平行四邊形專題

1、第18章平行四邊形專項訓練專訓1:平行四邊形的性質1、（2014寧夏）在平行四邊形ABCD中，將 ABC沿AC對折，使點B落在B處，AB和CD 相交于點O.求證：OA OC2、（2015 南通中考）如圖，在一ABC呼，點E, F分別在AB, DC上，且EDL DB, FBI BD 求證： AEDA CFB. （2）若/A=30，Z DEB=45,求證：DA=DF.專訓1.判定平行四邊形的五種常用方法名師點金：判定平行四邊形的方法通常有五種，即定義和四種判定定理，選擇判定方法 時，一定要結合題目的條件，選擇恰當的方法，從而簡化解題過程.如圖，在?ABCD中，E，F分別為AD BC上的點，且 BF

2、= DE連接AF，CE BE, DF, AF 與BE相交于M點，DF與CE相交于N點.求證：四邊形FMEF為平行四邊形.I)2.如圖，已知 ABD BCE ACF都是等邊三角形.求證：四邊形 ADEF是平行四邊形.已知：如圖，在四邊形 ABCDK AB/ CD E, 求證：四邊形ABC助平行四邊形.形BFDE是平行四邊形嗎？請說明理由.AGHDT積相等的所有平行四邊形（四邊形AGH陳外）.5如圖，？ABC呼，點O是對角線AC的中點，EF過點O,與AD BC分別相交于點E, F, GH過點O,與AB CD分別相交于點 G H,連接EG FQ FH, EH.求證：四邊形 EGFH 是平行四邊形；

3、如圖,若EF/ AB GH/ BC,在不添加任何輔助線的情況下，請直接 寫出圖中與四邊形DD（2015遂寧）如圖,6、平行四邊形 ABC沖，點E，F在對角線BD上，且BE=DF求證: 四邊形AECF是平行四邊形.7、如圖，以厶ABC勺三邊為邊在BC的同側分別作三個等邊三角形， 即厶ABD BCEA ACF 請回答下列問題，并說明理由（1）四邊形ADEF是什么四邊形；（2）當ABC滿足什么條件時，四邊形 ADEF是矩形；（3 ）當ABC滿足什么條件時，以A , D, E, F為頂點的四邊形不存在8、如圖，在口ABCD中，E, F, G, H分別是四條邊上的點，且滿足 BE= DF, CG= AH

4、，連 接EF，GH .求證：EF與GH互相平分專訓2.構造中位線的方法名師點金：三角形的中位線具有兩方面的性質：一是位置上的平行關系，二是數量上的 倍分關系.因此，當題目中給出三角形兩邊的中點時，可以直接連出中位線；當題目中給出 一邊的中點時，往往需要找另一邊的中點，作出三角形的中位線.連接兩點構造三角形的中位線1如圖，四邊形 ABC沖，E、F、G H分別是AB CD AC BD的中點，那么四邊形 GEH!是 平行四邊形，為什么？2、如圖，四邊形 ABCD中, E、F、M N分別為AB 為平行四邊形.CD BD AC的中點，求證：四邊形 EMFN3、已知：如圖，四邊形ABCC四條邊上的中點分別

5、為 E、F、G H,順次連接EF、FG GH HE, 得到四邊形EFGH(即四邊形ABCD勺中點四邊形).(1) 四邊形EFGH的形狀是，證明你的結論；(2) 當四邊形ABCD勺對角線滿足 件時，四邊形EFGH是矩形；(3) 你學過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是矩形？ .4、如圖，點B為AC上一點，分別以AB BC為邊在AC同側作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE點P, M N分別為AC, AD, CE的中點.求證：PMh PN； （2）求/ MPN勺度數.5、（2015廣州）如圖，四邊形 ABCD中 , / A=90 , AB=3 , AD=3點M N分別為線段BC, AB上的動點（含端點，

6、但點 M不與點B重合），點E, F分別為DM MN的中點，貝U EF長度的最大值為利用角平分線+垂直構造中位線6.如圖,在厶ABC中，點M為BC的中點,ADABC的外角平分線,且 AD丄BD若A吐12 ,AO 18 ,求DM的長.7.如圖,在厶ABC中 ,已知A吐6 , AO 10 , AD平分/ BAC, BDLAD于點D,點E為BC的中倍長法構造三角形的中位線8.如圖,在厶ABC中,/ ABG90 , B心BC, BEF為等腰直角三角形,/ BEM90 , M1為AF的中點,求證：ME= 2CF已知一邊中點，取另一邊中點構造三角形的中位線9.已知：如圖,在四邊形 ABCD中 , AD=BC

