初中數(shù)學(xué)函數(shù)求法十一種

1、. 函函數(shù)數(shù)值值域域求求法法十十一一種種 在函數(shù)的三要素中，定義域和值域起決定作用，而值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則共同確定。研究 函數(shù)的值域，不但要重視對(duì)應(yīng)法則的作用，而且還要特別重視定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。確定函數(shù) 的值域是研究函數(shù)不可缺少的重要一環(huán)。對(duì)于如何求函數(shù)的值域，是學(xué)生感到頭痛的問(wèn)題，它所涉 及到的知識(shí)面廣，方法靈活多樣，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，占有一定的地位，若方法運(yùn)用適當(dāng)，就能起 到簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，避繁就簡(jiǎn)，事半功倍的作用。本文就函數(shù)值域求法歸納如下，供參考。 1 1. . 直直接接觀觀察察法法 對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察得到。 例1. 求函數(shù)x 1 y 的值域。 解： 0

2、x 0 x 1 顯然函數(shù)的值域是： ), 0() 0 , ( 例2. 求函數(shù) x3y 的值域。 解： 0 x 3x3 , 0 x 故函數(shù)的值域是： 3 , 2 2. . 配配方方法法 配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。 例3. 求函數(shù) 2 , 1x, 5x2xy 2 的值域。 解：將函數(shù)配方得： 4) 1x(y 2 2 , 1x 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時(shí)， 4ymin ，當(dāng)1x時(shí)， 8ymax 故函數(shù)的值域是：4，8 3 3. . 判判別別式式法法 例4. 求函數(shù) 2 2 x1 xx1 y 的值域。 解：原函數(shù)化為關(guān)于 x的一元二次方程 0 x) 1y(x) 1y( 2 （1）當(dāng)

3、 1y 時(shí)，Rx 0) 1y)(1y(4) 1( 2 解得：2 3 y 2 1 . . （2）當(dāng)y=1時(shí)， 0 x ，而 2 3 , 2 1 1 故函數(shù)的值域?yàn)?2 3 , 2 1 例5. 求函數(shù) )x2(xxy 的值域。 解：兩邊平方整理得： 0yx) 1y(2x2 22 （1） Rx 0y8) 1y(4 2 解得： 21y21 但此時(shí)的函數(shù)的定義域由 0)x2(x ，得 2x0 由 0 ，僅保證關(guān)于 x的方程： 0yx) 1y(2x2 22 在實(shí)數(shù)集 R有實(shí)根，而不能確保其實(shí) 根在區(qū)間 0，2上，即不能確保方程（1）有實(shí)根，由 0 求出的范圍可能比 y的實(shí)際范圍大，故不能確 定此函數(shù)的值域

4、為 2 3 , 2 1 。 可以采取如下方法進(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。 2x0 0)x2(xxy 21y, 0ymin 代入方程（ 1） 解得： 2 , 0 2 2222 x 4 1 即當(dāng)2 2222 x 4 1 時(shí)， 原函數(shù)的值域?yàn)椋?21 , 0 注：由判別式法來(lái)判斷函數(shù)的值域時(shí)，若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域， 將擴(kuò)大的部分剔除。 4 4. . 反反函函數(shù)數(shù)法法 直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過(guò)求其原函數(shù)的定義域來(lái)確定原函數(shù)的值域。 例6. 求函數(shù)6x5 4x3 值域。 解：由原函數(shù)式可得： 3y5 y64 x 則其反函數(shù)為：3x5 y64 y ，其定義域?yàn)椋? 3 x

5、故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?5 3 , . . 5 5. . 函函數(shù)數(shù)有有界界性性法法 直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，反客為主來(lái)確定函數(shù)的值域。 例7. 求函數(shù)1e 1e y x x 的值域。 解：由原函數(shù)式可得： 1y 1y ex 0ex 0 1y 1y 解得： 1y1 故所求函數(shù)的值域?yàn)?) 1 , 1( 例8. 求函數(shù)3xsin xcos y 的值域。 解：由原函數(shù)式可得： y3xcosxsiny ，可化為： y3)x(xsin1y2 即 1y y3 )x(xsin 2 Rx 1 , 1)x(xsin 即 1 1y y3 1 2 解得：4 2 y 4 2 故函數(shù)的值域?yàn)?

