導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性極值最基礎(chǔ)值習(xí)題

1、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性極值最基礎(chǔ)值習(xí)題評(píng)卷人 得分一 選擇題(共14小題)1 可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是該函數(shù)在這點(diǎn)取極值的()A. 充分條件B.必要條件C.充要條件D.必要非充分條件2 .函數(shù) y=1+3x- x3 有()A.極小值-1,極大值3 B.極小值-2,極大值3C極小值-1,極大值1D.極小值-2,極大值23. 函數(shù)f(x) =x3+aX - 3x- 9,已知f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為X1, x2,則X1X2=()A. 9 B.- 9 C. 1 D.- 14. 函數(shù)產(chǎn)丄竺的最大值為()xA. B. e2 C. e D. e 15 .已知a為函數(shù)f (x) =x3 - 12x的極小

2、值點(diǎn)，貝U a=()A.- 4 B.- 2 C. 4 D. 26. 已知函數(shù)yrp-Bx+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c=()A.- 2 或 2 B.- 9 或 3 C. - 1 或 1 D.- 3 或 17. 設(shè)函數(shù)f (x) =乂譽(yù)，則()A. x=1為f (x)的極大值點(diǎn)B. x=1為f (x)的極小值點(diǎn)C. x=- 1為f (x)的極大值點(diǎn) D. x=- 1為f (x)的極小值點(diǎn)8. 函數(shù)y=x3- 2ax+a在(0, 1)內(nèi)有極小值，貝U實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. (0, 3) B. (0,十)C. (0, +7D. (-X, 3)9. 已知函數(shù)f (x) =x3+ax2+bx+

3、sf在x=1處有極值10,則f (2)等于()A. 11 或 18 B. 11 C. 18 D. 17 或 1810. 設(shè)三次函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),函數(shù)y=xf (x)的圖象的一部分如圖 所示，則正確的是()A. f (x)的極大值為I _，極小值為I 、幾-B. f (x)的極大值為I _，極小值為IC. f (x)的極大值為f (- 3),極小值為f (3)D. f (x)的極大值為f (3),極小值為f ( - 3)11 .若f (x) =x3+2ax2+3 (a+2) x+1有極大值和極小值，則a的取值范圍是()A.- av av 2 B. a 2 或 av 1 C. a

4、2 或 a 1 或 av 212. 函數(shù)y=xe x, x 0, 4的最小值為()A 0 B.C. ： D.-13. 函數(shù)yrQx3 - 3 -12x+5在區(qū)間0, 3上最大值與最小值分別是()A. 5,- 15 B. 5,- 4 C.- 4,- 15 D. 5,- 1614. 已知f (x) =2x3- 6x2+m ( m為常數(shù))在-2, 2上有最大值3,那么此函數(shù)在-2, 2上的最小值是()A.- 37 B.- 29C.- 5 D.以上都不對(duì)評(píng)卷人 得分二.填空題(共10小題)15 .函數(shù)f (x) =x3 - 3x2+1的極小值點(diǎn)為.16. 已知 f (x) =x3 - ax2 - bx

5、+a2,當(dāng) x=1 時(shí)，有極值 10,則 a+b .17. 已知函數(shù)f (x) =x (x-c) 2在x=2處有極大值，則c=.18. 已知函數(shù)f (x) =x3+3a+3 (a+2) x+1既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是.19. 已知函數(shù)f (x) =x3+m+ (m+6) x+1既存在極大值又存在極小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是20. 已知函數(shù)f (x) =4x (x0, a 0)在x=3時(shí)取得最小值，則a=.x21. f (x) =x3- 3x2+2在區(qū)間-1, 1上的最大值是.22. 已知函數(shù)f (x) =x3 - 12x+8在區(qū)間-3, 3上的最大值與最小值分別為 M ,

6、m,貝U M - m=.23. 設(shè) f (x) =x3 2x+5，當(dāng) x - 1, 2時(shí)，f (x)v m 恒成立，則實(shí)數(shù) m 的 取值范圍為.24. f (x) =a - 3x+1 對(duì)于 x - 1, 1總有 f (x) 0 成立，則 a=.評(píng)卷人 得分三.解答題(共10小題)25. 已知函數(shù) f (x) =ax3+x2+bx (其中常數(shù) a, b R), g (x) =f (x) +f (x)是 奇函數(shù).(1) 求f (x)的表達(dá)式；(2) 討論g (x)的單調(diào)性，并求g (x)在區(qū)間1 , 2上的最大值和最小值.26. 已知函數(shù) f (x) =ln (1+x)- x, g (x) =xl

