微分幾何第四版習(xí)題答案梅向明

1、第一章曲線論2向量曲數(shù)5. 向議函數(shù)凡/)具冇同定方向的充要條件是X ?(/)= 6分析：一個向量函數(shù)只/) -般可以寫成疋)二久(”(/)的形式，其中貢/)為單位向蚩函數(shù)， 入(/)為敵員函數(shù).那么鞏/)與冇同足方向的充耍條件是&(/)人冇固定方向，HU e(/)為常向氐 (因為頁/)的長度固定)。證 對于向呈函數(shù)；),設(shè)&(/)為K單位向呈，則7(/) = A(/) e(/)，若疋)具有固定方向, 則&(/)為常向鼠，那么?(/) = A(/) e ,所以 r x p = X A, ( X ) =0 .反 Z,若?X? = 0，對?(/)=A(/)(/)求微商得 7* = A * e +A

2、 歹，于是?X? = A求三次Illi線r = 0.b?在點r0的切線和法平面“ (eXe)0，則有Z0或eX *-6 . *piA(/)- 0時，?(/) = ()可與任意方向平行： 當(dāng)幾 H 0 時,5*=6,而(exe1 )2=e2ea -(e e1 )2-?2,(因為 7 具有固定長, e-e0).所以 = 6即E為常向域.所以，X貝有固定方向.6. 向址函數(shù)7(/) 行于固定半面的充雯條件是(7戶戶)=0。分析：向呈函數(shù)只/)平行于固定平面的允要條件是存任個定向向的.使r(z)= 0 ,所以我們要3求這個向量萬及萬與戶，尸的關(guān)系。ill：若歹平疔于 個定平面-設(shè)萬是平面的個單位法向赴

3、，則方為常向出 n =0。兩次求微商得尸方=0 , ? 7, =0 ,即向r戶唾直于同非零向牯牙, 因而井面,即(r r ru) =0反之.若(r r* FM) =0,則有Fx?=0或?xP 6若7x P = 0,由上題知只/) 貝有固定方向.自然半行于-固定半面，若rX? H 6,則存毎數(shù)址函數(shù)人、“，使疋= “協(xié)r 令7i-r X 7,則萬H 6 Hr(/)丄瓜/) 對=7 X p求微商并將式代入得=r X 嚴(yán)二“(?x?= 7f, j：是方x方二6 ,由上題知萬仃固定方向，rfo /(/)丄萬，即；(/) 平行于固定平面.3曲線的概念1. 求圓柱螺6.r=cosr, v=sinr, r

4、=/l (1,0,0)的切線和法平面。解 令 cos/=l, sin /=0,、=0 得、=0, r(0)= -siii/, cos/, 1)1 01,1.曲線在(0,1.1)的切線為 11 = 21 =三，法平面為y + z二0。0 1 1解 尸（心）=“2勿。3折,切線為二 = 匚丄二二a2勿3叱法平面為a（x 一 ） + 2力/。（卩-勿：）+ 3少：（二一比）二0。3. 證明圖柱螺線產(chǎn) a cosO,usinO,力0 （-syO Y蟲）的切線和z軸作固定角。 證明 r = -a sinO , a COS0 , b ，設(shè)切線與z軸夾角為e ,則cosr9.Ib-=L 為常數(shù)，故（P為定角

5、（其中斤為Z軸的單位向詁）。I凡列VTTy4. 求懸鏈線r=/ , cosh Cody/y*）從/二0起計算的狐長。解 rf =1 , sinh 疳 , | 71|= Jsink 律 =coshf , s = |cosh的二 “sinh Io aa9. 求曲線r3 =32”2.u=/在半面y= 與y = 9a Z間的弧長。 曲線的向最農(nóng),j；為勺=工上二J，曲面與兩平面丿違 與ya的交點分別為“a j x=3a , F 二億二._2 | F| 1 + 二 + 亠=二 + 二聽求狐 K 丿 a2 2x2V 44./“22.r210. 將圓柱螺線r = acos/, a sin/, b/化為自然參