6、4 2 , 4 2 6 6. . 函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)性性法法 例9. 求函數(shù) )10 x2(1xlog2y 3 5x 的值域。 解：令 1xlogy,2y 32 5x 1 則21 y,y 在2，10上都是增函數(shù) 所以21 yyy 在2，10上是增函數(shù) 當(dāng)x=2時(shí)，8 1 12log2y 3 3 min 當(dāng)x=10時(shí)， 339log2y 3 5 max 故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?33, 8 1 . . 例10. 求函數(shù) 1x1xy 的值域。 解：原函數(shù)可化為： 1x1x 2 y 令 1xy , 1 xy 21 ，顯然21 y,y 在 , 1 上為無(wú)上界的增函數(shù) 所以1 yy ，2 y 在 , 1 上也

7、為無(wú)上界的增函數(shù) 所以當(dāng)x=1時(shí)，21 yyy 有最小值2，原函數(shù)有最大值 2 2 2 顯然 0y ，故原函數(shù)的值域?yàn)?2, 0( 7. 換元法 通過(guò)簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式 模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。 例11. 求函數(shù) 1xxy 的值域。 解：令 t1x ， )0t ( 則 1tx 2 4 3 ) 2 1 t (1tty 22 又 0t ，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知 當(dāng) 0t 時(shí)， 1ymin 當(dāng) 0t 時(shí)， y 故函數(shù)的值域?yàn)?), 1 例12. 求函數(shù) 2 ) 1x(12xy 的值域。 解：因

8、 0) 1x(1 2 即 1) 1x( 2 故可令 , 0,cos1x 1cossincos11cosy 2 1) 4 sin(2 4 5 4 0 , 0 211) 4 sin(20 1) 4 sin( 2 2 . . 故所求函數(shù)的值域?yàn)?21 , 0 例13. 求函數(shù)1x2x xx y 24 3 的值域。 解：原函數(shù)可變形為： 2 2 2 x1 x1 x1 x2 2 1 y 可令 tgx ，則有 2 2 2 2 cos x1 x1 ,2sin x1 x2 4sin 4 1 2cos2sin 2 1 y 當(dāng)82 k 時(shí)，4 1 ymax 當(dāng)82 k 時(shí)，4 1 ymin 而此時(shí) tan 有意義

9、。 故所求函數(shù)的值域?yàn)?4 1 , 4 1 例14. 求函數(shù) ) 1x)(cos1x(siny ， 2 , 12 x 的值域。 解： ) 1x)(cos1x(siny 1xcosxsinxcosxsin 令 txcosxsin ，則 ) 1t ( 2 1 xcosxsin 2 22 ) 1t ( 2 1 1t) 1t ( 2 1 y 由 )4/xsin(2xcosxsint 且 2 , 12 x 可得： 2t 2 2 當(dāng) 2t 時(shí)， 2 2 3 ymax ，當(dāng)2 2 t 時(shí)，2 2 4 3 y 故所求函數(shù)的值域?yàn)?2 2 3 , 2 2 4 3 。 例15. 求函數(shù) 2 x54xy 的值域。

10、解：由 0 x5 2 ，可得 5|x| . . 故可令 , 0,cos5x 4) 4 sin(10sin54cos5y 0 4 5 44 當(dāng) 4/ 時(shí)， 104ymax 當(dāng) 時(shí)， 54ymin 故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?104 ,54 8 8. . 數(shù)數(shù)形形結(jié)結(jié)合合法法 其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類(lèi)題目若 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡(jiǎn)單，一目了然，賞心悅目。 例16. 求函數(shù) 22 )8x()2x(y 的值域。 解：原函數(shù)可化簡(jiǎn)得： |8x|2x|y 上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P（x）到定點(diǎn) A（2） ， )8(B 間的距離之和。 由上圖可知，當(dāng)點(diǎn) P在線