7、nx.(I )求函數(shù)f (x)的最大值；(U )設(shè) 0vav b,證明 0v g (a) +g (b) - 2g () bx- 2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.28. 已知函數(shù) f (x) =xlnx.(I )求f (x)的最小值；(n )若對(duì)所有x 1都有f (x) ax - 1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.29. 已知函數(shù) f (x) = (x-2) ex.(1) 求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 求f (x)在區(qū)間0, 2上的最小值和最大值.30. 已知函數(shù)f (x) =ax3- 6a+b (x - 1, 2)的最大值為3,最小值為-29,求a、b的值.31. 求函數(shù)f (x) =x3- 2x2+5

8、在區(qū)間-2, 2的最大值和最小值.32. 已知函數(shù) f (x) =lnx-2(I )求函數(shù)f (x)的單調(diào)增區(qū)間；(n )證明；當(dāng) x 1 時(shí)，f (x)v x - 1 ；時(shí)，恒有(川)確定實(shí)數(shù)k的所有可能取值，使得存在 xo 1,當(dāng)x( 1, xo) f (x)k (x- 1).33. 設(shè)函數(shù) f (x) =1+ (1+a) x- x2- x3,其中 a0.(I )討論f (x)在其定義域上的單調(diào)性；(n)當(dāng)x 0, 1時(shí)，求f (x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值.34. 已知函數(shù) f (x)滿足 f (x) =f( 1) ex-1 - f (0)(1)求f (x)的解析式及單調(diào)區(qū)間;(2)

9、右F&)十且好b，求(a+1) b的最大值.導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性極值最基礎(chǔ)值習(xí)題參考答案與試題解析一選擇題(共 14 小題)1 可導(dǎo)函數(shù)y=f (x)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是該函數(shù)在這點(diǎn)取極值的()A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.必要非充分條件【分析】結(jié)合極值的定義可知必要性成立，而充分性中除了要求 f(xo) =0外， 還的要求在兩側(cè)有單調(diào)性的改變(或?qū)Ш瘮?shù)有正負(fù)變化) ，通過(guò)反例可知充分性 不成立.【解答】解：如y=x3, y =3x y|x=o=O,但x=0不是函數(shù)的極值點(diǎn).若函數(shù)在xo取得極值，由定義可知f (xo) =0,所以f(xo) =0是xo為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)的必要不充分

10、條件故選： D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)取得極值的條件：函數(shù)在 xo處取得極值f(xo) =0, 且 f( XV xo) f( x xo)v 02 .函數(shù) y=1+3x- x3 有()A.極小值-1,極大值3 B.極小值-2,極大值3C極小值-1,極大值1 D.極小值-2,極大值2【分析】利用導(dǎo)數(shù)工具去解決該函數(shù)極值的求解問(wèn)題, 關(guān)鍵要利用導(dǎo)數(shù)將原函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間找出來(lái),即可確定出在哪個(gè)點(diǎn)處取得極值,進(jìn)而得到答案.【解答】解：I y=1+3x- x3,二 y =3 3x2,由 y =3 3x20,得1Vxv 1,由 y =33x2v0,得 xv- 1,或 x 1,函數(shù) y=1+3x- x3 的

11、增區(qū)間是(-1, 1),減區(qū)間是(-X,- 1), (1, +x). 函數(shù) y=1+3x- x3在 x=- 1 處有極小值 f ( - 1) =1 - 3-( - 1) 3=- 1, 函數(shù) y=1+3x- x3 在 x=1 處有極大值 f (1) =1+3- 13=3.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】利用導(dǎo)數(shù)工具求該函數(shù)的極值是解決該題的關(guān)鍵， 要先確定出導(dǎo)函數(shù)大 于0時(shí)的實(shí)數(shù)x的范圍，再討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)極值的判斷方法求出該 函數(shù)的極值，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具作用3. 函數(shù)f(x) =x3+aX - 3x- 9，已知f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為xi, x2，則xix?=()A. 9 B.- 9 C. 1 D.

12、- 1【分析】本題的函數(shù)為三次多項(xiàng)式函數(shù)，若三次多項(xiàng)式函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，說(shuō)明 它的導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的根求解，用韋達(dá)定理可得X1X2= - 1【解答】解：由f (x) =x3+ax2 - 3x- 9得，f(x) =3x2+2ax- 3f( x) =0的兩根為X1, x2就是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)f亠 2a x 1十工刁二匸一根據(jù)韋達(dá)定理，得-123X 1 X 2 二 _1故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)工具討論函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值點(diǎn).一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的又一個(gè)亮點(diǎn).4. 函數(shù)尸丄竺的最大值為()彈A. B. e2 C. e D. e-1【分析

