典型例題：用放縮法證明不等式(新、選)

1、用放縮法證明不等式所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性， 對(duì)照證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大和縮小的過(guò)程，在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的 度”否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來(lái)證明不等式，也可 以是其他方法證題時(shí)的一個(gè)重要步驟。下面舉例談?wù)勥\(yùn)用放縮法證題的常見(jiàn)題型。一. 添舍”放縮通過(guò)對(duì)不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)以達(dá)到解題目的，這是常規(guī)思路。例1.設(shè)a，b為不相等的兩正數(shù)，且a一個(gè)分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加 上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大，禾I用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。 b3 = a 2所以 a2 ab b2b2 be c 心 ac a2 3

2、（a b c）二. 分式放縮 b2，求證1J，七 ，所以b c a b c a c a b c a b a b c氏+七+走 話匕+詔匕+話二=1，又a，b，c為三角形的邊，故b+ca，則撫-。3證明：由題設(shè)得 a2 + ab+ b2= a+ b，于是（a+ b） 2a2 + ab+ b2= a+ b，又 a+ b0，得 a+ b 1，又 abv 4 （a+ b） 2，而（a+ b） 2 = a+ b+ abva+ b+ 4 （a+ b） 2，即 4 （a+ b） 2 | （a b c）證明：因?yàn)殡奱b b21（a 2 ）2扌b2 J （a號(hào)）a b a號(hào)，同理為真分?jǐn)?shù)，則-O- v 竽，同理

3、一v 2b ， 電v李一，b c a b cac abc ab abc故b十出十缶v啟十a(chǎn)綜合得1v + L + _b c a c a三. 裂項(xiàng)放縮word.若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來(lái)解題。例4.已知n N*，求11v 2、. n。、.n1.3證明：因?yàn)?2 2 1)2 (、n . n 1)2. n1 v 2. n，證畢。例5.已知nN且an.1 2、.2 3.n(n 1)，求證:n(n 1)a2呼對(duì)所有正整數(shù)都成立。證明：因?yàn)閚(n 1)n2 n，所以an又 .n(n 1)叮n(n 1)32 22n呼，綜合知結(jié)論成立。利用已知的公式或恒不等式，把欲證

4、不等式變形后再放縮，可獲簡(jiǎn)解。例6.已知函數(shù)f (x)，證明：對(duì)于2 1n N且n 3都有f (n)證明：由題意知nn 21 nf(n)n 121 n 1(11n 1)丄2n (2nn 1)又因?yàn)閚 Nn 121 (n 1)(21)n 3，所以只須證2n 2n 1，又因?yàn)?n (1 1)n CnCn1Cn2n1 n , n(n 1)Cn Cn 1 n2n 1 2n 1 所以 f(n)例 7.已知 f (x).1 x2,求證：當(dāng)a b時(shí)f (a) f (b)證明：f (a)f (b)1 a21 b2a2b21 a2a b|a b1 a21 b2a ba ba lb(ab|)a ba ba b證畢

5、。對(duì)于不等式的某個(gè)部分進(jìn)行換元,可顯露問(wèn)題的本質(zhì),然后隨機(jī)進(jìn)行放縮,可達(dá)解題目的。1例8.已知a b c,求證寸丄丄0。b c c a證明：因?yàn)閍 b c，所以可設(shè)a c t , b c u(t0)，所以t u丄丄丄丄丄1丄1 0,即丄abbccatuutut tua b例9.已知a, b, cABC的三條邊，且有a2 b2 c2，當(dāng)n N*且n3時(shí),求證:證明：由于a2 b2 c2，可設(shè)a=csina, b=ccosa (a為銳角)，因?yàn)?sinacosa 1，貝U當(dāng) n 3時(shí)，sinn a sin2 a , cosn acos2 a ,所以 an bn cn(sinna cosn a) cn(sin2 a cos2 a)cn。六.單調(diào)函數(shù)放縮根據(jù)題目特征，通過(guò)構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進(jìn)行放縮求解。例10.已知a, b R,求證ab|a1a b| 1al1bb。證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)七(x 0)，首先判斷其單調(diào)性,X1 X2 ,因?yàn)閒(X1) f(X2)X1X 2X1 x21 X11 X 2(1 x1)(1 x2)0，所以f X1f X2 ,所以f(x)在0,上是增函數(shù)，取X1X2b，顯然滿足0 X1X2 ,所以 f(a b) f(|a| |b|),即 |a b| |a|b|