用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)求線段和的最小值教材

1、淺析用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)求線段和的最小值求線段和的最小值問(wèn)題，在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到，利 用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)可以比較簡(jiǎn)單的解決。我們先通過(guò)一個(gè)非常典 型的例題來(lái)推導(dǎo)一個(gè)性質(zhì)：一、性質(zhì)推導(dǎo)例題：如圖所示，在河岸 L 的一側(cè)有兩個(gè)村莊 A 、B， 現(xiàn)要在河岸 L 上修建一個(gè)供水站， 問(wèn)供水站應(yīng)建在什么地方， 才能到 A ， B 兩村莊的距離之和最短？首先，我們來(lái)推導(dǎo)一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，如圖，作 B 點(diǎn)關(guān) 于 L 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) B1, 在直線 L 上任意定一點(diǎn) M ，連接 B B1， BM ，B1M，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)，我們可以求證 BM B1M， 所以，我們可以得出這樣的性質(zhì)： 成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)對(duì)應(yīng) 點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸上任意一點(diǎn)的

2、距離相等。在該例題中，利用這一性質(zhì)，我們可得出：點(diǎn) B 到河岸 L 上任意點(diǎn) M 的距離等于對(duì)稱(chēng) B1 到點(diǎn) M 的距離。要使 AM+ B 1M 最小，必須使 A 、M 、 B1三點(diǎn)共線， 也就是說(shuō)，必須使點(diǎn) M ，與 A B1連線和 L 的交點(diǎn) N 重合，所以，河岸上的 N 點(diǎn)為到 A、 B 的距離之和最小的點(diǎn)B證明： M 為 L 上的任意點(diǎn)因?yàn)?BM B1M所以， BM+AM B1M+AM ，而 B1M+AM 大于 B1A ， 所以，結(jié)論成立二、應(yīng)用1 ：在圖（ 1 ）中，若 A 到直線 L 的距離 AC 是 3 千米， B 到直線 L 的距離 BD 是 1 千米，并且 CD 的距離 4

3、千米， 在直線 L 上找一點(diǎn) P，使 PA+PB 的值最小。求這個(gè)最小值。解：作出 A1B（作法如上圖）過(guò) A1 點(diǎn)畫(huà)直線 L 的平行線與 BD 的延長(zhǎng)線交于 H ，在 Rt A1BH 中， A1H=4 千米， BH=4 千米， 用勾股定理求得 A1B 的長(zhǎng)度為 4 2 千米， 即 PA+PB 的最小值為 4 2 千米。2、如圖（ 1），在直角坐標(biāo)系 XOY 中， X 軸上的動(dòng)點(diǎn) M （x，0）到定點(diǎn) P（5，5）和到 Q（2，1）的距離分別為 MP 和 MQ ，那么當(dāng) MP+MQ 取最小值時(shí)，點(diǎn) M 的橫坐標(biāo) x= 。Y6P (5,5)P (5,5)542(2,1)O-1圖（ 1）圖（ 2）

4、(2,1) Q解：如圖（2），只要畫(huà)出點(diǎn) Q 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) Q1（2， -1），連結(jié) PQ1 交 x 軸于點(diǎn) M ，則 M 點(diǎn)即為所求。點(diǎn) M 的 橫坐標(biāo)只要先求出經(jīng)過(guò) PQ1兩點(diǎn)的直線的解析式，（y=2x-5 ）， 令 y=0，求得 x=5/2 。（也可以用勾股定理或相似三角形求出 答案）。3、 求函數(shù) y= x2 6x 10 + x2 6x 34 的最小值。 解：方法（）把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為 y= （ x 3）2 1 + （ x 3）2 52 ，因此可以理 解為在 X 軸上找一個(gè)點(diǎn)，使它到點(diǎn)（ 3， 1）和（ -3， 5）的 距離之和最小。 （解法同上一題） 。方法（）如圖（9），分別以

