剛體一章知識(shí)題解答

1、剛體一章習(xí)題解答習(xí)題4 1如圖所示，X軸沿水平方向，丫軸豎直向下，在t=0時(shí)刻將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由a處?kù)o止釋放，讓它自由下落，則在任意時(shí)刻 t，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)0的力矩 M ;在任意時(shí)刻 t，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量 L 。解：作用于質(zhì)點(diǎn)上的重力為G mgj任一時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)（也是重力的作用點(diǎn)）rbigtj據(jù)定義，該重力對(duì)原點(diǎn)0點(diǎn)的力矩為M r G（bigtj） mgj任一時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為O的位置矢量為a b X1j v=gt1bmgkIy習(xí)題41圖習(xí)題4-2 我國(guó)第一顆人造衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn) 動(dòng)，地球的中心O為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)（如圖）， 已知地球半徑R=6378km，衛(wèi)星與地面的最近 距離 h=439km， 與

2、地面的最遠(yuǎn)距離l2=238km。若衛(wèi)星在近地點(diǎn) A1的速度V1=8.1km/s，則衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度衛(wèi)星I2習(xí)題42圖V2 =解：衛(wèi)星受到地球引力（有心力）的作用，對(duì)地心O的角動(dòng)量守恒。因此V1A1P mv mgtj據(jù)定義，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)0的角動(dòng)量為L(zhǎng) r P （bi gtj） mgtj bmgtk(R l1)mv1 (R l2)mv2解得(Rlj6378439vv18.16.3km/s(R2）6378238習(xí)題4 3 光滑圓盤(pán)面上有一質(zhì)量為 m的物體A，栓在一根穿過(guò)圓盤(pán)中心光滑 小孔的細(xì)繩上，如圖所示。開(kāi)始時(shí)，物體距離圓盤(pán)中心O的距離為ro，并以角速度繞圓盤(pán)中心0作圓周運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)向下拉繩，當(dāng)物體A

3、的徑向距離由ro減少 到r2時(shí)，向下拉的速度為V，求下拉的過(guò)程中拉力所作的功。分析：下拉過(guò)程并不是緩慢的，在下拉過(guò)程中的任一時(shí)刻，物體的速度不是 剛好沿半徑為r的切線(xiàn)方向，而是既有切向分量，又有法向分量。另一方面，此 題可以考慮用動(dòng)能定理求拉力的功，這就得先求出物體的末態(tài)速度。v習(xí)題43圖解：設(shè)在末態(tài)物體的速度的切向分量為 vt， 法向分量為Vn（亦為下拉速度）。同時(shí)考慮到速度 的法向分量Vn與矢徑r反平行，其相應(yīng)的角動(dòng)量 為零，由角動(dòng)量守恒可得roromvomvt2所以，末態(tài)速度的切向分量Vt 2vo 2ro o由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，下拉的過(guò)程中拉力所作的功AEkEko1 m(v2 v2) -mv

4、22 2(2ro2 2o) v32 212mro o mv2 2習(xí)題4 4 質(zhì)量為mi的粒子A受到第二個(gè)粒子B的萬(wàn)有引力作用，B保持在 原點(diǎn)不動(dòng)。最初，當(dāng)A離B很遠(yuǎn)（r = X）時(shí)，A具有速度vo，方向沿圖中所示直 線(xiàn)Aa，B與這條直線(xiàn)的垂直距離為 D。粒子A由于粒子B的作用而偏離原來(lái)的B之間的最短距離為d，求B路線(xiàn)，沿著圖中所示的軌道運(yùn)動(dòng)，已知這軌道與 的質(zhì)量mB。解：粒子A在粒子B的有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的角動(dòng)量和機(jī)械能均守恒。D m1 vod m1v習(xí)題44圖因此，我們可以得到1 212 mimBm1vo gv G2 2d聯(lián)立、兩式解得B的質(zhì)量為2 2、 2 (D d )vo mB2Gd習(xí)

