主成分分析與因子分析的優(yōu)缺點(diǎn)

1、主成分分析就是將多項(xiàng)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾項(xiàng)綜合指標(biāo)，用綜合指標(biāo)來解釋多變量的方差-協(xié)方差結(jié)構(gòu)綜合指標(biāo)即為主成分所得出的少數(shù)幾個(gè)主成分，要盡可能多地保留原始變量的信息，且彼此不相關(guān) 因子分析是研究如何以最少的信息丟失 ，將眾多原始變量濃縮成少數(shù)幾個(gè)因子變量 ，以及如何使因子 變量具有較強(qiáng)的可解釋性的一種多元統(tǒng)計(jì)分析方法 聚類分析是依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)本身所具有的定性或定量的特征來對大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行分組歸類以了解數(shù)據(jù)集的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，并且對每一個(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行描述的過程其主要依據(jù)是聚到同一個(gè)數(shù)據(jù)集中的樣本應(yīng)該彼 此相似,而屬于不同組的樣本應(yīng)該足夠不相似三種分析方法既有區(qū)別也有聯(lián)系，本文力圖將三者的異同進(jìn)行比較，并舉例說

2、明三者在實(shí)際應(yīng)用中的 聯(lián)系,以期為更好地利用這些高級統(tǒng)計(jì)方法為研究所用有所裨益二、基本思想的異同（一）共同點(diǎn)主成分分析法和因子分析法都是用少數(shù)的幾個(gè)變量（因子）來綜合反映原始變量（因子）的主要信息，變量雖然較原始變量少，但所包含的信息量卻占原始信息的85 %以上,所以即使用少數(shù)的幾個(gè)新變量可信度也很高，也可以有效地解釋問題并且新的變量彼此間互不相關(guān)，消除了多重共線性這兩種分析 法得出的新變量，并不是原始變量篩選后剩余的變量.在主成分分析中，最終確定的新變量是原始變量 的線性組合,如原始變量為x1 ,x2 ,. . . ,x3 , 經(jīng)過坐標(biāo)變換,將原有的p個(gè)相關(guān)變量xi作線性變換, 每個(gè)主成分都

3、是由原有p個(gè)變量線性組合得到.在諸多主成分Zi中,Z1在方差中占的比重最大，說 明它綜合原有變量的能力最強(qiáng)，越往后主成分在方差中的比重也小，綜合原信息的能力越弱.因子分析 是要利用少數(shù)幾個(gè)公共因子去解釋較多個(gè)要觀測變量中存在的復(fù)雜關(guān)系，它不是對原始變量的重新組合,而是對原始變量進(jìn)行分解，分解為公共因子與特殊因子兩部分.公共因子是由所有變量共同具有的 少數(shù)幾個(gè)因子；特殊因子是每個(gè)原始變量獨(dú)自具有的因子.對新產(chǎn)生的主成分變量及因子變量計(jì)算其得分,就可以將主成分得分或因子得分代替原始變量進(jìn)行進(jìn)一步的分析，因?yàn)橹鞒煞肿兞考耙蜃幼兞勘仍甲兞可倭嗽S多，所以起到了降維的作用，為我們處理數(shù)據(jù)降低了難度.聚類

4、分析的基本思想是：采用多變量的統(tǒng)計(jì)值，定量地確定相互之間的親疏關(guān)系，考慮對象多因素的 聯(lián)系和主導(dǎo)作用，按它們親疏差異程度，歸入不同的分類中一元，使分類更具客觀實(shí)際并能反映事物的內(nèi)在必然聯(lián)系.也就是說，聚類分析是把研究對象視作多維空間中的許多點(diǎn)，并合理地分成若干類，因此它是一種根據(jù)變量域之間的相似性而逐步歸群成類的方法，它能客觀地反映這些變量或區(qū)域之間的內(nèi) 在組合關(guān)系3 .聚類分析是通過一個(gè)大的對稱矩陣來探索相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)分析方法，是多元統(tǒng)計(jì)分析方法，分析的結(jié)果為群集對向量聚類后，我們對數(shù)據(jù)的處理難度也自然降低，所以從某種意義上說 聚類分析也起到了降維的作用（二）不同之處主成分分析是研究如何

5、通過少數(shù)幾個(gè)主成分來解釋多變量的方差一協(xié)方差結(jié)構(gòu)的分析方法，也就是求出少數(shù)幾個(gè)主成分（變量），使它們盡可能多地保留原始變量的信息，且彼此不相關(guān)它是一種數(shù)學(xué)變換 方法,即把給定的一組變量通過線性變換，轉(zhuǎn)換為一組不相關(guān)的變量（兩兩相關(guān)系數(shù)為0,或樣本向量彼 此相互垂直的隨機(jī)變量），在這種變換中，保持變量的總方差（方差之和）不變,同時(shí)具有最大方差，稱為 第一主成分；具有次大方差,稱為第二主成分.依次類推.若共有p個(gè)變量,實(shí)際應(yīng)用中一般不是找p個(gè) 主成分,而是找出m （m p）個(gè)主成分就夠了，只要這m個(gè)主成分能反映原來所有變量的絕大部分的方差.主成分分析可以作為因子分析的一種方法出現(xiàn).因子分析是尋找潛

