第一章習(xí)題解答集合

1、第一章習(xí)題解答1、證明： AU(BI C) (AU B)I (AUC)11證明：一方面x AU(BI C), x A或x BI C, x A 或x B 且x C, x AUB 且 x AUC, x (AUB)I (AUC) 從而 AU(BI C) (AUB)I (AUC)另一方面(AU B)I (AUC)x AU B且x AU Cx A或x B且x A或x Cx A 或 x B I Cx AU(BI C) 從而 (AUB)I (AUC) AU(BI C)(AUB)I (AU C) AU(BI C)(1)ABA (AIB)(AUB) B證明：一方面：xABxA,xBxAI BxA(AI B)AB

2、A(AIB);對于 xA (AIB)xA, x AI BxA, xBx(AUB)BA(AIB)(AUB) B.2、證明：AU B且x BBxxxA且 x另一方面：x (AUB) Bx AI B x Ax A (AI B)A (AI B)(AI B) (AU B) x A,x (AI B)BA (AIA且 x BB);A且又對于AB從而有A B A (AI B) (AUB) B。另證：先證： A B A (AI B)左邊A(AI B)AI 痧Al B)AI ( AU?B)右邊(AISA)U(AI B) A B右邊再證：AB(AUB)BAB(AUB)B右邊(AUB)B (AUB)IeB(AI痧)U

3、(BI B)(AUB)UAB左邊2) AI (B C) (AI B) (AI C)證明:ABA) U ABCABCAl (B C)(3)(AB)CA (B UC)證明:A(BUC) A(BUC)ABC (AB)CABC(4)A(BC)(A B)U(Al C)證明:A(BC)A(B C) ABCA(BUC)(Al B) (Al C) Al Bl (AC)Al B(AUC)A(BUC) AB U AC (A B)U(Al3、證明:(1):(AU B) C(A C)U(B C)證明：(AUB) C(AU B)C (AC)U(BC)(A C)U(BC)(2):A (BUC)(A B) I (A C)證

4、明：A (BUC)A(BUC) ABC AABC(AB)(AC)(A B)l (A C)(5) (A B)l (CD)(Al C)(BU D)證明：(A B)l (CD)ABCDACBD AC(BUD) (Al C) (BUD)(6) A (A B)Al B證明：A (A B)A(AB) AAB A(AUB) (AA) U (AB) ABC)4、證明:痧:UXJ l (sX)i 1x證明：es(U Xi)x S,xi 1UXii 1x S,i,i1,2,3,LXii,i 1,2,3,L x SXi xl (Si 1Xi)esXi痧:UXJl (sXi)i 1上述每一步都可逆有喙u Xi)i 1

5、l (sXi)，從而得喙UXi)i 1i 1l ( sXi)i 1(1) (U A)B U (A B);5、證明:(2) ( I A ) B I (A B).證明：(1) (U A ) B U (A B);(U A ) B (UA)B U(AB)U(AB),所以(U A ) B U (AB)；(2)(I A ) B I(AB).I (AB) I (A B)(IA )B(IA ) B.所以(I A ) BI (A B).。6、設(shè)An是一列集合，作BiA , BnAnn 1(U A)，k 11，證明Bn是列互不相交的集,n而且UAkk 1nUBk, 1k 1nBmIBnAm證明：設(shè)1(UAk) I

6、 Ank 1m 1 n 1n 1(U Ak)k 1m 1Am(U Ak)Ik 1)n 1An(UAk)k 1Am(I Ak)I An(人) k 1Am A1 A2 Lk 1Am 1An AA2LAm Am 1 L Ai 1nX UBkk 1nX U(Akk 1k 1UAj)jk 1k,x Ak UAj, xjk 1Ak,x U Ajxj 1nUAk 1nUBkk 1nUAk, 1k 1n 。反之nXUAkk 1min k, xAkxk 1Ak,x UAj, xj 1Ark 1nUAjx U(ARj 1k 1k 1UAj)j 1nXUBkk 1nUAkk 1nUBk, 1k 1nn ;從而U A

7、rk 1nUBk,k 11 n ;7、設(shè) A2n 11(0, -), An (0, n), n 1,2,L，求出集列An的上限集和下限集 n解：佃代(0,)，nlim An(0,0)8 證明：lim An UI Amnn 1m n證明：令 A lim A,， B UI An，證明：A Bnm 1 n mxx Alim A由下限集的定義n,存在m,對 n m有xAnIAnn mUI Anxm 1n mBAB所以UIm 1n mAnk, xI Annn kk, x Anx lim AnA B An9、作出一個(gè)（-1,1）和（lim AnnUIn 1 m n）的1 1對應(yīng)，并寫出這一對應(yīng)的解析表達(dá)式