5、題4 5 在光滑的水平面上，一根長(zhǎng)L=2m的繩子，一端固定于0點(diǎn)，另一 端系一質(zhì)量m=0.5kg的物體，開(kāi)始時(shí)，物體位于位置 A，0A間距離d=0.5m ， 繩子處于松弛狀態(tài)?，F(xiàn)在使物體以初速度 VA=4m/s垂直于0A向右滑動(dòng)，如圖 所示，設(shè)以后的運(yùn)動(dòng)中物體到達(dá)位置 B，此時(shí)物體速度的方向與繩垂直。貝吐匕刻 物體對(duì)0點(diǎn)角動(dòng)量的大小Lb=，物體速度的大小 Vb=。解：由質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律有d mvA L mvB因此，物體在B點(diǎn)時(shí)對(duì)0點(diǎn)的角動(dòng)量為2LB La d mvA 0.5 0.5 4 1kg? m /sA習(xí)題4 5圖VB0.5 421 m/s物體在B點(diǎn)時(shí)的速度為習(xí)題4 6 一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)

6、沿著一條空間曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，該曲線(xiàn)在直角坐標(biāo)系下的定義為：r a cos ti bsin tj，其中a、b、皆為常數(shù)，貝U此質(zhì)點(diǎn)所受的對(duì)原點(diǎn)的力矩 M ;該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量 L 解：依定義，質(zhì)點(diǎn)的加速度dv d2r 22a7 (acos ti bsin tj) rdt dt2質(zhì)點(diǎn)受到的力為2F ma m r因此力矩2M r F m r r 0因?yàn)閐rdt所以質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量為a sin ti b cos tjL r P r mv (acos tibsin tj) m( a sin tib cos tj)abm k(abm cos2 t)k (abm sin2 t)k因?yàn)橐阎狝B，因而Ja Jb，故應(yīng)選擇

7、答案(B)習(xí)題4 7 兩個(gè)勻質(zhì)圓盤(pán)A和B的密度分別為A和B ,若A B，但兩圓 盤(pán)的質(zhì)量和厚度相同，如兩盤(pán)對(duì)通過(guò)盤(pán)心且垂直于盤(pán)面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量各為Ja和Jb，則:(A) 解:J AJ B 0(B) J A圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J B 0(C) J AJ mR22Jb 0 (D) Ja、Jb哪個(gè)大不能確定R2又因?yàn)閙VR2h所以有r 2m1Rh這樣一來(lái)習(xí)題4-8如圖所示，A、B為兩個(gè)相同的繞著輕繩的定滑輪，A滑輪掛一質(zhì)量為M的物體，B滑輪受拉力F,而且F=Mg為1和2，不計(jì)滑輪軸的摩擦，則有：(A)12。(B)12。(C)1，設(shè)A、B兩滑輪的角加速度分別 (D)開(kāi)始時(shí)12，以后12解：由牛頓定律及轉(zhuǎn)動(dòng)定

8、律I_ MF對(duì)A :MgTR aT MaJ 1R 1對(duì)B:FRJ 2從以上各式可解得MgRFR MgR1 2 . .JMR2JJ顯然12所以，應(yīng)當(dāng)選擇答案（C）習(xí)題4 9 一長(zhǎng)為I,質(zhì)量可以忽略的細(xì)桿，可繞通過(guò)其一端的水平光滑軸在豎直平面內(nèi)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在桿的另一端固定著一質(zhì)量為 m的小 球，如圖所示。現(xiàn)將桿由水平位置無(wú)初速度地釋 放，則桿剛被釋放時(shí)的角加速度0 ，桿與水平方向夾角為60。時(shí)的角加速度 。m習(xí)題49圖解：細(xì)桿對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=ml2，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，當(dāng)桿剛被釋放時(shí)的角加速度為MImg gJml2I當(dāng)桿與水平方向夾角為60。時(shí)的角加速度為mgl cos60mlg_2l習(xí)題4TO 長(zhǎng)為