11、段AB上時(shí)， 10|AB|8x|2x|y 當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)， 10|AB|8x|2x|y 故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?,10 例17. 求函數(shù) 5x4x13x6xy 22 的值域。 解：原函數(shù)可變形為： 2222 ) 10()2x()20()3x(y 上式可看成 x軸上的點(diǎn) )0 , x(P 到兩定點(diǎn) ) 1, 2(B),2 , 3(A 的距離之和， 由圖可知當(dāng)點(diǎn) P為線段與 x軸的交點(diǎn)時(shí)， 43) 12()23(|AB|y 22 min ， 故所求函數(shù)的值域?yàn)?,43 例18. 求函數(shù) 5x4x13x6xy 22 的值域。 . . 解：將函數(shù)變形為： 2222 ) 10()

12、2x()20()3x(y 上式可看成定點(diǎn) A（3，2）到點(diǎn)P（x，0）的距離與定點(diǎn) ) 1 , 2(B 到點(diǎn) )0 , x(P 的距離之差。 即： |BP|AP|y 由圖可知：（ 1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線 AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn) P，則構(gòu)成ABP，根據(jù)三角 形兩邊之差小于第三邊，有 26) 12()23(|AB| BP| AP| 22 即： 26y26 （2）當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線 AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有 26|AB|BP|AP| 綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋?26,26( 注：由例 17，18可知，求兩距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之 差時(shí)，則要使 A，B兩

13、點(diǎn)在x軸的同側(cè)。 如：例17的A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（3，2） ， ) 1, 2( ，在x軸的同側(cè)；例 18的A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別 為（ 3，2） ， ) 1, 2( ，在x軸的同側(cè)。 9 9. . 不不等等式式法法 利用基本不等式 abc3cba,ab2ba 3 )Rc, b, a ( ，求函數(shù)的最值，其題型特征 解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊 平方等技巧。 例19. 求函數(shù) 4) xcos 1 x(cos) xsin 1 x(siny 22 的值域。 解：原函數(shù)變形為： 5 2xcotxtan3 xcotxtan3 xsecxces1

14、xcos 1 xsin 1 )xcosx(siny 223 22 22 22 22 當(dāng)且僅當(dāng) xcotxtan 即當(dāng)4 kx 時(shí) )zk( ，等號(hào)成立 故原函數(shù)的值域?yàn)椋?), 5 例20. 求函數(shù) x2sinxsin2y 的值域。 . . 解： xcosxsinxsin4y xcosxsin4 2 27 64 3/ )xsin22xsinx(sin8 )xsin22(xsinxsin8 xcosxsin16y 3222 222 24 當(dāng)且僅當(dāng) xsin22xsin 22 ，即當(dāng)3 2 xsin 2 時(shí)，等號(hào)成立。 由27 64 y2 可得：9 38 y 9 38 故原函數(shù)的值域?yàn)椋?9 38

15、 , 9 38 1 10 0. . 一一一一映映射射法法 原理：因?yàn)?)0c ( dcx bax y 在定義域上 x與y是一一對(duì)應(yīng)的。故兩個(gè)變量中，若知道一個(gè)變量 范圍，就可以求另一個(gè)變量范圍。 例21. 求函數(shù)1x2 x31 y 的值域。 解： 定義域?yàn)?2 1 x 2 1 x|x或 由1x2 x31 y 得 3y2 y1 x 故 2 1 3y2 y1 x 或 2 1 3y2 y1 x 解得2 3 y 2 3 y或 故函數(shù)的值域?yàn)?, 2 3 2 3 , 1 11 1. . 多多種種方方法法綜綜合合運(yùn)運(yùn)用用 例22. 求函數(shù)3x 2x y 的值域。 解：令 )0t (2xt ，則 1t3x

