常微分方程考研講義-一階微分方程解的存在定理

1、常微分方程考研講義第三章 -階微分方程解的存在定理第三章 一階微分方程解的存在定理 教學(xué)目標(biāo) 1. 理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，掌握逐次逼近法，熟練近似解的誤差估計(jì)式。2. 了解解的延拓定理及延拓條件。3. 理解解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的條件和結(jié)論。 教學(xué)重難點(diǎn) 解的存在唯一性定理的證明，解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的證明。 教學(xué)方法 講授，實(shí)踐。 教學(xué)時(shí)間 12 學(xué)時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，解的延拓概念及延拓條件， 解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理及其證明。 考核目標(biāo) 1. 理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論，能用逐次逼近法解簡(jiǎn)單的問(wèn)題。2.

2、熟練近似解的誤差估計(jì)式，解對(duì)初值的連續(xù)性及可微性公式。3. 利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓條件能證明有關(guān)方程的某些性質(zhì)。1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程來(lái)源于生產(chǎn)實(shí)踐際，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀規(guī) 律， 能動(dòng)解釋所出現(xiàn)的各種現(xiàn)象并預(yù)測(cè)未來(lái)的可能情況。 在第二章介紹了一階微分方程 初等解法的幾種類型，但是，大量的一階方程一般是不能用初等解法求出其通解。而實(shí) 際問(wèn)題中所需要的往往是要求滿足某種初始條件的解。 因此初值問(wèn)題的研究就顯得十分 重要，從前面我們也了解到初值問(wèn)題的解不一定是唯一的。他必須滿足一定的條件才能 保證初值問(wèn)題解的存在性與唯一性， 而討論初

3、值問(wèn)題解的存在性與唯一性在常微分方程 占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理論，穩(wěn)定性理論以及其他理論的基礎(chǔ)。例如方程過(guò)點(diǎn) (0,0) 的解就是不唯一， 易知 y 0是方程過(guò) (0,0) 的解，此外，容易驗(yàn)證， y x2 或 更一般地，函數(shù)(x c)2cx 1都是方程過(guò)點(diǎn) (0,0) 而且定義在區(qū)間 0 x 1上的解，其中 c 是滿足 0 c 1的任一數(shù)。解的存在唯一性定理能夠很好地解釋上述問(wèn)題，它明確地肯定了方程的解在一定 條件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精確解的微分方程為數(shù)不多，微分方程的 近似解法具有重要的意義， 而解的存在唯一性是進(jìn)行近似計(jì)算的前提， 如果解本身不存 在，而近

4、似求解就失去意義；如果存在不唯一，不能確定所求的是哪個(gè)解。而解的存在 唯一性定理保證了所求解的存在性和唯一性。1存在性與唯一性定理：( 1)顯式一階微分方程dy f (x,y)dx(3.1)這里 f (x,y) 是在矩形域： R:| x x0 | a,| y y0 | b(3.2)上連續(xù)。定理 1：如果函數(shù) f (x, y) 滿足以下條件： 1)在 R 上連續(xù)： 2)在 R 上關(guān)于變量 y 滿 足李普希茲(Lipschitz )條件，即存在常數(shù) L 0，使對(duì)于 R上任何一對(duì)點(diǎn) (x,y1) ，( x, y2 ) 均有不等式 f (x,y1) f (x, y2) L y1 y2 成立，則方程(3

5、.1 )存在唯一的解 y (x) 在區(qū)間 |x x0 | h 上連續(xù)，而且滿足初始條件(x0) y03.3)其中 h min( a, b ),M max f(x, y) , L 稱為 Lipschitz 常數(shù) . M x,y R思路： 1) 求解初值問(wèn)題 (3.1) 的解等價(jià)于積分方程xy y0 x f (x, y)dxx0的連續(xù)解。2) 構(gòu)造近似解函數(shù)列 n(x)任取一個(gè)連續(xù)函數(shù) 0(x)，使得 | 0(x) y0 | b ，替代上述積分方程右端的y ，得到x 1(x) y0 x f (x, 0 ( x)dx x0如果 1(x) 0(x) ，那么 0( x)是積分方程的解，否則，又用 1(x

6、) 替代積分方程右端 的 y ，得到x2(x) y0 x f (x, 1(x)dxx0如果 2(x) 1(x) ，那么 1(x) 是積分方程的解，否則，繼續(xù)進(jìn)行，得到x n(x) y0f(x, n 1(x)dxx0(3.4)于是得到函數(shù)序列 n(x) .3)函數(shù)序列 n( x)在區(qū)間 x0 h,x0 h上一致收斂于 (x)，即lim n(x) (x) n存在，對(duì) (3.4) 取極限 , 得到xlim n(x) y0 lim n nx0f (x, n 1(x)dxx=y0 x f(x,x0(x)dx即(x) y0xx f (x, (x)dx. x04)x(x) 是積分方程 y y0f (x,y)