5、 PM=（3-x）、AM=1 為邊和以 PN=（x+3 ）、BN=5 為邊構(gòu)建使（ 3-x） 和（ x+3 ）在同一直線上的兩個(gè)直 角PAM 、PNB ，兩條斜邊的長(zhǎng)就是PA= （x 3） 1 和PB= （ x 3） 5 ，因此，求 y 的最小值就是求 PA+PB 的最 小值，只要利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)求出 BA1 的長(zhǎng)，就是 y 的最小值。 （6 2 ）。圖（ 9）三、拓展（一）三條線段的和最小的問(wèn)題：如圖 3， 已知甲、乙、丙三人做接力游戲，開(kāi)始時(shí),甲站在AOB 內(nèi)的 P 點(diǎn)，乙站在 OA 邊上，丙站在 OB 邊上，游 戲規(guī)則：甲將接力棒傳給乙，乙將接力棒傳給丙，最后丙跑至終點(diǎn) P 處。如果三人速

6、度相同， 試作圖求出乙丙站在何處， 他們比賽所用時(shí)間最短析解：三人的速度一定且相同，要使比賽時(shí)間最短，只需 三人所走的路程最短，因此可以利用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)，作點(diǎn)P 關(guān)于OA、 OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P 、P ，連接 PP ，交 OA于O ，交 OB 于 O ，則點(diǎn) O 和點(diǎn) O 應(yīng)分別是乙、丙的位置。這樣連接 PO 、 PO 則三人行的路程和為 PO OO PO PO OO P O PP 。規(guī)律總結(jié)： 軸對(duì)稱(chēng)在本題中的主要作用是將線段在保證 長(zhǎng)度不變的情況下改變位置，要注意體會(huì)軸對(duì)稱(chēng)在這方面的 應(yīng)用。（二）利用菱形的對(duì)稱(chēng)性，求線段和的最小值1、如圖（ 5），在菱形 ABCD 中， AB=4a,E 在 BC

7、 上， EC=2a， BAD=1200, 點(diǎn) P在 BD 上，則 PE+PC 的最小值是 （）A)6a , (B) 5aAC圖（ 5）(C) 4a(D) 2 3aAC圖（6）解：如圖（ 6），因?yàn)榱庑问禽S對(duì)稱(chēng)圖形，所以 BC 中點(diǎn) E 關(guān)于對(duì)角線 BD 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) E 一定落在 AB 的中點(diǎn) E1，只要 連結(jié) CE1 ，CE1 即為 PC+PE 的最小值。這時(shí)三角形 CBE1 是含有 300 角的直角三角形， PC+PE=CE1=2 3a 。所以選 （D）。2、已知在菱形 ABCD 中， A=600，AD=8，M、N 分別 是 AB ，BC 邊上的中點(diǎn)， P 是對(duì)角線 AC 上一動(dòng)點(diǎn)，求 PM

8、PN 的最小值。分析：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn) P在菱形 ABCD 的對(duì)角線 AC 上，而 CD 邊的中點(diǎn) G ，是 N 關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸 AC 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所以， PG PN，因此求 PMPN 的最小值就轉(zhuǎn)化為求 PM PG的最小值， 連接 MG ，在 PMG 中，PMPG的最小值就是 MG，即 PM PGMG （僅當(dāng) M、P、G 三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值） 。DGMA解：取 CD 的中點(diǎn) G，連接 PG AC 是菱形 ABCD 的對(duì)角線 PCG PCN又 CB CD，N 是 BC 邊的中點(diǎn) CNCG又 PCPC， PCG PCN PGPN連接 MG 。四邊形 AMGD 為平行四邊形MGAD 8在PMG 中，（僅當(dāng) P、

9、M 、G 三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）即，故 PM PN 的最小值為 8。（三）利用正方形的對(duì)稱(chēng)性，求線段和的最小值 已知如圖：正方形 ABCD的邊長(zhǎng)是 3,E 點(diǎn)分邊 BC為 2:1,P為對(duì)角線 BD上一點(diǎn) , 求 PE+PC的最小值 .AD分析: 要想求 PE+PC的最小值 , 關(guān)鍵是確定點(diǎn) P的位置 , 根據(jù) 對(duì)稱(chēng)的知識(shí)我們知道點(diǎn) P 的位置應(yīng)是，點(diǎn) C關(guān)于直線 BD的 對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和點(diǎn) E連線與 BD的交點(diǎn) .解: 因?yàn)樗倪呅?ABCD為正方形 , 所以點(diǎn) C關(guān)于 BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) 為 A,連接 AE交 BD于 P點(diǎn), 則此時(shí) PE+PC的最小值最小 , 最 小值為 :PE+PC=AE= 13（四）利用等

