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文檔簡介

1、例 1】求下列數(shù)列的前n 項和 Sn :1(1)12 ,1(2)13 32124 2,(3)1,1138,2341,112解 (1)Sn1331351,4,1(n 2n )236 ,11232n 1 32n1 41,2n 1 ,11=1 2 3 (n n )2 4 82n1148= (123 n)(121 2n )11 n(n +1) 2(1 2n) = = 2 1 12 n(n 1) 1 =122n(2)Sn 1 2 13 323334 111(+33 33+ 32n-1 )112(12n )2 (1221n 132n 12+(3232n2+ + + 34 +2+ 32n )11 32518

2、(1 32n )(3)先對通項求和1)32n )11 32112 2n 111 Sn =(222)(12+ 4+ n-11an =1 214 2n 112n-1 )=2n 21 1 1= 2n(1 2 +4+ +2n-1) Sn ()()()(1111(1)+ + 1223 3 4n(n 1)1111(2)1537 5 9(2n 1)(2n 3)1111(3)2558 8 11(3n 1)(3n 2)111解(1)12n 1例 2】 求和:n(n +1) n n 111n1 n1(2) 1 1 1 1 1 1 Sn = 1 n 4 5 3 7 5 9 2n 3111 2n 1 2n 1 2n

3、3 1 1 1 11 3 2n 1 2n 3 n(4n 5)3(2n 1)(2n 3)1 1 1 1(3) (3n 1)(3n + 2) 3(3n 1 3n 2) 1( 1 1 )(2) (2n 1)(2n +3) 4(2n 1 2n 3)1 11111131( 1251)(5118)(18111)1(3n 113n 2)1 1 1= ( )3 2 3n 2n6n 4【例 3】 求下面數(shù)列的前 n 項和:1 1 1 11, 4, 2 7, n 1 (3n 2),a a a1分析 將數(shù)列中的每一項拆成兩個數(shù),一個數(shù)組成以 為公比的等 a比數(shù)列,另一個數(shù)組成以 3n2 為通項的等差數(shù)列,分別求和后

4、再合并 解 設數(shù)列的通項為 an ,前 n 項和為 Sn則an1 Sn = (111 an 1 (3n 2) a1n 1 )147 (3n2) a當a= 1時,Sn= n1 (3n 2) n3n 2 n當 a 1時,Sn(1 3n 2)nan 1 (3n 1)nn n 1 aa說明 等比數(shù)列的求和問題,分 q=1 與 q 1 兩種情況討論例4】 設ak=1222 k 2(k N*) ,則數(shù)列 3 , 5 , 7 ,6n3nABCn1n1357解 設數(shù)列a1a2a32n 1則 bn =an的前 n 項之和是a1 a2 a3 6(n 1) 6(n 1)nD n 2的通項為 bn 2 2 2 1 又

5、 an =12 22 n2 = n(n 1)(2n 1)611= 6(n6 bn = n(n +1)數(shù)列 b n的前 n 項和Sn=b1b2 bnn +1)1n11)3a 解法一 區(qū)間a,b上分母為 3的所有分數(shù)是 33a , 33a 5 3b 23 ,a2, b1, 3 , 11為公差的等差數(shù)列33a 4a1, 3 ,3a33a為首項,以3a 133b 13, 3a 2 , ,3, 3b它是以 311 =6(1 231 =6(1 ) n16n =選(A) n+1【例 5】 求在區(qū)間 a,b(ba,a,bN)上分母是 3 的不可約分數(shù)之和1項數(shù)為 3b 3a 1,其和 S= 2 (3b 3a

6、1)(a b)其中,可約分數(shù)是 a, a 1, a 2, b1其和 S = 2 (b a 1)(a b)故不可約分數(shù)之和為SS = 12 (a b)(3b 3a1) (b a 1) S= 3a+1+ 3a+2333b 13=b2a2 解法3a+4 3a+5 3b 2 + + + +3 3 31 2 4 5 2 1 S=(a 3)(a 3 )(a 3)(a 3 ) (b 3 )(b 3)1 2 4 5 2 而又有S=(b 3)(b 3 ) (b 3)(b 3) (a 3)兩式相加:1(a )32S=(a b)(ab) (ab)其個數(shù)為以 3 為分母的分數(shù)個數(shù)減去可約分數(shù)個數(shù) 即 3(b a) 1