7、dx 在x0h,x0h 上的連續(xù)解這種一步一步求出方程解的方法逐步逼近法 .在定理的假設(shè)條件下 , 分五個(gè)命題來(lái) 證明定理 .為了討論方便 , 只考慮區(qū)間 x0 x x0 h, 對(duì)于區(qū)間 x0 h x x0 的討論完全類 似.命題 1 設(shè) y (x) 是方程 (3.1) 定義于區(qū)間 x0 x x0 h 上 , 滿足初始條件 (x0) y0(3.3)的解,則 y (x) 是積分方程xy y0 x f (x, y)dxx0 x x0 hx0(3.5)的定義于 x0 x x0 h 上的連續(xù)解 . 反之亦然 .證明 因?yàn)?y( x)是方程(3.1) 滿足 (x0) y0的解, 于是有d (x)dxf

8、(x, (x)兩邊取 x0到 x 的積分得到x0 x x0 hx(x) (x0) x f(x, (x)dxx0x即有 (x) y0 x f(x, ( x)dxx0 x x0 hx0x所以 y (x) 是積分方程 y y0f (x,y)dx 定義在區(qū)間 x0 x x0 h上的連續(xù)解x0反之,如果 y( x)是積分方程 (3.5) 上的連續(xù)解 , 則x(x) y0f (x, (x)dxx0 x x0 hx03.6)由于 f(x,y)在R上連續(xù) ,從而 f(x, (x)連續(xù),兩邊對(duì) x求導(dǎo),可得d (x)dxf(x, (x)而且(x0) y0,故 y (x)是方程 (3.1) 定義在區(qū)間 x0 x

9、x0 h上,且滿足初始條件 (x0) y0的 解.構(gòu)造 Picard 的逐次逼近函數(shù)序列 n(x) .0(x) y0x (n 1,2,L )n(x) y0 x f( , n 1( )dx0 x x0 hx0(3.7)命題 2 對(duì)于所有的 n ，( 3.6 )中的函數(shù) n(x)在 x0 x x0 h上有定義，連續(xù)且滿 足不等式| n(x) y0 | b(3.8)證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明x當(dāng) n 1 時(shí)， 1(x)y0 x f ( ,y0)dx0，顯然 1(x) 在 x0 x x0 h 上有定義、連續(xù)且有x| 1(x) y0 | | x f ( ,y0)dx0x| x | f ( , y0)|dx0

10、M(x x0) Mh b即命題成立 .假設(shè) n k命題 2 成立，也就是在 x0 xx0 h 上有定義、連續(xù)且滿足不等式| k (x) y0 |b當(dāng) n k 1 時(shí)，k 1(x) y0xx f( , k( )dxx由于 f(x,y)在R上連續(xù) ,從而 f(x, k(x)在 x0 x x0 h上連續(xù)，于是得知 k 1(x)在 x0 x x0 h上有定義、連續(xù) , 而且有x| k 1(x) y0 | x | f ( , k( )|d M (x x0) Mh bx0即命題 2 對(duì) n k 1時(shí)也成立 . 由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)所有的 n均成立.命題 3 函數(shù)序列 n (x) 在 x0 x x0 h 上是一

11、致收斂的記 lim n(x)(x), x0 x x0 h證明 構(gòu)造函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)0(x) k (x) k 1(x)x0 x x0 hk1(3.9)它的部分和為nSn(x)0(x) k(x) k 1(x)n(x)MLnn!xxx0(x0)ndMLn(n+1)!(x x0)nk1于是 n(x) 的一致收斂性與級(jí)數(shù) (3.9) 的一致收斂性等價(jià) . 為此，對(duì)級(jí)數(shù) (3.9) 的通項(xiàng)進(jìn)行估計(jì) .(3.10)| 1(x)0(x)|xx0| f( , x00( )|d M (xx0)| 2(x)1(x)|x x| f( , x01( ) f ( , 0()|d由 Lipschitz條件得知| 2(x)1(x)

12、|xL x | 1( x0) 0( )|dxL M ( x0x0 )dML(x2!x0)2設(shè)對(duì)于正整數(shù)n, 有不等式| n(x) n 1(x)|MLn1(x x )nn!(x x0)成立,則由 Lipschitz 條件得知 ,當(dāng) x0 x x0 h時(shí), 有于是由數(shù)學(xué)歸納法可知 , 對(duì)所有正整數(shù) k , 有| k(x) k 1(x)|MLkk!(xx0)kk1MLk 1 khk!x0 x x0 hx0x0而且 f (x,y) 滿足 Lipschitz條件, 可得(3.11)hk由正項(xiàng)級(jí)數(shù) MLK 1 h 的收斂性 ,利用 Weierstrass 判別法 ,級(jí)數(shù)(3.9) 在 k 1 k!x0 x