7、 M N分別是AB CD的中點,AD BC的延長線交 MNT E、F.求證：/ DEN=/ F.10.如圖，在四邊形 ABC沖，M N分別是AD BC的中點，若AB= 10, CD= 8,求MN長度的 取值范圍.11.如圖，在 ABC中, Z C= 90, CA= CB E, 別為AF, BE的中點，求證：AE= /2MN.已知兩邊中點，取第三邊中點構造三角形的中位線12.如圖，在 ABC中, A吐AC, ADL BC于點D,點P是AD的中點，延長BP交AC于點N,1求證：AN= 3AC.答案專訓11. 證明：四邊形ABCD1平行四邊形，DE= BF,a DE綊BF.二四邊形BFDE為平行四邊

8、 形. BE/ DF.同理，AF/ CE.A四邊形FMEF為平行四邊形.2. 證明：ABD BCE ACF都是等邊三角形， BQ BD BO BE,/ DBAZ EBG= 60 .:丄 EBG-/ EBAZ DB/VZ EBA/ ABGZ DBE.A ABCA DBE. AF= AO DE同理，可證 ABCA FEQ AD= A吐EF.二四邊形ADEF是平行四邊形.3.證明：t AB/ CD / BAE=Z DCF.v BE/ DF, /-Z BEF=Z DFE.Z AEB=Z CFD.ftA AEB?3 CFD中 ,Z BAE=Z DCFAE= CF,AEBA CFD / AB= CD.又v

9、 AB/ CD /四邊 ABCD是 平行四形.Z AEB=Z CFD4 .解：四邊形BFDE是平行四邊形.理由：在 ？ABC沖,Z ABC=Z CDA Z A=Z C.1 1v BE平分Z ABC DF平分Z ADC /Z ABE=Z CBE=壬 ABC Z CDF=Z ADF= qZ ADC./ Z ABE=Z CBE=Z CDF=Z ADF.vZ DFB=Z C+Z CDF Z BED=Z ABEZ A, /Z DFB=Z BED/.四邊形BFDE是平行四邊形.5.證明：v四邊形ABCD是平行四邊形,/ AD/ BC, OA= OC /Z EA3Z FCO.Z EA3Z FCO在厶 OAE

10、與 OCF中 , OA= OC/ OAEA OCF / OE= OF.同理 O& OHZ AO呂 Z COF/四邊形EGFH是平行四邊形.(2)解：與四邊形AGHDT積相等的平行四邊形有？GBCH?ABFE ?EFCD ?EGFH.專訓21 11. (1)證明：如圖,連接CD AE.由三角形中位線定理可得 PM綊qCD PN綊qAE.vAABD和厶 BCE 是等邊三角形,/ AB= DB, BE= BC, Z ABD=Z CBE= 60, /Z ABE=Z DBC./AABEA DBC / AE= DC./ PW PN.(2)解：如圖,設PM交AE于F , PN交CD于 G AE交CD于H.由

11、 (1)知厶ABEA DBC /Z BAE=Z BDC./Z AHD=Z ABB60, /Z FHG= 120 .易證四邊形PFHG為平行四邊形,/Z MPN= 1202.解：如圖，延長BD CA交于N.在厶ANDHRA ABD中 , Z NAD=Z BADAD= AD/ ANDA ABDASA .Z ADN=Z ADB= 90 ,/ DN= DB AN= AB. / DM= NC |(AN+ AC)= |(ab+ AC)= 15.3.解：如圖,延長BD交AC于點F , v AD平分Z BAC/ BAD=Z CAD.v BD丄 AD, /-Z ADB=Z ADF,又 AD= AD,ADBA ADFASA ./ AF= A吐 6 , BD= FD.AN.BF= BN,90/ CB1 ABN2 BCF?3 BAN中,Z CBF=Z ABN BO BA1 BCFABAN./ CF= AN./ME-AN-CF.2 25.解：如圖,取BD的中點P ,連接PM, PN. M是AD的中點,P是BD的中點，/ PMAABD的中位線,1 1/ PM=尹吐 5.同理可得 PN= 2CD= 4. 在 PM中 , t PM- PNMNPM+ PN 二 1MN 180 ( Z ABCZ BAC 90./ NH-MN./AE= 2NH= 2XMN= /2MN.7