6、數(shù)農(nóng)示。J原方程得 7=a cos r. a sin -j=ii. 求用極坐標(biāo)方程q二q（&）給出的曲線的弧長左達(dá)弋解 由 r= p(0)cos0 r=p(0)sin 0 知 r = p(0) cos0 - p(0)sinO p(e)sinO + p(8)cos。 , | = p2(3) + p,2 (6),從 到 0 的曲線的弧氏足s弍 Jp2(o)+ p,2(0)恥 .4空何曲線1. 求圓柱螺線.丫二a cos/,sill/, Z = b/1：任意點的密切平面的方程。 解 尹= -asin /, acos/9 b,P*=-a cos/f - a sin 0 所以曲線在任意點的密切平面的方程

7、為.mcos/ p-“sin/ 二_bf-“sin/ cos a cost, sina zJ，=-cosa cost, 一 cos a sint. 0 -rxrf、/ = ;sina sint - sina cost cos a J|?xR|新曲線的力程為r=( cosa cost + since sint , cosa sint- since cost , tsina +cosa 對于新曲線 Z1 - -cos a sint* sin a cost cos a cost+sina sint sina = sin(a -t), cos (a -t), since , P = -cos(a -t

8、), sin(a -t), 0其密切平面的方程是.r 一 cos “cos/ 卩一 cosmsin t r-rsin asiii( a- i)cos(/7 -/)sin “=0-cos(“ 一 r)sin( /)0cos a = 0 即 sina sin(t-a) x - sin a cos(t-a ) y + z - tsina5. 證明曲線是球面曲線的充要條件是曲線的所有法半面通過-崔點。證方法一*=設(shè)一曲線為-球面曲線.取球心為坐標(biāo)原點，則曲線的具冇同定長，所以刁 F-o.即曲線每點的切線與其向徑垂直,因此曲線在每一點的法平面通過這點的向銜也 就通過其始點球心.u若一曲線的所仃法半面通過

9、定點以1比定點為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，則? P = 0, r（/） nfi固宦氏，對應(yīng)的曲線足球面曲線.方法二：球面曲線O存在定點石（足球而中心的徑矢）和常數(shù)R （足球面的半徑）使 （牙一石）2 =用 o 2（7石）戸=0 ，即（7-） ? = 0（ ）而過曲妙=和）上任_點的法平面方程為-7 = 0 o可知法半面過球面屮心o （成立。2：r,r,M)zz21所以，Illi線是球而曲線的充要條件足曲線的所有法平面通過定點。6 .還明過原點平行于圓柱螺線r = a cos/, a sill / , b/的則法線的自線軌跡足錐面證 71 = -a siii / ,a cos/ f F1 =-a co

10、s/，- a sin / .0 , rx X- “sin /,力cosf-a為副法線的方向向fi,過原點平行寸M法線的直戲的方程是 /=-,消去參數(shù) t 得/72(.r2+=7求以卜曲而的曲*利撓率(1)7 - 7cosh A 7sinh tat r = (3/- /J ),3刃2,心 + 八)S A 0)。解(1)尸一 “sinh a 67 cosh a a 尸 一 “cosh/.osiuh a0 rMt- sinh 人 cosh 人 0 dr ds 5siii /cos/ 5(2)? = 30) 則 d 二=cos/, sill /.,dtI鬥555(2)斤二|：匸3，25sin /cos

11、/4 一y -sin/-cosa0 , rti于7 與0 方向相25sm/cos/4反，所以 r =|y |=-25 sin/cos/(3)顯然以上所得d,/p,f,r滿足：二肝，夕二-諂，而B=cos/-sin 7.0 =-#cd + ry也滿足伏簾內(nèi)公式?sin /cos/6證明如果Illi線的所有切線都經(jīng)過的定點，則此曲線足亡線。證 方法一：取定點為坐標(biāo)原點建坐標(biāo)系，曲線的方程設(shè)為? = ?(/),則曲線在任雖點的 切線方程是p-r(/) = AF(/),由條件切線都過坐標(biāo)原點,所以r(/) = AF(/)可見H 所以戶具有周定方向，故r = ?(/)足遼線。方法二:収定點為坐標(biāo)原點建坐

