《指數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)》教學(xué)案例--王紅榮

1、指數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)王紅榮一、 教學(xué)內(nèi)容分析根據(jù)我所任教的學(xué)生的實(shí)際情況，我將指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)劃分為兩節(jié) 課（探究圖象及其性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用），這是第一節(jié)課“探究圖象 及其性質(zhì)”。 指數(shù)函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)之一，作為常見(jiàn)函數(shù)，它不僅是今 后學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的基礎(chǔ)，同時(shí)在生活及生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，所 以指數(shù)函數(shù)應(yīng)重點(diǎn)研究。二、 學(xué)生學(xué)習(xí)況情分析指數(shù)函數(shù)是在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念，基本掌握了函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上 進(jìn)行研究的，是學(xué)生對(duì)函數(shù)概念及性質(zhì)的第一次應(yīng)用。教材在之前的學(xué)習(xí)中給出 了兩個(gè)實(shí)際例子（gdp 的增長(zhǎng)問(wèn)題和炭 14 的衰減問(wèn)題），已經(jīng)讓學(xué)生感受到指數(shù) 函數(shù)的實(shí)際

2、背景，但這兩個(gè)例子背景對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)有些陌生。本節(jié)課先設(shè)計(jì)一個(gè) 看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題，通過(guò)超出想象的結(jié)果來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的興趣和欲望。三、設(shè)計(jì)思想1. 函數(shù)及其圖象在高中數(shù)學(xué)中占有很重要的位置。如何突破這個(gè)即重要又 抽象的內(nèi)容，其實(shí)質(zhì)就是將抽象的符號(hào)語(yǔ)言與直觀的圖象語(yǔ)言有機(jī)的結(jié)合起來(lái)， 通過(guò)具有一定思考價(jià)值的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的求知欲望持久的好奇心。我們知 道，函數(shù)的表示法有三種：列表法、圖象法、解析法，以往的函數(shù)的學(xué)習(xí)大多只 關(guān)注到圖象的作用，這其實(shí)只是借助了圖象的直觀性，只是從一個(gè)角度看函數(shù)， 是片面的。本節(jié)課，力圖讓學(xué)生從不同的角度去研究函數(shù)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行一個(gè)全方 位的研究，并通過(guò)對(duì)比總結(jié)得到研究的

3、方法，讓學(xué)生去體會(huì)這種的研究方法,以 便能將其遷移到其他函數(shù)的研究中去。2. 結(jié)合參加我校組織的兩個(gè)課題對(duì)話反思選擇和新課程實(shí)施 中同伴合作和師生互動(dòng)研究的研究，在本課的教學(xué)中我努力實(shí)踐以下兩點(diǎn)：1. 在課堂活動(dòng)中通過(guò)同伴合作、自主探究培養(yǎng)學(xué)生積極主動(dòng)、勇于探索的 學(xué)習(xí)方式。2. 在教學(xué)過(guò)程中努力做到生生對(duì)話、師生對(duì)話，并且在對(duì)話之后重視體會(huì)、 總結(jié)、反思，力圖在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時(shí)讓學(xué)生掌握一些學(xué)習(xí)、研究 數(shù)學(xué)的方法。3.通過(guò)課堂教學(xué)活動(dòng)向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法。四、教學(xué)目標(biāo)根據(jù)任教班級(jí)學(xué)生的實(shí)際情況，本節(jié)課我確定的教學(xué)目標(biāo)是：理解指數(shù)函數(shù) 的概念，能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象；在理解指數(shù)

4、函數(shù)概念、性質(zhì)的基礎(chǔ)上，能 應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題；在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)類比，回顧歸納從圖象和 解析式這兩種不同角度研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)方法，加深對(duì)指數(shù)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，讓學(xué) 生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中感受數(shù)學(xué)思想方法之美、體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法之重要；同時(shí)通過(guò)本 節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生獲得研究函數(shù)的規(guī)律和方法；培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、合作交流 的意識(shí)。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)底數(shù)的分類，如何由圖象、解析式歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。 六、教學(xué)過(guò)程：（一）創(chuàng)設(shè)情景、提出問(wèn)題 (約 3 分鐘)師：如果讓 1 號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備 2 粒米，2 號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備 4 粒米，3 號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備 6 粒 米，4 號(hào)同