10、腰梯形的對(duì)稱(chēng)性，求線段和的最小值 如圖，在梯形 ABCD中，ADBC， ABCD AD1， B 60，直線 MN為梯形 ABCD的對(duì)稱(chēng)軸， P 為 MN上一點(diǎn)，那么 PC PD的最小值為 。分析：在梯形 ABCD中，因?yàn)?AB CDAD，易知梯形 ABCD 是等腰梯形， 又直線 MN是梯形 ABCD的對(duì)稱(chēng)軸， 所以直線 MN 是底邊 AD、BC的垂直平分線，連接 PA，由線段垂直平分線 上任一點(diǎn)，到已知線段兩端的距離相等知，PA PD，所以求PCPD的最小值就轉(zhuǎn)化為求 PCPA的最小值， 即求 AC的長(zhǎng) 度即可。解：連接 PAAB CDAD 1，梯形 ABCD是等腰梯形 又直線 MN是梯形 A

11、BCD的對(duì)稱(chēng)軸PA PD過(guò)點(diǎn) A作 AEBC，過(guò)點(diǎn) D作 DFBC， E、 F為垂足，易證 ABEDCF， BE CF在 RtABE中， B60， AB 1在 Rt ABC中，由勾股定理，得即 PAPC的最小值為（當(dāng) A、P、C 三點(diǎn)共線時(shí)取得最小 值）也可這樣求 AC的值：過(guò) A 點(diǎn)作 CD的平行線， 交 BC于 G，則 BGAB1,GCAD 1BC2而角 BCADACDCA，角 BCA 30, 角 BAC90 度在三角形 ABC中，可求得 AC（五）利用圓的對(duì)稱(chēng)性，求線段和的最小值已知如圖 ,AB 是的直徑 ,AB=2cm,OCAB,點(diǎn) D 是弧 AC的三等分點(diǎn) ,P 是 OC上一動(dòng)點(diǎn) ,

12、 求 PA+PD的最小值 .AB圖（ 16）AB分析： 圓是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形， 任意一條直徑所在的直線都 是它的對(duì)稱(chēng)軸，圓上任意一點(diǎn)的關(guān)于直徑所在直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) 都在圓上。解: 作點(diǎn) D關(guān)于 OC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) F, 連接 AF,此時(shí) PA+PD的最小 值為 AF.因?yàn)?AB是圓 O的直徑,OCAB， 則弧 AC的度數(shù)為 900，因 為 D 是弧 AC 的三等分點(diǎn)，所以弧 AD 的度數(shù)是 600 ，弧 DC的 度數(shù)是 300，因?yàn)辄c(diǎn) D與點(diǎn) F 關(guān)于 OC的對(duì)稱(chēng)，所以且弧 DC 與弧 CF相等 , 都為 300， AOF=1200，作 OEAF，則AOE=600。在 RtAOE中， AO= 1cm， A

13、OE=600，則 AE=， AF= 3 。（六）利用坐標(biāo)系的對(duì)稱(chēng)性，求線段和的最小值如圖, 在直角坐標(biāo)系中 , 有四個(gè)點(diǎn) A（ -8 ，3）、B（-4 ，5）、 C（0，n）、 D（m，0），求四邊形 ABCD周長(zhǎng)最短時(shí)的值。分析：因?yàn)?A、 B 是定點(diǎn)且長(zhǎng)度不變，四邊形 ABCD的周 長(zhǎng)最短，需使 AD+CD+BC 的值最小，由于 C、 D兩點(diǎn)未知， 所以本題關(guān)鍵是找 C、D兩點(diǎn)，可考慮用軸對(duì)稱(chēng)的方法將 BC 、 CD 、AD 這三條折線拉直。解：分別作 A點(diǎn)關(guān)于 x 軸、 B點(diǎn)關(guān)于 y 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A/ （-8 ，-3 ）、 B/（ 4，5），連接 A/B/分別交 x 軸、 y 軸于D、C點(diǎn)

