常微分方程期末模擬試題

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案常微分方程模擬練習(xí)題及參考答案、填空題（每個(gè)空格 4 分，共 80 分）1、n 階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是n 個(gè)。dy 2 22、一階微分方程2x 的通解為 y x2 C（C 為任意常數(shù)） ，方程與通過點(diǎn)（2，3）的特解為 y x2 1 ，dx與直線 y=2x+3 相切的解是 y x2 4 ，滿足條件 03 ydx 3的解為 y x22。3、李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的必要 條件。4、對(duì)方程 ddyx2（x y）2 作變換 u x y ，可將其化為變量可分離方程，其通解為y tan(x C) x 。5、方程 dydx1y過點(diǎn) （2 ,1） 共有 無

2、數(shù) 個(gè)解。6、方程 yx21的通解為42 xxyC1x C2 ，滿足初始條件 y|x 112 22,y |x 3 5的特解為7、8、9、y 12x1x26方程 ddyx微分方程方程 dydx10、3d3ydx311、12、x無奇解。d2ydx2dydx6y 0 可化為一階線性微分方程組dy zdxdzz 6ydxy 的奇解是y=0 。2x5 ddyx方程 ddyx微分方程d2ydx2精彩文檔3 是 3 階常微分方程。2y 2滿足解得存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是4dy 5y 0 通解為 y C1e5x dxC2exoy平面 。xx ，該方程可化為一階線性微分方程組實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案4z 5 ydy dx

3、 dz dx線性無關(guān)13 、二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y 1(x),y 2(x) 成為其基本解組的充要條件是14 、設(shè) A，則線性微分方程組dXdt2t5 te 3e AX 有基解矩陣 (t )2t 5te 4e二、解方程(每個(gè)小題8 分，共 120 分)1、 (x 2 y)dx xdy答案：方程化為 dydx2yx令 y xu，則 ddyx1udu du u xddxu ，代入上式，得 xddux分離變量，積分，通解為 u Cx 12 原方程通解為 y Cx2 x2、dxdtdydtxy4 x y0 即 2 2 3 0。1 答案：特征方程為 A E4特征根為 1 3 ， 2 10a10 可

4、確定出 b11 3 1 a1對(duì)應(yīng)特征向量應(yīng)滿足 4 1 3 b1a21同樣可算出 2 1 對(duì)應(yīng)的特征向量為2b22x 原方程組的通解為yC13t2e3tC22e t精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案3、dydx3y2xe答案：齊次方程的通解為Ce3x3x 1 5 x令非齊次方程的特解為 y C(x)e 3x C ( x)e5x C53x 1 2 x代入原方程，確定出原方程的通解為 y Ce 3x + e2 x5dydx答案： dy2x y 是一個(gè)變量分離方程4、dx變量分離得 2y dy 2xdx兩邊同時(shí)積分得 2y 2x c(其中 c 為任意常數(shù))5、dydxdyxyexdxxdy(xexydxyxexy

5、 dx積分：e xyyxexy答案：xyxe yxy)dx xdy ydx xexy dx dxy exy12x2xdxc 故通解為： 1 x 22xye c 0226、 y x( xy ) dx xdy 022答案： ydx xdy x( xy )dx 00，兩邊同除以 x2 y2得 ydx2 xd2y xdx 0，即 d ( arctg x) 1 dx2 x y y 2x 1 2 故原方程的解為 arctgx2 Cy2精彩文檔24答案：方程組的特征方程為AE530即 (2 )(3 ) (4) ( 5)0 ，即 2 5 14 0特征根為 1 7 ， 22274 a10a1 4對(duì)應(yīng)特征向量應(yīng)滿

6、足，可得 1537 b10b15實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案7、dxdtdydt2x 4y5x 3ya21同樣可算出 2 2 時(shí)，對(duì)應(yīng)特征向量為 2b217tx 4e 原方程組的通解為C17tC22te2te8、 x x sintcos2t答案：線性方程 x f1(t) sintx 0 的特征方程i 是特征單根，0 故特征根原方程有特解 xt ( Acost Bsint) 代入原方程 A=-1B=02f2(t)cos2t2i 不是特征根，原方程有特解 xAcos2t B sin 2t 代入原方程 A所以原方程的解為c1costc2 sint12tcost1B=031 cos2t39 、 (2x 2y1)dx

7、(x y2)dy 0dy答案：dxdzdx所以2(x y) 1 ， (x y) 2 ，2z 1z2令 z=x+y1 , z z2 z+3ln|z+1|=x+ C1，dz，則dx2dz dx z1 ln | z 1| =x+z+dydxC1y5e7t精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案即 (x y1)3 Ce2x y10 、d2x dxdt2 dtx0答案：所給方程是二階常系數(shù)齊線性方程。其特征方程為1011 、答案：特征根為 1 方程的通解為dydxx y 1x y2 3(x-y+1)dx-(x+2y223i，213i22c1e( 12 23i)t+3)dy=0c2e( 21 23i)t(c1cos 3t2c

