運動學基礎匯總

1、59第 6 章 運動學基礎第 6 章 運動學基礎、是非題 (正確的在括號內打“”、錯誤的打“”)1動點速度的大小等于其弧坐標對時間的一階導數(shù)，方向一定沿軌跡的切線。()2 動點加速度的大小等于其速度大小對時間的一階導數(shù)，方向沿軌跡的切線。()3在實際問題中，只存在加速度為零而速度不為零的情況，不存在加速度不為零而速度為零的情況。()4兩個剛體做平動， 某瞬時它們具有相同的加速度， 則它們的運動軌跡和速度也一定相同。( ) 5定軸轉動剛體的角加速度為正值時，剛體一定越轉越快。( )6兩個半徑不等的摩擦輪外接觸傳動， 如果不出現(xiàn)打滑現(xiàn)象， 兩接觸點此瞬時的速度相等， 切向加速度也相等。( )二、填

2、空題1. 描述點的運動的三種基本方法是 矢徑法 、 直角坐標法 和 自然坐標法 。2. 點做圓周運動，加速度由切向加速度和法向加速度組成，其中切向加速度反映了 速度大 小隨時間 的變化率， 方向是 沿圓周的切線 ；法向加速度反映了 速度的方向隨時間 的變化率， 方向是 沿圓周的法線 。3. 質點運動時，如果 ds和 d 2s同號，則質點做 加速運動，反之則做 減速 運動。dt dt24. 剛體運動的兩種基本形式為 平動和定軸轉動 。5. 剛體平動的運動特征是 剛體在運動的過程中其內的任一直線始終和原來的位置平行 。6. 定軸轉動剛體上點的速度可以用矢積表示，它的表達式為 v r ；剛體上點的加

3、速度 可以用矢積表示，它的表達式為 a r v 。7. 剛體繞定軸轉動時，在任一瞬時各點具有相同的角速度 和 角加速度 ，且各點軌跡均為圓周。8. 定軸轉動剛體內點的速度分布規(guī)律為 任何一條通過軸心的直徑上各點的速度， 若將速度 矢的端點連成直線，此直線通過軸心 。9. 半徑均為 R 的圓盤繞垂直于盤面的 O 軸做定軸轉動，其邊緣上一點 M 的加速度如圖6.23 所示，試問兩種情況下圓盤的角速度和角加速度的大小分別為：圖(a)：0 ；a 。圖 (b) ：a ； 0 。RR5960理論力學圖 6.23三、選擇題21 一點做曲線運動，開始時速度 v0 12m / s，某瞬時切向加速度 a 4m /

4、 s2 ，則 t 2s時該 點的速度大小為 ( D )。(A) 4ms(B) 20ms圖 6.24 的四圖中，哪個圖表示的情況可能發(fā)生？圖 6.24 A、 B 的速度分別為d )(C) 8m s (D) 無法確定某瞬時，剛體上任意兩點當 vA vB 時，剛體必做平動 當剛體平動時，vB ，則下述結論正確的是 ( C )。(A)(B)(C)當剛體平動時，必有 vA vB ，但 vA與vB 的方向可能不同 必有 vA vBvA 與 vB 的方向必然相同，但可能有 圓盤繞 O 軸轉動，其邊緣上一點 M 的加速度為 a， (c)三種情況。下列四組答案中哪種正確？(B)(D)當剛體平動時，vBvA但方向

5、不同，如圖 6.25 所示 (a)、(b) 、(a)(A) 1 0 ， 2 0(C) 3 0 ， 1 0 M a1O(D)2 0 ， 1( C )1 0 ， 3M(c)3O1m ，在圖示位置時 O1C、O2D5 如圖 6.26 所示的蕩木機構中，的角速度為= 1rad/ s，角加速度為 =2rads2，則蕩木中點 M 的加速度為 ( D )。22(A) am 1m/ s (B) am 2m/ sO1O2 = CD， O1C =O2D =6061第 6 章 運動學基礎(C) am2m/ s2(D) am 5m / s26 如圖 6.27 所示為某剛體作定軸轉動的俯視圖，但不知道轉動中心，已知在某

6、瞬時有vM 0.2m/s，aM 0.3 2m/s2，45 。求出轉動中心到 M 間的距離 x以及此瞬時剛體轉動的角速度 和角加速度 ，下列四組結果中 ( C )是正確的。(A)x 15/ 2cm ，3/ 2rad/ s ，9/4rad/s2(B)x 40/ 3cm ，3/ 2rad / s ，25 / 4rad /s(C)x 40/ 3cm ，3/ 2rad / s ，29 / 4rad /s(D)x 25/ 2cm ，5/ 2rad/ s，5/ 4rad/ s2O2DMO1圖 6.267 圖 6.28 所示的平面機構中， O1A = O2B = L ，O1O2 = AB， 的運動軌跡為 (