13、 x0 h上一致收斂 .因而序列 n(x) 在x0 x x0 h上一致收斂 .設(shè)lim n(x)(x),則 (x)也在 x0 x x0 h上連續(xù),且n| (x) y0 | b命題 4 (x) 是積分方程 (3.5) 的定義在 x0 x x0 h上的連續(xù)解 .證明 由 Lipschitz 條件| f(x, n(x) f(x, (x)| L | n(x) (x)|以及 n(x)在x0 x x0 h上一致收斂于 (x),可知 f (x, n(x)在 x0 x x0 h上 一致收斂于 f (x, (x) . 因此xlnim n(x) y0 lnim x f ( , n 1( )d n n 即n(x)

14、y0 x f( , ( )dx0故 (x) 是積分方程 (3.5) 的定義在 x0 x x0 h 上的連續(xù)解 .命題 5 設(shè) (x)是積分方程 (3.5) 的定義在 x0 x x0 h上的一個(gè)連續(xù)解 , 則 (x)(x), x0 x x0 h.證明 設(shè) g(x) | (x) (x)|,則 g( x)是定義在 x0 x x0 h的非負(fù)連續(xù)函數(shù) , 由于xx(x) y0f ( , ( )d (x) y0f ( , ( )d0x=y0 x lnim f ( , n 1( )dx0 nxg(x) | (x) (x)| | x f( , ( ) f( , ( )d |x0xx | f( , ( ) f(

15、 , ( )|dx0xxL x | ( ) ( )|d L x g( )dx0x0x令u(x) L g( )d ,則u(x)是 x0 x x0 h的連續(xù)可微函數(shù) ,且u(x0) 0, x0u(x0 )e Lx00 g(x) u(x), u (x) Lg(x), u (x) Lu(x), (u (x) Lu(x)e Lx 0,即(u(x)e Lx) 0, 于是在 x0 x x0 h上, u(x)e Lx故 g(x) u(x) 0,即 g(x) 0, x0 x x0 h, 命題得證 .對(duì)定理說(shuō)明幾點(diǎn) :(1) 存在唯一性定理中 hmin( a, b ) 的幾何意義 . MM , 故方程過(guò) (x0,

16、 y0) 的積分曲線 y ( x)的斜率必介于 M M 與 M 的直線 .在矩形域 R 中 f (x,y) 與M 之間,過(guò)點(diǎn) (x0,y0)分別作斜率為當(dāng) Mb 時(shí)，即 ab ,(如圖 (a) 所示)，解 y (x)在 x0a xx0a 上有定義；aM當(dāng)Mb時(shí),即 ba, (如圖(b) 所示)，不能保證解在 x0a xx0a上有定義，aM它有可能在區(qū)間內(nèi)就跑到矩形 R 外去，只有當(dāng) x0 b x x0 b 才能保證解0 M 0 My(x) 在 R內(nèi)，故要求解的存在范圍是|x x0 | h.(2) 、 由于李普希茲條件的檢驗(yàn)是比較費(fèi)事的，而我們能夠用一個(gè)較強(qiáng)的，但卻 易于驗(yàn)證的條件來(lái)代替他，即如

17、果函數(shù)f (x, y)在矩形域 R上關(guān)于 y的偏導(dǎo)數(shù) fy(x, y)存在并有界，即 fy(x,y) L ，則李普希茲條件條件成立 . 事實(shí)上| f(x,y1) f (x,y2)| | f (x,y2 (y1 y2) |y1 y2|yL|y1 y2 |這里 (x,y1),(x,y2) R,01. 如果 fy(x,y)在 R上連續(xù)，它在 R上當(dāng)然滿足李普希茲條件.但是, 滿足李普希茲條件的函數(shù) f (x,y)不一定有偏導(dǎo)數(shù)存在 .例如函數(shù) f(x,y) | y |在任何區(qū)域都滿足李普希茲條件 ,但它在 y 0處沒(méi)有導(dǎo)數(shù) .(3) 、設(shè)方程 (3.1) 是線性的 , 即方程為dy P(x)y Q(

18、x)dx易知,當(dāng) P(x),Q(x)在區(qū)間 , 上連續(xù)時(shí) ,定理 1的條件就能滿足 ,且對(duì)任一初值(x0, y0 ), x0 , 所確定的解在整個(gè)區(qū)間 , 上有定義、連續(xù) .實(shí)際上,對(duì)于一般方程 (3.1), 由初值所確定的解只能定義在 |x x0 | h上,是因 為在構(gòu)造逐步逼近函數(shù)序列 n(x) 時(shí),要求它不越出矩形域 R, 此時(shí),右端函數(shù)對(duì) y沒(méi) 有任何限制 , 只要取 M max | P(x)y0 Q(x)|.x , (4) 、 Lipschitz 條件 是保證初值問(wèn)題解惟一的充分條件，而非必要條件 .例如 試證方程dy 0 y=0dx yln|y| y 0經(jīng)過(guò) xoy 平面上任一點(diǎn)的