13、】利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，注意函數(shù)的定義域，極大值在本題中也是最大值；【解答】解：函數(shù)，(x0)xy(=，令 y( =0 得 x=e，當(dāng)xe時(shí)，yv 0，f (x)為減函數(shù)，當(dāng)0vxv e時(shí)，y 0，f (x)為增函數(shù)， f (x)在x=e處取極大值，也是最大值，二y最大值為f (e) =e，故選： D【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取極值的條件， 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題， 是一道基礎(chǔ)題；5 已知a為函數(shù)f (x) =x3 - 12x的極小值點(diǎn)，貝U a=()A.- 4 B.- 2 C. 4 D. 2【分析】可求導(dǎo)數(shù)得到f(x) =3- 12,可通過(guò)判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)從而得出f(x)的 極小值點(diǎn)，從而得

14、出a的值.【解答】解：f(x) =3*- 12;二 xv 2 時(shí)，f (x) 0,- 2vxv 2 時(shí)，f (x)v 0, x2 時(shí)，f (x)0; x=2是f (x)的極小值點(diǎn)；又a為f (x)的極小值點(diǎn)； a=2.故選： D.【點(diǎn)評(píng)】考查函數(shù)極小值點(diǎn)的定義， 以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)極值點(diǎn)的方法及 過(guò)程，要熟悉二次函數(shù)的圖象.6. 已知函數(shù)yrl-Bx+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c=()A.- 2 或 2 B.- 9 或 3 C.- 1 或 1 D.- 3 或 1【分析】求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性， 確定函數(shù)的極值點(diǎn)， 利用函數(shù) y=x3- 3x+c 的圖象與 x 軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，

15、可得極大值等于 0 或極小值等于 0，由此可求 c 的值.【解答】解：求導(dǎo)函數(shù)可得y =(x+1) (x- 1)，令 y0，可得 x 1 或 xv - 1；令 yv 0，可得-1 vxv 1 ；函數(shù)在(-x，- 1)，(1，+x)上單調(diào)增，(-1，1) 上單調(diào)減， 函數(shù)在 x=- 1 處取得極大值，在 x=1 處取得極小值.函數(shù)y=-3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，極大值等于 0 或極小值等于 0.1 - 3+c=0或-1+3+c=0, c=- 2 或 2.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，解題的關(guān)鍵是利 用極大值等于0或極小值等于0.7. 設(shè)函數(shù) f (x

16、) =xex，則()A. x=1為f (x)的極大值點(diǎn) B. x=1為f (x)的極小值點(diǎn)C. x=- 1為f (x)的極大值點(diǎn) D. x=- 1為f (x)的極小值點(diǎn)【分析】由題意，可先求出f(x) = (x+1) ex,利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出x=- 1為f (x)的極小值點(diǎn)【解答】解：由于f (x) =xex，可得f(x) = (x+1) ex，令 f (x) = (x+1) ex=0 可得 x=- 1令f (x) = (x+1) ex0可得x- 1，即函數(shù)在(-1，+x)上是增函數(shù)令f (x) = (x+1) exv0可得xv- 1，即函數(shù)在(-x，- 1) 上是減函數(shù)所以

17、x=- 1為f (x)的極小值點(diǎn)故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值， 解題的關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)數(shù)及掌握 求極值的步驟，本題是基礎(chǔ)題，8. 函數(shù)y=x3- 2ax+a在(0，1)內(nèi)有極小值，貝U實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. (0, 3) B. (0, J C. (0, +x)D. (-x，3)【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，函數(shù)在(0, 1)內(nèi)有極小值，得到導(dǎo)函數(shù)等于 0時(shí)，求 出x的值，這個(gè)值就是函數(shù)的極小值點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)在(0, 1) 上,求出a的值.【解答】解：根據(jù)題意，y=3x2-2a=0有極小值則方程有解a 0x=所以x=是極小值點(diǎn)所以0vv 1Ovv 1Ov a=3 當(dāng)耳二-3時(shí)，(

18、x) =3(x- 1) 20,二在x=1處不存在極值；lb=3 當(dāng)時(shí)，f(x) =3x2+8x- 11= (3x+11) (x- 1)lb二11 x( ，1)，f( x) 0，符合題意.，二 f (2) =8+16- 22+16=18.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)為0時(shí)取到函數(shù)的極值的問(wèn)題，這里多注意聯(lián)立方程 組求未知數(shù)的思想，本題要注意f( x0) =0是x=x)是極值點(diǎn)的必要不充分條件， 因此對(duì)于解得的結(jié)果要檢驗(yàn).10. 設(shè)三次函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)為f (x),函數(shù)y=xf (x)的圖象的一部分如圖 所示，則正確的是()A. f (x)的極大值為l -，極小值為I d|B. f (