16、2 （1）當(dāng) 0t 時(shí)， 2 1 t 1 t 1 1t t y 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) t=1，即1x時(shí)取等號(hào)，所以2 1 y0 （2）當(dāng)t=0時(shí)， y=0。 . . 綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋?2 1 , 0 注：先換元，后用不等式法 例23. 求函數(shù) 42 432 xx21 xxx2x1 y 的值域。 解： 42 3 42 42 xx21 xx xx21 xx21 y 2 2 2 2 x1 x x1 x1 令2 tanx ，則 2 2 2 2 cos x1 x1 sin 2 1 x1 x 2 1sin 2 1 sinsin 2 1 cosy 22 16 17 4 1 sin 2 當(dāng)4 1 sin 時(shí)

17、，16 17 ymax 當(dāng) 1sin 時(shí)， 2ymin 此時(shí)2 tan 都存在，故函數(shù)的值域?yàn)?16 17 , 2 注：此題先用換元法，后用配方法，然后再運(yùn)用 sin 的有界性。 總之，在具體求某個(gè)函數(shù)的值域時(shí)，首先要仔細(xì)、認(rèn)真觀察其題型特征，然后再選擇恰當(dāng)?shù)姆?法，一般優(yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。 難點(diǎn)磁場(chǎng)難點(diǎn)磁場(chǎng) ()設(shè) m 是實(shí)數(shù)，記 M=m|m1,f(x)=log3(x24mx+4m2+m+). 1 1 m (1)證明：當(dāng) mM 時(shí)，f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若 f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù) x 都有意義， 則 mM. (2)當(dāng) mM 時(shí)，求

18、函數(shù) f(x)的最小值. (3)求證：對(duì)每個(gè) mM,函數(shù) f(x)的最小值都不小于 1. 案例探究案例探究 例例 1設(shè)計(jì)一幅宣傳畫(huà)，要求畫(huà)面面積為 4840 cm2,畫(huà)面的寬與高的比為(1),畫(huà) 面的上、下各留 8 cm 的空白，左右各留 5 cm 空白，怎樣確定畫(huà)面的高與寬尺寸，才能使 . . 宣傳畫(huà)所用紙張面積最小？如果要求 ，那么為何值時(shí)，能使宣傳畫(huà)所用紙 4 3 , 3 2 張面積最?。?命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問(wèn)題，同時(shí)考查運(yùn)用所學(xué)知 識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬級(jí)題目. 知識(shí)依托：主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識(shí). 錯(cuò)解分析：證明 S()在區(qū)間上的單

19、調(diào)性容易出錯(cuò)，其次不易把應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn) 4 3 , 3 2 化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決. 技巧與方法：本題屬于應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，并把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值 問(wèn)題來(lái)解決. 解：設(shè)畫(huà)面高為 x cm,寬為x cm,則x2=4840,設(shè)紙張面積為 S cm2,則 S=(x+16) (x+10)=x2+(16+10)x+160,將 x=代入上式得：S=5000+44 (8+),當(dāng) 1022 10 5 8=,即=1)時(shí) S 取得最小值.此時(shí)高：x=88 cm,寬：x=88=55 5 8 5 ( 8 5 4840 8 5 cm. 如果可設(shè)10, 21 8 5 3 2 21 5 S(1)S(2)0 恒成

20、立，試求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.) 命題意圖：本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問(wèn)題，著重于學(xué)生的綜合分析能力 以及運(yùn)算能力，屬級(jí)題目. 知識(shí)依托：本題主要通過(guò)求 f(x)的最值問(wèn)題來(lái)求 a 的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與 分類(lèi)討論的思想. 錯(cuò)解分析：考生不易考慮把求 a 的取值范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決. 技巧與方法：解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把 f(x)0 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的二次不等式；解法二運(yùn)用 分類(lèi)討論思想解得. . . (1)解：當(dāng) a=時(shí)，f(x)=x+2 2 1 x2 1 f(x)在區(qū)間1，+ 上為增函數(shù)，) f(x)在區(qū)間1，+ 上的最小值為 f(1)=.) 2 7 (2)解法

