電磁場與電磁波課后答案第1章

1、給定三個矢量、和如下：求：（ 1）；（2）；（ 3）；（ 4）；（5）在上的分量； （6）； （7）和；（8）和。解 （ 1）（2）（ 3） 11（ 4）由 ，得（ 5）在上的分量（6）（7）由于所以（8）三角形的三個頂點為、和。（1）判斷是否為一直角三角形；（2）求三角形的面積。解 （ 1）三個頂點、和的位置矢量分別為則 ， ，由此可見故為一直角三角形。（2）三角形的面積 求點到點的距離矢量及的方向。解 ，則且與、軸的夾角分別為給定兩矢量和，求它們之間的夾角和在上的分量。解 與之間的夾角為在上的分量為給定兩矢量和，求在上的分量。解所以在上的分量為證明：如果和，則；解 由，則有，即由于，于是得

2、到故那么便可以確定該未知矢量。如果給定一未知矢量與一已知矢量的標量積和矢量積， 設為一已知矢量，而，和已知，試求。解 由，有 故得1）直角坐標中的坐標； （ 2）球坐在圓柱坐標中，一點的位置由定出，求該點在： 標中的坐標。解 （ 1）在直角坐標系中 、 故該點的直角坐標為。（ 2）在球坐標系中、故該點的球坐標為用球坐標表示的場，（ 1）求在直角坐標中點處的和；（ 2）求在直角坐標中點處與矢量構成的夾角。解 （ 1）在直角坐標中點處， ，故（ 2）在直角坐標中點處， ，所以故與構成的夾角為 球坐標中兩個點和定出兩個位置矢量和。證明和間夾角的余弦為解由得到一球面的半徑為，球心在原點上，計算： 的值

3、。 解在由、和圍成的圓柱形區(qū)域，對矢量驗證散度定理。解 在圓柱坐標系中所以又故有求（ 1）矢量的散度； （ 2）求對中心在原點的一個單位立方體的積分； （ 3）求對此立 方體表面的積分，驗證散度定理。解 （ 1）（ 2）對中心在原點的一個單位立方體的積分為（ 3）對此立方體表面的積分故有 計算矢量對一個球心在原點、半徑為的球表面的積分，并求對球體積的積分。解又在球坐標系中， ，所以求矢量沿平面上的一個邊長為的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與軸和 軸相重合。再求對此回路所包圍的曲面積分，驗證斯托克斯定理。解又所以故有求矢量沿圓周的線積分，再計算對此圓面積的積分。證明：（1）; （2）;

4、（ 3）。其中，為一常矢量。 解（1）（2）（3）設，則，故一徑向矢量場表示，如果，那么函數(shù)會有什么特點呢？ 解在圓柱坐標系中，由可得到為任意常數(shù)。在球坐標系中，由可得到給定矢量函數(shù)，試求從點到點的線積分：（1）沿拋物線；（2）沿連接該兩點的直線。這個是保守場嗎？解（1）（2）連接點到點直線方程為即故由此可見積分與路徑無關，故是保守場。求標量函數(shù)的梯度及在一個指定方向的方向?qū)?shù)，此方向由單位矢量定出；求點的 方向?qū)?shù)值。解題圖故沿方向的方向?qū)?shù)為點處沿的方向?qū)?shù)值為試采用與推導直角坐標中相似的方法推導圓柱坐 標下的公式解在圓柱坐標中，取小體積元如題圖所示。矢量 場沿方向穿出該六面體的表面的通量

5、為同理因此，矢量場穿出該六面體的表面的通量為故得到圓柱坐標下的散度表達式方程給出一橢球族。求橢球表面上任意點的單位法向矢量。 解由于故橢球表面上任意點的單位法向矢量為現(xiàn)有三個矢量、為1）哪些矢量可以由一個標量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示？（ 2）求出這些矢量的源分布。解（1）在球坐標系中故矢量既可以由一個標量函數(shù)的梯度表示，也可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示； 在圓柱坐標系中故矢量可以由一個標量函數(shù)的梯度表示；直角在坐標系中 故矢量可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示。（ 2）這些矢量的源分布為，；，；利用直角坐標，證明解 在直角坐標中證明解 根據(jù)算子的微分運算性質(zhì)，有式中表示只對矢量作微分運算，表示只對矢量作微分運算。 由，可得同理故有利用直角坐標，證明解 在直角坐標中 所以利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明及，試證明之。解 （ 1）對于任意閉合曲線為邊界的任意曲面，由斯托克斯定理有由于曲面是任意