微積分綜合練習(xí)題及參考答案

1、1填空題(1)函數(shù) f(X)綜合練習(xí)題1 (函數(shù)、極限與連續(xù)部分)ln(x 2)的定義域是答案：x 2且x(2)函數(shù) f(x)ln(x 2).4 x2的定義域是答案：(2, 1)(3)函數(shù)f(x2)x2 4x7，則f(x)答案:f(x)x23(4)若函數(shù)f (x).3xsi nxk,1,0處連續(xù),答案:3.1,2k 1(5)函數(shù)f(x 1)x22x，則f(x)答案:f(x)(6)函數(shù)2xx 1 3的間斷點(diǎn)是答案:(7)(8).1 xsi n xsin4x 右lim x 0 sin kxlimx2，則k2 單項選擇題(1)設(shè)函數(shù)y答案：1答案：k 2xe，則該函數(shù)是()A奇函數(shù) B偶函數(shù)C.非奇

2、非偶函數(shù)D 既奇又偶函數(shù)答案：B(2)下列函數(shù)中為奇函數(shù)是()A xsinxx e B.答案：C(3)函數(shù)C.ln(x1x2)D.x2A. x答案:ln(x(4)設(shè)f(x1)1,則A. x(x 1)5)的定義域為f(x)精選C. x(x 2)D . (x 2)(x 1)（5）當(dāng)k(）時，函數(shù)ff(x)ek,2,xx0右 在x00處連續(xù)A. 0B.1C.2D.3答案:D2 x1,x0(6)當(dāng)k()時,函數(shù)ff(x)，在x 0處連續(xù)k,x0A. 0B.1C.2D .1答案:B(7)函數(shù)f(x)x23的間斷點(diǎn)是（)x3x 2A.x1,x 2Bx3答案：C無間斷點(diǎn)1,x2,x3C.xD答案：3.計算題

3、(1)解:(2)limx 32 x3x22 x42 x3x22 x42x9xm22x2 2x 3limx 2(x 2)(x2)2 x(x 2)(x1)limx 2 x 2解:limx 3x2 2x 3lim(x 3)(x 3)x 3 (x 3)(x1)limx 3 x 1(3)x2 6x 8 lim 廠 x 4 x 5x 4解:x2 6x 8limx 4 x 5x 44x 22limx 4 x 13(X 4)(x2)(x 4)( x 1)綜合練習(xí)題2 （導(dǎo)數(shù)與微分部分）1 填空題(1)曲線f(x)1在 (1,2)點(diǎn)的切斜率是答案:12(2)曲線f(x)e在(0,1)點(diǎn)的切線方程是答案:yx 1

4、(3)已知f(x)3 x3x，則 f (3)=答案:f (x) 3x23xl n3f (3)=27( 1ln3)(4)已知f(x) Inx，則f (x)答案:1 f (x)f (x) =1 2xx(5)若 f (x) xe x：，則f(0)答案:f (x)2exxexf22. 單項選擇題(1)若 f (x) e xcosx，貝y f (0)=()A. 2B. 1C. -1D. -2因 f (x) (e x cosx) (e x) cosx e x(cosx)xxx .A 2 f (cos2x)dxe cosx e sin x e (cosx sin x)所以f (0)0 e(cos0 sin

5、0)1答案：C(2)設(shè) ylg2x，則 dy ()11ln 101A.dxB .C dx D .dxdx2xxln 10xx答案：B(3)設(shè) yf(x)是可微函數(shù)，則df (cos2x) () f (cos2x)sin 2xd2xBf (cos2x)sin 2xd2xC . 2 f (cos2x)sin 2xdx D答案：D(4)若 f (x)si nxa3，其中a是常數(shù)，則f (x)().2A . cosx 3aB.sin x6aC.sin xD.cosx答案：C3.計算題1ex，求(1 )設(shè) yx2y .111 ) 2) x解：y 2xex2 x /x ex(2x 1)(2 )設(shè) ysin

6、 4x3cos x ,求y 2解: y 4cos4x 3cos x( sin x)4cos4x 3sin xcos2 x2(3)設(shè) y e，求 y .x解:ye121 x22x(4)設(shè)yx. xIn cosx，求 y 解:y3 1x213-(sinx)x2 tanx2cosx2綜合練習(xí)題3 （導(dǎo)數(shù)應(yīng)用部分）1 .填空題(1)函數(shù)y 3(x1）2的單調(diào)增加區(qū)間是答案：（1,）（2）函數(shù)f（x） ax2 1在區(qū)間（0,）內(nèi)單調(diào)增加，則a應(yīng)滿足答案：a 02單項選擇題（1）函數(shù)y （x 1）2在區(qū)間（2,2）是（ ）B .單調(diào)減少D 先減后增A.單調(diào)增加C.先增后減答案：D(2) 滿足方程f(x)