7、C ) 。以O1為圓心， O1M 為半徑的圓(A)圖 6.27則 ABCD 剛性平板上點 M(B)(C)an 0一條平行于 AB 的直線以 O4 為圓心， O4M 為半徑的圓 (O4M = L)(A) a 0 ， an 0(C) a 0 ， an 09 滿足下述哪個條件的剛體運動(B) a 0 ，(D) a 0 ， 定是平動？an 0( D )其上某直線始終與其初始位置保持平行 其上有不在同一條直線上的三點始終作直線運動剛體運動時，剛體運動時，剛體運動時，剛體運動時，10 剛體平動時，其上任一點的軌跡可能是(A) 平面任意曲線 (B) 空間任意曲線 (C) 空間固定曲線11 如圖 6.29所示

8、的運動剛體中，只有 ( A )中的剛體 ABC 作平動。(A)(B)(C)(D)其上所有點到某一固定平面的距離始終保持不變其上任一直線始終與其初始的位置保持平行( B )。(D) 任一直線6162(B)(O1A = O2B)(C)(O1A O2B)(D)圖 6.29理論力學12 剛體繞定軸轉動時，下述哪種說法正確？ ( D )(A) 當轉角 0 時，此時角速度 必為正(B) 當角速度0 時，此時角加速度 必為正(C) 當角加速度 0 時為加速轉動，反之0 時為減速轉動(D) 當角加速度 與角速度 同號時為加速轉動，反之為減速轉動13 剛體繞定軸轉動， r 為點的矢徑， 為角速度矢， 為角加速度

9、矢。下面用矢量法表示 點的速度和加速度的公式中，正確的一組是( A )14 繩子的一端繞在定滑輪上，另一端與物塊程為 x kt 2(A)(C)，其中 k 為常數(shù)，輪子半徑為 2k (B) k 4R2 16k2t4(D)R15 滑輪上繞一細繩，繩與輪間無相對滑動， 滑輪邊緣上點 B 的速度和加速度間關系為vA vB ，(A)a AaB62B 相連，如圖 6.30 所示，若物塊 B R，則輪緣上點 4k2t2/RA 的加速度大小為 (的運動方)。2k 4k2t2 / R繩端系一物塊( D )(B) vA vB ，(D) vAA ，如圖6.31 所示。A 物塊與AaAa B(A)v r ，a r ，

10、 anv(B)v r ，a r ， anv(C)v r ，a r ， anv(D)v r ，a r ， anv第 6 章 運動學基礎63四、計算題6-1 點 M 的運動方程為 x l (cos kt sin kt) ，y l (cos kt sin kt) ，式中長度 l 和角頻率 k 都是常數(shù)，試求點 M 的速度和加速度的大小。解：應用直角坐標法，將運動方程中直角坐標對時間求一階導數(shù)，得到動點的速度在 直角坐標軸上的投影，即vx dx lk (cos kt sin kt ) ， vy dy lk (coskt sin kt ) 上式分別再對時間求導數(shù)，可得動點加速度在相應坐標軸的投影，即dv

11、x2dvy2axx lk 2 (coskt sin kt) ， aylk 2 (coskt sin kt )dt y dt6-2 點 M 按s Rsin t的規(guī)律沿半徑為 R的圓周運動，設 A 為弧坐標原點，其正向如 圖 6.32 所示。試求下列各瞬時點 M 的位置、速度和加速度。(1) t 0 ； (2) t ； (3) t32 解：應用自然坐標法，點 M 的位置、速度和加速度分別表示為s Rsin t ， v ds R cos t ， a dv R 2 sin t ， an dt dt n 當 t 0 時， s 0 ， v R ， a 0 ， an R 2313 2sR ， vR ， a

12、R 22222v 2 2R cos tR1)2)3)當 t時，3當 t時，2an 4 R2s R ， v 0 ， a R 2 ， an 0AB 穿入小環(huán) M ，并繞鐵圈上的 A 軸逆6.33 所示。試分別用直角坐標法和自然6-3 在半徑為 R 的鐵圈上套一小環(huán)，另一直桿 時針轉動 t (常數(shù) )，鐵圈固定不動，如圖坐標法寫出小環(huán) M 的運動方程，并求其速度和加速度。解： (1) 應用直角坐標法，點 M 的運動方程為x Rcos2 t ， y Rsin 2 t其速度可表示為dxdyvx2R sin2 t ， vy 2R cos2 tdtdt其加速度可表示為6364理論力學dvx2 dvy 2ax