19、解都是唯一的證明 y 0時(shí), f(x,y) yln|y|,在 y 0上連續(xù), fy(x,y) 1 ln |y|也在 y 0上連續(xù) , 因此對(duì) x 軸外的任一點(diǎn) (x0, y0), 方程滿足 y(x0) y0 的解都是唯一存在的 又由dyyln | y|可得方程的通解為y ece , 其中 y ece 為上半平面的通解 , y ece 為下半平面的通解 , 它們不可能與 y 0相交. 注意到 y 0是方程的解 , 因此對(duì) x軸上的任一點(diǎn) (x0,0) , 只有 y0通過(guò) , 從而保證 xoy平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的 .但是| f(x,y) f(x,0) | |yln|y| |ln|y|y|因?yàn)?/p>

20、 lim |ln |y|,故不可能存在 L 0,使得y0| f(x,y) f ( x,0) | L|y|所以方程右端函數(shù)在 y 0的任何鄰域并不滿足 Lipschitz 條件 .此題說(shuō)明 Lipschitz 條件 是保證初值問(wèn)題解惟一的充分條件，而非必要條件2) 考慮一階隱方程F(x,y, y) 0(3.12) 由隱函數(shù)存在定理 ,若在( x0 , y0, y0)的某一鄰域內(nèi) F 連續(xù)且 F(x0,y0,y0) 0,而0, 則必可把 y 唯一地表為 x,y的函數(shù)y f(x,y)(3.13) 并且 f (x,y)于(x0, y0 )的某一鄰域連續(xù) ,且滿足 y0 f (x0, y0)如果 F關(guān)于

21、所有變?cè)嬖谶B續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) ,則 f(x,y)對(duì) x, y也存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) ,并 且F/(3.14) 顯然它是有界的 ,由定理 1可知, 方程(3.13) 滿足初始條件的 y(x0) 0解存在且唯一 .從 而得到下面的定理 .定理 2 如果在點(diǎn) (x0,y0,y0) 的某一鄰域中 :) F(x, y, y )關(guān)于所有變?cè)?(x,y, y )連續(xù),且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；) F(x0, y0,y0) 0) F(x0,y0,y0) 0則方程( 3.12 )存在唯一的解y y(x) | x x0 | h ( h 為足夠小的正數(shù))滿足初始條件y(x0)y0, y (x0) y03.15)1、 近似計(jì)算和誤

22、差估計(jì)求方程近似解的方法Picard的逐次逼近法0(x) y0n(x) y0xx0 f ( x0n 1()dx0x0 h對(duì)方程的第 n 次近似解 n (x) 和真正解(x) 在 | xx0 |h 內(nèi)的誤差估計(jì)式| n(x) (x)|MLnh (n 1)!3.16 )此式可用數(shù)學(xué)歸納法證明 .x| 0(x) (x)| x |f( ,x0( )|dM (xx0)Mh設(shè)有不等式n| n 1(x) (x)| MnL!1(x x0)nn1MLn 1 nhn!成立,則x| n(x) (x)| x| f( , x0xL x0 |MLnn!MLnn 1(n 1(xx0(x(n+1)!例 1 討論初值問(wèn)題dyd

23、xx22y,) f ( , ( ) |d) ( )|d x0)ndx0)ny(0)MLnh(n+1)!n1解的存在唯一性區(qū)間 , 并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超過(guò) R: 1 x 1,0.05 的近似解 ,其中,解M| y| |2y|可知 n1 y 1.max | f (x,y| 2,a 1,b 1,h min (x,y) RL, 根據(jù)誤差估計(jì)式 (3.16)| n(x)3. 于是0(x) 03(x)就是所求的近似解(x)| (nMLnhn1)!1(n 1)!1(x)2 x 002(x)dx2(x)x22x2012 ( x)dx3(x)x22x2022( x)dx3 x33 x3, 在區(qū)間a,

24、 b M12,由于0.057 x 637 x 6311x207915x5953511 上, 這個(gè)解與真正解得誤差不超過(guò)20.05.2 解的延拓上節(jié)我們學(xué)習(xí)了解的存在唯一性定理，當(dāng) dy f (x,y) 的右端函數(shù) f (x,y) 在 R dx dy f (x,y)上滿足解的存在性唯一性條件時(shí)，初值問(wèn)題 dx 的解在 |x x0 | h上存在且 y0 y(x0)唯一 . 但是，這個(gè)定理的結(jié)果是局部的，也就是說(shuō)解的存在區(qū)間是很小的 . 可能隨著 f(x,y) 的存在區(qū)域的增大，而能肯定的解得存在區(qū)間反而縮小。例如，上一節(jié)的例1，21當(dāng)定義區(qū)域變?yōu)?R: 2 x 2, 2 y 2時(shí)，M 8,h mi