14、。設(shè)直線 A/ B/的解析式為 y=kx+b ，把 x=-8 ，y=-3 ； x=4， y=5 分別代入得：-8k+b=-34k+b =5解得 k 和 b 值，得到 A/ B/的解析式為 :3y=2x+7令 x=0，求得 y ，得到 C 點(diǎn)令 y0，求得 x，得到 D 點(diǎn)由以上幾例可以看出， 當(dāng)求線段和的最小值時(shí)， 常常借助 軸對(duì)稱(chēng)將兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，再利用“兩點(diǎn)之間線 段最短”進(jìn)行求解。四、鏈接看這樣一題： 要在一條河上架一座橋 （橋須與河岸垂直， 兩河岸平行） ，請(qǐng)?zhí)峁┮环N設(shè)計(jì)方案，使從 A 地到 B 地的路 徑最短，請(qǐng)說(shuō)明理由。請(qǐng)思考： 1、這題為什么不能用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)解決？（認(rèn)真

15、理解我推導(dǎo)出的性質(zhì)就可明白 ）2、如何用平移知識(shí)解決此題？3、類(lèi)似我推導(dǎo)出的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，平移的知識(shí)能否推導(dǎo) 出類(lèi)似的性質(zhì)？五、練習(xí)1、（ 2002 湖北黃崗競(jìng)賽題）如圖（ 10），AOB=450，角 內(nèi)有一點(diǎn) P，PO=10，在角兩邊上有兩點(diǎn) Q、R（均不同于點(diǎn) O），則 PQR的周長(zhǎng)最小值是 。當(dāng) PQR周長(zhǎng)最小時(shí)， QPR 的度數(shù) =。圖（ 10 ）P1提示 ：畫(huà)點(diǎn) P 關(guān)于 OA 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P1，點(diǎn) P 關(guān)于 OB 的對(duì) 稱(chēng)點(diǎn) P2， AOB=45 0， P1OP2 是等腰直角三角形， P1P2=10 2 。又問(wèn) : 當(dāng) PQR周長(zhǎng)最小時(shí)， QPR 的度數(shù) =。（答案： 900）2、已知

16、點(diǎn) A （-2，1），點(diǎn) B（3，4）。在 X 軸上求一點(diǎn) P， 使得 PA+PB 的值最小。這個(gè)最小值是 。（同例 2 ）3、（北京市競(jìng)賽題）如圖（ 11），在矩形 ABCD 中， AB=20 ，BC=10 ，若在 AC、AB 上各取一點(diǎn) M 、N，使 BM+MN 的值最小，求這個(gè)最小值。MN圖（ 11）提示 ：要使 BM+MN 的值最小，應(yīng)設(shè)法把折線 BM+MN 拉直， 從而想到用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)來(lái)做。 畫(huà)出點(diǎn) B 關(guān)于直線 AC 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) B1，則 B1N 的長(zhǎng)就是最小值；又因?yàn)?N 也是動(dòng)點(diǎn)，所以，當(dāng) B1N AB 時(shí)這個(gè)值最 小，利用勾股定理和三角形面積公式可以求得這個(gè)最小值為 16。初三

17、的同學(xué)也可以用射影定理和面積公式求解。4、如圖（ 12）在菱形 ABCD 中， DAB=120 0，點(diǎn) E 平分 BC，點(diǎn) P 在 BD 上，且 PE+PC=1，那么邊長(zhǎng) AB 的最大值A(chǔ)C提示：因?yàn)楫?dāng) PE+PC最小時(shí)， AB=CD 達(dá)到最大，這個(gè) 最大值是 2 3 。35、如圖（ 15），在河灣處 M 點(diǎn)有一個(gè)觀察站，觀察員要 從 M 點(diǎn)出發(fā)，先到 AB 岸，再到 CD 岸然后返回 M 點(diǎn)，則 該船應(yīng)該走的最短路線是 （先畫(huà)圖， 再用字母表 示）。D圖6、求代數(shù)式 x2 4x 13 + x2 4x 61 的最小值。（ 答案： 145 ）求兩線段長(zhǎng)度值和最小”問(wèn)題全解析山東沂源縣徐家莊中心學(xué)

