【最新】高中數(shù)學(xué)-提高 知識(shí)梳理

1、圓的方程【考綱要求】1.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，能根據(jù)所給有關(guān)圓心、半徑的具體條件準(zhǔn)確地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，2.能運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程正確地求出其圓心和半徑，解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，并會(huì)推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.掌握?qǐng)A的一般方程的特點(diǎn)，能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑；4.能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】圓的方程圓的一般方程簡(jiǎn)單應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程點(diǎn)與圓的關(guān)系【考點(diǎn)梳理】【高清課堂：圓的方程405440 知識(shí)要點(diǎn)】考點(diǎn)一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中為圓心，為半徑.要點(diǎn)詮釋：(1)如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，這時(shí)，圓的方程就是.有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：圓心在x軸上：b=0；圓與y軸

2、相切時(shí)：；圓與x軸相切時(shí)：；與坐標(biāo)軸相切時(shí)：；過(guò)原點(diǎn)：.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為，半徑為，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點(diǎn).(3)標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確指出了圓心和半徑.由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，確定一個(gè)圓的方程，只需要a、b、r這三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，因此，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用定義法和待定系數(shù)法.考點(diǎn)二：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有(1)若點(diǎn)在圓上(2)若點(diǎn)在圓外(3)若點(diǎn)在圓內(nèi)考點(diǎn)三：圓的一般方程當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.為圓心，為半徑.要點(diǎn)詮釋：由方程得(1)當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解.它表示一個(gè)點(diǎn).(2)當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形(3)當(dāng)時(shí)，可以看出方程表示以為圓心，為半徑

3、的圓.考點(diǎn)四：幾種特殊位置的圓的方程條件方程形式標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程圓心在原點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)圓心在x軸上圓心在y軸上圓心在x軸上且過(guò)原點(diǎn)圓心在y軸上且過(guò)原點(diǎn)與x軸相切與y軸相切要點(diǎn)詮釋：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化：標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程.【典型例題】類型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1.求滿足下列條件的各圓的方程：(1)圓心在原點(diǎn)，半徑是3；(2)已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，圓心在軸上，則的方程是 ；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓心在點(diǎn)【思路點(diǎn)撥】解析：(1)(2)線段的中垂線方程為，與軸的交點(diǎn)即為圓心的坐標(biāo)，所以半徑為 ，所以圓的方程為.(3)解法一：圓的半徑，圓心在點(diǎn)圓的方程是解法二：圓心在點(diǎn)，故設(shè)圓的方程為又點(diǎn)在圓上，所求圓的方程是.總結(jié)升

4、華：一般情況下，如果已知圓心或易于求出圓心，可用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)求解，用待定系數(shù)法，求出圓心坐標(biāo)和半徑.舉一反三：【變式1】若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）A. B. C. D. 解析：依題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為，其中，則有，由此解得，因此所求圓的方程是，選A.類型二：圓的一般方程例2(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)、,且圓心在直線上的圓的方程；(2)求以、為頂點(diǎn)的三角形的外接圓的方程【思路點(diǎn)撥】選用恰當(dāng)?shù)姆匠绦问接么ㄏ禂?shù)法求出，或數(shù)形結(jié)合，利用圓的垂徑定理：半弦、半徑和弦心距構(gòu)成的直角三角形解決。解析：(1)方法一：待定系數(shù)法設(shè)圓心,則有,解得，圓心，半徑, 所求圓的方

5、程為。方法二：數(shù)形結(jié)合由垂徑定理可知，圓心在線段的垂直平分線上即直線上由得， 圓心，半徑 所求圓的方程為。(2) 方法一：待定系數(shù)法設(shè)圓的方程為,將三個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入列方程組解得：，解方程組得：, , ，故圓的方程為，即方法二：數(shù)形結(jié)合由圖形知：三角形是以為斜邊的直角三角形，故圓心為的中點(diǎn)，直徑，故圓的方程為：?？偨Y(jié)升華：在解決求圓的方程這類問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)：（1）確定圓方程首先明確是標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程；（2）根據(jù)幾何關(guān)系（如本例的相切、弦長(zhǎng)等）建立方程求得、或、；（3）待定系數(shù)法的應(yīng)用，解答中要盡量減少未知量的個(gè)數(shù)舉一反三：【變式1】求過(guò)直線和圓的交點(diǎn),且面積最小的圓的方程?！敬?/p>

