階矩陣二階矩陣

1、第一講 二階矩陣、二階矩陣與平面向量的乘法、二階矩陣與線性變換 一、二階矩陣1. 矩陣的概念 OP3某電視臺舉辦歌唱比賽，甲、乙兩名選手初、復賽成績如下：初賽復賽甲8090乙868880 9086 8823m324簡記為23m3 2 4概念一：2 80 90 2 3 m象 的矩形數字 （或字母） 陣列稱為 矩陣 . 通常用大寫的拉丁字母3 86 88 3 2 4A、B、C 表示，橫排叫做矩陣的 行, 豎排叫做矩陣的 列.名稱介紹：上述三個矩陣分別是 2 1矩陣， 22矩陣（二階矩陣） ，23矩陣，注意 行的個數在前 矩陣相等：行數、列數相等，對應的元素也相等的兩個矩陣，稱為A B。向量 a （

2、 x,y ），平面上的點P（ x,y ）都可以看成行矩陣x,y 或列矩陣，在本書中 規(guī)定行矩陣：a 11,a 12 （僅有一行）列矩陣：a11（僅有一列）a21x所有的平面向量均寫成列向量 的形式。練習 1：x31y1. 已知 AB，若A=B，試求 x, y, z42z22xmnxy2. 設 A，B若 A=B，求 x,y,m,n 的值。y32x ymn概念二：由 4 個數 a,b,c,d 排成的正方形數表 a b 稱為二階矩陣。 a,b,c,d 稱為矩陣的元素。cd00零矩陣：所有元素均為 0，即，記為 0。0010二階單位矩陣： ，記為 E2.01二、二階矩陣與平面向量的乘法a b x ax

3、 by定義：規(guī)定二階矩陣 A= ，與向量 的乘積為 A ，即 A cdycx dyabxax bycdycx dy練習 21231. （ 1）011121（2）01310x1x2.= ，求12y1y三、二階矩陣與線性變換1. 旋轉變換問題 1: P（x,y ）繞原點逆時針旋轉 180o得到 P（x ,y ）, 稱 P為 P在此旋轉變換作用下的象。 其xxxx 0 yx1 0 x x結果為 ，也可以表示為 ，即 怎么算出 yyy 0 x yy0 1 y y來的？問題 2. P（ x,y ）繞原點逆時針旋轉 30o得到 P（x ,y ）, 試完成以下任務寫出象 P； 寫出 這個旋轉變換的方程組形式

4、；寫出矩陣形式 .問題 3. 把問題 2中的旋轉 30o改為旋轉 角，其結果又如何？2. 反射變換定義：把平面上任意一點 P對應到它關于直線 l 的對稱點 P的線性變換叫做 關于直線 l 的反射。 研究： P（x,y ）關于 x 軸的反射變換下的象 P（x ,y ） 的坐標公式與二階矩陣。3. 伸縮變換定義：將每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膋1倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?k2倍，（ k1 、 k2均不為 0），這樣的幾何變換為 伸縮變換 。試分別研究以下問題：.將平面內每一點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標不變的 伸縮變換 的坐標公式與二階矩陣 . 定義：將平面上每個點 P 對應到它在直線 l 上的投影 P

5、（即垂足），這個變換稱為關于直線 l 的 投影變換。 . 將每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膋1 倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼膋2 倍的 伸縮變換 的坐標公式與二階矩陣.4. 投影變換研究： P（x,y ）在 x 軸上的（正）投影變換的的坐標公式與二階矩陣。5. 切變變換定義：將每一點 P（x,y ）沿著與 x 軸平行的方向平移 ky個單位，稱為平行于 x 軸的切變變換。 將每一點 P（x,y ）沿著與 y 軸平行的方向平移 kx個單位，稱為平行于 y 軸的切變變換。 研究：這兩個變換的坐標公式和二階矩陣。練習： P10 1.2.3.4四、簡單應用 1.設矩陣 A= 1 0 ，求點 P（2,2） 在 A所對應

6、的線性變換下的象。01練習： P13 1.2.3.【第一講 . 作業(yè)】1. 關于 x 軸的反射變換對應的二階矩陣是2. 在直角坐標系下，將每個點繞原點逆時針旋轉 120o 的旋轉變換對應的二階矩陣是3. 如果一種旋轉變換對應的矩陣為二階單位矩陣，則該旋轉變換是4. 平面內的一種線性變換使拋物線 y x2 的焦點變?yōu)橹本€ y=x 上的點，則該線性變換對應的二 階矩陣可以是5. 平面上一點 A先作關于 x軸的反射變換， 得到點 A1, 在把 A1繞原點逆時針旋轉 180o，得到點 A2， 若存在一種反射變換同樣可以使 A 變?yōu)?A2，則該反射變換對應的二階矩陣是（ 1， 2）經過平行于 y 軸的切

7、變變換后變?yōu)辄c P1（1,-5） ，則該切變變換對應的坐標公式為1 x zx27. 設 A ， B 2 ，且 A=B.則 x2x 1 yx2 4 28. 在平面直角坐標系中，關于直線 y=-x 的正投影變換對應的矩陣為9. 在矩陣 A 1210. 已知點 A（ 2， 1）， B1 2，3），則向量 AB 在矩陣 221 對應的線性變換下得到的向量0對應的線性變換作用下，點 P（2,1） 的像的坐標為坐標為11. 向量 a 在矩陣的作用下變?yōu)榕c向量平行的單位向量，則 a 12. 已知 Aa，b 3 ，設4a b ，求 A ， A ；13. 已知 Aax，若 Aa與 A b的夾角為 135o，求 x.114. 一種線性變換對應的矩陣為。若點 A在該線性變換作用下的像為（ 5，5）, 求電10A的坐標；解釋該線性變換的幾何意義。15. 在平面直角坐標系中，一種線性變換對應的二階矩陣為1 。求點A（ 1/5,3 ）在該變換作用下的像；圓2213. 2/3 14.(5,y) 15.32x2 y2 1上任意一點 P（x0,y0） 在該變換作用下