18、校 左進(jìn)祥在近幾年的中考中，經(jīng)常遇到求 PA+PB最小型問(wèn)題，為了讓同學(xué)們對(duì)這類(lèi)問(wèn) 題有一個(gè)比較全面的認(rèn)識(shí)和了解， 我們特此編寫(xiě)了 “求兩線段長(zhǎng)度值和最小” 問(wèn) 題全解析，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助、在三角形背景下探求線段和的最小值1.1 在銳角三角形中探求線段和的最小值例 1 如圖 1，在銳角三角形 ABC中，AB=4 , BAC=45， BAC的平分線 交 BC于點(diǎn) D，M,N分別是 AD和 AB上的動(dòng)點(diǎn)，則 BM+MN的最小值 為分析：在這里，有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以在解答時(shí)， 就不能用我們常用對(duì)稱(chēng)點(diǎn)法 我 們要選用三角形兩邊之和大于第三邊的原理加以解決解：如圖 1，在 AC上截取 AE=AN，連接

19、BE因?yàn)?BAC的平分線交 BC于點(diǎn) D， 所以 EAM=NAM，又因?yàn)?AM=A，M 所以 AME AMN，所以 ME=MN所以 BM+MN=BM+MBEE因?yàn)?BM+MN有最小值當(dāng) BE是點(diǎn) B 到直線 AC的距離時(shí)， BE 取最小值為 4，以 BM+M的N 最小值是 4故填 41.2 在等邊三角形中探求線段和的最小值例 2（2010 山東濱州）如圖 4所示，等邊 ABC的邊長(zhǎng)為 6,AD是 BC邊上的 中線,M是 AD上的動(dòng)點(diǎn),E 是AC邊上一點(diǎn).若 AE=2,EM+CM的最小值 為 .分析：要求線段和最小值，關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱(chēng)思想，找出這條最短的線段， 后應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)求出這條線段的長(zhǎng)度

20、即可解：因?yàn)榈冗?ABC的邊長(zhǎng)為 6,AD是BC邊上的中線 ,所以點(diǎn) C與點(diǎn) B關(guān)于 AD對(duì)稱(chēng)，連接 BE交 AD于點(diǎn) M，這就是 EM+CM最小時(shí)的位置，如圖 5 所示，因?yàn)?CM=B，M所以 EM+CM=B，E過(guò)點(diǎn) E 作 EF BC，垂足為 F，因?yàn)?AE=2，AC=6，所以 EC=4，在直角三角形 EFC中，因?yàn)?EC=4, ECF=60， FEC=30，所以FC=2,EF= =2 因?yàn)?BC=6， FC=2，所以 BF=4在直角三角形 BEF中，BE=.、在四邊形背景下探求線段和的最小值2.1 在直角梯形中探求線段和的最小值例 3（2010 江蘇揚(yáng)州）如圖 3，在直角梯形 ABCD中

21、， ABC90，AD BC， AD4，AB5，BC6，點(diǎn) P是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) PCPD的和最小時(shí)， PB的長(zhǎng) 為分析：在這里有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，兩個(gè)定點(diǎn)符合對(duì)稱(chēng)點(diǎn)法求線段和最小的思路，所 以解答時(shí)可以用對(duì)稱(chēng)法解：如圖 3 所示，作點(diǎn) D關(guān)于直線 AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) E，連接 CE，交 AB于點(diǎn) P， 此時(shí) PCPD和最小，為線段 CE因?yàn)?AD4，所以 AE=4因?yàn)?ABC90， ADBC，所以 EAP 90因?yàn)?APE BPC,所以 APEBPC，所以. 因?yàn)?AE=4，BC6，所以 ，所以，所以, 因?yàn)?AB 5，所以PB=3.2.2 在等腰梯形中探求線段和的最小值例 4 如圖 4，等腰梯形 ABC