9、l、質(zhì)量為M的勻質(zhì)細(xì)桿可繞通過(guò)桿的一端O的水平光滑固定 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ml2 3，開(kāi)始時(shí)桿豎直下垂，如圖所示，有一質(zhì)量為 m的 子彈以水平速度vo射入桿上A點(diǎn)，并嵌在桿中，OA=2l3，則子彈射入后瞬間桿的角速度 。解：子彈射入桿內(nèi)并嵌在其中，射擊過(guò)程系統(tǒng) 角動(dòng)量守恒1 02l 3mv0(2l) 1Ml2 m(-l)2333容易解得6vo(4 3M m)l習(xí)題4 11 兩個(gè)質(zhì)量都是100kg的人，站在一質(zhì)量為200kg、半徑為3m的 水平轉(zhuǎn)臺(tái)的直徑兩端，轉(zhuǎn)臺(tái)的固定轉(zhuǎn)軸通過(guò)其中心且垂直于臺(tái)面，初始時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)每5s轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，當(dāng)這兩個(gè)人以相同的快慢走到轉(zhuǎn)臺(tái)中心時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度_。(轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

10、慣量J MR2/2，計(jì)算時(shí)忽略轉(zhuǎn)臺(tái)在轉(zhuǎn)軸處的 摩擦)解：系統(tǒng)角動(dòng)量守恒(-MR2 2mR2) 01MR22 2式中0為系統(tǒng)的初始角速度，其值為rad/s5所以，當(dāng)兩個(gè)人以相同的快慢走到轉(zhuǎn)臺(tái)中心時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為1 2 2-MR2 2mR221MR20.5 200 322 100 3220.5 200 3253.77rad/sd 1 2d 2do 2性)(-l2)(7)30cm、習(xí)題4 12 一飛輪由一直徑為厚度為2.0cm的圓盤(pán)和兩個(gè)直徑都為 10cm、長(zhǎng)為8.0cm的共軸圓柱體組成， 設(shè)飛輪的密度為7.8kg ?m -3，求飛輪對(duì)軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可加性，而且圓盤(pán) 和兩個(gè)圓柱體

11、共軸，因此飛輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為21 2121 d；Jm1R1 2 m2R2(-2 22411132 d；，1 16 d 32(曲 2皿)7.8 103 3.14 （0.02 0.3042 0.08 0.104）320.136 kg?m2習(xí)題4 13 一燃?xì)廨啓C(jī)在試車(chē)時(shí)，燃?xì)庾饔迷跍u輪上的力矩為2.03 X103N m , 渦輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 25kg m2。當(dāng)輪的轉(zhuǎn)速由 2.80 X103r min -1增大到1.12 X 10 4r min -1，所經(jīng)歷的時(shí)間t為多少？解：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，渦輪的角加速度為3空4 81.2rad/s225再由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式所經(jīng)歷的時(shí)間t為亠込旦2 314 (“

12、2 14 280 13) !0.8s81.2 60習(xí)題4 14 質(zhì)量為0.50kg、長(zhǎng)為0.40m的均勻細(xì)棒，可以繞垂直于棒的一端 的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。如將此棒放在水平位置，然后任其落下。求：（1）當(dāng)棒轉(zhuǎn)過(guò)60時(shí)的角加速度和角速度；（2）下落到豎直位置時(shí)的動(dòng)能；（3）下落到豎直位置時(shí) 的角速度。解：（1）當(dāng)棒轉(zhuǎn)過(guò) 時(shí)所受的力矩為1 mgl cos根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，棒的角加速度為M (1 2)mgl cos2J (1 3)ml23g cos2l當(dāng) 60時(shí)3 9.82 0.40cos6018.4 rad/s2根據(jù)定義J J L 丄 3gcos dtd dtd21分離變量再積分3gcosd0 2l棒的角速度為