12、標(biāo)系，曲線的方程設(shè)為r = r(r)，則曲線在任總點的切線 方程p-r(/) = AF(/),由條件切線郁過坐標(biāo)原點，所以r(/) = AF(/),于是產(chǎn)=入嚴(yán)， 從而r x?*-o，所以由曲率的計算公式知曲率k=0,所以曲線為直賤.方法三：設(shè)定點為吊，曲線的方程為r = r(s),則仙線在任意點的切線方程是 p-r(s) = Xa(s), ft!條件切線都過泄點和 所以一鞏0二久丘(Q,兩端求導(dǎo)得： &($) = *&($) +幾訥，即(穢+1皿($)+隔=6 ,而&($).0($)無關(guān)，所以 1 + 1 = 0, 可知 人工0.K($) = 0,因此曲線是11線。10. 證明如果曲線的所有

13、密切平面祁經(jīng)過的定點,則此曲線足平面曲線.證 方法:取定慮為坐標(biāo)原點建坐標(biāo)系，曲線的方程設(shè)為7 = 7(/),則曲線在任總點的 密切平面的方程是(p-?(/) (rX/)x ?(/)-0,由條件-r(/) (?(/)x?,(/) = 0 W ( 產(chǎn)尸尸)=0,所以產(chǎn)平行于一固定平面，R|Jr = 7(/)足平面曲線。方法一：取定點為坐標(biāo)原點建坐標(biāo)系，曲線的方程設(shè)hr = r(s)，則曲線任任總點的密切 半面方(p-r(s)f = 0 .山條件r(s)-f = 0 .兩邊微分并用伏宙內(nèi)公式得 -r心)=0。若oB=o乂由疋)歹=o可知疋)丘= ；($).所以歹=心)平行于 固尢方向，這時7 =只

14、)衣示11線.結(jié)論成立。否則T=0.從而知曲線是平而曲線。方法三：取宦點為坐標(biāo)原點建坐標(biāo)系，曲線的方程設(shè)為r = r(r)則Illi線在任總點的密切 平而方程足(p-?(/).(?(/)(/)=o,由條件一只/)(戶a)x尹(/)=o nil( 7 r ?*) =0所以產(chǎn)，戶，円共面，若了 尸，則r = ?(/) H線，否則町設(shè) r- = Ar+?,/.rM = Ar,+ pr.所以rrw.rmKffil.所以r=0,從而知曲線上T面山1 紅11. 證明如果條曲線的所有法平面包含常向吊&,那么曲線是直線或平面曲線.證方法:根據(jù)己知丘&二0,若丘是常向童，則k|5|=0 ,這時曲線足血線。否則

15、在a e = 0兩邊微分得=0,即kB &=().所以B=0, 乂因a e = 0,所以y /e, 而7為單位向量，所以可知7為常向曲.于是|i冃打二0，即r = 0.此曲線為半而曲線。方法一：曲線的方程設(shè)為7-7(/).由條件r e 0.兩邊微分得戶 &一0,尸o,所以尸.產(chǎn)共面.所以(尹 n = o tn撓率的計算公式可知廠二o.故曲 線為平面曲線。當(dāng)r* x F* = 6時是直線方法三：曲線的方程設(shè)為T - ?(/) 由條件?-().兩邊枳分得(是常數(shù)人因 八&二是半面的方程說明曲線;只/)在半面卜即曲線是半面曲線十尸有固宦方向時 為11線。12. 證明曲率為常數(shù)的空間仙線的曲率中心的軌

16、跡仍足曲率為常數(shù)的曲線。證明 設(shè)曲線(C)： r = r(j-)的曲率k為沖;數(shù).共曲率中心的軌跡(0 的力程為：1 p = 7(J.)+ _(J.),(0為illi線(c的主広向量)，對于Illi線()兩邊微分得 p, = a(j) + l(-X-d + ry) = I/ , (&, f , i分別為曲線(C)的取位切向貴，副法向雖和撓率兒曲線(的曲率為為常數(shù).-20 二0 ，即 2x+3yH9z-2710 一213. 證明曲線x=l+3t+2/2y=2-2t+5/ z=l-/2為平面曲線,并求出它所任的半面方程。 uE 尸二3+41-2+10.-21 尸=4. 10, -2, rMt= 0