21、一：在區(qū)間1，+ 上，f(x)= 0 恒成立x2+2x+a0 恒成立.) x axx2 2 設(shè) y=x2+2x+a,x1,+) y=x2+2x+a=(x+1)2+a1 遞增， 當(dāng) x=1 時(shí)，ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng) ymin=3+a0 時(shí)，函數(shù) f(x)0 恒成立，故 a3. 解法二：f(x)=x+2,x1,+ x a ) 當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù) f(x)的值恒為正； 當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù) f(x)0 恒成立，故 a3. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題一、選擇題 1.()函數(shù) y=x2+ (x)的值域是( ) x 1 2 1 A.(,B.,+ 4 7 4 7 ) C.,+D.(, 2 23

22、3 ) 3 2 2 3 2.()函數(shù) y=x+的值域是( )x21 A.(,1B.(,1 C.RD.1,+) 二、填空題二、填空題 3.()一批貨物隨 17 列貨車(chē)從 A 市以 V 千米/小時(shí)勻速直達(dá) B 市，已知兩地 鐵路線長(zhǎng) 400 千米，為了安全，兩列貨車(chē)間距離不得小于()2千米 ，那么這批物資全部 20 V 運(yùn)到 B 市，最快需要_小時(shí)(不計(jì)貨車(chē)的車(chē)身長(zhǎng)). 4.()設(shè) x1、x2為方程 4x24mx+m+2=0 的兩個(gè)實(shí)根，當(dāng) m=_時(shí)， x12+x22有最小值_. 三、解答題三、解答題 5.()某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時(shí)，固定成本為 5000 元，而每生產(chǎn) 100 臺(tái)產(chǎn)品時(shí) 直接消耗成本

23、要增加 2500 元，市場(chǎng)對(duì)此商品年需求量為 500 臺(tái)，銷(xiāo)售的收入函數(shù)為 R(x) =5xx2(萬(wàn)元)(0 x5),其中 x 是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百臺(tái)) 2 1 (1)把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)； (2)年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)所得的利潤(rùn)最大？ (3)年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)才不虧本？ 6.()已知函數(shù) f(x)=lg(a21)x2+(a+1)x+1 . . (1)若 f(x)的定義域?yàn)?,+)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； (2)若 f(x)的值域?yàn)?,+),求實(shí)數(shù) a 的取值范圍. 7.()某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案，準(zhǔn)備每周 (按 120 個(gè)工時(shí)計(jì)算)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱

24、共 360 臺(tái)，且冰箱至少生產(chǎn) 60 臺(tái).已知生產(chǎn)家 電產(chǎn)品每臺(tái)所需工時(shí)和每臺(tái)產(chǎn)值如下表： 家電名稱(chēng)空調(diào)器彩電冰箱 工時(shí) 2 1 3 1 4 1 產(chǎn)值(千元)432 問(wèn)每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺(tái)，才能使產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少？(以 千元為單位) 8.()在 RtABC 中，C=90，以斜邊 AB 所在直線為軸將ABC 旋轉(zhuǎn)一周 生成兩個(gè)圓錐，設(shè)這兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之積為 S1，ABC 的內(nèi)切圓面積為 S2，記 =x. AB CABC (1)求函數(shù) f(x)=的解析式并求 f(x)的定義域. 2 1 S S (2)求函數(shù) f(x)的最小值. 參考答案參考答案 難點(diǎn)磁場(chǎng)難點(diǎn)磁場(chǎng) (1)證

25、明：先將 f(x)變形：f(x)=log3(x2m)2+m+, 1 1 m 當(dāng) mM 時(shí)，m1,(xm)2+m+0 恒成立，故 f(x)的定義域?yàn)?R. 1 1 m 反之，若 f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù) x 都有意義，則只須 x24mx+4m2+m+0,令0,即 1 1 m 16m24(4m2+m+)0,解得 m1,故 mM. 1 1 m (2)解析：設(shè) u=x24mx+4m2+m+,y=log3u 是增函數(shù)，當(dāng) u 最小時(shí)，f(x)最小. 1 1 m 而 u=(x2m)2+m+,顯然，當(dāng) x=m 時(shí)，u 取最小值為 m+,此時(shí) f(2m)=log3(m+ 1 1 m1 1 m )為最小值. 1 1

