彈性力學(xué)習(xí)題

1、1-3五個基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時有什么用途?答：1、連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量就可以看成是連續(xù)的，因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時就可以用坐標(biāo)的 連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。2、完全彈性假定：引用這一完全彈性的假定還包含形變與形變引起的正應(yīng) 力成正比的含義，亦即二者成線性的關(guān)系，符合胡克定律，從而使物理方程 成為線性的方程。3、均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點(diǎn)的物理性質(zhì)顯然都是相同的。因此，反映這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量E和泊松比卩等） 就不隨位置坐標(biāo)而變化。4、各向同性假定：所謂 各向同性”是指物體的物理性質(zhì)在各個方向上都是 相

2、同的。進(jìn)一步地說，就是物體的彈性常數(shù)也不隨方向而變化。5、小變形假定：我們研究物體受力后的平衡問題時，不用考慮物體尺寸的 改變而仍然按照原來的尺寸和形狀進(jìn)行計算。同時，在研究物體的變形和位 移時，可以將他們的二次幕或乘積略去不計，使得彈性力學(xué)中的微分方程都 簡化為線性微分方程。在上述假定下，彈性力學(xué)問題都化為線性問題，從而可以應(yīng)用疊加原理。2-1已知薄板有下列形變關(guān)系：式中A,B,C,D皆為常數(shù)，試檢查在形變過程中是否符合連續(xù)條件，若滿足并列出應(yīng)力 分量表達(dá)式。解：1、相容條件：將形變分量帶入形變協(xié)調(diào)方程（相容方程）其中所以滿足相容方程，符合連續(xù)性條件。2、在平面應(yīng)力問題中，用形變分量表示的應(yīng)

3、力分量為3、平衡微分方程其中若滿足平衡微分方程，必須有分析：用形變分量表示的應(yīng)力分量，滿足了相谷方程和平衡微分方程條件若要求出常數(shù)A,B,C,D還需應(yīng)力邊界條件。例2-2如圖所示為一矩形截面水壩，其右側(cè)面受靜水壓力（水的密度為p），頂部受集中力P作用。試寫出水壩的應(yīng) 力邊界條件。1.h .解：根據(jù)在邊界上應(yīng)力與面力的關(guān)系左側(cè)面:右側(cè)面：上下端面為小邊界面，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。上端面額面力向截面形心0簡化，得到面力 的主矢量和 主矩分 別為y=0坐標(biāo)面，應(yīng)力主矢量符號與面力主矢量符號相反；應(yīng)力主矩與面力 主矩的轉(zhuǎn)向相反。所以下端面的面力向截面形心D簡化，得到主矢量和主矩

4、為y=l坐標(biāo)面，應(yīng)力主矢量、主矩的符號與面力主矢量、主矩的符號相同所以分析：1、與坐標(biāo)軸平行的主要邊界只能建立兩個等式，而且與邊界平行的應(yīng)力分量不會出現(xiàn)。如在左、右側(cè)面，不要加入2、在大邊界上必須精確滿足應(yīng)力邊界條件，當(dāng)在小邊界（次要邊界）上無 法精確滿足時，可以應(yīng)用圣維南原理使應(yīng)力邊界條件近似滿足，使問題的求 解大為簡化。應(yīng)力合成的主矢（主矩）符號的取法亦可用外力主矢（主矩） 的方向判斷，二者方向一致時去正號，反之取負(fù)號。2-8試列出題2-8圖（a）,題2-8圖（b）所示問題的全部邊界條件。在其 端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。解:圖（b）1、對于圖（a）的問題在主要邊

5、界上，應(yīng)精確滿足F列邊界條件：在小邊界（次要邊界）上,能精確滿足下列邊界條件：在小邊界（次要邊界）上，有位移邊界條件：這兩個位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當(dāng)板厚時,2、對于圖（b）所示問題上，應(yīng)精確滿足下在主要邊界列邊界條件：在次要邊界上,出三個積分的應(yīng)力邊界條件應(yīng)用圣維南原理列, 當(dāng)板厚時,在小邊界（次要邊界）上，有位移邊界條件:這兩個位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來 代替，2-17設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載 F,如題2-17所示，體 力可以不計。根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力 ox和切應(yīng)力Ty的表達(dá)式，并 取擠壓