8、2sin 3t)e2212txdx-(ydx+xdy)+dx-1dy 3-3dy=02 1 2y dy-3dy=0 即 d x2 -d(xy)+dx-所以 1 x2 xy21 y3 3y C3三、證明題(共 160 分)1、(12 分)證明如果 (t)是x/ Ax滿足初始條件 (t0)的解，那么 (t) eA(t t0)證明： 設(shè) (t) 的形式為 (t) = eAtC (1)(C 為待定的常向量)則由初始條件得(t0)= eAt0C又 (eAt0 ) 1 = e At0 所以 C= (eAt0 ) 1 = e At0代入( 1)得 (t ) = eAte At0eA(t t0)即命題得證。精

9、彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2、(12 分)設(shè) ( x) 在區(qū)間 ( , ) 。) 上連續(xù)試證明方程dydx(x)sin y的所有解的存在區(qū)間必為證明 ： 由已知條件，該方程在整個(gè) xoy 平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理?xiàng)l件。顯然 y 1 是方程的兩個(gè)常數(shù)解。任取初值 (x0, y0)，其中x0( , ) ,y01 。記過該點(diǎn)的解為y y (x) ，由上面分析可知，一方面yy(x) 可以向平面無窮遠(yuǎn)處無限延展；另一方面又上方不能穿過y1 ，下方不能穿過y 1 ，否則與惟一性矛盾；故該解的存在區(qū)間必為 ()。3、(12 分)設(shè) y1(x) ，y2(x) 是方程 yp(x)y q(x)y 0的解，且滿

10、足 y1(x0) = y2(x0)=0 ，y1(x) 0，這里 p(x), q(x) 在( , ) 上連續(xù)， x0 () 試證明：存在常數(shù) C 使得 y2(x) =C y1(x) 證明： 設(shè) y1(x)， y2(x) 是方程的兩個(gè)解，則它們?cè)?() 上有定義，其朗斯基行列式為 W (x)y1(x) y2( x)y1(x) y2( x)由已知條件，得 W (x0)y1(x0) y2(x0 )y1(x0) y2(x0 )00y1(x0 ) y2(x0)故這兩個(gè)解是線性相關(guān)的；由線性相關(guān)定義，存在不全為零的常數(shù)使得 1y1( x)2 y2 (x )0，x(,)由于 y1( x)0 ，可知 20否則，

11、若 20 ，則有1 y1( x)0，而 y1 ( x)0 ，則 1 0 ，這與 y1( x) ，y2(x) 線性相關(guān)矛盾故y2(x)11 y1( x) Cy1(x)24、( 12 分)敘述一階微分方程的解的存在唯一性定理的內(nèi)容，并給出唯一性的證明。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案定理：設(shè)R :|x x0| a,| y y0| b.1) f(x,y)在 R上連續(xù)，2) f(x,y)在 R上關(guān)于 y滿足利普希茨條件：證明：x(x) y0 x f ( , ( )dx0xn(x) y0x0 f (n 1 ( )d ， n 1,2,| 0 (x)(x)|x0|f(x0, ( )|dM(x x0) ，| 1(x)(x

12、)|xx0|f(, 0 () f (, ( )|dxxMLL x | 0 ( )( )|dLMx(x0)d(x x0)x0x02! 0MLnn1設(shè) | n(x)(x)|(xx0)n 1成立，則(n1)!首先估計(jì) x x0 .xx| n 1(x) (x)| x | f( , n( ) f(x0( ) |dx | n( ) ( )|d x0MLn(n 2)!(xx0)n這就證明了對(duì)任意的n，總成立估計(jì)式： | n (x)(x)|MLn(n 1)!(xx0)nML n hn 1 (n 1)!因此， n (x) 一致收斂于(x) ，由極限的唯一性，必有(x) (x),x x0 h,x0 h.5、( 1

13、0 分)求解方程組dxx dt dyx dty1 的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性。y5精彩文檔L 0, (x,y1),(x,y2) R，總有 | f(x,y1) f(x,y2)| L|y1 y2|.dyf(x, y)則初值問題 dx存在唯一的解 y ( x) ，定義于區(qū)間 |x x0 | h上，y(x0)y0連續(xù)且滿足初值條件(x0)y0，這里 h min( a,b ),M(mx,ya) xR | f(x,y)|M( x,y) R唯一性：設(shè) (x) 是積分方程在區(qū)間x0h,x0h 上的解，則(x)(x).實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案x 解：令x0，得23 ，即奇點(diǎn)為（ 2，-3 ）3dXX 令Y，代入原方程