13、當(dāng) 60時(shí)3gsin2l3g . sinl3 9.8.0.40sin 607.98rad/s(2)下落到豎直位置時(shí)的角速度為3 9.8sin 908.57 rad/s所以棒的動(dòng)能為Ek1J 2丄加21 2 22 0.50 0.402 8.572 0.98J22360.40此步還可用機(jī)械能守恒定律求得棒的動(dòng)能：設(shè)重力勢(shì)能零點(diǎn)在棒原來(lái)的水平位置處，則有0Ek(1mgl)所以gmgl0.5 0.50 9.8 0.40 0.98J(3)由(2)可知，下落到豎直位置時(shí)8.57rad/s習(xí)題4T5 如圖所示，A和B兩個(gè)飛輪的軸桿在同一中心線(xiàn)上，設(shè)兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分 別為 jA=10kg ?m2 和 jB=2

14、0kg ?m2，開(kāi)始時(shí),A輪轉(zhuǎn)速為600rev/min ，B輪靜止，C為摩擦嚙合器，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可忽略不計(jì)，A、B分別與C的兩個(gè)組件相連，當(dāng)C的左右 組件嚙合時(shí)，B輪得到加速而A輪減速，直到兩輪的速度相等為止，設(shè)軸光滑，求：(1)兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；(2)兩輪各自所受的沖量矩解：A 2 nA 2600 60 20 rad/s ;由角動(dòng)量守恒有J A A ( J A J B )解得J A A102020.9 rad/s=200rev/minJ AJ B1020(2)由角動(dòng)量定理GaLA2LA1J aJaa 1020.9 10 20 3.14419N?m?sGbGa419 N?m?s或者GbLB2LB

15、!1J BJ Bb 20 20.9 0 419N?m?sBA習(xí)題416圖習(xí)題4 16 一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為2L，質(zhì)量為m， 以與棒長(zhǎng)方向相垂直的速度 V0在光滑水平面 內(nèi)平動(dòng)時(shí)，與前方一固定的光滑支點(diǎn)O發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞點(diǎn)位于棒中心的一方 L/2處，如圖所示。求棒在碰撞后的瞬時(shí)繞 O 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。(細(xì)棒繞通過(guò)其端點(diǎn)且與 其垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ml2 3，式中的 m 和I分別為棒的質(zhì)量和長(zhǎng)度)解：棒與O點(diǎn)碰撞前后其角動(dòng)量守恒。 但棒碰撞前的角動(dòng)量須作積分才能求得，為此，我們?cè)诎羯暇嘀c(diǎn) 0為x處取線(xiàn)元dx 其元角動(dòng)量為dLx dm v0 x dx v0式中 為棒的質(zhì)量線(xiàn)密度。由此,我們可以

16、得到碰撞前棒的角動(dòng)量為L(zhǎng)0 L1 L2L2x dx v03L 2x dx0vomv0L169mv0L16mv0L碰撞后棒的角動(dòng)量為式中J為棒對(duì)0點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dJ3L 22xL 2Lo L-mv0 L J2（訥L2）解得6vo7L習(xí)題4 17 如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m的物體 與繞在定滑輪上的繩子相連，繩子質(zhì)量可以忽 略不計(jì)，它與定滑輪之間無(wú)滑動(dòng)。假設(shè)定滑輪 質(zhì)量為M，半徑為R,其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為MR2 2， 滑輪軸光滑。試求該物體由靜止開(kāi)始下落的過(guò) 程中，下落速度與時(shí)間的關(guān)系。解法I :對(duì)物體m :m習(xí)題4 17圖mg T ma對(duì)定滑輪（圓盤(pán)剛體）:TR （1MR2）由角量與線(xiàn)量的關(guān)系聯(lián)立以上三式可得2