6、案】：解法一：因?yàn)橥ㄟ^(guò)兩個(gè)交點(diǎn)的動(dòng)圓中，面積最小的是以此二交點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，于是解方程組得交點(diǎn),以為直徑的圓的方程: 。解法二: (運(yùn)用曲線系方程)設(shè)過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓的方程為, 配方得 要使圓面積最小，必須半徑最小，由于（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最?。?故所求圓的方程是【變式2】根據(jù)下列條件分別寫出圓的方程：(1)以A(4，9)、B(6，3)所連線段為直徑；(2)圓過(guò)點(diǎn)(0，0)和(1，2)，圓心在直線上；(3)圓過(guò)三個(gè)點(diǎn)(2，2)，(5，3)，(6，0)；(4)圓過(guò)點(diǎn)P(3，2)，圓心在直線，且與交于Q(3，6)；(5)與圓同圓心，且面積等于圓C面積的一半.【思路點(diǎn)撥】1充分利用平面幾何知識(shí)(圓的

7、性質(zhì))；2選擇適當(dāng)形式的圓方程.解析：(1)顯然AB中點(diǎn)C(5，6)為圓心. 圓方程為：；(2)設(shè)圓心為M(a，b)， 1，又圓過(guò)點(diǎn)(0，0)和(1，2)， 2，聯(lián)立12解得，所求圓的方程為：；(3)設(shè)圓的方程為：，解得： 所求圓方程為：；(4) 圓過(guò)點(diǎn)P、Q， 圓心為M(a，b)在PQ的中垂線y=4上， 所求圓方程；(5)圓心為(1，0)，半徑為，由已知，所求圓半徑為所求圓的方程為：.【變式3】方程表示圓，則a的取值范圍是 A或 B C D解析：D解析：方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0轉(zhuǎn)化為，所以若方程表示圓，則有， ， 總結(jié)升華：此題考查的為將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的能

8、力.類型三：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例3.(2015 滑縣校級(jí)模擬)如果直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn),那么點(diǎn)和圓C的位置關(guān)系是( ) A.在圓外 B.在圓上 C.在圓內(nèi) D.不能確定【思路點(diǎn)撥】求點(diǎn)與圓之間的距離是關(guān)鍵.【答案】A【解析】直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)圓心到直線的距離 點(diǎn)在圓C的外部.故選總結(jié)升華：判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系就是判斷點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系.舉一反三：【變式】(2015 赤峰模擬)如果直線2ax-by+14=0(a0,b0)和函數(shù)的圖象恒過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在圓的內(nèi)部或圓上，那么的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】當(dāng)即時(shí)函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)又直線2

9、ax-by+14=0過(guò)定點(diǎn) ，又定點(diǎn)在圓的內(nèi)部或圓上，由得 故選C.類型四：與圓有關(guān)的軌跡問題【高清課堂：圓的方程405440 典型例題六】例4.已知點(diǎn)，點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)M的軌跡方程.【思路點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵是找出點(diǎn)M與點(diǎn)P之間的聯(lián)系（實(shí)際是坐標(biāo)間的關(guān)系）解析：設(shè)，則，所以又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以即，整理得所以線段中點(diǎn)M的軌跡方程為.例5.已知正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓是的內(nèi)接圓（點(diǎn)為圓心）（I）求圓的方程；（II）設(shè)圓的方程為，過(guò)圓上任意一點(diǎn)分別作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，求的最大值和最小值【解析】：（I）解法一：設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，由題設(shè)知，解得，所以，或，設(shè)圓心的

10、坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為解法二：設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，由題設(shè)知，又因?yàn)椋傻?，即由，可知，故兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以圓心在軸上設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，于是有，解得，所以圓的方程為（II）設(shè)，則在中，由圓的幾何性質(zhì)得，所以，由此可得則的最大值為，最小值為舉一反三：【變式1】等腰ABC的底邊一個(gè)端點(diǎn)B(1，-3)，頂點(diǎn)A(0，6)，求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀【思路點(diǎn)撥】可以判斷出C的軌跡以A為圓心，半徑為|AB|的圓.利用直接法求出方程.解析：由題意得|CA|=|AB|，則點(diǎn)C到定點(diǎn)A的距離等于定長(zhǎng)|AB|，所以C的軌跡是圓.又，C的軌跡方程為除去點(diǎn)(-1，15)和點(diǎn)(1，-3)，即C的軌跡形狀是以點(diǎn)A(0，6)為圓心，半徑為的圓，其中去除點(diǎn)(-1，15)和點(diǎn)(1，-3).【變式2】如圖，直角三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-2，0），直角頂點(diǎn)，頂點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)P為線段OA的中點(diǎn) （1）求BC邊所在直線方程； （2）M為直角三角形ABC外接圓的圓心，求圓M的方程；（3）若動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)P且與圓M內(nèi)切，求動(dòng)圓N的圓心N的軌跡方程解析：（1） ，ABBC， ， BC邊所在直線方程為