25、n2, 2 1 ，解的范圍縮小841為 |x x0 | 1 . 在實(shí)際引用中， 我們也希望解的存在區(qū)間能盡量擴(kuò)大， 下面討論解的延4展概念，盡量擴(kuò)大解的存在區(qū)間， 把解的存在唯一性定理的結(jié)果由局部的變成大范圍的 .1、飽和解及飽和區(qū)間定義 1 對(duì)定義在平面區(qū)域 G 上的微分方程ddyx f (x, y)(3.1)設(shè)y(x) 是方程 (3.1)定義在區(qū)間 I1 R上的一個(gè)解 , 如果方程 (3.1) 還有一個(gè)定義在區(qū)間 I2R上的另一解y(x) , 且滿足(1)I1 I2 ；但是I1I2(2)當(dāng) x I1 時(shí)，(x)(x)則稱 y (x), x I 1是可延拓的，并稱 y(x)是 y(x) 在

26、I 2上的延拓 .否則如果不存在滿足上述條件的解 y (x), 則稱 y (x),x I1是方程 (3.1) 的不可延拓解或飽 和解 ,此時(shí)把不可延拓解的區(qū)間 I1稱為一個(gè)飽和區(qū)間 .2、局部李普希茲條件定義 2 若函數(shù) f (x,y) 在區(qū)域 G 內(nèi)連續(xù)，且對(duì) G 內(nèi)每一點(diǎn) P ，都存在以 P 點(diǎn)為中 心，完全含在 G 內(nèi)的閉矩形域 Rp ，使得在 Rp上 f (x,y) 關(guān)于 y 滿足李普希茲條件(對(duì) 于不同的點(diǎn)， 閉矩形域 Rp 的大小和李普希茲常數(shù) L 可能不同)，則稱 f (x,y) 在G 上關(guān) 于 y 滿足局部李普希茲條件 .定理 3 (延拓定理)如果方程 dy f (x,y) 的

27、右端函數(shù) f (x,y) 在(有界或無(wú)界)dx區(qū)域 G R2上連續(xù)，且在關(guān)于 y 滿足局部李普希茲條件，則對(duì)任意一點(diǎn) (x0,y0) G ，方程 dy f (x,y)以(x0,y0)為初值的解 (x) 均可以向左右延展， 直到點(diǎn) (x, ( x)任意 dx接近區(qū)域 G 的邊界 .以向 x增大的一方來(lái)說(shuō)，如果 y (x) 只能延拓到區(qū)間上，則當(dāng) x m時(shí)， (x, (x) 趨于區(qū)域 G 的邊界。證明(x0,y0) G ，由解的存在唯一性定理，初值問(wèn)題ddyx f (x,y) y0 y(x0 )1)存在唯一的解 y ( x) ，解的存在唯一區(qū)間為 |x x0 | h0. 取x1 x0 h0,y1(

28、x1), 以( x1, y1)為中心作一小矩形 R1 G, 則初值問(wèn)題dy f (x,y)dxy1 y(x1)(2)存在唯一的解y (x) ，解的存在唯一區(qū)間為 |x x1 | h1.因?yàn)?(x1) x1 h1 x x1 時(shí)(x1), 有唯一性定理 , 在兩區(qū)間的重疊部分應(yīng)有 (x) (x), 即當(dāng) (x) (x) . 定義函數(shù)(x)( x), x0 h0 x x0 ( x), x0 h0 x x0h0h0 h1則 y( x)是方程 (3.1) 滿足(1)( 或(2) 的,在x0這樣,把方程 (3.1) 滿足(1) 的解 y y(x) 看作方程 (3.1) 的解 y (x) 在定義區(qū)間 |x區(qū)

29、間 x0 h0 x x0 h0 h1. 同樣的方法 , 也可把解 yh0,x1 h1上有定義的唯一的解 .( x)在定義區(qū)間上向右延伸了一段 . 即把解x0| h0的向右延拓 , 延拓到更大( x)向左延拓 . 這種將曲線向左右延拓的辦法可繼續(xù)進(jìn)行下去 , 最后將得到一個(gè)解 y 個(gè)解稱為方程 (3.1) 的飽和解 .(x), 不能再向左右延拓了 . 這推論 1 對(duì)定義在平面區(qū)域 G 上的初值問(wèn)題dy f (x,y)dxy0 y(x0 )其中 (x0,y0) G若 f (x,y)在區(qū)域 G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 y滿足局部 Lipschtiz 條件, 則它的任一非飽和解均 可延拓為飽和解 .推論 2 設(shè)

30、y (x) 是初值問(wèn)題dx其中 (x0,y0) Gy0 y(x0 )的一個(gè)飽和解，則該飽和解的飽和區(qū)間 I 一定是開(kāi)區(qū)間 .證明 若飽和區(qū)間 I 不是開(kāi)區(qū)間 ,不妨設(shè) I ( , ,則( , ( ) G, 這樣解 y (x) 還可以向右延拓 ,從而 y (x)是非飽和解 ,矛盾.對(duì)I , )時(shí),同樣討論 ,即 x (或 x)時(shí), (x, (x) G.推論 3 如果 G是無(wú)界區(qū)域 ,在上面解的延拓定理的條件下 ,方程(3.1) 通過(guò) (x0,y0)點(diǎn)的 解 y( x)可以延拓 ,以向x增大(減小)一方的延拓來(lái)說(shuō) ,有以下兩種情況 :(1) 解 y (x)可以延拓到區(qū)間 x0, )(或( ,x0

