正弦定理與余弦定理及應(yīng)用練習(xí)題

1、正弦定理、余弦定理及應(yīng)用練習(xí)題、選擇題11. 在 ABC中，若 a=11,b= ,A=60，那么材2A. 這樣的三角形不存在B. 這樣的三角形存在且唯一C.這樣的三角形存在不唯一，但外接圓面積唯一D.這樣的三角形存在不唯一，且外接圓面積不唯一解析： 由于 bsinA ab, 故三角形不唯一，又其外接圓半徑為R=2sinA為定值，故面積唯2 2 2 22. 在 ABC中，已知( a2+b2)sin(A-B)=(a 2-b 2)sin(A+B), 則 ABC的形狀( D )A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 解 析 ： 當(dāng) A=B 滿 足 . 又

2、 當(dāng) C=90 時(shí) ，( a2+b2 ) sin(A-B)=c 2 sin(90 2 2 2 2-2B)=c 2 cos2B=c 2(cos 2B-sin 2B)=a2-b 2 也滿足，故選 D.3. 在 ABC中， B=30， AB=2 3 ， AC=2，那么 ABC的面積是( D )3 B. 3 3 或 4 3 D. 3 或 2 31解析： 運(yùn)用正弦定理及 S= AB AC sinA 求解，注意多解的情況 .24. 在 ABC中， C=60， a+b=2( 3 +1),c=2 2,則 A的度數(shù)( C ) 或 75 解析：由 c2=a2+b2-2abcosC 及 a+b=2( 3 +1) 知

3、 a b=8 8 3 , 求出 a,b 后運(yùn)用正弦定理即可 .35. 已知 A、B、C是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)， AB 2=AB AC + AB CB + BC CA ，則 ABC為 ( C )A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 既非等腰三角形又非直角三角形2 2 2 acb222 abc2 2 22 2 b c a 解析：因 c2=bccosA+accosB-ab cosC, 故 c2=2c2=a2+b2, 即 ABC為直角三角形 .6. 已知 ABC中， | BC |=3 ，| CA |=4 ，且BC CA =-6 3 ，則 ABC的面積是 ( C )B.3 3 D.

4、 6 + 26 331解析 ：因 BC CA =-| BC | CA |cosC ，故 cosC= 6 3 3 ， sinC= 1 ， S3 4 22ABC= 1| BC | | CA | 211sinC= 3 4 =3.227. 給出下列四個(gè)命題，以下命題正確的是 ( B ) 若 sin2A=sin2B, 則 ABC是等腰三角形 sinA=cosB ，則 ABC是直角三角形2 2 2 若 sin 2A+sin 2B+sin 2C 2, 則 ABC是鈍角三角形 若 cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1, 則 ABC是等邊三角形A. B. C. D. 解析： 錯(cuò). 當(dāng) A=30，

5、 B=60時(shí)， sin2A=sin2B, 但 ABC不是等腰三角形 .錯(cuò) . 當(dāng) A=120， B=30時(shí)， sinA=cosB ，但 ABC不是直角三角形 .8. 若鈍角三角形三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊長(zhǎng)與最小邊長(zhǎng)的比值為，則的取值范圍 是( B).A.(1 ， 2) B. C. D.解析：設(shè)三角形三內(nèi)角從小到大分別為，根據(jù)題意得，由得，根據(jù)正弦定理， 二、填空題799. 等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為 9， 14，則底角的余弦值為 或9 28解 析：當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng) 為 9，則92 142 142cos =2 9 1499 ; 當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為2814 時(shí)， 則cos = 92 142 92 72 14 9

6、 91510. ABC中，已知 BC=3，AB=10，AB邊上的中線為 7，則 ABC的面積等于 _ 3 2解析：2 2 2 cosB=52 32 722531 ,sinB= 3 . 故 SABC= 1 103 3 =15 3 .2 2 2 2 2ab11. 在 ABC中，若 C=60，則=1bcac解析：cosC=a2b2 c22ab2222ab c c(a b) =1 ab (a c)?c c2 a +b=c +ab，22a b = a b c(a b) 2 b c a c ab (a b)?c c三、解答題2 B C12. 在 ABC中， a、 b、 c 分別是角 A、B、C的對(duì)邊，且

7、8sin 2 2 -2cos2A=7.(1) 求角 A 的大?。籅C2A=cos ,22）若 a= 3 ，b+c=3，求 b和 c 的值.解析：( 1)由 B+C= -A,sin即 4cos2 A -cos2A= 7 ,22272(1+cosA)-(2cos 2A-1)= .221 4cos 2A-4cosA+1=0,cosA= ,A=6022221 b2 c2 a2(2)cosA= =2 2bc2 2 2即 b2+c2-3=bc, 即 (b+c) 2-3=3bc.bc 2, 解得 b 1,或 b 2, b c 3. c 2, c 1.13. （2013 高考江西卷 16）在 ABC中，角 A

8、， B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，已知 cosC+（cosA- sinA ） cosB=0. （1） 求角 B 的大??；（2） 若 a+c=1 ，求 b 的取值范圍2214. 在 ABC中，a、b、c 分別是角 A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)， 已知 a、b、c 成等比數(shù)列， 且 a2-c 2=ac-bc, 求 A的大小及 bsin B的值.c解法一： a， b， c 成等比數(shù)列， b2=ac.2 2 2 2 2 又 a -c =ac-bc, b +c -a =bc.在 ABC中，由余弦定理得：222b2 c2 a2 bc1,cosA=2bc 2bc2A=60.在 ABC中，由正弦定理得sinB=b

9、sin A 2, b2=bc, A=60a bsin B2b2 sin 603.=sin60 =cac211解法二： 在 ABC中，由面積公式得bcsinA= acsinB.22 22 b2=ac,A=60 , bcsinA=b 2sinB.bsin Bsin A15. 已知向量 m=（sinB ， 1-cosB ），且與向量 的內(nèi)角 .n=（ 2， 0）所成角為,其中 A、B、C 是ABC31）求角 B 的大??；2）求 sinA+sinC 的取值范圍 解析：( 1) m=( sinB,1-cosB )與向量 n=(2， 0)所成角為 ， = 3 .3 sin BB tan = 3 . 又 0，2B2 = ,即 B= ,A+C= .2 3 3 3(2) 由( 1)得 sinA+sinC=sinA+sin(-A)33),13= sinA+ c