第三講怎樣分析兩等量點(diǎn)電荷的連線上及中垂線上場(chǎng)強(qiáng)的變化規(guī)律

1、 料推薦怎樣分析兩等量點(diǎn)電荷的連線上及中垂線上場(chǎng)強(qiáng)的變化規(guī)律一、量等量異號(hào)點(diǎn)電荷的連線上及中垂線上場(chǎng)強(qiáng)的變化規(guī)律高中物理靜電場(chǎng)部分，習(xí)題中往往要用到真空中兩個(gè)等量異號(hào)點(diǎn)電荷的連線上場(chǎng)強(qiáng)E的變化規(guī)律和連線的中垂線上場(chǎng)強(qiáng)E 的變化規(guī)律。 來(lái)考查兩個(gè)場(chǎng)強(qiáng)矢量疊加的問(wèn)題。下面闡述就此問(wèn)題總結(jié)的兩個(gè)規(guī)律的內(nèi)容及其分析方法和過(guò)程。如圖 1 所示，真空中兩個(gè)等量異號(hào)點(diǎn)電荷的電量分別為Q 、Q ，連線為線段，為中垂線，垂足為。1. 分析總結(jié)中垂線上 E 的變化規(guī)律。中垂線 MN上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的方向，可由電場(chǎng)線法或兩點(diǎn)電荷在MN上各點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)EA 、EB 按量矢量合成的平行四邊形定則進(jìn)行合成，通過(guò)畫(huà)圖可得到 MN

2、上所有點(diǎn)合場(chǎng)強(qiáng) E 的方向都與 OB平行且由指向，那么的大小有什么變化規(guī)律呢？很多資料上用電場(chǎng)線的疏密結(jié)合平行四邊形定則，作出合場(chǎng)強(qiáng)的圖形來(lái)定性的討論總結(jié)的大小變化規(guī)律，得出以上結(jié)論。結(jié)論中垂線上點(diǎn)處的最大，沿射線OM、射線ON方向 E 都逐漸減小，至無(wú)窮遠(yuǎn)處E 變?yōu)榱?。證明：如圖 1 所示，中垂線上任意一點(diǎn)，令 OC=y，AB=L，在 Rt AOC圖和 Rt BOC 中，有AC BC( l )2y22Q 、Q 在 C 點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為EA 和 EB ，且EAEBkqkq( AC)2L22y()2顯然以 EA 、 EB 為鄰邊作的平行四邊形是菱形，且對(duì)角線代表的此點(diǎn)的和場(chǎng)強(qiáng)EC /AB且

3、EC2EA cos。在 Rt AOC 中，有AOLcos( L ) 2AC2y22EC 2EA coskqL( L )23y2 22對(duì)上式進(jìn)行討論，因式中k、q、 L 是常量，所以有：1 料推薦（1）當(dāng) y=0 時(shí)， EC 有最大值，且Em8kq2 ，即中垂線上垂足 O處的場(chǎng)強(qiáng)最大；L分母 ( L )23（2）當(dāng) y 變大時(shí)，y 2 2逐漸變大，那么EC 的值因單調(diào)遞減而逐漸變2小；（ 3） 當(dāng) y時(shí)，即中垂線上距離O點(diǎn)無(wú)窮遠(yuǎn)處的位置E 變?yōu)?0，幾乎不存在電場(chǎng)。從上述分析可以證明結(jié)論1 變化規(guī)律的正確性。2分析總結(jié)AB 兩點(diǎn)連線上場(chǎng)強(qiáng)的變化規(guī)律此規(guī)律的總結(jié)如果仍用電場(chǎng)線理論和兩場(chǎng)強(qiáng)矢量的疊加

4、進(jìn)行作圖比較， 歸納不出結(jié)論。 但用類(lèi)比的方法，把分子動(dòng)理論中分子間相互作用的引力和斥力隨距離變化的規(guī)律引用過(guò)圖來(lái)，就可以輕松準(zhǔn)確地突破思維難關(guān)。如圖所示， 當(dāng)分子間的距離ar0 時(shí)，分子間的引力和斥力相等，即 F引 =F斥 。當(dāng) ar0時(shí)，分子間的引力和斥力都要隨著距離的增大而減小，但斥力比引力要減小得快，總體表現(xiàn)為分子間的引力。當(dāng)ar0 時(shí)，分子間的引力和斥力都要隨著分子間的距離的減小而增大，但斥力比引力增加得快，總體表現(xiàn)為分子間的斥力?，F(xiàn)在進(jìn)行類(lèi)比：如圖1 所示，在中點(diǎn)O處，有kqEAEB( L )22由點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式，即kqEr 2可知 E 與 r 2 成反比，那么從O 開(kāi)始沿OA方