6、應(yīng)力0=0，然后證明，這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程， 再 說明，這些表達(dá)式是否就表示正確的解答。解:1、 矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的玩具方程為，橫截面對z軸（中性軸）的慣性矩，根據(jù)材料力學(xué)公式，彎應(yīng)力該截面上的剪力為2、經(jīng)驗(yàn)證，上述表達(dá)式能滿足平衡微分方衡; 并取擠壓0也能滿足相容方程再考察邊界條件：在的主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件：能滿足在次要邊界分的應(yīng)力邊界條件:上，列出三個積滿足應(yīng)力邊界條件在次要邊界上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件:滿足應(yīng)力條件。因此，它們是該問題的正確解答例3-1如圖所示矩形截面簡支梁受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù)求簡支梁的應(yīng)力分量（體力不

7、計）解：1、相容條件:代入應(yīng)力函數(shù)，得:由此得于是應(yīng)力函數(shù)可改寫為2、應(yīng)力分量表達(dá)式3、考察邊界條件：確定應(yīng)力分量中的各系數(shù)聯(lián)立求解以上各式，得再根據(jù)簡支梁的端面條件確定常數(shù)D,F。由圣維南原理得可得再帶入式（f）得4、應(yīng)力分量表達(dá)式例3-2圖示懸臂梁，梁的橫截面為矩形，其寬度取為1,右端固定、左端自由,荷載分布在自右端上，其合力為 P （不計體力），求梁的應(yīng)力分量。圈1辺曲解：這是一個平面應(yīng)力問題，采用半逆解法求解。（1）選取應(yīng)力函數(shù)。由材料力學(xué)可知，懸臂梁任一截面上的彎矩方程 M（ x） 與截面位置坐標(biāo)x成正比，而該截面上某點(diǎn)處的正應(yīng)力又與該點(diǎn)的坐標(biāo) y成正比， 因此可設(shè)J -筑魁（a）式

8、中的為待定常數(shù)。將式（a）對y積分兩次，得_-（b）式中的匸血；，；期海為x的待定函數(shù)，可由相容方程確定。將式（b）代入相容方程00 = 0上式是y的一次方程，梁內(nèi)所有的y值都應(yīng)是滿足它，可見它的系數(shù)和自由 項(xiàng)都必須為零，即g 0,怦“積分上二式，得fi (x) = a2x3 + ct3x2 + jx + a5f2(x) = a6x3 + a7x2 + a8x+式中煦一g為待定的積分常數(shù)。將 心仗)，鳥仗)代入式(b)，得應(yīng)力函數(shù)為0 = -xy3 十(ct2x3 + ci3x2 + a4x+ a5)y +(x7xz + afix +O一 g).(c)(2) 應(yīng)力分量的表達(dá)式5X =。洋第 =

9、 6Czy + 6)x + 2(a3y + a7) ccy 2 3a2x3 Za3x a4(3)考察應(yīng)力邊界條件：以確定各系數(shù)，自由端無水平力；上、下部無荷載; 自由端的剪力之和為P,得邊界條件-門；,自然滿足;_ ,得 _-1 ；上式對x的任何值均應(yīng)滿足，因此得-，：，(%)I嚴(yán)=0,得 6a6x + 2a7 = 0x取任何值均應(yīng)滿足，因此得一二二-.a護(hù)一 d jdy = -p將式（e）代入上式積分，得f （扣護(hù)-茲h2-一一匚其中-,橫截面對Z軸的慣性矩。最后得應(yīng)力分量為rpI 耳=_匸留吟=0P% 一瓦h(yuǎn)-護(hù)）3-3試考察應(yīng)力函數(shù)一:能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計體力）,畫出題3

10、-2圖所示矩形體邊界上的面力分布（在次要邊界上表示 出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問題。解 （1）相容條件:將代入相容方程（2）應(yīng)力分量表達(dá)式12F看葢ygy二0門繆二（3）邊界條件：在蘿=4%號主要邊界上，應(yīng)精確定滿足應(yīng)力邊界條件在次要邊界x=o, x=l上，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個積分的應(yīng)力邊界條件二 二口(a).L I . I ；b,在兩側(cè)上受到均布剪力q 的作用，試用函數(shù):. I求解應(yīng)力分量。題3-6圖解：(1)相容條件將應(yīng)力函數(shù)-代入相容方程.“一！*，其中T = (J =(J ? Sy4 ? &x2 dy2很顯然滿足相容方程。(2)應(yīng)力分量表達(dá)式a20a2032