5、學(xué)準(zhǔn)備 8 粒米，5 號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備 10 粒米，按這樣的規(guī)律，51 號(hào)同 學(xué)該準(zhǔn)備多少米？學(xué)生回答后教師公布事先估算的數(shù)據(jù)：51 號(hào)同學(xué)該準(zhǔn)備 102 粒米，大約 5 克重。師：如果改成讓 1 號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備 2 粒米，2 號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備 4 粒米，3 號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備 8 粒米，4 號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備 16 粒米，5 號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備 32 粒米，按這樣的規(guī)律，51 號(hào)同學(xué)該準(zhǔn)備多少米？【學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生可能說(shuō)很多或能算出具體數(shù)目 】師：大家能否估計(jì)一下，51 號(hào)同學(xué)該準(zhǔn)備的米有多重？教師公布事先估算的數(shù)據(jù)：51 號(hào)同學(xué)所需準(zhǔn)備的大米約重 1.2 億噸。 師：1.2 億噸是一個(gè)什么概念？根據(jù) 2007 年 9 月 13 日

6、美國(guó)農(nóng)業(yè)部發(fā)布的最新數(shù)據(jù)顯示，20072008 年度我國(guó)大米產(chǎn)量預(yù)計(jì)為 1.27 億噸。這就是說(shuō) 51 號(hào) 同學(xué)所需準(zhǔn)備的大米相當(dāng)于 20072008 年度我國(guó)全年的大米產(chǎn)量！【 設(shè)計(jì)意圖：用一個(gè)看似簡(jiǎn)單的實(shí)例，為引出指數(shù)函數(shù)的概念做準(zhǔn)備；同 時(shí)通過(guò)與一次函數(shù)的對(duì)比讓學(xué)生感受指數(shù)函數(shù)的爆炸增長(zhǎng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知 的興趣和欲望?！吭谝陨蟽蓚€(gè)問(wèn)題中，每位同學(xué)所需準(zhǔn)備的米粒數(shù)用 y 表示，每位同學(xué)的座號(hào) 數(shù)用 x 表示， y 與 x 之間的關(guān)系分別是什么？學(xué)生很容易得出 y=2x（ x n*）和 y =2x（ x n*）【學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生可能會(huì)漏掉 x 的取值范圍，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考具體問(wèn)題 中 x

7、的范圍?！浚ǘ熒?dòng)、探究新知 1指數(shù)函數(shù)的定義*師：其實(shí)，在本章開(kāi)頭的問(wèn)題 2 中，也有一個(gè)與 y =2 （ x n, x 20 ）x類似的關(guān)系式 y =1.073x讓學(xué)生思考討論以下問(wèn)題（問(wèn)題逐個(gè)給出）：（約 3 分鐘） y =2x（ x n*）和 y =1.073x（ x n*, x 20 ）這兩個(gè)解析式有什么共同特征？2 它們能否構(gòu)成函數(shù)？3 是我們學(xué)過(guò)的哪個(gè)函數(shù)？如果不是，你能否根據(jù)該函數(shù)的特征給它起個(gè)恰 當(dāng)?shù)拿?？【設(shè)計(jì)意圖 ：引導(dǎo)學(xué)生從具體問(wèn)題、實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型。學(xué)生對(duì)比已經(jīng)學(xué)過(guò)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，發(fā)現(xiàn) y =2x， y =1.073x是一個(gè)新的函數(shù)模型，