7、(b a 1)=2(b a) 2S=2(b a)(a b) S=b2 a2【例 6】求下列數(shù)列的前 n 項和 Sn:(1)a,2a2, 3a3, nan, (a 0、 1);(2)1,4, 9, n2,;(3)1,3x, 5x2, (2n1)xn-1, (x1)1(4) 2 ,232n解 (1)Sn=a2a2 3a3 nan a 0 aSn=a2 2a33a4 (n 1)an nan+1Sn aSn=a a2 a3 an nan+1a1 (1 a)Sna(1 an)n 11 a nan n 1a(1 a ) na2(1 a) 2 1 a(2)Sn=1 49 n2(a 1)3 a3=3a2 3a

8、12313=312 3113(1x)Sn=12x(1xx2 xn-2) (2n1)xn 23=3 2= n(n1)(2n 1)(3) Sn=13x5x2 7x3 (2n1)xn-1 xSn=x 3x 2 5x 3 (2n3)xn-1 (2n1)x n 兩式相減,得 321 43 33=3 32 331 n3(n1)3=3(n1)23(n1)1(n1)3n3=3n23n1 把上列幾個等式的左右兩邊分別相加,得(n1)3 13=3(1222 n2) 3(12 n)n= 3(12 22 32 n2) 3n(n2 1) n 1222 32 n2= 3(n1)313n(n2 1) n= 1n 33n2

9、3n33n(n 1)2n=1(2n1)xn 2x(x n 1 1)x112= 6 n(2n2 3n1)(2n 1)x n+1 (2n 1)xn (1 x)1x(2n 1)x n+1 (2n 1)x n (1 x)(1 x)2(4) Sn12Sn1=21222 3 n22 23 2n2 3 n3 4 23 242n 1兩式相減,得121Sn112212(1 2112 23 2n1)n )n2n 111 122n 1說明 求形如 anbn 的數(shù)列的前n 項和,若其中 a n成等差數(shù)列, bn2n 2n 112n 1 2n Sn = 2 成等比數(shù)列,則可采用推導等比數(shù)列求和公式的方法,即錯位相減法,

10、此方法 體現(xiàn)了化歸思想a1例7】 設等差數(shù)列 a n的前n項和為 Sn,且Sn =(an2 1)2,nN*,若 bn=(1)nSn,求數(shù)列 bn 的前 n 項和 Tn分析 求bn的前 n 項和,應從通項 bn入手,關鍵在于求 a n的前 n項 和 Sn,而由已知只需求 a n的通項 an 即可a1解法一 a n 是等差數(shù)列, Sn =(an 1)2a1當n=1時,a1 =( 1 )2解得a1=11 2 1a2 1當n=2時,a1a2 =( 2)2解得a2=3或a2 =11 2 2 2 2a3 1當n=3時,a1a2a3 =( 3 )2,由a2 =3,解得 a3 =5或a3= 3,由 a2=1

11、,解得 a3=1 a1又Sn =( n2 )20, a2 = 1,a3 =3,a3 =1(舍)即 a1=1 , a2=3, a3=5, d=2an=12(n1)=2n1Sn=13 5 (2n1)=n2bn=(1)nSn=(1)nn2Tn=12 223242 (1)nn2 當 n 為偶數(shù)時,即 n=2k ,k N* Tn=(1222)(3242) (2k1)2(2k)2 =3 7 (4k1) = 3 + (4k 1) k=2 =(2k 1)kn(n 1)=2當 n 為奇數(shù)時,即 n=2k 1,kN*Tn=12 223242 (2k1)2 =12223242 (2k1)2(2k)2(2k)2=(2k 1)k (2k) 2=k(2k1)n(n 1) Tn =(1)n 2n(n 1)nN*也可利用等差數(shù)列的前 n項和公式 Sn(a1+an)n,求ana1 = 1(an21)2解法二

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