11、0(3) 考察邊界條件，在主要邊界二- L-上，各有兩個應(yīng)精確滿足的邊界條件,即= 0,(臥h*=q在次要邊界y=0上， 一 _1 而的條件不可能精確滿足(否則 只有a=b=o，可用積分的應(yīng)力邊界條件代替.(4)把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得3-7設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用， 體力可以不計，lh如 題3-7圖所示，試用應(yīng)力函數(shù)-一二 廠求解應(yīng)力分量。y(1 hf a = 1)解(1)相容條件 將二| I J . J J 門、.代入相容方程，顯然滿足。(2)應(yīng)力分量表達(dá)式d切az0滬0x = = 2B + 6Cy+6Dxyfay 二麗=機(jī)即=-碩=-(A + 3Dy2)(3)考察

12、邊界條件，在主要邊界薩一 + k/7上，各有兩個應(yīng)精確滿足的邊界條 件9J廠甥=(Tyx)尸好=得-n.i (a)4在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩， 應(yīng)用圣維南原理，用三個積 分的應(yīng)力邊界條件代替。注意 x=0是負(fù)x面，由此得嚴(yán)J-h/29：J 盂二弭 y = Fjn r得B二一dhoydy = M,得 c =-2M黑屆) -T(b)由式(a)(b)解出A-D2hf最后一個次要邊界條件(x=l上)，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的 條件下，是必然滿足的，故不必再校核。代入應(yīng)力公式，得3-9設(shè)題3-9圖中的簡支梁只受重力作用，而梁的密度為二，試用教材 3-4中的應(yīng)力函數(shù)（e

13、）求解應(yīng)力分量，并畫出截面上的應(yīng)力分布圖。解(1)應(yīng)力函數(shù)為0 = (Ax2 + By2 + Cy + D) + x(Ey3 + Fy2 + Gy) - y5 /1Ug-y4 + Hy3 + Ky2u(2)應(yīng)力分量的表達(dá)式1 = (6Ay + 2B) + xC6Ey + 2F) 2Ay3 2By2 + 6Hy二+ 2KGy = Ay3 + By2 + Cy + D - pgy（d）Txy = - x(3Ay2 + 2By + C) - (3Ey2 + 2Fy + G)這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的，因此，如果能夠選擇適當(dāng) 的常數(shù)A,B,，K,使所有的邊界條件都滿足，則應(yīng)力分量式(b

14、) ,(c),(d)就是 正確的解答。(3)考慮對稱性。因?yàn)閥z面是梁和荷載的對稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)對稱于yz面。這樣是戸廠2兀是x的偶函數(shù)，而| .是x的奇函數(shù)，于是由式(b) 和(d)可見(4) 考察邊界條件：在主要邊界 曠1上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件尸書=Oj (勺J尸母=)將應(yīng)力分量式(c)和(4)代入，并注意到前面已有_ .一，可見這些邊界條件要求h3 h2 h-A + _B + _C + Dh3h2 h4B-2C+D+Pgh/3.3-xf-h2A + hB + 0 即h2A+hB + C = tt -x|h2A-hB + cj = 0 即h2A-hB + C = 0 聯(lián)立求解得到

15、2pg3pgA 二-護(hù) B = OC=d = O將以上已確定的常數(shù)代入式（b）,式（c）和（d），得 樂二一譽(yù)”y +響y* + 6Hy + 2K（0(g)即且3 . pg 吩_科+y(h)考慮左右兩邊的次要邊界條件。由于問題的對稱性，只需考慮其中的一邊，例如右邊。梁的右邊沒有水平面力，x=l時，不論y取任何值.1 ；_ .-，都有 ,-一。由式（f）可見，這是不可能滿足的，除非I-H, h,在上邊界受均布荷載q,試檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)- 一 一：；一-.-一能否成為此的彎矩方程和剪力方程分別為(l2-x2)；*：y.。式(I)問題的解？如可以，試求出應(yīng)力分量AJ2圏d2&y(b)(c)(d)（珈）尸

16、將一-： - 一： 代入相容方程，得-：./-.-.,若滿足相容方程，有（3）考察邊界條件；主要邊界._ 一上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件解 （1）相容條件1zA =石B(a)5(2)應(yīng)力分量表達(dá)式ax j 20 Ay* 30Ax2y+ 6CySTSx2 = -10Ay3 + 2D+2Eyt = 一獸=30Axy2 一2Ex dx ayz s10(S)h = 0,得一 Ah3 + 2D + Eh 二 0v r y=28110(oy) h -0, Ah3+2D-Eh = -q y_215二 0,得 EAhz = 04在次要邊界上x=0 上,主矢和主矩為零，應(yīng)用圣維南原理,用三個積分的應(yīng)力邊界條件代替