13、x 4R 2 cos2 t ， ay 4R 2 sin2 t(2) 應用自然坐標法，點 M 的運動方程為s 2R 2R t其速度可表示為v ds 2Rdt2v24R 2Rdv a0 dt6-4 橢圓規(guī)尺 BC長為 2l，曲柄 OA長為 l，A為BC的中點， M為在 BC上一點且 MA = b，如圖 6.34 所示。曲柄 OA 以等角速度 繞 O 軸轉動，當運動開始時，曲柄 位置。求點 M 的運動方程和軌跡。解：應用直角坐標法，點 M 的運動方程為 xM (l b)sin t ， yM (l b)cos tanOA 在鉛垂其軌跡可表示為22xMyM2 2 1(l b)2 (l b)26-5 如圖

14、 6.35 所示， AB 長為 l，以等角速度 繞點 B 轉動，其轉動方程 桿連接的滑塊 B 按規(guī)律 s a bsin t 沿水平作諧振動，其中 a 和 b 均為常數(shù)， 跡。解：應用直角坐標法，t 。而與 求 A 點的軌其軌跡可表示為A 的運動方程為x a bsin t l sin t ， y l cos t6-6高度相差曲柄滑塊機構如圖 6.36 所示，2l2 1OA 長為 r ，連桿 AB 長為 l，滑道與曲柄軸的曲柄h。已知曲柄的運動規(guī)律為t ， 是常量，試求滑塊 B 的運動方程。其加速度可表示為6465圖 6.36解：建立如圖所示的坐標系，應用直角坐標法，滑塊hxB rcos t l

15、2 (rsin t h)2 ，yB第 6 章 運動學基礎6-7 如圖 6.37 所示，滑塊 C 由繞過定滑輪 A的繩索牽引而沿鉛直導軌上升，滑塊中心 到導軌的水平距離 AO = b 。設將繩索的自由端以勻速度 u拉動，試求重物 C 的速度和加速 度分別與距離 OC = x 間的關系式。不計滑輪尺寸。應用直角坐標法，滑塊dxdvv， adtdtC 的速度和加速度分別可表示為解：建立如圖所示的坐標系， 由題意，可知d b2 x2udt即 b2 x2 dt u ，這樣，有dx u 2 2v b xdt x上式兩邊同時對時間求導數(shù)，有22dv u b a3 dtx36-8 機構如圖 6.38所示，曲桿

16、 CB以勻角速度 繞 C軸轉動，其轉動方程為 t， 通過滑塊 B帶動搖桿 OA繞軸 O轉動。已知 OC = h，CB = r ，求搖桿的轉動方程。解：由圖可知r sin ttanh rcos t故搖桿的轉動方程為rsin tarctanh r cos t6-9 搖篩機構如圖6.39 所示，已知 O1A = O2B = 40cm ，O1O2 = AB，桿 O1A 按112sin 4t rad規(guī)律擺動。求當 t = 0s和 t = 2s時，篩面中點 M的速度和加速度。6566理論力學解：由題可知，篩子作平動，篩面中點 M 的速度和加速度和 A點或 B 點的速度和加速 度相同。 A 點按自然坐標表示

17、，其運動方程為s O1A20sin t4 其速度和加速度只須分別對上式取一階和二階導數(shù)，即、 ds t vM5 cos tdtn aM2vMO1A25 2 240 cos2 4t ，當 t 0s 時，有 vM15.7cm / s ， aMn4a dvaM dt25 25 2 sin t4426.17cm / s ， aM 0當 t 2s 時，有 vM0 ， aM 0 ， aM4052512.3cm / s24A圖 6-386-10 如圖 6.40 所示的搖桿機構，初始時搖桿的轉角0 ，搖桿的長 OC =a，距離OB = l。滑桿 AB以等速 v向上運動，試建立搖桿上點C的運動方程，并求此點在4

18、時的速度。解：由圖可知， C 的坐標 xC 、 yC 可分別表示為l vtxCyCl 2 (vt)2a即點 C 的運動方程可表示為xC66vCx dxCdtall 2 (vt)2 alv 2tl 2 (vt)2 3/2vCyavtl 2 (vt) 22dyCavldt l2 (vt) 23/ 2yC67第 6 章 運動學基礎當 時，有 vt l ，即 vCx4av2 2l ，vCyav2 2l，即t （ 為常量 ） ，偏心6-11 如圖 6.41 所示，偏心凸輪半徑為 R，繞 O 軸轉動，轉角 距 OC = e ，凸輪帶動頂桿 AB 沿鉛直線做往復運動，試求頂桿的運動方程和速度。 解：頂桿作平