17、, 0. 0)昨跆治所綱線為平而輒癥所俯而咖啟點的密切平面。對t 二0,產(chǎn)二 1 2.1 h rf=3.-2t 0,?=4, 10.2?M= ( 0 ,.r-0.0L所以曲線的密切半而即曲線所在半而是31L設(shè)任兩條何線、的點Z間建立了 對應(yīng)關(guān)系.使它們在對應(yīng)點的切線平行，還 明它們在對應(yīng)點的主法線以及副法線巴互申半行。證 設(shè)曲線： r = r(s) 4T : r = r(J)點s與孑一-對應(yīng)，且對應(yīng)點的切線半行，則 d()=d(J),兩端對s求微商得d = d ,即祐(0 = 土，(這也kH 0.若 dsdsk=|a|=o.則B無定義)，所以B 即主法線平行.那么兩曲線的副法線也半行“15.設(shè)

18、在兩條曲線、的點Z間建立了 對應(yīng)關(guān)系使它們在對應(yīng)點的主法線平行, 證明它們住對應(yīng)點的切線作固定用lit設(shè)丘.頁分別為llll線1、F的切向杲，分別為曲線、亍的主法向杲則由已知 ft(s) = p(s)，而(aa)=aa + d- a=- a + a 空 笠ds(isds小代代一入土屈臣土 (a-) = 0 所Ud J=常數(shù)故兩Illi線的I刀線常帥I Ifds16若曲線I的主法線是曲線的劇法線.的 曲率、撓率分別為KM 求證k玖(宀C，其中入為常數(shù)。證i殳I的向址衣示為7 - 7(5)則F nJ 示為p - r(s) + A(j-) P(s).亍的切向就 B 久(一 k&+r / )勺p垂H,

19、 HP pp = i= 0,所以2為常數(shù)，設(shè)為人，則0 =(I - Aok) a +A0 r y .再求做商右 p = -ka 4- ( 1 -Aok)k + AoT/-Aor2. EB =( I Aok) k r2 = 0 ,所以 fj k=Ap (h：2 + r2)o17 Illi 線心(a(-sint).a(l -cos().4acos 點的 liil 率半徑ift K解 r1 = a)-cost.sint,-2sin-.7J*= asint.cost,-cos-.| r|= 2v2 | sin 彳|Fx 門1r x KF-2sin 冷廠2曲豐。斗如 co 冷=如 sin sin pos

20、l，R8/7 sill | ,| 尸 x尸|=2；sin2 丄JI .k二,2冋 8,|sn|所以在t=(2k+ , k W數(shù)處曲率卜徑垠大。18.已知Illi線(Q e C-=凡)上點鞏兒)的鄰近一點Nt +心)，求亍(+心)點 到只$。)點的密切半面、法半廁、從切平面的業(yè)成(設(shè)點TV。)的曲率、撓率分別為心”0幾解 g+M) - r(s0) = g)心+ 卜(幾)2 + 害廳($o)+可2 = a0Ar+iK00Aj34-(-d0 + oFoyo +s)A?.設(shè) E =+ jB。+ 譏，集2 0屮 lun c = 0。則 r(s0 十 As) r(sc)a*=0+三(K： +習(xí))3垃 +心

21、心 +( +5)心訂Bo +三(心5 +3)心療06 2 6 6上式中的:個系數(shù)的絕對值分別是點只+心)到只)的法平面從切V面、密切平面 的距離 5 般螺線5證明如果所有密切平面垂恵于固定直線,那么它是平面直線.證法：半曲線的密切平面垂左于某固尢直線時.曲線的副法向吊了是常向電即7 = o o iiii線旳撓華的絕對伯等為寺.所以曲線為半面曲線。證法二：設(shè)萬是固立血線向曲則尸萬二o 枳分得二p，說明曲線在以萬為法向 京的個平面上，因而為平面線證法三:設(shè)牙足固定直線向量.則m ,再微分得產(chǎn) 帀o,嚴(yán) 萬=o.所以尸、 亍、戶“三向怵共面.于是(r ?) = 0 山撓率的計卽公式知20,因此曲線為

22、半面 曲線。7.如果兩曲線在對應(yīng)點有公共的制法線,則它們是平面曲線、ill： iQ曲線為i： 7- 7(j).則另曲紅的衣達(dá)代為：0二7($) +幾($) 7($) 7(，) 為曲線任點S的主法向雖，也應(yīng)為任對應(yīng)點的副法線的方向向量npd+Ay-Ar pjf 止交叩歹？ = ()于足 2=0,人為常數(shù)。pf = d-A r p. p*=kp- A T ft A r (-ka 4- r / )也正殳，即 p y =-A 八二0,而人 H 0 ,所以 有r = o曲線為半面曲線。同理曲線為平面曲線。8.如果1111線r = r（s）為殷螺線.a . “為1的切向吊和主法向也R為1的曲率 半徑。證明