31、)；(2) 解 y (x)只可延拓到區(qū)間 x0 , m) (或( m, x0 ) ，其中為有限數(shù)， 則當(dāng) x m時(shí)，或者 y(x)無(wú)界 ,或者點(diǎn) (x, (x)G.例 1 討論方程 dxy2 1分別通過(guò)點(diǎn) (0,0) 和點(diǎn) (ln 2, 3) 的解的存在區(qū)間解 此方程右端函數(shù) f (x,y)y 1 在整個(gè)2xy平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件 . 易知方程的通解為x1 ce例2討論方程 ddyx1 ln x 過(guò) (1,0) 點(diǎn)的解的存在區(qū)間解 方程右端函數(shù) f(x,y) 1 ln x 在右半平面 x 0上滿足解的存在唯一性定理 及解的延拓定理的條件 .區(qū)域 G (右半平面 )是

32、無(wú)界開(kāi)域， y 軸是它的邊界 .易知問(wèn)題的解為 y xln x, 它于區(qū)間 0 x 上有定義、連續(xù)且當(dāng) x 0時(shí), y 0 ,即所求問(wèn)題的解向右方可以延拓到,但向左方只能延拓到 0,且當(dāng) x 0時(shí)積分曲線上的點(diǎn) (x, y) 趨向于區(qū)域 G 的邊界上的點(diǎn) .例 3 考慮方程 dy (y2 a2)f (x,y),假設(shè) f(x,y)和 fy(x,y)在 xoy平面上連續(xù)， dx試證明：對(duì)于任意 x0及 y0 a ，方程滿足 y(x0) y0的解都在 ( , )上存在 .證明 根據(jù)題設(shè) , 易知方程右端函數(shù)在整個(gè) xoy 平面上滿足解的存在唯一性定理及 解的延拓定理的條件 .又y a為方程在 ( ,

33、 )上的解, 由延拓定理可知 ,對(duì) x0,| y0 | a , 滿足 y(x0) y0的解 y y( x)應(yīng)當(dāng)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn) ,但是 ,由解的唯一性 , y y( x )又不能穿過(guò)直線 y a, 故只能向兩側(cè)延拓 , 而無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn) , 從而解應(yīng)在 ( , )存在.注: 如果函數(shù) f (x,y)于整個(gè) xoy平面上定義、 連續(xù)和有界 , 同時(shí)存在關(guān)于 y的一階 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 則方程 (3.1) 的任一解均可以延拓到區(qū)間 x .練習(xí) 試證對(duì)任意 x0 ，y0，方程 dy2 x 2 滿足初始條件 y(x0 ) y0 的解都dx x y 1在() 上存在 .3 解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理dy在初值

34、問(wèn)題 dxf ( x, y)中我們都是把初值 (x0, y0 )看成是固定的數(shù)值， 然后再去y0 y(x0 )討論方程 dy f (x, y) 經(jīng)過(guò)點(diǎn) (x0,y0) 的解.但是假如 ( x0 , y0)變動(dòng)，則相應(yīng)初值問(wèn)題的 dx解也隨之變動(dòng)，也就是說(shuō)初值問(wèn)題的解不僅依賴于自變量 x ,還依賴于初值 (x0, y0). 例 如： f (x,y) y時(shí),方程 y y的解是 y cex ,將初始條件 y(x0) y0帶入 ,可得 y y0ex x0 .很顯然它是自變量 x和初始條件 (x0,y0)的函數(shù). 因此將對(duì)初值問(wèn)題 dy f (x,y)dx 的解記為 y (x,x0,y0),它滿足 y0

35、 (x0,x0, y0).y0 y(x0)當(dāng)初值發(fā)生變化時(shí)， 對(duì)應(yīng)的解是如何變化的？當(dāng)初始值微小變動(dòng)時(shí)，方程解的變化 是否也很小呢？為此就要討論解對(duì)初值的一些性質(zhì) .1、解關(guān)于初值的對(duì)稱性設(shè)方程(3.1) 滿足初始條件 y(x0) y0的解是唯一的 , 記為 y(x,x0,y0), 則在此關(guān)系式中 , (x,y)與(x0, y0)可以調(diào)換其相對(duì)位置 .即在解的存在范圍內(nèi)成立關(guān)系式y(tǒng)0(x0,x,y)證明 在方程 (3.1) 滿足初始條件 y(x0) y0的解的存在區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn) x1, 顯然 y1 (x1, x0 , y0) ,則由解的唯一性知 , 過(guò)點(diǎn) ( x1 , y1 )的解與過(guò)點(diǎn) (x

