高中數(shù)學(xué)必修二-圓的方程典型例題

1、高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題類(lèi)型一：圓的方程例 1 求過(guò)兩點(diǎn)a(1 , 4)、b (3 , 2)且圓心在直線y =0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)p (2 , 4)與圓的關(guān)系解法一：（待定系數(shù)法）解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）例 2 求半徑為 4，與圓x 2 +y 2 -4 x -2 y -4 =0相切，且和直線y =0相切的圓的方程說(shuō)明：圓相切有內(nèi)切、外切兩種例 3 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(0 , 5)，且與直線x -2 y =0和2 x +y =0都相切的圓的方程分析：欲確定圓的方程需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過(guò)定點(diǎn) 圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上a，故只需確定圓心坐標(biāo)又例 4、 設(shè)

2、圓滿足：(1)截y軸所得弦長(zhǎng)為 2；(2)被x軸分成兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為3 :1，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線l：x -2 y =0的距離最小的圓的方程分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程滿足兩個(gè) 條件的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，其圓心的集合可看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線 的距離公式，通過(guò)求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方 程1類(lèi)型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程例 5 已知圓o ： x2 +y 2=4 ，求過(guò)點(diǎn) p (2，4)與圓o相切的切線說(shuō)明：上述解題過(guò)程容易漏解斜率不存在的情況，要

3、注意補(bǔ)回漏掉的解本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于 0 解決（也要注意漏解）例 6 兩圓c ： x12 +y 2 +d x +e y +f =0 與 c ： x 2 +y 21 1 1 2+d x +e y +f =0 相交于 a 、 b 兩 2 2 2點(diǎn)，求它們的公共弦 ab 所在直線的方程分析：首先求 a 、 b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線 ab 的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程 太繁為了避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求”的技巧例 7、過(guò)圓x2 +y 2=1 外一點(diǎn) m (2,3)，作這個(gè)圓的兩條切線 ma 、 mb ，切點(diǎn)分別是 a 、 b ，求直線 ab 的

4、方程。練習(xí)：1求過(guò)點(diǎn)m (3,1)，且與圓( x -1)2 +y 2 =4相切的直線l的方程2、過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓x 2 +y 2 -4 x +2 y +52=0相切的直線的方程為3、已知直線5x +12 y +a =0與圓x 2 -2 x +y 2 =0相切，則a的值為.類(lèi)型三：弦長(zhǎng)、弧問(wèn)題例 8、求直線l : 3 x -y -6 =0 被圓 c : x2 +y 2-2 x -4 y =0 截得的弦 ab 的長(zhǎng).22 22 222y 2例 9、直線 3x y 2 3 0截圓x 2 y 2 4得的劣弧所對(duì)的圓心角為例 10、求兩圓x 2 y 2 x y 2 0和x2 y 25的公共弦長(zhǎng)類(lèi)型四：直

5、線與圓的位置關(guān)系例 11、已知直線3x y 2 3 0和圓x 2 y 2 4，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.例 12、若直線y x m與曲線y4 x2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.例 13、圓(x 3) (y 3) 9 上到直線 3x 4 y 11 0的距離為 1 的點(diǎn)有幾個(gè)？分析：借助圖形直觀求解或先求出直線l1、l2的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答練習(xí) 1：直線x y 1 與圓 x2 y 22ay 0 (a 0)沒(méi)有公共點(diǎn)，則 a 的取值范圍是練習(xí) 2 ：若直線y kx 2 與圓 (x 2) (y 3) 1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是 .3、 圓x y 2x 4 y 3 0 上

6、到直線 x y 1 0的距離為 2 的點(diǎn)共有（ ）（a ）1 個(gè) （b ）2 個(gè) （c ）3 個(gè) （d ）4 個(gè)4、 過(guò)點(diǎn)p 3， 4 作直線 l，當(dāng)斜率為何值時(shí)，直線ly與圓c ：x 12 24有公共點(diǎn)，如圖所示oxe3p2 2類(lèi)型五：圓與圓的位置關(guān)系例 14、判斷圓c : x12 +y 2 +2 x -6 y -26 =0 與圓 c : x 2 +y 22-4 x +2 y +4 =0的位置關(guān)系，例 15：圓x 2 +y 2 -2 x =0和圓x 2 +y 2 +4 y =0的公切線共有條。練習(xí)1：若圓x 2 +y 2 -2 mx +m 2 -4 =0 與圓 x 2 +y 2 +2 x -