19、x)的極大值為I _，極小值為IC. f (x)的極大值為f (- 3),極小值為f (3)D. f (x)的極大值為f (3),極小值為f ( - 3)【分析】觀察圖象知，xv- 3時(shí)，f(x)v0.- 3vxv0時(shí)，f(x)0.由此 知極小值為f (-3). 0v xv 3時(shí)，yf( x) 0. x 3時(shí)，f( x)v 0.由此知極 大值為f (3).【解答】解：觀察圖象知，xv- 3時(shí)，y=xf( x) 0，f (x)v 0.-3v xv 0 時(shí)，y=xf (x)v 0， f( x) 0.由此知極小值為f (- 3).0vxv3 時(shí)，y=xf (x) 0， f( x) 0.x3 時(shí)，y=

20、xf (x)v 0， f (x)v 0.由此知極大值為f (3).故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查極值的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要仔細(xì)圖象，注意數(shù)形結(jié)合思想的 合理運(yùn)用.11 .若f ( x) =x3+2ax2+3 ( a+2) x+1有極大值和極小值，則a的取值范圍是()A.- av av 2 B. a 2 或 av- 1 C. a 2 或 a 1 或 av- 2【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的極值是導(dǎo)函數(shù)的根， 且根左右兩邊的導(dǎo) 函數(shù)符號(hào)不同得到 0;解出a的范圍.【解答】解：f(x) =3*+4ax+3 (a+2) f (x)有極大值和極小值 =16a2-36 (a+2)0解得a2或av- 1故

21、選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)的根，且根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)需不同.12.函數(shù)y=xe x, x 0, 4的最小值為()【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)f(x),由f(x)0和f(x)v0,求出x的取值范圍， 得出函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值.【解答】解；,e當(dāng) x 0, 1)時(shí)，f( x) 0, f (x)單調(diào)遞增，當(dāng) x( 1, 4時(shí)，f( x)v 0,f (x)單調(diào)遞減，T f (0) =0,玖4二令0,二當(dāng) x=0 時(shí)，f (x)有最小值，且 f (0) =0.e故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最值，屬于基礎(chǔ) 題.13.函數(shù)y=2x3

22、 - 3x2 -12x+5在區(qū)間0, 3上最大值與最小值分別是()A. 5,- 15 B. 5,- 4 C.- 4,- 15 D. 5,- 16【分析】對(duì)函數(shù)y=2x3- 3x2- 12x+5求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間0 , 3上的單 調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的變化規(guī)律確定函數(shù)在區(qū)間0, 3上最大值與最小值位置，求值 即可【解答】解：由題意y=6x2- 6x- 12令y0,解得x2或xv- 1故函數(shù)y=2l-3/- 12x+5在(0, 2)減，在(2, 3)上增又 y (0) =5, y (2) =- 15, y (3) =-4故函數(shù)y=2-3x2- 12x+5在區(qū)間0, 3上最大值與最小值分別是5,

23、- 15 故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，利用單 調(diào)性研究函數(shù)的最值，是導(dǎo)數(shù)的重要運(yùn)用，注意上類題的解題規(guī)律與解題步驟.14.已知f (x) =2x- 6x2+m ( m為常數(shù))在-2, 2上有最大值3,那么此函數(shù) 在-2, 2上的最小值是()A.- 37B.- 29C.- 5 D.以上都不對(duì)【分析】先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)單調(diào)性研究函數(shù)的極值點(diǎn)，在開(kāi)區(qū)間(-2, 2) 上只有一極大值則就是最大值，從而求出 m,通過(guò)比較兩個(gè)端點(diǎn)-2和2的函數(shù)值的大 小從而確定出最小值，得到結(jié)論.【解答】解： f(x) =6x2 - 12x=6x (x- 2), f (x)在(-

24、2, 0)上為增函數(shù)，在(0, 2) 上為減函數(shù)，當(dāng) x=0 時(shí)，f( x) =m 最大，m=3,從而 f (- 2) =-37, f (2) =-5.最小值為-37.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間 a, b上 的最大值與最小值是通過(guò)比較函數(shù)在(a, b )內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù) f ( a), f(b)比較而得到的，屬于基礎(chǔ)題.二.填空題(共10小題)15 .函數(shù)f (x) =x3 - 3x2+1的極小值點(diǎn)為2【分析】首先求導(dǎo)可得f(x) =3-6x,解3x2- 6x=0可得其根，再判斷導(dǎo)函數(shù) 的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可得到極小值點(diǎn).【解答】解：f(

25、x) =3- 6x令 f (x) =3- 6x=0 得 X1=0, x?=2且 x(-x, o)時(shí)，f( x) 0；x(0, 2)時(shí),f (x)V 0;x( 2, +x)時(shí),f (x) 0故f (x)在x=2出取得極小值.故答案為2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的極值問(wèn)題，屬基礎(chǔ)知識(shí)的考查.熟練掌握導(dǎo)數(shù)法求極值 的方法步驟是解答的關(guān)鍵.16. 已知 f (x) =x3 - ax2 - bx+a2,當(dāng) x=1 時(shí)，有極值 10,則 a+b= 7.【分析】求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f (x) =x3 - ax2 - bx+a2，當(dāng)x=1時(shí)，有極值10,建 立方程組，求得a, b的值，再驗(yàn)證，即可得到結(jié)論.【解答】