17、第94酉j満3件丿囂（譏=腫=0 得牛+ CJP = 0(e)匚雋（5）口旳=霜足q 3qD = _4,E = 4h聯(lián)立求解式（a） ,（b）,（c）,（d） 和（e）,得A=5K5qq出眉一而“將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得_ y（Av2 3 英好、x = qh 4_5_6i?3-12為什么在主要邊界（占邊界絕大部分）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條 件，教材中式（2-15），而在次要邊界（占邊界很小部分）上可以應(yīng)用圣維南原 理，用三個積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替？如果在主要 邊界上用三個積分的應(yīng)力邊界條件代替教材中式（2-15），將會發(fā)生什么問題？解：彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理

18、方程中的邊值問題，而要邊界條件完全得到滿足，往往遇到很大的困難。這時，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界 條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以 忽略不計。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個應(yīng)力邊界條件來代替精確 的邊界條件。教材中式（2-15），就會影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會使問題的 解答具有的近似性。3-15 試分析簡支梁受均布荷載時，平面截面假設(shè)是否成立？解：彈性力學(xué)解答和材料力學(xué)解答的差別，是由于各自解法不同。簡言之， 彈性力學(xué)的解法，是嚴(yán)格考慮區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程， 幾何方

19、程和物理方程，以 及邊界上的邊界條件而求解的，因而得出的解答是比較精確的。而在材料力學(xué)中 沒有嚴(yán)格考慮上述條件，因而得出的是近似解答。例如，材料力學(xué)中引用了平面 假設(shè)而簡化了幾何關(guān)系，但這個假設(shè)對一般的梁是近似的。所以，嚴(yán)格來說，不 成立。例4-2如圖所示楔形體右側(cè)面受均布荷載 q作用，試求應(yīng)力分量?！窘狻?1)楔形體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量決定于q、，其中q的量綱為NL2，與應(yīng)力的量綱相同。因此,各應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能取Kq的形式，而K是以，表示的無量綱函數(shù)，亦即應(yīng)力表達(dá)式中不能出現(xiàn)P，再由2-知,應(yīng)力函數(shù)應(yīng)是的函7a(a)數(shù)乘以2，可設(shè)2f(將式(a)代入雙調(diào)和方程1 d4fQ4d4f()4讐

20、=0，上式的通解為f ( ) Acos2 Bsin2 C D ,將上式代入式(a),得應(yīng)力函數(shù)為將系數(shù)代入(c),得應(yīng)力分量(1cos2 ) (2sin2 )2(ta n)tan (1 cos2 ) (2sin2 )2 (tan)q，cos2 ) tan sin 2q。2(ta n )tan (1(h)2(Acos2Bsi n2CD)。(b)(2)應(yīng)力表達(dá)式為1 1 2r 2 22( Acos2Bsi n2 C D),2Vr 2(Acos2Bsi n2 CD),(c)1 1 2I22Asin 22B cos2 C o(3)應(yīng)力邊界條件()0 q ，得 2(A+D)=q ;(d)()0，得 Ac

21、os2+B sin2 +C +D=0,(e)()0,得2B- C=0,()0,2As in2 -2Bcos2 -C =0 o(g)聯(lián)立求解式(d) (g),得各系數(shù)Aqtan, Bq4(ta n)4(ta n)Cq, Dq(ta n2)o2(ta n)4(ta n)分析：應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式(a)中不出現(xiàn)，這是因?yàn)閒()中包含了 角0中體現(xiàn)）。（在應(yīng)用應(yīng)力邊界條件時,4-3在軸對稱位移問題中，試導(dǎo)出按位移求解的基本方程，并證明u A B,u 0可以滿足此基本方程?！窘狻浚?）設(shè)U u （ ）, U 0,代入幾何方程，教材中式（4-2）得形變分量(a)將式（a）代入物理方程,教材中式（4-3）得用位移

22、表示的應(yīng)力分量旦(丄1 u2(E u 2(U 1 u0uu ),u),(b)將式（b）代入平衡微分方程，教材中式（4-1），在軸對稱問題中, 平衡方程為0,（C）式（C）中的第二式自然滿足，第一式為(d)d2u1 du u苕丁飛0上式即為求u的基本方程。（2）將u A -,u 0將代入式（d）,很顯然滿足方程。4-7實(shí)心圓盤在r的周界上受有均布壓力q的作用，試導(dǎo)出其解答。【解】實(shí)心圓盤是軸對稱的，可引用軸對稱應(yīng)力解答，教材中式(4-11),即B(1 2ln )2C,A2B(3 2ln )2C,(a)首先，在圓盤的周界（r ）上，有邊界條件（）rq，由此得A2B（1 2ln r） 2C q，r其