36、0, y0 )的解是同一條積 分曲線 , 即此解也可寫為y (x,x1,y1)并且,有 y0(x0,x1,y1).又由 (x1, y1)是積分曲線上的任一點(diǎn) , 因此關(guān)系式y(tǒng)0( x0, x, y)對(duì)該積分曲線上的任意點(diǎn)均成立 .2 、 解對(duì)初值的連續(xù)依賴性由于實(shí)際問(wèn)題中初始條件一般是由實(shí)驗(yàn) 測(cè)量得到的，肯定存在誤差 . 有的時(shí)候誤 差比較大，有的時(shí)候誤差比較小，在實(shí)際應(yīng)用中我們當(dāng)然希望誤差較小，也就是說(shuō)當(dāng) (x0, y0) 變動(dòng)很小的時(shí)候，相應(yīng)的方程的解也只有微小的變動(dòng)，這就是解對(duì)初值的連續(xù) 依賴性所要研究的問(wèn)題：在討論這個(gè)問(wèn)題之前，我們先來(lái)看一個(gè)引理：引理：如果函數(shù) f (x, y)于某域

37、 D內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足 Lipschtiz 條件( Lipschtiz 常數(shù)為 L )，則對(duì)方程( 3.1 )的任意兩個(gè)解 (x) 及 (x) ，在它們公共存在的區(qū)間內(nèi) 成立著不等式| (x) (x)| | (x0)(x0)|eL|x x0|(3.17)其中 x0 為所考慮區(qū)域內(nèi)的某一值 .證明 設(shè) (x), (x)于區(qū)間 a x b上均有定義 ,令2V(x) (x) (x)2,a x b則V (x) 2 (x) (x) f (x, ) f (x, )于是 V (x) |V (x)| 2| (x) (x)| f(x, ) f(x, )| 2LV(x)V (x)e 2Lx 2LV(x)e

38、2Lx 0從而 d (V(x)e 2Lx) 0dx所以,對(duì) x0 a,b ,有V(x) V(x0)e2L(x x0),x0 x b對(duì)于區(qū)間 a x x0 ,令 x t, 并記 x0 t0, 則方程(3.1) 變?yōu)閐y f ( t,y)dx而且已知它有解 y ( t) 和 y( t).類似可得 V(x) V(x0)e2L(x0 x),a x x0因此 ,V(x) V(x0)e2L|x x0|,a x b,a x0 b兩邊開(kāi)平方即得 (3.17).利用此引理我們可以證明解對(duì)初值的連續(xù)依賴性：解對(duì)初值的連續(xù)依賴定理假設(shè) f(x,y)在區(qū)域 G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y滿足局部李普希茲條件， 如果 (x0,y

39、0)dy 初值問(wèn)題 dxy0f(x,y)有解yy(x0)(x,x0,y0) ，它于區(qū)間 a x b上有定義 ( a x0G，b ),則對(duì)任意 0， ( ,a,b) 0，使得當(dāng) (x0 x0) 2 2| (x) (x0)| 1,取 min( 1, 2),則當(dāng) (x0 x0)2 (y0 y0)22時(shí)就有| (x)(x)|2 | (x0) (x0)|2 e2L|x x0|12(| (x0)(x0)| | (x0) (x0)|)2e2L|x x0|2(| (x0)(x0)|2 | (x0)(x0)|2)e2L|x x0| 2( 12 |y0 y0|2)e2L(b a) 12e2L(b a)2 (c x

40、 d)(3.18) 于是對(duì)一切 x c, d ,| (x) (x)| 成立 ,特別地有 (y0 y0)22時(shí),方程(3.1)滿足條件 y(x0) y0的解 y ( x, x0 , y0 )在區(qū)間 a x b上也有定義，并且有(x,x0,y0) (x,x0,y0),a x b.證明 記積分曲線段 S:y(x,x0,y0)(x),a x b是 xy平面上一個(gè)有界閉集.第一步:找區(qū)域 D,使S D,而且 f(x,y)在 D上關(guān)于 y滿足 Lipschitz 條件.由已知條件 ,對(duì) (x,y) S ,存在以它為中心的開(kāi)圓 C,C G,使 f(x,y)在其內(nèi)關(guān) 于 y滿足 Lipschitz 條件. 因

41、此,根據(jù)有限覆蓋定理 ,可以找到有限個(gè)具有這種性質(zhì)的圓 Ci(i 1,2,L ,N)(不同的 Ci,其半徑 ri和 Lipschitz 常數(shù) Li的大小可能不同 ), 它們的全 N體覆蓋了整個(gè)積分曲線段 S,令G% UCi ,則 S G% G,對(duì)0,記i1d( G%,S), min( , 2),L max(L1,L LN),則以 S上的點(diǎn)為中心 ,以 為半徑的 圓的全體及其邊界構(gòu)成包含 S的有界閉域 D G% G,且 f(x,y)在 D上關(guān)于 y滿足 Lipschitz 條件 , Lipschitz 常數(shù)為 L.2 2 2第二步:證明 ( ,a,b) 0( ) ，使得當(dāng) (x0 x0)2 (y