8、解：函數(shù)y叫幻在（-1,1）上嚴(yán)格嗇增加且值域?yàn)椋?，），人而y叫x）實(shí)現(xiàn)了（-1,1）到（，）的1 1對應(yīng)。10、證明：將球面上去掉一點(diǎn)以后，余下的點(diǎn)所成的集合和整個(gè)平面上的點(diǎn)所成的集合是對 等的。證明：將球放在平面上，球面與平面相切，切點(diǎn) O處球面上的點(diǎn)與平面上的點(diǎn)對應(yīng)，對于平 面上其它任意點(diǎn)Q，設(shè)球的極點(diǎn)為N，連接QN與平面交于R，令Q R，則該對應(yīng)實(shí)現(xiàn)了 除極點(diǎn)外球面上的所有點(diǎn)與平面上的所有點(diǎn)的 1 1對應(yīng)。證畢。11、證明：由直線上某些互不面相交的開區(qū)間作為集 A的無素，則A至多為可數(shù)集。證明：設(shè)l,J A，有I I J ，由有理數(shù)的稠密性知，在每一 I中至少含有一個(gè)有理數(shù)，故 從A中

9、每一個(gè)開區(qū)間中取定一個(gè)有理數(shù) r組成集合S，因?yàn)锳中開區(qū)間互不相交，所以S中 的有理數(shù)彼此不同，令 A 中的開區(qū)間 I 與 I 中取定的有理數(shù)對應(yīng)，顯然這種對應(yīng)是一一的， 由開S是有理數(shù)集Q的子集，而 Q為可列集，所以S為至多可列集，即A也為至多可列集。12、證明：所有系數(shù)為有理數(shù)的多項(xiàng)式組成一可列集。證明：對于給定的n，個(gè)有理系數(shù)的n次多項(xiàng)式對應(yīng)n 1維有序有理數(shù)組a。, aazL an | an 0, a Q,0 i n，該數(shù)組全體S是n 1個(gè)可數(shù)集的卡氏積，從而可數(shù)。而對于給定的n有理系數(shù)的n次多項(xiàng)式全體An與S對等。而所有系數(shù)為有理數(shù)的多項(xiàng)式全體A UA，根據(jù)可數(shù)集的運(yùn)算性質(zhì)：可數(shù)個(gè)可

10、數(shù)集之并仍然可數(shù)知A可數(shù)。i113、 設(shè)A是平面上以有理點(diǎn)為中心、以有理數(shù)為半徑的圓的全體，則A是可數(shù)集。證明：A中的任一元素與三維有序有理數(shù)組(x,y,r)對應(yīng)，以以有理點(diǎn)為中心、有理數(shù)為半徑的圓的全體A與集( x,y,r)|x, y,r Q對等。而集( x,y,r) |x, y,r Q可數(shù)，所以A可數(shù)。14、增函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)至多有不可數(shù)個(gè)。證：由增函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)為第一類，且有躍度的不連續(xù)點(diǎn)，故f (x)在Xo的左右極限存在，且當(dāng)X。為f (x)的不連續(xù)點(diǎn)時(shí)有f(Xo 0) supf(x)， f (xo 0) inf f (x)，且：f (x。0) f(x。0)由于 f (x)為增函數(shù)，x

11、x0x x0所以f(X0 0)f(X0 0)，于是f(x)的每一個(gè)不連續(xù)點(diǎn)對應(yīng)y軸上的一個(gè)開區(qū)間，下證若x x為增函數(shù)f (x)的兩個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，則有f (x 0) f (x 0)事實(shí)上任取一點(diǎn)X1，使x X1 x，于是：f(x 0) inf f(x) f(x1)sup f(x) f(x 0)x xx xx從而x對應(yīng)于y軸上的開區(qū)間(f (x 0), f (x 0)與x對應(yīng)于y軸上的開區(qū)間( f(x 0), f(x 0) 是互不相交的， 由于直線上互不相交的開區(qū)間所成之集為至多可列， 所以遞增函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)也為至多可列集。15、試找出使 (0,1)和0,1之間1 1對應(yīng)的方法。證明：將 (0,1

