電磁場(chǎng)與電磁波課后答案第1章

1、給定三個(gè)矢量、和如下：求：（ 1）；（2）；（ 3）；（ 4）；（5）在上的分量； （6）； （7）和；（8）和。解 （ 1）（2）（ 3） 11（ 4）由 ，得（ 5）在上的分量（6）（7）由于所以（8）三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為、和。（1）判斷是否為一直角三角形；（2）求三角形的面積。解 （ 1）三個(gè)頂點(diǎn)、和的位置矢量分別為則 ， ，由此可見(jiàn)故為一直角三角形。（2）三角形的面積 求點(diǎn)到點(diǎn)的距離矢量及的方向。解 ，則且與、軸的夾角分別為給定兩矢量和，求它們之間的夾角和在上的分量。解 與之間的夾角為在上的分量為給定兩矢量和，求在上的分量。解所以在上的分量為證明：如果和，則；解 由，則有，即由于，于是得

2、到故那么便可以確定該未知矢量。如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積， 設(shè)為一已知矢量，而，和已知，試求。解 由，有 故得1）直角坐標(biāo)中的坐標(biāo)； （ 2）球坐在圓柱坐標(biāo)中，一點(diǎn)的位置由定出，求該點(diǎn)在： 標(biāo)中的坐標(biāo)。解 （ 1）在直角坐標(biāo)系中 、 故該點(diǎn)的直角坐標(biāo)為。（ 2）在球坐標(biāo)系中、故該點(diǎn)的球坐標(biāo)為用球坐標(biāo)表示的場(chǎng)，（ 1）求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處的和；（ 2）求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處與矢量構(gòu)成的夾角。解 （ 1）在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處， ，故（ 2）在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處， ，所以故與構(gòu)成的夾角為 球坐標(biāo)中兩個(gè)點(diǎn)和定出兩個(gè)位置矢量和。證明和間夾角的余弦為解由得到一球面的半徑為，球心在原點(diǎn)上，計(jì)算： 的值

3、。 解在由、和圍成的圓柱形區(qū)域，對(duì)矢量驗(yàn)證散度定理。解 在圓柱坐標(biāo)系中所以又故有求（ 1）矢量的散度； （ 2）求對(duì)中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的積分； （ 3）求對(duì)此立 方體表面的積分，驗(yàn)證散度定理。解 （ 1）（ 2）對(duì)中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的積分為（ 3）對(duì)此立方體表面的積分故有 計(jì)算矢量對(duì)一個(gè)球心在原點(diǎn)、半徑為的球表面的積分，并求對(duì)球體積的積分。解又在球坐標(biāo)系中， ，所以求矢量沿平面上的一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與軸和 軸相重合。再求對(duì)此回路所包圍的曲面積分，驗(yàn)證斯托克斯定理。解又所以故有求矢量沿圓周的線積分，再計(jì)算對(duì)此圓面積的積分。證明：（1）; （2）;

4、（ 3）。其中，為一常矢量。 解（1）（2）（3）設(shè)，則，故一徑向矢量場(chǎng)表示，如果，那么函數(shù)會(huì)有什么特點(diǎn)呢？ 解在圓柱坐標(biāo)系中，由可得到為任意常數(shù)。在球坐標(biāo)系中，由可得到給定矢量函數(shù)，試求從點(diǎn)到點(diǎn)的線積分：（1）沿拋物線；（2）沿連接該兩點(diǎn)的直線。這個(gè)是保守場(chǎng)嗎？解（1）（2）連接點(diǎn)到點(diǎn)直線方程為即故由此可見(jiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，故是保守場(chǎng)。求標(biāo)量函數(shù)的梯度及在一個(gè)指定方向的方向?qū)?shù)，此方向由單位矢量定出；求點(diǎn)的 方向?qū)?shù)值。解題圖故沿方向的方向?qū)?shù)為點(diǎn)處沿的方向?qū)?shù)值為試采用與推導(dǎo)直角坐標(biāo)中相似的方法推導(dǎo)圓柱坐 標(biāo)下的公式解在圓柱坐標(biāo)中，取小體積元如題圖所示。矢量 場(chǎng)沿方向穿出該六面體的表面的通量

5、為同理因此，矢量場(chǎng)穿出該六面體的表面的通量為故得到圓柱坐標(biāo)下的散度表達(dá)式方程給出一橢球族。求橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量。 解由于故橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量為現(xiàn)有三個(gè)矢量、為1）哪些矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示？（ 2）求出這些矢量的源分布。解（1）在球坐標(biāo)系中故矢量既可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示，也可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示； 在圓柱坐標(biāo)系中故矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示；直角在坐標(biāo)系中 故矢量可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示。（ 2）這些矢量的源分布為，；，；利用直角坐標(biāo)，證明解 在直角坐標(biāo)中證明解 根據(jù)算子的微分運(yùn)算性質(zhì)，有式中表示只對(duì)矢量作微分運(yùn)算，表示只對(duì)矢量作微分運(yùn)算。 由，可得同理故有利用直角坐標(biāo)，證明解 在直角坐標(biāo)中 所以利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明及，試證明之。解 （ 1）對(duì)于任意閉合曲線為邊界的任意曲面，由斯托克斯定理有由于曲面是任意