7、4 my +4 m 2 -8 =0相切，則實(shí)數(shù)m的取值集合是.2：求與圓x2+y2=5 外切于點(diǎn) p ( -1,2)，且半徑為 2 5 的圓的方程.類(lèi)型六：圓中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例 16、圓x 2 +y 2 -2 x -6 y +9 =0關(guān)于直線2 x +y +5 =0對(duì)稱(chēng)的圓的方程是例 17、自點(diǎn)a(-3，3)發(fā)出的光線l射到x 軸上，被 x 軸反射，反射光線所在y的直線與圓c：x2 +y 2-4 x -4 y +7 =0相切（1）求光線 （2）光線自l 和反射光線所在的直線方程 a 到切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程ma cng o bxa圖類(lèi)型七：圓中的最值問(wèn)題例 18、圓x 2 +y 2 -4 x -4 y

8、-10 =0上的點(diǎn)到直線x +y -14 =0的最大距離與最小距離的差是例 20：已知a( -2,0)，b (2,0)，點(diǎn)p在圓( x -3) 2 +( y -4) 2 =4上運(yùn)動(dòng)，則pa + pb的最小值是.42 2 22 2練習(xí)：1：已知點(diǎn)p( x, y)在圓x 2 +( y -1) 2 =1上運(yùn)動(dòng).（1）求y -1x -2的最大值與最小值；（2）求2 x +y的最大值與最小值.2 、已知點(diǎn) a( -2, -2), b ( -2,6), c (4, -2) ，點(diǎn)p在圓 x2+y2=4 上運(yùn)動(dòng)，求 pa + pb + pc的最大值和最小值.類(lèi)型八：軌跡問(wèn)題例 21、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知點(diǎn) m 與兩

9、個(gè)定點(diǎn) o (0,0)，a(3,0)的距離的比為12，求點(diǎn) m 的軌跡方程.例 22、已知線段ab的端點(diǎn)b的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)a在圓( x +1) 2 +y 2 =4上運(yùn)動(dòng)，求線段ab的中點(diǎn) m 的軌跡方程.例 23、如圖所示，已知圓o ： x +y =4與y軸的正方向交于a點(diǎn)，點(diǎn)b在直線y =2上運(yùn)動(dòng)，過(guò)b 做圓 o 的切線，切點(diǎn)為 c ，求 dabc 垂心 h 的軌跡分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設(shè)h ( x , y )，找x , y的關(guān)系非常難由于h點(diǎn)隨b，c點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，可考慮h，b，c三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系做題時(shí)應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時(shí)應(yīng)注意分析與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，如相關(guān)聯(lián)點(diǎn)軌跡

10、方程已知，可考慮代入法5例 24、已知圓的方程為x 2 +y 2 =r 2，圓內(nèi)有定點(diǎn)p ( a , b )，圓周上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)a、b，使pa pb，求矩形apbq的頂點(diǎn)q的軌跡方程練習(xí)：1、由動(dòng)點(diǎn)p向圓x2+y2=1引兩條切線pa、pb，切點(diǎn)分別為a、b，apb=600，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程是.練習(xí)鞏固：設(shè)a( -c,0), b (c,0)( c 0)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p到a點(diǎn)的距離與到b點(diǎn)的距離的比為定值a (a 0)，求p點(diǎn)的軌跡.2、已知兩定點(diǎn)a( -2,0)，b (1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)p滿足pa =2 pb，則點(diǎn)p的軌跡所包圍的面積等于4 、已知定點(diǎn)b (3,0)，點(diǎn)a在圓x 2 +y 2 =

11、1上運(yùn)動(dòng)，m是線段ab上的一點(diǎn)，且am =13mb，問(wèn)點(diǎn)m的軌跡是什么？6例 5、已知定點(diǎn)b (3,0)，點(diǎn)a在圓x 2 +y 2 =1上運(yùn)動(dòng)，aob的平分線交ab于點(diǎn)m，則點(diǎn)m的軌跡方程是.練習(xí)鞏固：已知直線y =kx +1與圓x 2 +y 2 =4相交于a、b兩點(diǎn)，以oa、ob為鄰邊作平行四邊形 oapb ，求點(diǎn) p 的軌跡方程.類(lèi)型九：圓的綜合應(yīng)用例 25、 已知圓x 2 +y 2 +x -6 y +m =0與直線x +2 y -3 =0相交于p、q兩點(diǎn)，o為原點(diǎn)，且op oq ，求實(shí)數(shù) m 的值例 26、已知對(duì)于圓x2 +( y -1) 2=1 上任一點(diǎn) p ( x , y )，不等式x +y +m 0恒成立，求實(shí)數(shù) m