 隊(duì)、b 隊(duì)最后所得總分分 別為、，（1） 求、的概率分布；（2） 求 e、e?！敬鸢浮浚?）、的可能取值分別為 3，2，1，0，根據(jù)題意知+=3，所以16v1.0 可編輯可修改。（2）因?yàn)?=3，所以5、甲乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，該題被甲獨(dú)立解出的概率為，被甲或乙解出的概率 為。(1) 求該題被乙獨(dú)立解出的

22、概率；(2) 求解出該題的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。解析：(1)甲、乙解出此題分別記為事件 a、b，甲、乙沒有解出此題分別記為事件則有，甲或乙解出此題的對立事件：甲乙都沒有解出此題，記為則甲或乙解出的概率，即：該題被乙獨(dú)立解出的概率是； (2)解出該題的人數(shù)為：0、1、2p則解出該題的人數(shù)的分布列為：0 1217v1.0 可編輯可修改期望方差舉一反三：【變式】 一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，從他的家到學(xué)校的途中有 6 個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是獨(dú)立的，并且概率都是 。()求這名學(xué)生首次遇到紅燈前，已經(jīng)過了兩個交通崗的概率；()求這名學(xué)生在途中遇到紅燈數(shù)的期望與方差。【答案】()由于該學(xué)生在

23、各交通崗遇到紅燈的事件是獨(dú)立的，利用相互獨(dú)立事件的概率，其首次遇到紅燈前已經(jīng)過了兩個交通崗的概率 ()依題意該學(xué)生在途中遇到紅燈數(shù)服從二項(xiàng)分布則期望望 ，方差 。類型五：離散型隨機(jī)變量的期望和方差在實(shí)際生活中的應(yīng)用6、a、b 兩臺機(jī)床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表 所示：a 機(jī)床次品數(shù)1概率 pb 機(jī)床次品數(shù)2概率 p0 1 2 30 1 2 3問哪一臺機(jī)床加工質(zhì)量較好.18v1.0 可編輯可修改思路點(diǎn)撥：解析：e =0+1+2+3=,1e =0+1+2+3=2它們的期望相同，再比較它們的方差。d =2+2+2+2=,1d =2+2+2+2=2d d ，故 a 機(jī)

24、床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好.1 2總結(jié)升華：1 期望僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，但有時僅知道均值的大小還不夠。如果兩個 隨機(jī)變量的均值相等，還要看隨機(jī)變量的取值如何在均值周圍變化，即計算方差。方差大說 明隨機(jī)變量取值較分散，方差小說明取值分散性小或者取值比較集中、穩(wěn)定。2 對于兩個隨機(jī)變量 和 ，在 e 和 e 相等或很接近時，比較 d 和 d ?？? 2 1 2 1 2以確定哪個隨機(jī)變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實(shí)際，適合人們的需要。舉一反三：【變式 1】利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行決策，應(yīng)選擇的方案是_.【答案】a 的數(shù)學(xué)期望： 1a 的數(shù)學(xué)期望： 2a 的數(shù)學(xué)期望： 3a 的數(shù)學(xué)期望： 4=50

25、+65+26=70+26+16=（20）+52+78=98+82+（10）=應(yīng)選擇的方案是 a319v1.0 可編輯可修改【變式 2】甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù) 分別為、，和的分布列如下：pp0 1 20 1 2試對這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較?！敬鸢浮抗と思咨a(chǎn)出次品數(shù)的期望和方差分別為：，工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)的期望和方差分別為：，由 e=e知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但 dd，可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定?！咀兪?3】甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量與 的分布列為：p1a2 31 23pb(1) 求 a、b 的值；(2)

26、甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分均小于 3 的概率誰更大？20v1.0 可編輯可修改(3)計算的期望與方差，并以此分析甲乙的技術(shù)狀況?！敬鸢浮?1)a+=1，a=，同理 b= (2)(3)期望方差同理由計算結(jié)果 但高考題萃，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，說明甲得分的穩(wěn)定性比乙差，因而，甲乙兩人的技術(shù)都不夠全面。1.（2008 全國 i）已知 5 只動物中有 1 只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病 的動物血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病下面是兩種化驗(yàn)方法：方案甲：逐個化驗(yàn)，直到能確定患病動物為止方案乙：先任取 3 只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)若結(jié)果呈陽性則表明患病