8、再讓學(xué)生給這個(gè)新的函數(shù)命名，由此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。】 引導(dǎo)學(xué)生觀察，兩個(gè)函數(shù)中，底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是自變量。師：如果可以用字母 a 代替其中的底數(shù)，那么上述兩式就可以表示成 y =a 的形式。自變量在指數(shù)位置，所以我們把它稱作指數(shù)函數(shù)。讓學(xué)生討論并給出指數(shù)函數(shù)的定義。（約 6 分鐘）對(duì)于底數(shù)的分類，可將問(wèn)題分解為：x若 a p0 會(huì)有什么問(wèn)題？（如 a =-2， x = 不存在）12則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)值若會(huì)有什么問(wèn)題？（對(duì)于 x 0 ， a x 都無(wú)意義）若又會(huì)怎么樣？（無(wú)論取何值,它總是 1,對(duì)它沒(méi)有研究的必要.）師：為了避免上述各種情況的發(fā)生,所以規(guī)定且 .在這里要注意生生之間、師生

9、之間的對(duì)話?！緦W(xué)情預(yù)設(shè)： 若學(xué)生從教科書中已經(jīng)看到指數(shù)函數(shù)的定義，教師可以問(wèn)， 為什么要求 a f0，且a 1 ； a =1 為什么不行？若學(xué)生只給出 y =ax，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比一次函數(shù)k（ y =kx +b, k 0 ）、反比例函數(shù)（ y = , k 0 ）、二次函數(shù)x（ y =ax 2 +bx +c , a 0 ）中的限制條件， 思考指數(shù)函數(shù)中底數(shù)的限制條件。】 【設(shè)計(jì)意圖 ：對(duì)指數(shù)函數(shù)中底數(shù)限制條件的討論可以引導(dǎo)學(xué)生研究一個(gè)函數(shù)應(yīng)注意它的實(shí)際意義和研究?jī)r(jià)值；討論出 a f0，且a 1 ，也為下面研究性質(zhì)時(shí)對(duì)底數(shù)的分類做準(zhǔn)備?！拷酉聛?lái)教師可以問(wèn)學(xué)生是否明確了指數(shù)函數(shù)的定義，能否寫

10、出一兩個(gè)指數(shù)函數(shù)？教師也在黑板上寫出一些解析式讓學(xué)生判斷，如 y =2 3x，y =32 x，y =-2x?！緦W(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生可能只是關(guān)注指數(shù)是否是變量，而不考慮其它的?！?【設(shè)計(jì)意圖 ：加深學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)定義和呈現(xiàn)形式的理解?！?指數(shù)函數(shù)性質(zhì)提出兩個(gè)問(wèn)題（約 3 分鐘）目前研究函數(shù)一般可以包括哪些方面；【設(shè)計(jì)意圖 ：讓學(xué)生在研究指數(shù)函數(shù)時(shí)有明確的目標(biāo)：函數(shù)三個(gè)要素（對(duì) 應(yīng)法則、定義域、值域、）和函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性）?！垦芯亢瘮?shù)（比如今天的指數(shù)函數(shù)）可以怎么研究？用什么方法、從什么角 度研究？可以從圖象和解析式這兩個(gè)不同的角度進(jìn)行研究；可以從具體的函數(shù)入手 （即底數(shù)取一些數(shù)值）；當(dāng)然

11、也可以用列表法研究函數(shù)，只是今天我們所學(xué)的函 數(shù)用列表法不易得出此函數(shù)的性質(zhì)，可見(jiàn)具體問(wèn)題要選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)研究才能 事半功倍！還可以借助一些數(shù)學(xué)思想方法來(lái)思考?！驹O(shè)計(jì)意圖 ：讓學(xué)生知道圖象法不是研究函數(shù)的唯一方法，由此引導(dǎo)學(xué) 生可以從圖象和解析式 (包括列表)不同的角度對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究；對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法（從一般到特殊再到一般、數(shù)形結(jié)合、分類討 論）的有機(jī)滲透?！糠纸M活動(dòng)，合作學(xué)習(xí)（約 8 分鐘）師：好，下面我們就從圖象和解析式這兩個(gè)不同的角度對(duì)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行研究。 讓學(xué)生分為兩大組，一組從解析式的角度入手（不畫圖）研究指數(shù)函數(shù)，一組借助電腦通過(guò)幾何畫板的操作從圖象的角度入手研究指數(shù)函數(shù)；2