22、D中，AB=AD=CD=，1ABC=60， P是上底，下 底中點(diǎn) EF直線上的一點(diǎn)，則 PA+PB的最小值為分析 ：根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)知道，點(diǎn) A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn) D，這是解題的一個(gè)關(guān) 鍵點(diǎn)其次運(yùn)用好直角三角形的性質(zhì)是解題的又一個(gè)關(guān)鍵解：如圖 4所示，因?yàn)辄c(diǎn) D關(guān)于直線 EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 A，連接 BD，交 EF于點(diǎn) P，此時(shí) PAPB和最小，為線段 BD過(guò)點(diǎn) D作 DGBC，垂足為 G，因?yàn)樗倪呅?ABCD是等腰梯形，且 AB=AD=CD=，1 ABC=60，所以 C=60， GDC=30 ，所以 GC= ,DG= 因?yàn)?ABC60，ADBC，所以 BAD 120因?yàn)?AB=AD，所以 ABD=A

23、DB=30，所以 ADBC=30 ，所以BD=2DG=2 = 所以 PA+PB的最小值為 2.3 在菱形中探求線段和的最小值例 5 如圖 5 菱形 ABCD中，AB=2，BAD=60，E是 AB的中點(diǎn)， P 是對(duì)角線 AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 PE+PB的最小值為分析 ：根據(jù)菱形的性質(zhì)知道， 點(diǎn) B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn) D，這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)解：如圖 5 所示，因?yàn)辄c(diǎn) B 關(guān)于直線 AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 D，連接 DE，交 AC于點(diǎn) P，此時(shí) PEPB和最小，為線段 ED因?yàn)樗倪呅?ABCD是菱形，且 BAD=60， 所以三角形 ABD是等邊三角形因?yàn)?E是 AB的中點(diǎn)，AB=2，所以 AE=1，DEAB，

24、所以 ED= 所以 PE PB的最小值為 2.4 在正方形中探求線段和的最小值例 6 如圖 6 所示，已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 8 ，點(diǎn) M 在 DC上，且 DM=2，N 是 AC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 DN+MN的最小值為分析 ：根據(jù)正方形的性質(zhì)知道，點(diǎn) B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn) D，這是解題的一個(gè)關(guān)鍵 點(diǎn)解：如圖 6所示，因?yàn)辄c(diǎn) D關(guān)于直線 AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 B，連接 BM，交AC于點(diǎn) N，此時(shí) DNMN和最小，為線段 BM因?yàn)樗倪呅?ABCD是正方形，所以 BC=CD=8因 為 DM=2，所以 MC=，6 所以 BM=10. 所以 DN+MN的最小值為 10.例 7（ 2009?達(dá)州）如圖 7，在邊

25、長(zhǎng)為 2cm的正方形 ABCD中，點(diǎn) Q 為 BC邊的 中點(diǎn)，點(diǎn) P為對(duì)角線 AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接 PB、PQ，則 PBQ周長(zhǎng)的最小值為cm（結(jié)果不取近似值）分析 ：在這里 PBQ周長(zhǎng)等于 PB+PQ+B，Q而 BQ是正方形邊長(zhǎng)的一 半，是一 個(gè)定值 1，所以要想使得三角形的周長(zhǎng)最小，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成使得 PB+PQ的和最小 問(wèn)題因?yàn)轭}目中有一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P，兩個(gè)定點(diǎn) B,Q 符合對(duì)稱(chēng)點(diǎn)法求線段和最小的思 路，所以解答時(shí)可以用對(duì)稱(chēng)法解: 如圖 7所示，根據(jù)正方形的性質(zhì)知道點(diǎn) B與點(diǎn) D關(guān)于 AC對(duì)稱(chēng)，連接 DQ， 交 AC于點(diǎn) P，連接 PB所以 BP=DP，所以 BP+PQ=DP+PQ=D在Q Rt

26、CDQ中，DQ= =，所以 PBQ的周長(zhǎng)的最小值為：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1故答案為+1、在圓背景下探求線段和的最小值例 8(2010 年荊門(mén))如圖 8，MN是半徑為 1的 O的直徑，點(diǎn) A在O上， AMN30， B為AN弧的中點(diǎn)， P是直徑 MN上一動(dòng)點(diǎn)，則 PAPB的最小值為 ( )(A)2 (B) (C)1 (D)2分析：根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，作出點(diǎn) A 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) D，連接 DB，則線段和的最小值 就是線段 DB的長(zhǎng)度解：如圖 8，作出點(diǎn) A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) D，連接 DB，OB,OD因?yàn)?AMN30，B 為 AN 弧的中點(diǎn)，所以弧 AB的度數(shù)為 30，弧 AB的度數(shù)為 30，弧 AN的度