27、動物為這 3 只中的 1 只，然后再逐個化驗(yàn)，直到能確定患病動物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2 只中 任取 1 只化驗(yàn)（）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；（） 表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求 的期望解析：（）對于甲：次數(shù)概率對于乙：次數(shù)概率1 2 3 42 3方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率：21（） 表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)， 的期望為v1.0 可編輯可修改2.（2008 全國 ii）購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費(fèi) 元，若 投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得 10 000 元的賠償金假定在一年度內(nèi)有 10 000 人購買了這種保

28、險，且各投保人是否出險相互獨(dú)立已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金 10 000 元的概率為 （）求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率；（）設(shè)保險公司開辦該項(xiàng)險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為 50 000 元，為保證盈利的期 望不小于 0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)（單位：元）解析：各投保人是否出險互相獨(dú)立，且出險的概率都是的人數(shù)為 ，記投保的 10 000 人中出險則（）記則又表示事件：保險公司為該險種至少支付 10 000 元賠償金，發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng) ，故 （）該險種總收入為 支出盈利盈利的期望為元，支出是賠償金總額與成本的和 ，由知，22v1.0 可編輯可修改（元）故每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)為 15

29、 元12分3.（2008 北京）甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到 位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者四個不同的崗（）求甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)的概率；（）求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率；（）設(shè)隨機(jī)變量 為這五名志愿者中參加 解析：崗位服務(wù)的人數(shù)，求 的分布列（）記甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)為事件 ，那么 ，即甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)的概率是 （）記甲、乙兩人同時參加同一崗位服務(wù)為事件 ，那么 ，所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是（）隨機(jī)變量 可能取的值為 1，2事件“ ”是指有兩人同時參加則 崗位服務(wù)，所以的分布列是，23v1.0 可編輯可修改1 34.（2008 四川）設(shè)進(jìn)入

30、某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為，購買乙種商品的概率為獨(dú)立的。，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨(dú)立，各顧客之間購買商品也是相互（）求進(jìn)入商場的 1 位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（）求進(jìn)入商場的 1 位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（）記 表示進(jìn)入商場的 3 位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求 的分布列及期望。解析：記記記記（）表示事件：進(jìn)入商場的 1 位顧客購買甲種商品，表示事件：進(jìn)入商場的 1 位顧客購買乙種商品，表示事件：進(jìn)入商場的 1 位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，表示事件：進(jìn)入商場的 1 位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種，（）（）

31、，故 的分布列：24v1.0 可編輯可修改所以5.（2008 安徽)為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物。某人一次種植了 n 株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè) 為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 。（）求 n,p 的值并寫出 的分布列；（）若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率。 解析：(1)由從而的分布列為得 ,0 1 2 3 4 5 6(2)記”需要補(bǔ)種沙柳”為事件 a, 則或25v1.0 可編輯可修改6.（2008 山東）甲乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識競賽，每隊(duì) 3 人，每人回答一個問題，答對者為本隊(duì)贏得一分，答錯得

32、零分。假設(shè)甲隊(duì)中每人答對的概率均為 ，乙隊(duì)中 3 人答對的概率分別為且各人正確與否相互之間沒有影響.用表示甲隊(duì)的總得分.（）求隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望；()用 a 表示“甲、乙兩個隊(duì)總得分之和等于 3”這一事件，用 b 表示“甲隊(duì)總得分大 于乙隊(duì)總得分”這一事件，求 p(ab).解析：()法一：由題意知，的可能取值為 0，1，2，3,且p所以的分布列為0 1 2 3的數(shù)學(xué)期望為e=法二：根據(jù)題設(shè)可知因此的分布列為（）法一：用 c 表示“甲得 2 分乙得 1 分”這一事件，用 d 表示“甲得 3 分乙得 0 分”這一 事件，所以 ab=cd,且 c、d 互斥，26v1.0 可編輯可修改又由互斥事