26、m (3)證明：當(dāng) mM 時(shí)，m+=(m1)+ +13,當(dāng)且僅當(dāng) m=2 時(shí)等號(hào)成立. 1 1 m1 1 m log3(m+)log33=1. 1 1 m 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、1.解析：m1=x2在(,）上是減函數(shù)，m2=在(,）上是減函數(shù)， 2 1 x 1 2 1 y=x2+在 x(,)上為減函數(shù), x 1 2 1 . . y=x2+ (x)的值域?yàn)椋? . x 1 2 1 4 7 ) 答案：B 2.解析：令=t(t0),則 x=.x21 2 1 2 t y=+t= (t1)2+11 2 1 2 t 2 1 值域?yàn)?,1 . 答案：A 二、3.解析：t=+16()2/V=+2=8.

27、 V 400 20 V V 400 400 16V 16 答案：8 4.解析：由韋達(dá)定理知：x1+x2=m,x1x2=,x12+x22=(x1+x2) 4 2m 22x1x2=m2 =(m)2,又 x1,x2為實(shí)根，0.m1 或 m2，y=(m 2 2m 4 1 16 17 )2在區(qū)間(,1）上是減函數(shù)，在2，+ 上是增函數(shù)又拋物線 y 開(kāi)口向上且以 4 1 16 17 ) m=為對(duì)稱(chēng)軸.故 m=1 時(shí)， 4 1 ymin=. 2 1 答案：1 2 1 三、5.解：(1）利潤(rùn) y 是指生產(chǎn)數(shù)量 x 的產(chǎn)品售出后的總收入 R(x)與其總成本 C(x)之 差，由題意，當(dāng) x5 時(shí)，產(chǎn)品能全部售出，

28、當(dāng) x5 時(shí)，只能銷(xiāo)售 500 臺(tái)，所以 y= ) 1( 25 . 0 12 )50( 5 . 0 2 1 75 . 4 )5)(25 . 0 5 . 0()5 2 1 55( )50)(25 . 0 5 . 0( 2 1 5 2 2 2 xx xxx xx xxxx (2）在 0 x5 時(shí)，y=x2+4.75x0.5,當(dāng) x=4.75(百臺(tái)）時(shí)， 2 1 a b 2 ymax=10.78125(萬(wàn)元） ，當(dāng) x5(百臺(tái)）時(shí)，y120.255=10.75(萬(wàn)元） ， 所以當(dāng)生產(chǎn) 475 臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大. (3）要使企業(yè)不虧本，即要求 025 . 0 12 5 05 . 075 . 4 2 1

29、50 2 x x xx x 或 解得 5x4.750.1(百臺(tái)）或 5x48(百臺(tái)）時(shí)，即企業(yè)年產(chǎn)量在 105625.21 臺(tái)到 4800 臺(tái)之間時(shí)，企業(yè)不虧本. 6.解：(1）依題意(a21）x2+(a+1)x+10 對(duì)一切 xR 恒成立，當(dāng) a210 時(shí)，其充 要條件是， 1 3 5 11 , 0) 1(4) 1( 01 22 2 aa aa aa a 或 或 即 . . a1 或 a.又 a=1 時(shí)，f(x)=0 滿(mǎn)足題意，a=1 時(shí)不合題意.故 a1 或 a為 3 5 所求. 3 5 (2）依題意只要 t=(a21)x2+(a+1)x+1 能取到(0，+）上的任何值，則 f(x)的值域

30、為 R，故有,解得 1a,又當(dāng) a21=0 即 a=1 時(shí)，t=2x+1 符合題意而 a=1 時(shí)不 0 01 2 a 3 5 合題意，1a為所求. 3 5 7.解：設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱分別為 x 臺(tái)、y 臺(tái)、z 臺(tái)，由題意得： x+y+z=360 120 4 1 3 1 2 1 zyx x0,y0,z60. 假定每周總產(chǎn)值為 S 千元，則 S=4x+3y+2z,在限制條件之下，為求目標(biāo)函數(shù) S 的 最大值，由消去 z,得 y=3603x. 將代入得：x+(3603x)+z=360,z=2x z60,x30. 再將代入 S 中，得 S=4x+3(3603x)+22x,即 S=x+1080