19、動，頂桿運動可用頂桿上任一點（如 A 點）的運動來表示。建立如圖所示 的直角坐標系。應用直角坐標法， A 點的運動方程為y esinR R2 e2 cos2 t e2 cos2 esin tR2 e2 cos2 t對上式求一階導數(shù)，可得到其速度dyv e cos t dtesin2 t 圖 6.416-12 如圖 6.42所示為曲柄滑桿機構， 滑桿上有一圓弧形滑道， 其半徑 R = 0.1m，圓心 O1在導桿 BC上。曲柄長 OA = 0.1m，以等角速度4rad / s繞 O軸轉動。 求導桿 BC的運動規(guī)律及當曲柄與水平線間的夾角 45 時，導桿 BC 的運動速度和加速度。解：導桿 BC 作

20、平動，其運動方程可用其上任一點（如O1點）的運動方程來表示。為了方便，不妨假設在運動的初始時刻曲柄處于水平向右的位置。以O 點為原點，通過 O 點的水平軸為 x軸，O1 點的運動方程為x 0.1cos 0.1cos 0.2cos4t對上式分別對時間求一階和二階導數(shù)，可得導桿BC 運動的速度和加速度分別為dxdvv0.8 sin 4t ， a3.2 cos 4tdtdt當 4t 45 時，有 v 0.8 sin 45o 0.566m/ s， a 3.2cos45o2.263m/ s26-13 如圖 6.43 所示，滑塊以等速 v0沿水平向右移動，通過滑塊銷釘B 帶動搖桿 OA繞O 軸轉動。開始時

21、，銷釘在 B0處，且 OB0 = b。求搖桿 OA 的轉動方程及其角速度隨時 間的變化規(guī)律。6768圖 6.42圖 6.43解：由圖可知，有tanvb0t即搖桿 OA 的轉動方程為arctanvb0t(rad)對上式求一階導數(shù)，可得搖桿轉動角速度為dtbv0tb2 v02t 2(rad /s)理論力學6-14 汽輪機葉片輪由靜止開始作等加速轉動。輪上點 M 離軸心為 0.4m ，在某瞬時其 全加速度的大小為 40m / s2 ，方向與點 M和軸心連線成 30 角，如圖 6.44所示。試求葉 輪的轉動方程，以及當 t = 6s時點 M 的速度和法向加速度。解：點 M 在某瞬時的切向和法向加速度分

22、別為aM asin20m / s 2 ， aMn acos 20 3m/ s2而 aM r ，即aM 20 50rad /s2r 0.4由于葉片輪由靜止開始作等加速轉動，可知葉輪的轉動方程為1 t 2 25t 22 對上式求一階導數(shù)，可知葉片轉動的角速度為d 50t dt當 t = 6s 時， M 的速度為v r 0.4 300 12(0m/ s)M 的法向加速度為n 2 2 2aMn r 2 0.4 3002 36000(m / s2)6-15 如圖 6.45所示圓盤繞定軸 O轉動，某瞬時點 A 速度為 vA 0.8m / s ，OA R 0.1m， 同時另一點 B 的全加速度為 a B 與

23、 OB 線成 角，且 tan 0.6 ，求此時圓盤角速度及角加速度。6869第 6 章 運動學基礎圖 6.44AA解：由 A 速度可知此時圓盤繞定軸O 轉動的角速度為vAOA0.80.18rad /sn 2 aB 的法向加速度為 aBn OB 2 ，切向加速度為 aB OB ，而 tanBn2 。故有圓盤aBn2轉動角加速度為22tan 64 0.6 38.4rad /s 由vA速度的方向可知圓盤作順時鐘方向轉動， 而由 aB 方向可知圓盤的角速度方向為逆時鐘方 向。為了說明角速度和角速度轉向的區(qū)別，可取 38.4rad / s2 。6-16 邊長為 100 2mm 的正方形剛體 ABCD 做

24、定軸轉動，轉軸垂直于板面。點 A 的速 度和加速度大小分別為 vA 100mm /s，aA 100 2mm / s2 ，方向如圖 6.46 所示。試確定轉 軸O 的位置，并求該剛體轉動的角速度和角加速度。解：由vA的方向可知轉軸位于正方形的對角線AC 上。由aA方向可知 A 點的法向加速 度為anA aA sin 45o 100mm/ s2， aA aA cos45 o 100mm / s22而anA vA ，故2vAn 100mmanA可知轉軸 O 位于正方形的中心。該剛體轉動的角速度和角加速度分別為vAaA2A 1rad / s ，A 1rad /s26970圖 6.46理論力學6-17