26、解：函數(shù)f (x) =x3 - ax2 - bx+否 f (x) =3x2 - 2ax- b,又函數(shù) f (x) =x3- ax2 - bx+a2，當(dāng) x=1 時(shí)，有極值 10,a=-4b=ll時(shí),擊3|b=-3 a+b=7時(shí),牢-4b二 11f a=3f (x) =3x2 - 2ax- b= (x- 1) (3x+11) =0 有不等的實(shí)根，滿足題意;f (x) =3-2ax- b=3 (x- 1) 2=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，不滿足題意;故答案為:【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬 于基礎(chǔ)題.17. 已知函數(shù)f (x) =x (x- c) 2在x=2處有極大

27、值，則c= 6.【分析】由已知函數(shù)f (x) =x (x- c) 2在x=2處有極大值，則必有f(2) =0, 且在x=2的兩側(cè)異號(hào)即可得出.【解答】解： f(x) = (x- c) 2+2x (x- c) =3/- 4cx+W,且函數(shù) f (x) =x (x -c) 2在x=2處有極大值， f ( 2) =0, 即卩 c2 - 8c+12=0,解得 c=6 或 2.經(jīng)檢驗(yàn)c=2時(shí)，函數(shù)f (x)在x=2處取得極小值，不符合題意，應(yīng)舍去.故 c=6.故答案為6.【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的方法是解題的關(guān)鍵.18. 已知函數(shù)f (x) =x3+3aX+3 (a+2) x+1既有極大值

28、又有極小值，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是(-0- 1)U( 2, +x).【分析】先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f (x) =x3+3ax2+3 (a+2) x+1既有極大值 又有極小值，可以得到 0,進(jìn)而可解出a的范圍.【解答】 解：T f (x) =x3+3ax+3 (a+2) x+1： f (x) =3x2+6ax+3 (a+2)函數(shù)f (x) =x3+3ax2+3 (a+2) x+1既有極大值又有極小值 = (6a) 2 -4 x 3X 3 (a+2) 0 a 2 或 av- 1故答案為：(-0,- 1)U( 2, +0)【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件.屬基礎(chǔ)題.19. 已知函數(shù)f

29、 (x) =x3+m+ (m+6) x+1既存在極大值又存在極小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 mv- 3或m 6.【分析】求出函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)已知條件，導(dǎo)函數(shù)必有兩個(gè)不相等的實(shí) 數(shù)根，只須令導(dǎo)函數(shù)的判別式大于 0,求出m的范圍即可.【解答】解：T函數(shù)f (x) =x3+mx2+ (m+6) x+1既存在極大值，又存在極小值f(x) =3x2+2mx+m+6=Q它有兩個(gè)不相等的實(shí)根， =4m2- 12 (m+6) 0解得mv - 3或m6故答案為：mv- 3或m 6.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件.導(dǎo)數(shù)的引入，為研究高次函數(shù)的極值與最值帶來(lái)了方便.20. 已知函數(shù)f (x

30、) =4x+ (x0, a0)在x=3時(shí)取得最小值，則a= 36.【分析】由題設(shè)函數(shù)fQX血0Q)在x=3時(shí)取得最小值，可得f (3)=0,解此方程即可得出a的值.【解答】解：由題設(shè)函數(shù)-r,:-.-r. .-在x=3時(shí)取得最小值， x( 0, +x),得x=3必定是函數(shù)二q計(jì)皀上0, a0)的極值點(diǎn)，-(3) =0,f (x) =4,x 即4-話=, 解得a=36.故答案為：36.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，解題的關(guān)鍵是理解 函數(shù)在x=3時(shí)取得最小值”，將其轉(zhuǎn)化為x=3處的導(dǎo)數(shù)為0等量關(guān)系.21. f (x)=疋-3x2+2在區(qū)間-1, 1上的最大值是 2 .