12、)中的全部有理數(shù)排列為 r1,r2,L rnL ，而0,1 中全體有理數(shù)可排列為xr1,f(x)是(0,1)和0,1之間 1 1OltD丄rnL，作其間的對應(yīng)f如下f(x)x r2x rnxx為無理數(shù)對應(yīng)16、設(shè)A是一可數(shù)集，則A的所有有限子集作成的集合亦必可數(shù)。設(shè)A為可數(shù)集，其元素為2丄anL，以代表示由A中n個(gè)元素組成的子集的全體，F(xiàn)為A中所有限子集全體，則F UA，其中Ao 為單元素集，另設(shè)B (K,k2丄kn)|K N， n 0則B中的任意元素由n個(gè)獨(dú)立的記號確定，且每個(gè)記獨(dú)立的跑遍一個(gè)可數(shù)集 N，故B可數(shù)。 現(xiàn)對A的每個(gè)元素2罔2丄akn令其對應(yīng)B中的元素(dk?丄心)，則人與B的一

13、個(gè)子集對等，由于B為可數(shù)集所以An為至多可數(shù)，但An為無限集所以An為可數(shù)集，從而F U乓為n 0 可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并集，所以F是可數(shù)集。17、證明：0,1上的全體無理數(shù)所成的集合其基數(shù)為 c。證明：反證法。如果無理數(shù)全體是可數(shù)的，那么它和有理數(shù)全體的并集將是可數(shù)集。但是它 們的并是區(qū)間0,1，而區(qū)間0,1不可數(shù)矛盾。18、 若集A中每個(gè)元素由互相獨(dú)立的可數(shù)個(gè)指標(biāo)所決定，即A ax，而每個(gè)人取自一個(gè) 基數(shù)為c的集，則A的基數(shù)也是c。證明：因?yàn)閤取自一個(gè)基數(shù)為c的集，記之為Xi，從而存在Xi到實(shí)數(shù)集R的對應(yīng)i，i 1,2,3 L，現(xiàn)在令A(yù)中的元與實(shí)數(shù)數(shù)列( O 2(X2), 3化兒)對應(yīng)，那么這個(gè)

14、對應(yīng)是 A到E上的對應(yīng)，由Ec得A c。19若A U An的基數(shù)為c，證明：存在n0，使An0的基數(shù)也是c。n 1證明：若不然An c,(n 1,2,3L )，由于A c，存在A到E上的1 1對應(yīng)，即對任意的a A，存在實(shí)數(shù)列X /MX,L E與之對應(yīng)，記 (An) Bn, n 1,2,3,L，則有(A) U (An) UBn E1記 yn (0, L O,XnOL ),XnR , n 1,2,3L設(shè)Pn為E中點(diǎn)到y(tǒng)n的投影映射，即對XX1,x2丄 XnL E , Pn(x) (0,L 0, Xn,0L ) y.n 1,2,3, L o又記Pn（Bn）Un ,顯然有，且Un B,入 C,而yn

15、 C,所以Un是Yn的真子集，存在實(shí)數(shù)Xn使(0丄 0,Xn ,0L )Un ,從而對任何Xi（in)有(Xi,L Xn i,Xn ,Xn iL ) Bn(n 1,2,3,L ) o 因此* * * 、 （x1 ,x2 ,L Xn ,L ） U Bn E，這與 是是A到期E上的1 1映射矛盾。n 1注：此題的證明易犯這樣的錯(cuò)誤因?yàn)閍 UAn，且A C，則至少存在一個(gè)An0，使A0 C,若不然，對一切n An C，則n 1An的勢最多只有可數(shù)集的勢a，故A UAn為至多可數(shù)集，即 入 a C矛盾。n 120、證明二進(jìn)位無限小數(shù)全體與區(qū)間（0,1對等。證明：任意x （0,1，先將（0,1分成兩部分（0,丄,（!,1（規(guī)定分點(diǎn)屬于左邊一個(gè)區(qū)間）則x2 2必屬于且只屬于其中一部分，取出這一部分區(qū)間，若取出的是左邊區(qū)間，取t1 0,否則取t1 1 , 第二步再將取出的含x的這個(gè)部分區(qū)間等分為兩個(gè)部分區(qū)間（仍規(guī)定分點(diǎn)屬于左邊一個(gè)區(qū)間）,同上法得t2 ;這個(gè)過程可一直進(jìn)行下去，從而得到t1,t2丄tkL ,0.t1,t2,L tkL為x的二進(jìn)位小數(shù)表示，令:x0.t1,t2,L tk L，則對x （0,1 ,（x）必是二進(jìn)位無限小數(shù)（因?yàn)橐?guī)定了分點(diǎn)屬于左邊