25、如圖 6.47 所示的半徑為 r 的定滑輪作定軸轉動， 通過繩子帶動桿 AB 繞點 A 轉動。 某瞬時角速度和角加速度分別為和 ，求該瞬時桿 AB 上點 C 的速度和加速度。已知AC CD DB r 。解：在圖示瞬時， D 點向上運動，其運動的速度和切向加速度分別為 vD r ， aD r 由于桿 AB 繞點 A 轉動，故 AB 桿轉動的角速度為和角速度為ABAB AD桿AB上點C的速度和加速度分別為1 vCr ，2vDr2r 2n2aC r ABaDrAD 2r6-18 如圖 6.48 所示的卷揚機，鼓輪半徑輪的轉動方程為1t3rad，其中 t 的單位為8 解：首先由轉動方程求 t = 4s

26、 時鼓輪的轉動的角速度和角加速度1 2 1r ， aC r r42r 0.2m ，繞過點 O 的水平軸轉動。已知鼓s，求 t = 4s 時輪緣上一點 M 的速度和加速度。ddt3t 26rad /s，t 4 8 t 4再求輪緣上一點 M 的速度和加速度v r1.2m /s ， aMn r 2d dt3t 3rad /s2 t 4 4 t 4227.2m/ s ， aM r 0.6m/ s6-19 如圖 6.49 所示，齒輪 A 以轉速 n = 30（rmin）旋轉，帶動另一齒輪 B，剛接于齒 輪 B 的鼓輪 D 亦隨同轉動并帶動物體 C 上升。半徑 r1 0.3m ， r2 0.5m ， r3

27、 0.2m ，求 物體 C 上升的速度。7071第 6 章 運動學基礎解：齒輪 A 以轉動的角速度為60r1B A 0.6 (rad / s) r2物體 C 上升的速度為vCBr3 0.377( m / s)6-20 圖 6.50所示為一摩擦傳動機構，主動軸 和從動軸 II 的輪盤分別用 A和 B表示， 它們的半徑分別為 r 50mm 和 R 150mm ，兩輪接觸點按圖示方向 v 移動。已知主動軸 I 的轉速為 n = 600rmin，接觸點到轉軸 II 的中心的距離 d按規(guī)律 d (100 5t )mm (式中 t 以 s 為單位 ) 而變化。求(1) 以距離 d 表示軸 II 的角加速度

28、；(2) 當 d = r 時，輪 B 邊緣上一點的全加速度。解：( 1)主動軸 的角速度為 1 2n 20 (rad / s) ，從動軸 II 的角速度為60r 10002 1 (rad / s)d 100 5t軸 II 的角加速度為d 2 5000 5000 22 2 2 (rad / s )dt (100 5t)2d 2( 2)當 d = r 時，從動軸 II 的角速度和角速度分別為22 20 (rad / s)， 2 2 (rad / s2)輪 B 邊緣上一點的加速度為 n 2 2 2 2an R 22 0.15 400 2 60 2(m /s2) a R 2 0.15 2 0.3 (m

29、/s2 ) 輪 B 邊緣上一點的全加速度為a (an )2 (a )2 592.2(m/s2)6-21 在如圖 6.51所示儀表結構中， 齒輪 1，2，3和 4的齒數(shù)分別為 z1 6，z2 24，z3 8， z4 32 ；齒輪 5 的半徑為 5cm，如齒條 B 移動 1cm，求指針 A 所轉過的角度 。解：齒條 B 移動 1cm，齒輪 5 轉過的角度為7172理論力學50.2r a dr5z2z44 5 3.2radz1z3圖 6.50圖 6.51此時指針 A 所轉過的角度為6-22 車床的傳動裝置如圖 6.52 所示。已知各齒輪的齒數(shù)分別為 z1 40，z2 84 ，z3 28，z4 80 。帶動刀具的絲杠的螺距為h2 12mm 。求車刀切削工作的螺距 h1 。解：由齒輪轉動時傳動比的定義有1 z23 z42 z14 z3將上兩式相乘，有 1 z2z4 n4z1z3 3 z2 z4 。對于同軸齒輪 z2 和 z3 ，角速度相同，即 2 3 。2 4 z1 z3這樣有1z2z44z1z3當齒輪 z1 轉動一周時，車刀移動的距離為 h1 。而齒輪 z1轉動一周時，齒輪 z4 轉過的周數(shù) n為即nz1z3z2