12、 每一大組再分為若干合作小組（建議 4 人一小組）；3 每組都將研究所得到的結(jié)論或成果寫出來(lái)以便交流?！緦W(xué)情預(yù)設(shè)：考慮到各組的水平可能有所不同，教師應(yīng)巡視，對(duì)個(gè)別組可 做適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)?！俊驹O(shè)計(jì)意圖 ：通過(guò)自主探索、合作學(xué)習(xí)不僅讓學(xué)生充當(dāng)學(xué)習(xí)的主人更可加 深對(duì)所得到結(jié)論的理解?！拷涣?、總結(jié)（約 1012 分鐘）師：下面我們開(kāi)一個(gè)成果展示會(huì)!教師在巡視過(guò)程中應(yīng)關(guān)注各組的研究情況，此時(shí)可選一些有代表性的小組上 臺(tái)展示研究成果，并對(duì)比從兩個(gè)角度入手研究的結(jié)果。教師可根據(jù)上課的實(shí)際情況對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、得出的結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)評(píng)或要求學(xué)生分析。這里除了研究定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性外，再引導(dǎo)學(xué)生注意是 否還有其

13、它性質(zhì)？師：各組在研究過(guò)程中除了定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性外是否還得到一些有價(jià)值的副產(chǎn)品呢？（如過(guò)定點(diǎn)（0，1）， y =ax1 與 y =( )ax的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱）【學(xué)情預(yù)設(shè)： 首先選一從解析式的角度研究的小組上臺(tái)匯報(bào)；對(duì)于從圖象的角度研究的，可先選沒(méi)對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類的小組上臺(tái)匯報(bào)； 問(wèn)其它小組有沒(méi)不同的看法，上臺(tái)補(bǔ)充，讓學(xué)生對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類，引導(dǎo)學(xué)生思考哪個(gè)量決定著指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以什么為分界，教師可以馬上通過(guò) 電腦操作看函數(shù)圖象的變化。】【設(shè)計(jì)意圖： 函數(shù)的表示法有三種：列表法、圖象法、解析法，通過(guò)這 個(gè)活動(dòng)，讓學(xué)生知道研究一個(gè)具體的函數(shù)可以也應(yīng)該從多個(gè)角度入手，從圖象 角度研究

14、只是能直觀的看出函數(shù)的一些性質(zhì)，而具體的性質(zhì)還是要通過(guò)對(duì)解析 式的論證；特別是定義域、值域更是可以直接從解析式中得到的。2 讓學(xué)生上臺(tái)匯報(bào)研究成果，讓學(xué)生有種成就感，同時(shí)還可訓(xùn)練其對(duì)數(shù)學(xué) 問(wèn)題的分析和表達(dá)能力，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)素養(yǎng)；3 對(duì)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)進(jìn)行分類是本課的一個(gè)難點(diǎn)，讓學(xué)生在討論中自己解 決分類問(wèn)題使該難點(diǎn)的突破顯得自然?！繋煟簭膱D象入手我們很容易看出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、以及過(guò)定點(diǎn)（0，1）， 但定義域、值域卻不可確定；從解析式（結(jié)合列表）可以很容易得出函數(shù)的定義 域、值域，但對(duì)底數(shù)的分類卻很難想到。教師通過(guò)幾何畫板中改變參數(shù) a 的值，追蹤 y =a 讓全體學(xué)生進(jìn)一步觀察指數(shù)函數(shù)的變化

