組合與組合數(shù)公式2

1、2021/3/10講解：XX1 組合與組合數(shù)公式 （二） 2021/3/10講解：XX2 98 100 2 10 2 4 2 3 2 2 )2( 1 C CCCC）（ 計(jì)算： 2021/3/10講解：XX3 ! ) 1()2)(1( m mnnnn P P C m m m n m n ! )( ! ! mnm n C m n 一、組合的定義 二、組合數(shù)公式 復(fù)習(xí) 2021/3/10講解：XX4 例. 1 1 C mn m C m n m n :求證 , ! : ）（ ！ 證明 mnm n C m n )!1()!1( ! 111 mnm n mn m mn m C m n )!1)( ! )!

2、1( 1 mnmn n m m . ! )( ! ! C mnm n m n 2021/3/10講解：XX5 寫出從 a , b , c , d 四個(gè)元素中 任取三個(gè)元素的所有組合。 a abc ， abd ， acd ， bcd . bcd d b c c d 2021/3/10講解：XX6 abc abd acd bcd d c b a 4 3 4 C 4 1 4 C 34 4 3 4 CC 從從4個(gè)不同元素中每次取出個(gè)不同元素中每次取出3個(gè)的一個(gè)組合，個(gè)的一個(gè)組合， 和剩下的（和剩下的（4-3）個(gè)元素的組合是一一對應(yīng)的。）個(gè)元素的組合是一一對應(yīng)的。 2021/3/10講解：XX7 推廣推

3、廣: 從從 n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的每個(gè)元素的每 一個(gè)組合，與剩下的一個(gè)組合，與剩下的n-m個(gè)元素的每一個(gè)個(gè)元素的每一個(gè) 組合一一對應(yīng)，所以從組合一一對應(yīng)，所以從 n個(gè)不同元素中取個(gè)不同元素中取 出出 m個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這n 個(gè)元素個(gè)元素 中取出中取出n-m 個(gè)元素的組合數(shù)，即個(gè)元素的組合數(shù)，即 cc mn n m n 2021/3/10講解：XX8 組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì) .1 CC mn n m n : 定理 , ! : ）（ ！ 證明 mnm n C m n ! ! )( ）（ ！ mnnmn n C mn n ! )( ! mnm n ！

4、. CC mn n m n 2021/3/10講解：XX9 3、性質(zhì)1的應(yīng)用 (1)當(dāng)m 時(shí)，利用這個(gè)公式，可使 的計(jì)算簡化 2 n c m n 如：如： 36 21 892 9 79 9 7 9 ccc 4950 21 991002 100 98 100 cc （2）當(dāng)）當(dāng)m=n時(shí)時(shí), 有有 所以規(guī)定所以規(guī)定1 0 c c n n n 1 0 c n 2021/3/10講解：XX10 1、（課本、（課本101例例4）一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的）一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的 7個(gè)白球和個(gè)白球和1個(gè)黑球個(gè)黑球 從口袋內(nèi)取出從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？個(gè)球，共有多少種取法？ 從口袋內(nèi)取出從口袋內(nèi)

5、取出3個(gè)球，使其中含有個(gè)球，使其中含有1 1個(gè)黑球，個(gè)黑球， 有多少種取法？有多少種取法？ 從口袋內(nèi)取出從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有個(gè)球，使其中不含黑球，有 多少種取法？多少種取法？ 56 3 8 C 21 2 7 C 35 3 7 C 解：解：（1） 性質(zhì)性質(zhì)2 2021/3/10講解：XX11 我們可以這樣解釋：我們可以這樣解釋：從口袋內(nèi)的從口袋內(nèi)的 8個(gè)球中所取出的個(gè)球中所取出的3個(gè)球，可以分為個(gè)球，可以分為 兩類：一類兩類：一類含有含有1個(gè)個(gè)黑球，一類不含黑球，一類不含 有黑球因此根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，有黑球因此根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理， 上述等式成立上述等式成立 我們發(fā)現(xiàn)：我們發(fā)現(xiàn)：