31、.由條件及上式知，當(dāng) x=30 時(shí)，產(chǎn)值 S 最大，最大值為 S=30+1080=1050(千元）.得 x=30 分別代入和得 y=36090=270,z=230=60. 每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器 30 臺(tái)，彩電 270 臺(tái)，冰箱 60 臺(tái)，才能使產(chǎn)值最大，最大產(chǎn)值為 1050 千元. 8.解：(1）如圖所示：設(shè) BC=a,CA=b,AB=c,則斜邊 AB 上的高 h=, c ab S1=ah+bh=,) 2 (),( 2 2 cba Sba c ab f(x)= 2 2 1 )( )(4 cbac baab S S 又 ) 1( 2 2 2 222x c ab cxba cba x c ba 代入消

32、 c，得 f(x)=. 1 )(2 2 x xx 在 RtABC 中，有 a=csinA,b=ccosA(0A,則 2 ) x=sinA+cosA=sin(A+).1x. c ba 2 4 2 (2)f(x)= +6,設(shè) t=x1,則 t(0, 1),y=2(t+)+6 在(0， 1 2 ) 1(2 1 )(2 2 x x x xx 2 t 2 1 上是減函數(shù)，當(dāng) x=(1)+1=時(shí)，f(x)的最小值為 6+8.2222 . . E D O C B A 第 3 題 B C A 第 5 題圖 圓 一、選擇題。一、選擇題。 1 1、 （2010 南通）南通） 如圖，O 的直徑 AB=4，點(diǎn) C 在

33、O 上，ABC=30，則 AC 的長(zhǎng)是（ ） A1B CD223 2 2、 （2010 浙江嘉興）浙江嘉興）如圖，A、B、C 是O 上的三點(diǎn)， 已知，則（ ）60OC AB CD20253045 3、 （2010 湖南郴州）湖南郴州）如圖，是的直徑，為弦，于，則下ABCDCDABE 列結(jié)論中不成立的是（ ） AD CEDE90ACB CEBD 4、如圖，PA、PB 是 O 的切線，切點(diǎn)分別是 A、B，如果P60,那么AOB 等于（ ） A.60 B.90C.120D.150 5、 （2010 山東青島市）如圖，在 RtABC中，C = 90，B = 30，BC = 4 cm，以點(diǎn)C為圓心，以

34、2 cm 的長(zhǎng)為半徑作圓，則C與AB的位置關(guān)系是（ ） A相離B相切 C相交D相切或相交 O AB C . . A B CD O M 第 8 題圖 二、填空題。 6、 （2010 重慶綦江縣）如圖所示，A、B、C、D 是圓上的點(diǎn)，168， A40則D_ 7 7、 （2010 黃岡）黃岡）如圖，O 中， 的度數(shù)為 320，則圓周角 MAN MAN_. 8 8 （2010 福建寧德）福建寧德）如圖，在直徑 AB12 的O 中，弦 CDAB 于 M，且 M 是半徑 OB 的中點(diǎn)，則弦 CD 的長(zhǎng)是_（結(jié)果保留根號(hào)）. 9 9、 （2009 年婁底）如圖 6，已知 AB 是O 的直徑，PB 是O 的切

35、線，PA 交O 于 C，AB=3cm，PB=4cm，則 BC= . 1010、 （2010 陜西西安）陜西西安）如圖是一條水平鋪設(shè)的直徑為 2 米的通水管道橫截面， 其水面寬為 1.6 米，則這條管道中此時(shí)最深為 米。 三、解答題。 11、 （2010 福建福州）如圖，AB 是O 的直徑，弦 CDAB 于點(diǎn) E，點(diǎn) P 在 O 上，1C （1）求證：CBPD； （2）若 BC3，sinP ，求O 的直徑 3 5 1 D C B A 第 6 題圖 第 7 題圖 第 10 題圖 . . 12、 （2010 廣東中山）廣東中山）如圖，PA 與O 相切于 A 點(diǎn)，弦 ABOP，垂足為 C，OP 與O