15、規(guī)律。x的圖象，在變化過(guò)程中，師生共同總結(jié)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，教師可以邊總結(jié)邊板書。圖象定義域值 域性0a1r過(guò)定點(diǎn)（0，1）質(zhì)非奇非偶在 r 上是減函數(shù)（三）鞏固訓(xùn)練、提升總結(jié) （約 8 分鐘）在 r 上是增函數(shù)1例：已知指數(shù)函數(shù) f ( x) =ax( a f0, 且a 1) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (3,p) ，求f (0), f (1), f ( -3) 的值。解：因?yàn)?f ( x) =a x 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (3,p) ，所以 f (3) =p即 a3=p，解得 a =p13，于是 f (3) =px3 。所以 f (0) =1, f (1) =3 p, f ( -3) =1p?！驹O(shè)計(jì)意圖：通

16、過(guò)本題加深學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的理解?！繋煟焊鶕?jù)本題，你能說(shuō)出確定一個(gè)指數(shù)函數(shù)需要什么條件嗎？師：從方程思想來(lái)看，求指數(shù)函數(shù)就是確定底數(shù)，因此只要一個(gè)條件， 即布列一個(gè)方程就可以了。【 設(shè)計(jì)意圖 ：讓學(xué)生明確底數(shù)是確定指數(shù)函數(shù)的要素，同時(shí)向?qū)W生滲 透方程的思想?！?1 練習(xí)：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出 y =3 x 和 y =( ) x 的大致圖象，3并說(shuō)出這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)；求下列函數(shù)的定義域： y =2x -21 ， y =( )21x。3師：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)指數(shù)函數(shù)有什么認(rèn)識(shí)？你有什么收獲？【 學(xué)情預(yù)設(shè) ：學(xué)生可能只是把指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)一下，教師要引導(dǎo) 學(xué)生談?wù)剬?duì)函數(shù)研究的學(xué)習(xí)，即怎么研

17、究一個(gè)函數(shù)?！俊驹O(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生再一次復(fù)習(xí)對(duì)函數(shù)的研究方法（可以從也應(yīng)該 從多個(gè)角度進(jìn)行），讓學(xué)生體會(huì)本課的研究方法 , 以便能將其遷移到其他函 數(shù)的研究中去。2 總結(jié)本節(jié)課中所用到的數(shù)學(xué)思想方法。2 強(qiáng)調(diào)各種研究數(shù)學(xué)的方法之間有區(qū)別又有聯(lián)系，相互作用，才能融 會(huì)貫通。 】4作業(yè)：課本 59 頁(yè)習(xí)題 21a 組第 5 題。七、教學(xué)反思1本節(jié)課改變了以往常見(jiàn)的函數(shù)研究方法，讓學(xué)生從不同的角度去研究函 數(shù)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行一個(gè)全方位的研究，不僅僅是通過(guò)對(duì)比總結(jié)得到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)， 更重要的是讓學(xué)生體會(huì)到對(duì)函數(shù)的研究方法 ,以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究y =2xky =kx +b, k 0y = , k

18、 0xy =ax+bx +c , a 0中去，教師可以真正做到“授之以漁”而非“授之以魚”。2 教學(xué)中借助信息技術(shù)可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)在直觀感、立體感和動(dòng)態(tài)感方面 的不足，可以很容易的化解教學(xué)難點(diǎn)、突破教學(xué)重點(diǎn)、提高課堂效率，本課使用 幾何畫板可以動(dòng)態(tài)地演示出指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，讓學(xué)生直觀觀察底數(shù)對(duì) 指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響。3 在教學(xué)過(guò)程中不斷向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在活動(dòng)中感受數(shù)學(xué) 思想方法之美、體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法之重要，部分學(xué)生還能自覺(jué)得運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思 想方法去分析、思考問(wèn)題。自評(píng)：本節(jié)是指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)概念課，在教學(xué)設(shè)計(jì)中以學(xué)生為主 體，注重學(xué)法指導(dǎo)，重視新舊知識(shí)的契合，關(guān)注知識(shí)的類比，學(xué) 習(xí)方法的遷移。將娛樂(lè)“計(jì)算米?！迸c數(shù)學(xué)有機(jī)地結(jié)合在一起，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)的興