23、F： p=Ra-J也是般螺線。證 因為1為一般螺線，所以存任一卄寺常向置&便應(yīng)與0成固定角対于曲線具切向 & 嚴(yán)膩十卿 _ B二劇 與丘共線【人I此也4HF冬常向* P成刈眾角.所以也為般螺 線。9UE明曲線7 = 7（J）為股螺線的充要條件7；（7.7.7） = 0證 7-Kp. 7 = -K2d + Kp + KTy,r = -3xxa + (f kt2)P (2kt + Kf)y(77r) = Klirc += kkt -kt) = k Ki=k5() JI屮 kH 0. 曲線為股螺線的充要條件為一為常數(shù)即o.也就是（幾八刁二o oKK方法二：（?J7?） = 0,即（應(yīng)艮總）= 0 .

24、曲線r = rs）為般螺線，則存任常向星鼻 便7 養(yǎng)常數(shù)，所以d = 0.d -e = 0.d e = 0,所以a.a,d共而，從而（N.7,B半行尸 固定平面（以&為法向雖的半面）平行于一固定平面0（人人產(chǎn)）=0。方仏四：”=”設(shè)產(chǎn)=只$）為一般螺線.存任常向蛍&便&二常數(shù).即八0 =常數(shù)，連 續(xù)三次求微商7-? = 0/Z-? = 0. 7-? = 0，所以(r/Ar) = 0 ”0 ，消去 EG- F 2得坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為 Edu2=G dv2.9 設(shè) 曲 面 的 第 一 基 本 形 式 為 I = du 2 (u2 a 2 ) dv 2 ，求曲面上三條曲線 u = av

25、, v =1 相交所成的三角形的面積。線圍城的三角形的面積是01a1S= u2 a2du dvu2 a2 du dvau0uaau) u2 a2 du aa 1 a =2u2 a2du dv=2 (10= 32a (u23a2)2u u2a 2 a2 ln(u u22aa ) |02 2 2=a22 3 2ln(12)10 求球面 r =acos sin,acos sin ,asin 的面積。解 r = asin cos, asinsin ,acos ，r = acos sin ,acos cos ,022E = r 2 =a2 ,F= r r = 0 ,r2 = a2 cos2. 球面的面積

26、為：2S = 2 da4 cos2 d202 a2 2 cos22 a2 sin |2 4 a2 .211. 證明螺面 r =ucosv,usinv,u+v和旋轉(zhuǎn)曲面 rr =tcos ,tsin , t 2 1(t1, 0 2 )之間可建立等距映射=arctgu + v , t=u2 1 .分析 根據(jù)等距對應(yīng)的充分條件 , 要證以上兩曲面可建立等距映射= arctgu+ v , t= u2 1 ,可在一個曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲面在對應(yīng)點有 相同的參數(shù) ,然后證明在新的參數(shù)下 , 兩曲面具有相同的第一基本形式 .證明 螺面的第一基本形式為 I=2 du2 +2 dudv+( u

27、2 +1) dv2, 旋轉(zhuǎn)曲面的第一t2基本形式為 I= (1 t2t 1)dt2 t2d ,在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換=arctgu + v , t= u2 1 , 則其第一基本形式為22dv)2u 1 u 2 2 1 (1 2 ) 2 du (u 1)( 2 du u u 1 1 uu 1 2 1 2 2=( 2 1)du 22 du 2 2dudv (u2u 2 1 u21)dv 2 =2 du 2+2 dudv+( u 2 +1) dv 2= I .所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建立等距映射=arctgu + v , t =u2 1 .3 曲面的第二基本形式1. 計算懸鏈面 r =coshuc

28、osv,coshusinv,u的第一基本形式 ,第二基本形式 .解 ru =sinhucosv,sinhusinv,1,rv =-coshusinv,coshucosv,0ruu =coshucosv,coshusinv,0,ruv =-sinhusinv,sinhucosv,0,r vv =-coshucosv,-coshusinv,0, E ru2= cosh 2 u, F ru rv =0, G rv2 =cosh 2 u. 所以 I = cosh 2 u du2+ cosh 2 u dv2 .n=ru rvEG F 2cos1h2 u cosh ucosh u cos v,coshu