5、向每移動(dòng)一個(gè)小微元段x ，就有Q 在 D點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)EA 增大，Q 在 D點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)減小，但是EA 增加得快，而 EB 減小得慢，即 D 點(diǎn)移動(dòng)同樣的距離，隨EA 增加量比 EB 的減小量大， D 點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng) EDEAEB 一定要變大，即可得出從O點(diǎn)開(kāi)始沿OA方向， OA上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)要逐漸變大。同理從O點(diǎn)開(kāi)始沿OB 方向分析，每移動(dòng)相同的距離段，EA 減小得慢， EB 增加得快，各點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)也是逐漸變大。由此可得到以下規(guī)律。結(jié)論 2 在等量異號(hào)的兩個(gè)點(diǎn)電荷間的連線上，兩端點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)最大，中點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)最小。不論由 A 到 B 方向上的點(diǎn)，還是由 B 到 A 方向上的點(diǎn)，它們場(chǎng)強(qiáng)大小的變化規(guī)律總是

6、先減小后增大。2 料推薦證明：如圖1 所示，在線段AB上任取一點(diǎn)D，令 AD=x，則 BD=L-x，Q 在 D 點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為kqEAx2Q 在 D 點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)EBkq(Lx)2由于 EA 、 EB 方向相同，且在同一條直線上，在D 點(diǎn)處的合場(chǎng)強(qiáng)為EDEAEBkqkq112(L2kq2(L2 xx)xx)為了討論 ED 隨 x 的變化規(guī)律，現(xiàn)對(duì)函數(shù)ED 求導(dǎo)，得EDkq2x32( Lx)3 2kq11x)33 ( Lx下面對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行討論：（1）當(dāng) xL 時(shí)， ED0 ，則在 (0, L 上，原函數(shù) ED 為22遞減函數(shù)，就可以得出AO 方向，線段AO 上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)具有隨x的增大而減小的變

7、化規(guī)律；（ 2） 當(dāng) xL時(shí)， EDL, L) 上原函數(shù) ED 為遞20 ，則在 2增函數(shù)，就可以得出OB方向，線段 OB上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)具有隨x 的增大而增大的變化規(guī)圖律；（ 3）當(dāng) xL0 ，則原函數(shù) ED 有最小值，即ED8kq時(shí)， ED2 。2L這 3 種情況可通過(guò)圖3 的 EDx 圖像描述出來(lái)。由此證明了結(jié)論2 的正確性。3 料推薦二、兩等量同號(hào)點(diǎn)電荷的連線上及中垂線上場(chǎng)強(qiáng)的變化規(guī)律1. 中垂線上電場(chǎng)強(qiáng)度的變化規(guī)律如圖所示， A、 B是帶電量均為Q 的固定點(diǎn)電荷，兩者相距2L。試說(shuō)明，在AB連線的垂直平分線上的電場(chǎng)強(qiáng)度的變化規(guī)律。如圖 4 所示，設(shè) AB=2L，CAB，E AE Bk Q

8、2k Q2 cos2圖rL由平行四邊形定則可得E2EA sin2k Q2 cos2sinL令 y= cos2 sin =（1 - sin 2 ）sin= sin- sin 3y cos- 3sin 2 coscos（1 - 3sin 2）= 0sin 213當(dāng) sin3時(shí)， E 有最大值4 3kQ39L2方法二： y2cos4sin 21 (2sin 2cos2cos2)2由于 2sin 2cos2cos22 為定值。所以當(dāng)且僅當(dāng) 2sin 2cos2cos2時(shí) y2 取21，解得當(dāng) sin34 3kQ得最大值， tan2時(shí)， E 有最大值239L由以上推導(dǎo)可得出以下幾點(diǎn)：（1）當(dāng)0 時(shí)，即在

9、 O點(diǎn)，合場(chǎng)強(qiáng) E =0；（2）當(dāng)argsin3時(shí)， E 存在最大值，其最大值為43kQ；最大值時(shí) C 到 O點(diǎn)的距39L2離為2 L 。24 料推薦（3）當(dāng)90 時(shí)，合場(chǎng)強(qiáng) E =0；（4）在 AB的垂直平分線上的電場(chǎng)強(qiáng)度是先增大，后減小，方向始終是垂直于AB 連線且背離 O點(diǎn)的方向。2. 在連線上的電場(chǎng)強(qiáng)度分布情況：如圖所示，在在線段 AB上任取一點(diǎn) D，令 AD=x，則 BD= L-x ，處點(diǎn)電荷在 D 點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為kqEAx2B 處點(diǎn)電荷在D點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)kqEBx)2(2 L由于 EA 、 EB 方向相同， 且在同一條直線上，取向右為正方向。 則在 D點(diǎn)處的合場(chǎng)強(qiáng)為ED EAEBkqkqkq11x2(2 L