42、0 y0)22時(shí),解y (x)(x, x0, y0)在區(qū)間 a x b上也有定義 .由于 D是一個(gè)有界閉域 ,且 f (x,y) 在其內(nèi)關(guān)于 y滿足 Lipschitz 條件,由解的延拓 定理可知 , 解 y (x)(x,x0,y0)必能延拓到區(qū)域 D的邊界上 .設(shè)它在 D的邊界上的點(diǎn)為 (c, (c) 和(d, (d), c d ,這時(shí)必有 c a,d b. 否則設(shè) c a,d b ,由引理有| (x) (x)| | (x0) ( x0 ) |eL|x x0|,c x d1利用 (x)的連續(xù)性 ,對(duì) 1 1 e L(b a),必有 2 0存在,使當(dāng)|x x0| 2時(shí)有| (c) (c)| ,

43、 | (d) (d)|即點(diǎn) (c, (c) 和(d, (d )均落在域 D的內(nèi)部 ,這與假設(shè)矛盾 ,故解 y (x)在區(qū)間 a,b 上有定義 .第三步 證明 | (x) (x)| ,a x b.在不等式( 3.18 )中將區(qū)間 c,d換成 a,b ，可知當(dāng)(x0 x0)2 (y0 y0 )2 2 時(shí)，就有(x,x0, y0) (x, x0, y0 ),a x b.根據(jù)方程解對(duì)初值的連續(xù)依賴定理及解對(duì)自變量的連續(xù)性有3、解對(duì)初值的連續(xù)性定理若函數(shù) f (x,y)在區(qū)域 G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y滿足局部李普希茲條件 ,則方程 (3.1) 的 解 y(x,x0, y0)作為 x, x0 , y0的函數(shù)在

44、它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的 .證明 對(duì) (x0, y0) G ,方程(3.1) 過(guò)(x0,y0)的飽和解 y(x,x0,y0)定義于(x0, y0) x(x0, y0)上,令(x0,y0),(x0,y0) GV ( x,x0, y0) | (x0, y0) x下證 y(x,x0,y0)在V 上連續(xù).對(duì) (x,x0,y0) V , a,b,使解 y (x,x0, y0)在a,b 上有定義 ,其中 x,x0 a,b .對(duì) 0, 1 0, 使得當(dāng) (x0 x0)2 (y0 y0)212 時(shí),(x,x0,y0) (x,x0, y0),a x b2又y(x,x0,y0)在 x a,b上對(duì) x連續(xù), 故 20

45、 , 使得當(dāng) |x x|2 時(shí)有(x,x0, y0) (x,x0,y0) 2,x,x a,bmin(2) ,(x,x0, y0) (x,x0, y0)| (x,x0, y0)(x,x0,y0)| (x,x0,y0) (x,x0, y0)|22從而得知 y(x,x0,y0)在V 上連續(xù).4、解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴定理討論含有參數(shù) 的微分方程dy f (x, y, ) G :(x,y) G,dx(3.19)如果對(duì) (x,y, ) G ，都存在以 (x, y, )為中心的球 C G ，使得對(duì)任何(x,y1, ),( x,y2, ) C ，成立不等式| f (x,y1, ) f (x,y2, )|

46、L|y1 y2 |其中 L 是與 無(wú)關(guān)的正數(shù)， 稱函數(shù) f (x,y, ) 在 G 內(nèi)關(guān)于 y 一致地滿足局部的李普 希茲條件 .由解的唯一性，對(duì)每一 0 ( , )，方程( 3.19 )通過(guò)點(diǎn) (x0, y0) G的解是 唯一確定的，記這個(gè)解為 y(x,x0, y0, 0).設(shè) f(x, y, ) 在 G 內(nèi)連續(xù) , 且在 G 內(nèi)關(guān)于 y 一致地滿足局部的李普希茲條件 , (x0,y0, 0) G ,y (x,x0,y0, 0)是方程(3.19) 通過(guò) (x0,y0)的解, 在區(qū)間 a x b上 有定義,其中 a x0 b,則對(duì)0, ( ,a,b) 0 ,使得當(dāng)(x0 x0)2 (y0 y0 )2 (0)2 2時(shí),方程(3.19) 通過(guò)點(diǎn) (x0,y0)的解 y (x,x0, y0, ) 在區(qū)間 a x b上也有定義 , 并且(x,x0,y0, ) (x,x0, y0, 0),x a,b5、解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理設(shè)函數(shù) f(x,y, )在區(qū)域 G 內(nèi)連續(xù)，且在G 關(guān)于 y一致地滿足局部李普希茲條件 , 則方程(3.19) 的解 y (x,x0,y0, ) 作為 x,x0,y0, 的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù) 的.6、解對(duì)初值的可微性定理f (x,y) d