29、sin v, sinh u sin v ,coshucoshuL=1, M=0, N=1 .sinh2 1sinh2 1所以 II = - du2+dv2 。2. 計算拋物面在原點的 2x3 5x12 4x1x2 2x22 第一基本形式 ,第二基本形式 .5解 曲面的向量表示為 r x1,x2 , x12 2x1x2 x22, rx1 1,0,5x1 2x2 (0,0) 1,0,0 ,rx2 0,1,2 x1 2x2 (0,0) 0,1,0 ,rx1x1 0,0,5 ,rx1x2 0,0,2 , rx2x20,0,2 , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2

30、, N =2 ,I= dx12 dx22 , II= 5dx12 4dx1dx2 2dx22.3. 證 明 對 于 正 螺 面=u cosv ,u sinv ,bv,- u,v 處 處 有EN-2FM+GL=0 。ru cos v,sin v,0, rv usin v,ucosv,b ，ruu =0,0,0,ruv =-uucosv,cosv,0,rvv =-ucosv,-usinv,0,E ru2 1 ， F ru0，G rv2 u2 b2， L= 0, M = b, N = 0 . 所以有 EN - 2FM + GL= 0 .v 2 2 ub14. 求出拋物面 z (ax2 by2 )在(

31、0,0)點沿方向 (dx:dy) 的法曲率.解 rx 1,0, ax ( 0, 0) 1,0,0 ,ry 0,1,by(0,0) 0,1,0 ,rxx 0,0,a ,rxy 0,0,0 r yy 0,0,b ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b, 沿 方 向 dx:dy 的 法 曲 率kn22 adx2 bdy2 dx2 dy25. 已知平面 到單位球面 (S)的中心距離為 d(0d1), 求 與(S)交線的曲率 與法曲率 .解 設(shè)平面 與(S) 的交線為 (C), 則(C)的半徑為 1 d 2 ,即(C)的曲率為12k 1 ,又(C)的主法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于1 d

32、 2 ,所以 (C)1 d 2的法曲率為 kn k 1 d2 = 1 .6. 利用法曲率公式 kn II , 證明在球面上對于任何曲紋坐標(biāo)第一、第二類基 nI本量成比例。證明 因為在球面上任一點處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其曲率為球面半徑 R 的倒數(shù) 1/R 。即在球面上， 對于任何曲紋坐標(biāo) (u,v) ，沿任意方向 du:dvknII Ldu 2 2Mdudv Ndv2I Edu 2 2Fdudv Gdv 2R或- R ，所以 E FN1NG ( R1)，即第一、第類基本量成比例7求證在正螺面上有一族漸近線是直線，另一族是螺旋線證明對于正螺面 rr =u cos v ,u sin v

33、 ,bv ，ru cos v,sin v,0, rv usin v,u cos v, b ， ruu=0,0,0 ， rvv =-ucosv,-usinv,0 ，L= (ru,rv,ruu) =0, N= (ru , rv ,rvv ) =0 .所以 u 族曲線和 v 族曲線都是漸近線。而 u EG F2 EG F 2族曲線是直線， v 族曲線是螺旋線。8. 求曲面 z xy2 的漸近線 .解 曲面的向量表示為 r x,y,xy2 ,rx 1,0,y2, ry 0,1,2xy, rxx 0,0,0,rxy 0,0,2y, ryy 0,0,2x, E rx2 1 4y4 ,F rx ry 2xy

34、2,G ry2 1 4x2y2 .2y 2xL 0,M ,N .1 4x2 y2 y4 1 4x2 y2 y4漸近線的微分方程為 Ldx2 2Mdxdy Ndy2 ,即4ydxdy 2xdy2 0,一族為 dy=0, 即 y c1 , c1為常數(shù). 另一族為 2ydx=-xdy, 即ln x2y c2,或x2y c,c為常數(shù) .9. 證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線證 在每一條曲線 (C)的主法線曲面上 ,沿(C)的切平面是由 (C)的切向量與 (C) 的 主法向量所確定的平面 ,與曲線 (C)的密切平面重合 ,所以每一條曲線 (C)在它的主法線曲面上是漸近線 .方法二：任取曲線r (