27、數(shù)為 60根據(jù) 圓心角與圓周角的關(guān)系定理得到： BON30由垂徑定理得： 弧 DN的度數(shù)為 60所以 BOD BON +DON= 30+60 =90.所以DB= = . 所以選擇 B四、在反比例函數(shù)圖象背景下探求線段和的最小值例 9（ 2010 山東濟(jì)寧）如圖 9，正比例函數(shù) y= x 的圖象與反比例函數(shù) y=（ k 0）在第一象限的圖象交于 A 點(diǎn)，過(guò) A 點(diǎn)作 x 軸的垂線，垂足為 M，已知三 角形 OAM的面積為 1.1）求反比例函數(shù)的解析式；2）如果 B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn) B 與點(diǎn) A不重合），且 B 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1，在 x 軸上求一點(diǎn) P，使 PA+PB最小 .分

28、析：利用三角形的面積和交點(diǎn)坐標(biāo)的意義，確定出點(diǎn) A 的坐標(biāo)是解題的第 一個(gè)關(guān)鍵要想確定出 PA+PB的最小值，關(guān)鍵是明白怎樣才能保證 PA+PB的和最小，同 學(xué)們可以聯(lián)想我們以前學(xué)過(guò)的對(duì)稱(chēng)作圖問(wèn)題， 明白了最小的內(nèi)涵， 解題的過(guò)程就 迎刃而解了解： （ 1）設(shè)點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ x，y），且點(diǎn) A在第一象限，所以 OM=x,AM=y因?yàn)槿切?OAM的面積為 1，所以所以 xy=2，所以反比例函數(shù)的解析式為 y= 2）因?yàn)?y= x 與 y= 相交于點(diǎn) A，所以 = x，解得 x=2，或 x=-2. 因?yàn)閤0，所以 x=2，所以 y=1，即點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 2，1）因?yàn)辄c(diǎn) B的橫坐標(biāo)為 1， 且

29、點(diǎn) B 在反比例函數(shù)的圖像上， 所以點(diǎn) B 的縱坐標(biāo)為 2，所點(diǎn) B的坐標(biāo)為（1，2）， 所以點(diǎn) B關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) D的坐標(biāo)為（1，-2 ）設(shè)直線 AD的解析式為 y=kx+b，所以 ，解得 k=3，b=-5，所以函數(shù)的解析式為 y=3x-5 ，當(dāng) y=0 時(shí)，x= ，所以當(dāng)點(diǎn)P在（ ，0）時(shí)， PA+PB的值最小五、在二次函數(shù)背景下探求線段和的最小值例 10（ 2010年玉溪改編）如圖 10，在平面直角坐標(biāo)系中， 點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 1，） ， AOB的面積是 .1）求點(diǎn) B的坐標(biāo)；（ 2）求過(guò)點(diǎn) A、 O、 B的拋物線的解析式；3）在（ 2）中拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn) C，使 AOC

30、的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn) C 的 坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；分析 ：在這里 AOC周長(zhǎng)等于 AC+CO+A，O而 A,O是定點(diǎn)，所以 AO是一個(gè)定 長(zhǎng)，所以要想使得三角形的周長(zhǎng)最小， 問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成使得 AC+CO的和最小問(wèn)題因 為題目中有一個(gè)動(dòng)點(diǎn) C，兩個(gè)定點(diǎn) A,O 符合對(duì)稱(chēng)點(diǎn)法求線段和最小的思路，所以 解答時(shí)可以用對(duì)稱(chēng)法解：（1）由題意得:所以O(shè)B=2因?yàn)辄c(diǎn) B在x軸的負(fù)半軸上，所以點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ -2，）；（2）因?yàn)?B（-2,0）,O（0,0）, 所以設(shè)拋物線的解析式為： y=ax（x+2），將點(diǎn)A 的坐標(biāo)為（ 1， ）代入解析式得： 3a= ，所以 a= ，所以函數(shù)的解析式 為 y= +x （3）存在點(diǎn) C. 如圖 10，根據(jù)拋物線的性質(zhì)知道點(diǎn) B 與點(diǎn) O是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，所 以連接 AB與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸 x=