31、【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為 0,求出根，判斷根是否在定義域內(nèi), 判斷根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，求出最值.【解答】解：f (x) =3- 6x=3x (x 2)令 f (x) =0 得 x=0 或 x=2 (舍)當(dāng)1vXV0 時(shí)，f (x)0；當(dāng) 0vXV1 時(shí)，f(x)v 0所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值所以f (x)的最大值為2故答案為2【點(diǎn)評(píng)】求函數(shù)的最值，一般先求出函數(shù)的極值，再求出區(qū)間的端點(diǎn)值，選出最 值.22已知函數(shù)f (x) =x - 12x+8在區(qū)間-3, 3上的最大值與最小值分別為 M , m,貝U M - m= 32.【分析】先對(duì)函數(shù)f (x)進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函

32、數(shù)等于0求出x,然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的 正負(fù)判斷函數(shù)f (x)的單調(diào)性，列出在區(qū)間-3, 3上f (x)的單調(diào)性、導(dǎo)函數(shù) f (x)的正負(fù)的表格，從而可確定最值得到答案.【解答】解：令f( x) =3x2- 12=0，得x=- 2或x=2,歹y表得：x-3(-3，-2)-2(-2, 22)(2, 3)3f ( x)+0- 0+f ( x)17極值F極值-1248可知 M=24, m=- 8,二 M - m=32.故答案為：32【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算、函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的 關(guān)系和函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.導(dǎo)數(shù)是由高等數(shù)學(xué)下放到高中的內(nèi)容，每年必考, 要引起重視.23. 設(shè) f (

33、x) =x3 2x+5，當(dāng) x - 1, 2時(shí)，f (x)v m 恒成立，則實(shí)數(shù) m 的 取值范圍為(7, +呵.【分析】先求導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性研究函數(shù)的極值點(diǎn)，通過(guò)比較極值與端 點(diǎn)的大小從而確定出最大值，進(jìn)而求出變量 m的范圍.【解答】解：f(x) =3*-x- 2=0解得：x=1或-善當(dāng) x犁)時(shí)，f (x) 0,J當(dāng) x冷，1)時(shí)，f (x)V 0,當(dāng) x( 1, 2)時(shí)，f (x) 0,-f (x) max=f ()， f ( 2) max=7由 f (x)v m 恒成立，所以 mfmax (x) =7. 故答案為：(7, +x)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求

34、函數(shù)在閉區(qū)間 a, b上 的最大值與最小值是通過(guò)比較函數(shù)在(a, b )內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù) f ( a), f(b)比較而得到的，屬于基礎(chǔ)題.24. f (x) =a - 3x+1 對(duì)于 x - 1, 1總有 f (x) 0 成立，則 a= 4.【分析】這類不等式在某個(gè)區(qū)間上恒成立的問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問(wèn)題，本題要分三類：x=0,x0，xv 0等三種情形當(dāng)x=0時(shí)，不論a取何值， f (x) 0都成立；當(dāng)x 0時(shí)有a，可構(gòu)造函數(shù)g (X)= I ,然后X IK M利用導(dǎo)數(shù)求g (x)的最大值，只需要使ag (x) max，同理可得xv0時(shí)的a的 范圍，從而可得a的值.【解答】解： 若x

35、=0，則不論a取何值，f (x) 0都成立； 當(dāng) x0，即 x( 0， 1時(shí)，f (x) =ax3- 3x+1 0 可化為：a 設(shè) g (x) =：、則 g(x)，M 5CI所以g (x)在區(qū)間(0，上單調(diào)遞增，在區(qū)間 直，1上單調(diào)遞減，因此g (x) 當(dāng) xv0，即 x - 1，0)時(shí)，f (x) rax3 3x+1 0 可化為：aw ” ，X Ig (x)-在區(qū)間-1, 0)上單調(diào)遞增，X X因此 g (x) min=g (- 1) =4，從而 a 0 求得增 J區(qū)間，由g (x) 0求得減區(qū)間；求最值時(shí)從極值和端點(diǎn)值中取.【解答】解：(1)由題意得f (x) =3af+2x+b因此 g

36、(x) =f (x) +f (x) =ax3+ (3a+1) x2+ (b+2) x+b因?yàn)楹瘮?shù)g (X)是奇函數(shù)，所以g (-x) =-g (x)，即對(duì)任意實(shí)數(shù) x，有 a (- x) 3+ (3a+1) (- x) 2+ (b+2) (- x) +b=- ax3+ (3a+1) x2+ (b+2) x+b從而 3a+1=0, b=0，解得b=0，因此f (x)的解析表達(dá)式為fd二一F十JJ(2)由(I )知血)=號(hào)沁，所以 g (x) =- x2+2，令 g (x) =0解得.j -.:.:則當(dāng). :時(shí)，g (x)v 0從而g (x)在區(qū)間(心，一邁，近，+00)上是減函數(shù)，當(dāng)1 ，從而g

37、 (x)在區(qū)間|U d上是增函數(shù)，由前面討論知，g (x)在區(qū)間1，2上的最大值與最小值只能在:時(shí)取得，而(1)=，答(近)占各味冷，因此g (x)在區(qū)間1，2上的最大值為邕皈工辱，最小值為呂二斗.JO【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查構(gòu)造新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的最值.26. 已知函數(shù) f (x) =ln (1+x)- x，g (x) =xlnx.(I )求函數(shù)f (x)的最大值；(U)設(shè) Ovav b,證明 Ov g (a) +g (b) - 2g ()( b - a) ln2.【分析】(1)先求出函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求