36、相交于 D 點(diǎn)，已知 OA=2，OP=4 （1）求POA 的度數(shù)； （2）計(jì)算弦 AB 的長(zhǎng) 13、如圖，AB 是O 的直徑，BD 是O 的弦，延長(zhǎng) BD 到點(diǎn) C，使 DC=BD， 連結(jié) AC，過(guò)點(diǎn) D 作 DEAC，垂足為 E. （1）求證：AB=AC； （2）求證：DE 為O 的切線； （3）若O 的半徑為 5,BAC=60,求 DE 的長(zhǎng). 14、如圖，O 的直徑 AB=6cm，D 為O 上一點(diǎn)，BAD=30，過(guò)點(diǎn) D 的 E O DCB A . . A B C D 圖7 O 切線交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) C。 求：(1)ADC 的度數(shù)； (2)AC 的長(zhǎng)。 15、如圖，在的外接圓中，是

37、弧 BC 的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，連ABCODADBCE 結(jié)BD （1）列出圖中所有相似三角形； （2）連結(jié)，若在弧 BAC 上任取一點(diǎn)（點(diǎn)除外） ，連結(jié)DCKABC， 交于點(diǎn)，是否成立？若成立，給出證明；CKDKDK，BCFDKDFDC 2 若不成立，舉例說(shuō)明 A B C D E O . . 圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 圓與三角形、四邊形一樣都是研究相關(guān)圖形中的圓與三角形、四邊形一樣都是研究相關(guān)圖形中的線、角、周長(zhǎng)、面積線、角、周長(zhǎng)、面積等知識(shí)。包括等知識(shí)。包括 性質(zhì)定理與判定定理及公式性質(zhì)定理與判定定理及公式。 一一 集合：集合： 圓：圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合； 圓的外部：可以看作

38、是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合； 圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合 二二 軌跡：軌跡： 1、到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是：以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓； 2、到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是：線段的中垂線； 3、到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是：角的平分線； 4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條 . . r d d C B A O d rd=r r d 圖 1 r R d 圖 2 r R d 圖 3 rR d 圖 4 r R d 圖 5 r R d O C D A B O E DC B A 直線； 5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌

39、跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的 一條直線 三三 位置關(guān)系：位置關(guān)系： 1 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系: 點(diǎn)在圓內(nèi) dr 點(diǎn) A 在圓外 2 直線與圓的位置關(guān)系: 直線與圓相離 dr 無(wú)交點(diǎn) 直線與圓相切 d=r 有一個(gè)交點(diǎn) 直線與圓相交 dR+r 外切（圖 2） 有一個(gè)交點(diǎn) d=R+r 相交（圖 3） 有兩個(gè)交點(diǎn) R-rdR+r 內(nèi)切（圖 4） 有一個(gè)交點(diǎn) d=R-r 內(nèi)含（圖 5） 無(wú)交點(diǎn) dR-r 四四 垂垂 徑定徑定 理理: 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧 推論 1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??； （2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并

40、且平分弦所對(duì)的兩條??； （3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧 以上共 4 個(gè)定理，簡(jiǎn)稱(chēng) 2 推 3 定理：此定理中共 5 個(gè)結(jié)論中，只要知道其中 2 個(gè)即 可推出其它 3 個(gè)結(jié)論，即： AB 是直徑 ABCD CE=DE 推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在O 中，ABCD AA BCBD AA ACAD . . F E D C B A O C B A O D C B A O C BA O C BA O NM A O 五五 圓心角定理圓心角定理 六六 圓周角定理圓周角定理 圓周角定理：同一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半 即：AOB 和ACB 是 所對(duì)的圓心角和圓周角 AOB=2ACB 圓周角定理的推論： 推論 1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì) 的弧是等弧 即：在O 中，C、D 都是所對(duì)的圓周角 C=D 推論 2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半 圓，所對(duì)的弦是直徑 即：在O 中，AB 是