7、0的點(diǎn)一定是函數(shù) y f(x)的( )A極值點(diǎn)B.最值點(diǎn) C .駐點(diǎn) D.間斷點(diǎn)答案：C(3) 下列結(jié)論中()不正確.A . f(x)在x x0處連續(xù)，則一定在 x0處可微B . f (x)在x x0處不連續(xù)，則一定在 x0處不可導(dǎo)C 可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上D.函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在不可導(dǎo)點(diǎn)上答案：B(4) 下列函數(shù)在指定區(qū)間(，)上單調(diào)增加的是().A . sinxB . exCx2D . 3 x答案：B3. 應(yīng)用題(以幾何應(yīng)用為主)(1)欲做一個底為正方形，容積為108 m3的長方體開口容器，怎樣做法用 料最??？6是函數(shù)的極小值點(diǎn)也解：設(shè)底邊的邊長為xm，高為hm，容器的表面積

8、為ym2。怎樣做法所用是最小值點(diǎn)。故當(dāng)x 6m, h108623 m時用料最省.材料最省即容器如何設(shè)計可使表面積最小。由已知x2h108,h 啰x所以y2 2 108 2 x2 4xh x2 4x r x2 x432x令yc 4322x2x0，解得唯一駐點(diǎn)x 6。因為本問題存在最小值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，所以 x(2)用鋼板焊接一個容積為4m3底為正方形的開口水箱，已知鋼板的費(fèi)用 為10元/ m,焊接費(fèi)40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費(fèi)用最低？最低總 費(fèi)用是多少？解：設(shè)水箱的底邊長為x m,高為h m,表面積為S m2,且有h弓x所以S(x)2 x八2164xh xx16S(x)2x2x令S

9、(x)0，得x 2.因為本問題存在最小值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，所以當(dāng)X 2 m , h 1 m時水箱的表面積最小.此時的費(fèi)用為 S(2) 1040160 (元)(3)欲做一個底為正方形, 用料最?。咳莘e為32立方米的長方體開口容器,怎樣做法解：設(shè)底邊的邊長為xm，高為hm，所用材料(容器的表面積)為 ym2由已知所以令y2x2一 一一 -32X h32,h2xy2 x4xh2 /32x 4x 2x2 X1282 X0，解得唯一駐點(diǎn)x 4因為本問題存在最小值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯128x所以x 4是函數(shù)的極小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn)。故當(dāng)x 4m，h 甞 2m時用料最省4請結(jié)合作業(yè)和復(fù)習(xí)指導(dǎo)中的題目進(jìn)行復(fù)習(xí)。綜

10、合練習(xí)題4 (一元函數(shù)積分部分)1 填空題(1 )若f (x)的一個原函數(shù)為lnx2，則f(x).2答案：-x(2)若 f (x)dx sin2x c，貝y f (x).答案：2cos2x(3 )若 cosxdx 答案：sinx c(4)x2de答案：2e x c(5) (si nx)dx 答案：si nx c(6) 若 f (x)dx F(x) c，貝U f (2x 3)dx1答案：一F(2x 3) c2(7) 若 f (x)dx F (x) c，貝U xf (1 x2)dx1 2答案：-F(1 x2) c2(8) /si nxcos2x x x)dx 答案：23d e 2(9)ln (x2

11、1)dxdx 1答案：0(10)e2xdx =答案：丄22 單項選擇題(1)下列等式成立的是()A. d f (x)dx f (x)B.f (x)dx f (x)C. f (x)dx f (x) dx答案：c(2)以下等式成立的是(A. In xdx d(-)xD.df (x) f (x)d(cos x)C. dxd .xD.3xdxd3x xln 3答案：D(3) xf(x)dx ()A. xf (x)f(x) cB.xf (x)cC. 1 x2 f(x) cD.(x 1)f(x) c.sin xdxB答案：A(4)下列定積分中積分值為0的是(. xx1 e e ,dx1 2). xx1 e

12、 e ,dx1 2答案:(x3 cosx)dx(5)設(shè)A. 0答案:f (x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分0Bf (x)dx-a(6)下列無窮積分收斂的是().(x2 sin x)dxaf (x)dx ()-af(x)dx0D. 2 f(x)dx-aA.0sinxdxB.1dxxc.1dxxD.e 2xdx答案：D3.計算題(1)(2x 1)10dx解:(2x 1)10dx1)10d(2x1)(2x221)11(2).1 sin君dxx2解:.1 sinex)2dxsin-d1x xln2ex(4ex)02dxln 21cos-x2e x c(4 ex)2d(401X =(4 e )3Xe )ln

13、 2-(21603125)303解:e1 5ln x , dx1e(1 5lnx)d(1 5lnx)丄(11 105l n x)2e 171 護(hù) 1) 21xexdx0解:1xexdx0xxe1exdx002Xsinxdx解:02 xsin xdxxcosx 0cos xdx si nx1綜合練習(xí)題5 (積分應(yīng)用部分)1 填空題(1)已知曲線y1f(x)在任意點(diǎn)x處切線的斜率為 1 ，且曲線過(4,5)，則該曲線的方程是答案:(2)由定積分的幾何意義知,a a2 x2dx =0 答案:微分方程y y, y(0)1的特解為答案:(4)微分方程y 3y 0的通解為答案：yce 3x(5)微分方程(y )3 4xyy7 sin x的階數(shù)為答案：42.單項選擇題(1)在切線斜率為2x的積分曲線族中，通