38、出最大值.(2)先將a，b代入函數(shù)g (x)得到g (a) +g (b)- 2g ()的表達(dá)式后進(jìn)行整理，根據(jù)(1)可得到Inxvx,將_2ba+bn 2b 、.b-a1專才2a放縮變形為丄代入即可得到左邊不等式成立，再用2a . a+b根據(jù)y=lnx的單調(diào)性進(jìn)行放縮.然后整理即可證明不等式右邊成立.【解答】(I )解：函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?-1，+x).-I .令 f( x) =0，解得 x=0.L+工當(dāng)-1 x 0,當(dāng) x 0 時(shí)，f( x) 0.又 f( 0) =0, 故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f (x)取得最大值，最大值為0.(U )證明: -3_二二-|-上 I -I : :_P缶皿誓

39、.由(I )結(jié)論知 In (1+x)- x- 1，且 xm0)，由題設(shè)心2a2b因此 ln= - In (1+)-，t 2b_ 門已-b所以卄a+b a+b 222江三a+bal-b 2balkl 2b al：十.=(b - a) ln bx- 2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【分析】(I )求出f (2),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，即得曲 線在此點(diǎn)處的切線的斜率，然后用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程即可(n)令導(dǎo)數(shù)大于0解出增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0,解出函數(shù)的減區(qū)間，然后由極值判斷規(guī)則確定出極值即可.(川)由于f (x) bx- 2恒成立，得到在(0，+x)上恒成立,x 工構(gòu)造函數(shù) g ( x)

40、 =十二丄仝，b 0, 得 x 1, 列表：1(1, +x)0+0/x(0, 1)f( x)-f (x) 函數(shù)y=f (x)的極小值為f (1) =0；(川)依題意對(duì)x( 0, +x), f (x) bx - 2恒成立等價(jià)于x- 1 - lnxbx - 2在(0, +x)上恒成立可得在(0, +x)上恒成立，令g (x) =1丄二匕令 g(x) =0,得 x=g列表：g (x)g (x)(0, e2)e2二函數(shù)y=g (x)的最小值為0/根據(jù)題意，-.e【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查恒成立問(wèn)題，著重考查分類討論思想與構(gòu)造函數(shù)思想的應(yīng)用，體現(xiàn)綜合分析問(wèn)題與解決問(wèn)題能力，屬于中檔題.

41、28.已知函數(shù) f (x) =xlnx.(I )求f (x)的最小值；(n )若對(duì)所有x 1都有f (x) ax - 1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【分析】(1)先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可求出最小值.(2)將 f (x) ax- 1 在1, +x)上恒成立轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)于x 1，)恒成立，然后令，對(duì)函數(shù)g (X)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù) 可判斷其單調(diào)性進(jìn)而求出最小值，使得 a小于等于這個(gè)最小值即可.【解答】解：(I ) f (x)的定義域?yàn)?0, +x), f (x)的導(dǎo)數(shù)f (x) =1+lnx. 令f (x) 0,解得；令f (x)v 0,解得OVh

42、V丄.c從而f (X)在(0,丄)單調(diào)遞減，在 所以，當(dāng)時(shí)，f (X)取得最小值.(n)依題意，得f (x) ax- 1在1，+x)上恒成立,即不等式丄對(duì)于x 1，+x)恒成立.令百(兀)二1匚DC， 則Q (Q二丄丄(1丄).當(dāng)X 1時(shí),因?yàn)樨蜪故g (X)是1 , +x)上的增函數(shù)， 所以g (X)的最小值是g ( 1) =1 , 從而a的取值范圍是(-g,1.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系、 根據(jù)導(dǎo)數(shù)求 函數(shù)的最值 導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)下放到高中的內(nèi)容， 是每年必考的熱點(diǎn)問(wèn)題， 要給 予重視29已知函數(shù) f( X) =( X- 2) eX(1) 求f (x)的單調(diào)區(qū)

43、間；(2) 求f (x)在區(qū)間0, 2上的最小值和最大值.【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于 0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于 0，得減 區(qū)間；(2)由(1)可得f (x)在0, 1遞減，在(1, 2遞增，即有f (x)在x=1處取 得極小值,且為最小值,求得端點(diǎn)的函數(shù)值,比較即可得到最大值【解答】解：(1)函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)為f (x) = (x- 1) ex,由 f (x) 0,可得 x 1 ；由 f (x)v 0,可得 xv 1.則f (x)的增區(qū)間為(1, +g),減區(qū)間為(-g,1)；(2)由(1)可得f (x)在0, 1遞減，在(1, 2遞增，即有f (X)在x=1處取得極小值，且