6、3 8 C 2 7 C 3 7 C 為什么呢為什么呢 2021/3/10講解：XX12 到一個(gè)怎樣的公式？）從上面的結(jié)果可以得（ 的？個(gè)是不含有）在這些組合里有多少（ 的？個(gè)是含有）在這些組合里有多少（ 組合？）可以有多少個(gè)不同的（ 個(gè)元素。每次取出 個(gè)不同元素中，這從 4 3 2 1 1, 1 1 1321 a a m naaaa n 2021/3/10講解：XX13 推廣推廣:從從 這這n+1個(gè)不同個(gè)不同 的元素中，取出的元素中，取出m個(gè)元素的組合數(shù)個(gè)元素的組合數(shù) ，這些組合，這些組合 可以分成兩類：一類含可以分成兩類：一類含 ，一類不含，一類不含 。含。含 的組的組 合是從合是從 這這n

7、個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m-1個(gè)個(gè) 元素的組合數(shù)為元素的組合數(shù)為 ；不含；不含 的組合是從的組合是從 這這n個(gè)不同的元素中取出個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)為個(gè)元素的組合數(shù)為 ， 再由加法原理，得再由加法原理，得 aaa n121 , a1 a1a1 aaa n132 , c m n 1 a1aaan 132 , c m n c m n1 ccc m n m n m n 1 1 性質(zhì)性質(zhì)2 2021/3/10講解：XX14 .2 1 1CCC m n m n m n : 定理 CC m n m n 1 :證明 )!1()!1( ! )!( ! ! mnm n mnm n )!1(

8、! !) 1( ! mnm mnmnn )!1( ! !)1( mnm nmmn !) 1(! )!1( mnm n . 1C m n 2021/3/10講解：XX15 注:1 公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之 和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與原組合數(shù)上標(biāo)較 大的相同的一個(gè)組合數(shù) 2 此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡化運(yùn)算在今后學(xué) 習(xí)“二項(xiàng)式定理”時(shí)，我們會看到它的主要應(yīng)用 ccc m n m n m n 1 1 2021/3/10講解：XX16 例計(jì)算： ; 198 200 )1( C ; 2 99 3 99 )2( CC . 2 2 8 3 9 3 8 )3( CCC )19900 1

9、2 199200 ( 2 200 C 161700 123 9899100 3 100 C 56 3 8 2 8 2 8 3 8 3 8 )(2 CCCCC 2021/3/10講解：XX17 ; 1 11 1 1 )1( CCCC m n m n m n m n . 2 1 2 11 )2( CCCC m n m n m n m n 例2 求證: . 1 1 1 11 1 )1( C CC CCC m n m n m n m n m n m n 證明: . )()( 2 1 2 1 1 1 11 11 )2( C CC CCCC CCC m n m n m n m n m n m n m n

10、m n m n m n 2021/3/10講解：XX18 計(jì)算：計(jì)算： 6 9 5 8 4 7 3 7 CCCC 求證：求證： n m C 2 n m C + 1 2 n m C+ 2n m C 解方程：解方程： 32 13 1 13 xx CC 解方程：解方程： 3 3 3 2 2 2 10 1 x x x x x ACC 計(jì)算：計(jì)算： 5 5 4 5 3 5 2 5 1 5 0 5 CCCCCC 推廣：推廣： nn n n nnnn CCCCC2 1210 練習(xí): 2021/3/10講解：XX19 例3平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn)，任何3點(diǎn)不在 同一直線上,以每3點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)三 角形,一共可畫多少個(gè)

11、三角形? 220 123 101112 3 12 C 答:一共可畫220個(gè)三角形. 2021/3/10講解：XX20 思考交流 1. 從9名學(xué)生中選出3人做值日,有多 少種不同的選法? 2. 有5 本不同的書,某人要從中借2本, 有多少種不同的借法? )84 123 789 ( 3 9 C )10 12 45 ( 2 5 C 2021/3/10講解：XX21 例4有13個(gè)隊(duì)參加籃球賽,比賽時(shí)先 分成兩組,第一組7個(gè)隊(duì),第二組6個(gè)隊(duì). 各組都進(jìn)行單循環(huán)賽(即每隊(duì)都要與 本組其它各隊(duì)比賽一場),然后由各組 的前兩名共4個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽決出 冠軍、亞軍,共需要比賽多少場? )4261521 2 4 2 6 2 7 ( CC C 2021/3/10講解：XX22 例5 在產(chǎn)品檢驗(yàn)時(shí),常