33、件的概率公式得法二：用 a 表示“甲隊(duì)得 k 分”這一事件，用 b 表示“已隊(duì)得 k 分”這一事件，k=0,1,2,3 k k由于事件 a b ,a b 為互斥事件，3 0 2 1p(ab)=p(a b a b )=p(a b )+p(a b ).3 0 2 1 3 0 2 1=7.（2008 江西）某柑桔基地因冰雪災(zāi)害，使得果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種 拯救果林的方案，每種方案都需分兩年實(shí)施；若實(shí)施方案一，預(yù)計當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù) 到災(zāi)前的倍、倍、倍的概率分別是、；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的倍、倍的概 率分別是、. 若實(shí)施方案二，預(yù)計當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的倍、倍、倍的概

34、率分別是、； 第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的倍、倍的概率分別是、. 實(shí)施每種方案，第二年與第一年相互獨(dú)立。令（1）寫出表示方案 實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù) 的分布列；（2） 實(shí)施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？（3） 不管哪種方案，如果實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計可帶來效益 10 萬元；兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計可帶來效益 15 萬元；柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn) 量，預(yù)計可帶來效益 20 萬元；問實(shí)施哪種方案所帶來的平均效益更大？解析：（1）的所有取值為的所有取值為,、的分布列分別為：27v1.0 可編輯可修改pp（2）令 a、b 分別表示方案一、方案

35、二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量這一事件，,可見，方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大（3）令pp表示方案 所帶來的效益，則10 15 2010 15 20所以可見，方案一所帶來的平均效益更大。8.（2008 湖北）袋中有 20 個大小相同的球，其中記上 0 號的有 10 個，記上 號的有 個（ =1,2,3,4）.現(xiàn)從袋中任取一球. 表示所取球的標(biāo)號.（）求 的分布列，期望和方差；（）若, , ,試求 a,b 的值.解析：（） 的分布列為：0 1 2 3 4p28v1.0 可編輯可修改（）由又，得 a211，即 所以當(dāng) a=2 時，由 12+b,得 b=-2; 當(dāng) a=-2 時，由 1-2

36、+b，得 b=4.或即為所求.9.（2008 湖南）甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約， 甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)每人面試合格的概率都是 ，且面試是否合格互不影響.求：（）至少有 1 人面試合格的概率;（）簽約人數(shù) 的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析：用 a，b，c 分別表示事件甲、乙、丙面試合格.由題意知 a，b，c 相互獨(dú)立，且 p（a）p（b）p（c） （）至少有 1 人面試合格的概率是.（） 的可能取值為 0，1，2，3.29v1.0 可編輯可修改=所以，的分布列是0 1 2 3p的期望10.（2008 陜西

37、）某射擊測試規(guī)則為：每人最多射擊 3 次，擊中目標(biāo)即終止射擊，第 次擊中目標(biāo)得分，3 次均未擊中目標(biāo)得 0 分已知某射手每次擊中目標(biāo)的概率為，其各次射擊結(jié)果互不影響（）求該射手恰好射擊兩次的概率；（）該射手的得分記為 ，求隨機(jī)變量 的分布列及數(shù)學(xué)期望 解析：（）設(shè)該射手第 次擊中目標(biāo)的事件為，則 ，（） 可能取的值為 0，1，2，3的分布列為0 1 2 330v1.0 可編輯可修改.11.（2008 重慶）甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加 而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空.比賽 按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿 6

38、 局時停止.設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為 ，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立.求：（） 打滿 3 局比賽還未停止的概率；（）比賽停止時已打局?jǐn)?shù) 的分別列與期望.解析：令分別表示甲、乙、丙在第 k 局中獲勝.（）由獨(dú)立事件同時發(fā)生與互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式知，打滿 3 局比賽還未停止的概率為（） 的所有可能值為 2，3，4，5，6，且故有分布列2 3 4 5 6p從而 （局）.12.（2008 福建）某項(xiàng)考試按科目 a、科目 b 依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目 a 成績合格時，才 可繼續(xù)參加科目 b 的考試.已知每個科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會，兩個科目成績均合格方可31v1.0 可編輯可修改獲得證書.現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目 a 每次考試成績合格的概率均為 ，科目 b 每次考試成績合格的概率均為 .假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響.（）求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率；（）在這項(xiàng)考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會，記他參加考試的次數(shù)為 ， 求 的數(shù)學(xué)期望 .解析：設(shè)“科目 a 第一次考試合格”為事件 a ，“科目 a 補(bǔ)