17、mg2m M可見(jiàn)，物體下落的加速度是常量。又因?yàn)槠湎侣涞某跛俣葹榱?，所以，物體下落速度與時(shí)間的關(guān)系為. 2mgtv at2m M解法n :把圓盤(pán)和物體作為定軸系統(tǒng)，由角動(dòng)量定理有(mgR)t (Rmv J )0又因?yàn)镴 1MR2，2由上述關(guān)系可以解得2mgRt2m M習(xí)題4 18 一作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=3.0kg ?m2，角速度0 6.0rad/s，現(xiàn)對(duì)物體加一恒定的制動(dòng)力矩 M = 12N ?m，當(dāng)物體的角速度減慢到 2.0rad/s時(shí)，物體已轉(zhuǎn)過(guò)了角度 。解：物體的角加速度為M1224 rad/sJ3.0由于角加速度為恒量，所以滿(mǎn)足公式因此2.02 6.022 ( 4)

18、4.0rad習(xí)題4 19 一定滑輪半徑為0.1m，相對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1 X10-3kg?m2, 一變力F=0.5t(SI)沿切線(xiàn)方向作用在滑輪的邊緣上，如果滑輪最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，忽略軸承的摩擦，試求它在1s末的角速度。 解：作用于定滑輪上的外力矩為M FR0.5t 0.10.05t定滑輪的角加速度為-050t1 10 3因此ddt50t應(yīng)用初始條件t=0時(shí)，00,對(duì)上式積分0d150tdt 250所以，定滑輪在1s末的角速度為25rad/s習(xí)題4 20電風(fēng)扇在開(kāi)啟電源后，經(jīng)過(guò) t1時(shí)間達(dá)到了額定轉(zhuǎn)速，此時(shí)相應(yīng)的 角速度為，當(dāng)關(guān)閉電源后，經(jīng)過(guò)t2時(shí)間風(fēng)扇停轉(zhuǎn)。已知風(fēng)扇轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 為J,

19、并假定摩擦阻力矩和電機(jī)的電磁力矩均為常量，試根據(jù)已知推算電機(jī)的電 磁力矩。電源到達(dá)到額定轉(zhuǎn)速的過(guò)程中有M M f J 1從關(guān)閉電源到風(fēng)扇停轉(zhuǎn)的過(guò)程中有M f J 2由剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有0往1002七2聯(lián)立以上四式可得電機(jī)的電磁力矩為_(kāi) , 1 1M J 0t1 t2解法I :設(shè)電機(jī)的電磁力矩為M，摩擦阻力矩為Mf。由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，從開(kāi)啟解法n :由剛體角動(dòng)量定理可得(M M f )t1聯(lián)立以上兩式可得電機(jī)的電磁力矩為1ti1t2習(xí)題4 21轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的圓盤(pán)繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為，設(shè)它所受阻力矩與角速度成正比，即Mk (k0)，求圓盤(pán)的角速度從0變?yōu)椤?所需要的時(shí)間。解：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律MkJd分離變量

20、并積分dt0 2dk tdt解得0J 0t丄In 2k習(xí)題4 22 一輕繩跨過(guò)兩個(gè)質(zhì)量均為 m、 半徑均為r的均勻圓盤(pán)狀定滑輪，繩的兩端分 別掛著質(zhì)量為m和2m的重物，如圖所示， 繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑，兩個(gè) 定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為mr2 2，將由兩個(gè)定滑 輪以及質(zhì)量為m和2m的重物組成的系統(tǒng)從 靜止釋放，求兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。解：對(duì)滑輪和重物分別列式可得2mgTi2ma(TiT3)r1 2 mr2(T3T2)r1 2 mr2T2mgmaa r聯(lián)立以上五式可求得兩滑輪之間繩內(nèi)的張力T311 mg習(xí)題4 23 質(zhì)量分別為m和2m、半徑分別為 r和2r的兩個(gè)均勻圓盤(pán)，同軸地粘在一起，可 繞