6、在的起支配作用的因子模型的方法因子分析是根據(jù)相關(guān)性大小把變量分組，使得同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較高，但不同的組的變量相關(guān)性較低，每組變量代表一個(gè)基本結(jié)構(gòu)，這個(gè)基本結(jié) 構(gòu)稱為公共因子.對于所研究的問題就可試圖用最少個(gè)數(shù)的不可測的所謂公共因子的線性函數(shù)與特殊 因子之和來描述原來觀測的每一分量通過因子分析得來的新變量是對每個(gè)原始變量進(jìn)行內(nèi)部剖析因子分析不是對原始變量的重新組合,而是對原始變量進(jìn)行分解，分解為公共因子和特殊因子兩部分具 體地說,就是要找出某個(gè)問題中可直接測量的具有一定相關(guān)性的諸指標(biāo)，如何受少數(shù)幾個(gè)在專業(yè)中有意義、又不可直接測量到、且相對獨(dú)立的因子支配的規(guī)律，從而可用各指標(biāo)的測定來間接確定

7、各因子的狀態(tài)因子分析只能解釋部分變異，主成分分析能解釋所有變異聚類分析算法是給定 m維空間R中的n個(gè)向量，把每個(gè)向量歸屬到k個(gè)聚類中的某一個(gè)，使得每 一個(gè)向量與其聚類中心的距離最小聚類可以理解為：類內(nèi)的相關(guān)性盡量大，類間相關(guān)性盡量小聚類問題作為一種無指導(dǎo)的學(xué)習(xí)問題，目的在于通過把原來的對象集合分成相似的組或簇，來獲得某種內(nèi) 在的數(shù)據(jù)規(guī)律.從三類分析的基本思想可以看出，聚類分析中并沒于產(chǎn)生新變量，但是主成分分析和因子分析都產(chǎn)生 了新變量三、數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的比較主成分分析中為了消除量綱和數(shù)量級，通常需要將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，將其轉(zhuǎn)化為均值為0方差為1 的無量綱數(shù)據(jù).而因子分析在這方面要求不是太高，因?yàn)?/p>

8、在因子分析中可以通過主因子法、加權(quán)最小二 乘法、不加權(quán)最小二乘法、重心法等很多解法來求因子變量，并且因子變量是每一個(gè)變量的內(nèi)部影響變量,它的求解與原始變量是否同量綱關(guān)系并不太大 ，當(dāng)然在采用主成分法求因子變量時(shí)，仍需標(biāo)準(zhǔn)化. 不過在實(shí)際應(yīng)用的過程中，為了盡量避免量綱或數(shù)量級的影響，建議在使用因子分析前還是要進(jìn)行數(shù) 據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化.在構(gòu)造因子變量時(shí)采用的是主成分分析方法，主要將指標(biāo)值先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理得到協(xié)方差矩 陣,即相關(guān)矩陣和對應(yīng)的特征值與特征向量，然后構(gòu)造綜合評價(jià)函數(shù)進(jìn)行評價(jià) 聚類分析中如果參與聚類的變量的量綱不同會導(dǎo)致錯(cuò)誤的聚類結(jié)果因此在聚類過程進(jìn)行之前必須對變量值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，即消除量綱的影響不

9、同方法進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，會導(dǎo)致不同的聚類結(jié)果要注意變量的分 布.如果是正態(tài)分布應(yīng)該采用z分?jǐn)?shù)法四、應(yīng)用中的優(yōu)缺點(diǎn)比較（一）主成分分析1、優(yōu)點(diǎn)首先它利用降維技術(shù)用少數(shù)幾個(gè)綜合變量來代替原始多個(gè)變量 ，這些綜合變量集中了原始變量的大部 分信息其次它通過計(jì)算綜合主成分函數(shù)得分，對客觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行科學(xué)評價(jià)再次它在應(yīng)用上側(cè)重于 信息貢獻(xiàn)影響力綜合評價(jià)2、缺點(diǎn)當(dāng)主成分的因子負(fù)荷的符號有正有負(fù)時(shí)，綜合評價(jià)函數(shù)意義就不明確命名清晰性低（二）因子分析1、優(yōu)點(diǎn)第一它不是對原有變量的取舍，而是根據(jù)原始變量的信息進(jìn)行重新組合,找出影響變量的共同因子，化簡數(shù)據(jù)；第二，它通過旋轉(zhuǎn)使得因子變量更具有可解釋性，命名清晰性高2、缺點(diǎn)在計(jì)算因子得分時(shí)，采用的是最小二乘法，此法有時(shí)可能會失效（三）聚類分析1、優(yōu)點(diǎn)聚類分析模型的優(yōu)點(diǎn)就是直觀，結(jié)論形式簡明2、缺點(diǎn)在樣本量較大時(shí)