14、組得dtdYdt11因?yàn)?1 1 2 0，又由解得 1 2 ， 2 2 為兩個(gè)相異的實(shí)根，所以奇點(diǎn)為不穩(wěn)定鞍點(diǎn)，零解不穩(wěn)定。6、（ 12 分）求方程組dxdt3x ydydt3y1滿足初始條件(0)11 的解 .3解：方程組的特征方程為 0323)2 0 ，所以特征根為3（二重），對(duì)應(yīng)齊次方程組的基解矩陣3texpAt e3t(I (A 3E)t)3te滿足初始條件的特解t 3t(t) expAt expAt 0exp( As) f (s)ds e3t t 13t 1t11 3t ete3tee3310101t13t 1tt 3s 1s1eeds0110100102 3t1e333te7、（1

15、0 分）假設(shè) m 不是矩陣 A的特征值， 試證非齊線性方程組 xAx cemt 有一解形如mt(t)pemt其中 c ， p 是常數(shù)向量。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案證明：mt設(shè)方程有形如 (t) pemt 的解，則 p 是可以確定出來的。 事實(shí)上，將 pemt 代入方程得 mpemt Apemt cemt ，因?yàn)?emt 0 ，所以 mp Ape c ，(mE A)P c (1 )又 m 不是矩陣 A 的特征值， det(mE A) 0 11所以 (mE A) 1 存在，于是由( 1)得 p (mE A) 1c 存在。故方程有一解 (t) (mE A) 1cemt pemt8、( 12 分)試求方程

16、組 xAx 的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算expAt ，其中 A2112解： p( ) det( E A) 0, 1 3, 23 ，均為單根，設(shè) 1 對(duì)應(yīng)的特征向量為v1 ，則由 ( 1E A)v10 ，得 v10.1取 v1 2 3 ，同理可得 1對(duì)應(yīng)的特征向量為 v2123則 1(t) e 3tv1, 2(t) e 3tv2 ，均為方程組的解，令 (t) ( 1(t), 2(t) ，又 w(0) det (0)112 3 2 3(t)即為所求基解矩陣9、( 12 分)試證明：對(duì)任意 x0 及滿足條件 0 y01的 y0，方程 ddyx 1 y(xy2 1y)2 的滿足條件 dx 1 x yy(x0

17、) y0 的解 y y(x) 在( , )上存在證明：在全平面上連續(xù)y(y 1)f(x,y) 1 y(xy2 1y)2 ， fy (x, y)(2y 1)(1 x2 y2 ) y(y 1)2y(1 x2 y2 )2精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 原方程在全平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延展定理?xiàng)l件又顯然 y 0,y 1是方程的兩個(gè)特解現(xiàn)任取 x0 ( ,)，y0 (0,1) ，記 y y(x)為過 (x0, y0 )的解，那么這個(gè)解可以唯一地向平面的邊界無限延展，又上不能穿越 y 1 ，下不能穿越 y 0 ， 因此它的存在區(qū)間必為 ( , ) 10 、(10 分)求平面上過原點(diǎn)的曲線方程，該曲線上任

18、一點(diǎn)處的切線與切點(diǎn)和點(diǎn)(1,0)的連線相互垂直解：設(shè)曲線方程為 y y(x)，切點(diǎn)為 (x,y)，切點(diǎn)到點(diǎn) (1,0) 的連線的斜率為 y ，x1則由題意可得如下初值問題：yy x 1y(0) 02分離變量，積分并整理后可得 y22(x 1)2 C ，代入初始條件可得 C 1，因此得所求曲線為 (x 1)2 y2 1.11 、( 12 分) 在方程 dydxf(y) (y)中，已知 f(y) ，(x)在() 上連續(xù)，且 ( 1) 0 求證：對(duì)任意 x0 和 y01，滿足初值條件 y(x0)y0 的解 y(x) 的存在區(qū)間必為 ()證明： 由已知條件可知，該方程在整個(gè) xoy 平面上滿足解的存在惟一及延展定理?xiàng)l件，又存在常數(shù)解 y k , k 0, 1, 2, 對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn) (x0, y0)，若 y0 k ，則過該點(diǎn)的解是 y k ，顯然是在 ( , )上有定義 若y0 k ,則y0 (k ,(k 1) ) ,記過該點(diǎn)的解為 y y(x) ， 那么一方面解 y y(x) 可以向平面的無窮遠(yuǎn)無限延展；另一方面在條形區(qū)域 (x,y) x ,k y (k 1) 內(nèi) y(x) 不能上、下穿過解精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案y