44、為最小值，且為 f (1) =-e,由 f( 0) =- 2, f( 2) =0,可得f (x)的最大值為f (2) =0.則f (x)的最小值為-e,最大值為0.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值,考查運(yùn)算能力,正確 求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.30已知函數(shù)f (x) =ax3- 6a+b (x - 1, 2)的最大值為3,最小值為-29, 求 a、b 的值.【分析】求出f(x) =0在-1, 2上的解，研究函數(shù)f (x)的增減性，函數(shù)的最 值應(yīng)該在極值點(diǎn)或者區(qū)間端點(diǎn)取,已知最大值為 3,最小值為- 29代入即可.【解答】解：函數(shù)f (x) =ax3- 6ax2+bf(x) =3aX

45、2- 12ax=3a (x2- 4x)令 f(x) =3ax2- 12ax=3a(x2- 4x) =0,顯然 a0,否則 f (x) =b 為常數(shù)，矛盾,x=0,若a0,列表如下：(7 0)0+0震丈值2由表可知，當(dāng)x=0時(shí)f (x)取得最大值 b=3又 f (0) =-29,則 f (2)vf (0),這不可能， f (2) =8a- 24a+3=- 16a+3=- 29,. a=2若av0,同理可得a=- 2, b=- 29故答案為：a=2, b=3 或 a=- 2, b=- 29【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在求最大值、最小值中的應(yīng)用，關(guān)鍵是對(duì)于閉區(qū)間 上的最值要注意函數(shù)的端點(diǎn)函數(shù)值，注意區(qū)

46、別理解函數(shù)的極值點(diǎn)一定不在函數(shù)端 點(diǎn)，而最值點(diǎn)可能在函數(shù)端點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.31. 求函數(shù)f (x) =x3 - 2x2+5在區(qū)間-2, 2的最大值和最小值.【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) f (x) =x- 2/+5在區(qū)間-2, 2 的單調(diào)性，再由單調(diào)性求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【解答】解：函數(shù)f (x) =x3 - 2x2+5的導(dǎo)函數(shù)是f (x) =x (3x- 4),令f (x) =0 得x=0或，如下表：04t00+-11謹(jǐn)増極撲值5柳卜值103275-ymax=5, ymin= 11【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并利用單調(diào)性確定函數(shù)的

47、最值，并求出.此是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)很重要的運(yùn)用.32. 已知函數(shù) f (x) =lnx-2(I )求函數(shù)f (x)的單調(diào)增區(qū)間；(n )證明；當(dāng) x 1 時(shí)，f (x)v x - 1 ；(川)確定實(shí)數(shù)k的所有可能取值，使得存在xo 1,當(dāng)x( 1, xo)時(shí)，恒有 f (x)k (x- 1).【分析】(I )求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0,可求函數(shù)f (x)的單調(diào)增區(qū)間；(n )令F (x) =f (x)-( x- 1),證明F (x)在1 , +x)上單調(diào)遞減，可得 結(jié)論；(川)分類討論，令G (x) =f (x)- k (x- 1) (x 0),利用函數(shù)的單調(diào)性，可 得實(shí)數(shù)k的所有可能取值.【解答】解：

48、(I ) f (x) =lnx -(X： ,二 f( x) J Ji 0 (x 0),X ov XV，函數(shù)f (x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,)；2(n )令 F (x) =f (x)-( x- 1),則 F (x)丄蘭一x當(dāng) x 1 時(shí)，F(xiàn) (x)v 0, F (x)在1, +x)上單調(diào)遞減， x 1 時(shí)，F(xiàn) (x)v F (1) =0,即當(dāng) x 1 時(shí)，f (x)v x- 1 ；(川)由(n)知，k=1時(shí)，不存在X0 1滿足題意；當(dāng) k 1 時(shí)，對(duì)于 x 1,有 f (x)v x- 1 v k (x- 1),則 f(x)v k (x- 1),從而不存在X0 1滿足題意；當(dāng) kv 1 時(shí)，令 G

49、(x) =f (x)- k (x- 1) (x0),則G( x)二 ( -k)旳=0,可得X1=v 0,x2出一-1,當(dāng)x( 1, X2)時(shí)，G (x) 0,故G (乂)在(1, x2)上單調(diào)遞增,從而 x( 1, X2)時(shí)，G (x) G (1) =0,即 f (x) k (X 1), 綜上，k的取值范圍為(-s,1).【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明， 正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵.33. 設(shè)函數(shù) f (x) =1+ (1+a) x-x2- x3，其中 a0.(I )討論f (x)在其定義域上的單調(diào)性；(U)當(dāng)x 0，1時(shí)，求f (x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值