23、次，在圓盤的圓心，當(dāng)o時式（a）中（b）的第一、第二項(xiàng)均趨于無限大，這是不可能的。按照有限值條件（即，除了應(yīng)力集中點(diǎn)以外，彈性體上的應(yīng)力應(yīng)為有限值。），當(dāng) 0時，必須有A=B=0把上述條件代入（b）式中，得所以，得應(yīng)力的解答為2(Bsin2C )求醤 4-9 BJ分別為面,有4-9半平面體表面上受有均布水平力q,試用應(yīng)力函數(shù) 解應(yīng)力分量，如題4-9圖所示?！窘狻?1)相容條件：廠將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程4 0，顯然滿足。(2)由求應(yīng)力分量表達(dá)式2Bsin2 2C ,2Bsin2 2C ,2Bcos2 C(3)考慮邊界條件：注意本題有兩個 面，即 -，2在 面上，應(yīng)力符號以正面正向、負(fù)面負(fù)向?yàn)檎?/p>

24、因此,20,得 C 02 q，得 b將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得q sin 2qsin 2q cos24-12楔形體在兩側(cè)面上受有均布剪力 q,如題4-12圖所示，試求其應(yīng)力分量【解】（1）應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)2(Acos2B sin 2D)，進(jìn)行求解由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量“ “ 2廣22(Acos2 Bsin2C D),22 2(Acos2 Bsi n2CD),1 (1 )2As in22B cos2C（2）考察邊界條件:根據(jù)對稱性，得 0;(a) 2 門q；(b)/ 0;/2(c),2 q(d)同式（a）得2Acos2BsinC2D 0;(e)同式（b）得2Asi n2BcosCq;同式（c）得2

25、Acos2BsinC2D 0;(g)同式（d）得2Asi n2BcosCq;(h)式（e）、（f）、（g）、（h）聯(lián)立求解，得A ,B C 0, D qcot2sin2將以上各系數(shù)代入應(yīng)力分量，得cos2 ,q cotsincos2 , / q cotsinsin 2iqsin4-14設(shè)有一剛體，具有半徑為R的圓柱形孔道，孔道內(nèi)放置外半徑為 R而內(nèi)半徑 為r的圓筒，圓筒受內(nèi)壓力為q,試求圓筒的應(yīng)力?！窘狻勘绢}為軸對稱問題，故環(huán)向位移 u 0，另外還要考慮位移的單值條件。(1)應(yīng)力分量引用軸對稱應(yīng)力解答，教材中式(4-11)，取圓筒解答中的系數(shù)為 A，B，C,剛體解答中的系數(shù)為A7，Bz，C由多

26、連體中的位移單值條件，有B=0,B =0現(xiàn)在，取圓筒的應(yīng)力表達(dá)式為(a)(b)2C( c )A22CA， 2剛體的應(yīng)力表達(dá)式AA22C,122C(d)考慮邊界條件和接觸條件來求解常數(shù)A,A，,C,C /和相應(yīng)的位移解答首先，在圓筒的內(nèi)面，有邊界條件()r q，由此得A 2C q(e)r其次，在遠(yuǎn)離圓孔處，應(yīng)當(dāng)幾乎沒有應(yīng)力，于是有() 0,( ) 0由此得2CZ =0(f)再次，圓筒和剛體的接觸面上，應(yīng)當(dāng)有于是有式(c)及式(d)(g)R 2C（2）平面應(yīng)變冋題的位移分量應(yīng)用教材中式（4-12）的第一式，稍加簡化可以寫出圓筒和剛體的徑向位移表達(dá) 式u 2(1 2u)CI cosK sin(h)(i)u 0剛體的徑向位移為零，在接觸面上，圓筒與剛體的位移相同且都為零，即u將式（h）和式（i ）代入，得K sin 01 uAT 2(1 2u)CR A 1 cos方程在接觸面上的任意點(diǎn)都成立， 取任何值都成立,方程兩邊的自由項(xiàng)必須相等。于是得甘 2(1 2u)CR簡化并利用式（f），得(j)A 2(1 2u)R2C（3）圓筒的應(yīng)力把式（j ）代入式（e），得圓筒的應(yīng)力為1 2u R22 1