35、s) ，它的主法線曲面為S:r(s,t)r (s)(s)，rs r(s) t r&(s) r t(r r r rr) (1 t )r t r ， rttr(1t )r在曲線 上，t = 0 , rsr , 曲面的單位法向量 nrEG Fr ，即 nr所以曲線 在它的主法線曲面上是漸近線 .10. 證明在曲面 z=f(x)+g(y) 上曲線族 x=常數(shù), y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng)證 曲面的向量表示為 rr =x,y, f(x)+g(y),x= 常數(shù),y= 常數(shù)是兩族坐標(biāo)曲線 r r r rx 1,0,f , ry 0,1, g . rxx 0,0, f, rxy 0,0,0, ryy 0,0, g,r

36、r因為 M rrxyrx ry0 ,所以坐標(biāo)曲線構(gòu)成共軛網(wǎng)， 即曲線族 x=常數(shù), y=常數(shù)構(gòu)EG F 2成共軛網(wǎng)。11. 確定螺旋面 rr =u cosv ,u sin v ,bv上的曲率線 .解ru cos v,sin v,0, rv usin v,ucosv,b ，ruu=0,0,0 ，2rvv =-ucosv,-usinv,0 ， ruv =-sinv,cosv,0, E ru 1 ， F ru rv 0 ，G rv2 u2 b2， L=0, M= b , N=0, 曲率線的微分方程為 :v u2 b2dv210dudv0bu 2 b2du2u2 b200, 即 dv1u21 b2 d

37、u,積分得兩族曲率線方程 :v ln(uu2 b2 )c1和v ln( u2 b2u) c2.12. 求雙曲面 z=axy 上的曲率線 .22 a22y ,F a x22y,G22a2 x2 ,L 0,Ma221 a2x22 2 ,N=0 . aydy2221 a xdxdy2 2 2 axya2 2 2 2 a x a ydx2a2x=0 得 (12 2 2a2 y2)dx2 (1a2x2 )dy2,積分得兩族曲率線為 ln(ax 1 a2x2 )ln(ay 1 a2y2) c.ab13. 求曲面 r (u v), (u v),上的曲率線的方程 .2 2 2解 E a b v ,F42 2

38、2 2 2 a b uv a b u,G ,L 440,abM= EG 2F2 ,N=0. 代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是(a2 b2 u2 )dv2 (a2 b2 v2)du2,積分得 :ln(u a2 b2 u2 ) ln(v a2 b2 v2 ) c .14.給出曲面上一曲率線 L,設(shè) L 上每一點處的副法線和曲面在該點的法向量成定角,求證 L 是一平面曲線 .證法一：因 L 是曲率線,所以沿 L 有dnndr ,又沿 L 有 ?n=常數(shù),求微商得 n n 0,而n/dn/dr與 正交 ,所以 n 0,即- n =0,則有 =0,或 n=0 .若 =0, 則 L 是平面曲線；若

39、 n=0 ，L 又是曲面的漸近線，則沿 L ， n =0 ， 這時 dn=0 ， n為常向量，而當(dāng) L 是漸近線時， = n，所以 為常向量， L 是一 平面曲線 .證法二：若 n ，則因 n drr r ，所以 n ，所以 dn &，由伏雷r r r 內(nèi)公式知 dn（ r ）而 L是曲率線，所以沿 L有dn r ，所以有 =0,從 而曲線為平面曲線；若 不垂直于 n， 則有 ?n =常數(shù),求微商得 r&nrnr& 0,因為 L是曲率線，所以沿 L 有 dnr drr，所以 r nr& 0 ，所以 n 0，即-n=0 ，若 =0 ，則r r r r r 問題得證；否則 n=0 ，則因 nr r

40、 0，有n ，drndr （-） r ，矛盾。15 如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。證 曲線的密切平面與曲面的切平面成定角， 即曲線的副法向量和曲面的法向量成定角，由上題結(jié)論知正確。16 求正螺面的主曲率。解 設(shè)正螺面的向量表示為 r =u cosv ,u sin v ,bv.解ru cos v,sin v,0, rv usin v,ucosv,b ， ruu=0,0,0 ，2rvv =-ucosv,-usinv,0 ， ruv =-sinv,cosv,0, E ru 1 ， F ru rv 0 ，G rv2 u2 b2， L= 0, M = b , N = 0, 代入主曲率