狀態(tài)反饋控制器與狀態(tài)觀測器

1、 測控系統(tǒng)課程設(shè)計題目: 狀態(tài)反饋控制器與狀態(tài)觀測器方案b1 2 院 （系） 機(jī)電及自動化學(xué)院 專 業(yè) 測控技術(shù)與儀器（輔助）學(xué) 號 姓 名 級 別 2 0 0 9 指導(dǎo)老師 2012年6月摘要在經(jīng)典控制系統(tǒng)設(shè)計中，對于一個簡單的siso（單輸入單輸出）閉環(huán)系統(tǒng)而言，控制器部分只有簡單的增益環(huán)節(jié)，因此系統(tǒng)僅有唯一的控制參數(shù)可供調(diào)整。對于n維控制系統(tǒng)，控制器需要至少n個獨(dú)立變量來調(diào)整系統(tǒng)所需根極點(diǎn)的位置，狀態(tài)反饋控制器則可以將系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量x都進(jìn)行反饋，將系統(tǒng)的根極點(diǎn)調(diào)整到需要的位置。而狀態(tài)反饋控制的實(shí)現(xiàn)前提就是要求系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量可測，此時，利用系統(tǒng)某種數(shù)學(xué)形式的仿真來估計狀態(tài)值，即系統(tǒng)

2、的狀態(tài)觀測設(shè)計，就可以保證系統(tǒng)帶全觀測的狀態(tài)反饋控制順利實(shí)現(xiàn)。本文主要介紹了帶全觀測器的狀態(tài)反饋控制器。關(guān)鍵詞：狀態(tài)反饋，狀態(tài)觀測abstract the classical control system design, for a simple siso (siso) closed loop system, a controller part is only the simple gain link, therefore only one control parameter can be adjusted. for the n control system, the controller n

3、eeds at least n independent variable to adjust the system required root pole position, a state feedback controller can be a system of all state variables in x feedback, the system root poles are adjusted to the needs of the location of. while the state feedback control is the premise requirement sys

4、tem realizes all the state variables can be measured, this time using a mathematical form, system simulation to estimate the state value, namely the system state observer design, can guarantee system with full state feedback control for the smooth realization of observation. this paper mainly introd

5、uces the observer-based state feedback controller.key words: state feedback, state observer目錄1.狀態(tài)反饋控制器- 4 -1.1狀態(tài)反饋的定義- 4 -1.2狀態(tài)反饋控制器- 4 -1.3完全可控性- 5 -1.4狀態(tài)反饋控制器的極點(diǎn)配置- 6 -2.狀態(tài)觀測器設(shè)計- 7 -2.1系統(tǒng)狀態(tài)觀測器定義- 7 -2.2完全可觀性- 9 -2.3觀測器增益的確定- 10 -3.帶全觀測器的狀態(tài)反饋控制- 10 -3.1仿真程序及分析- 10 -3.2程序運(yùn)行結(jié)果- 12 -4.學(xué)習(xí)小結(jié)- 13 -參考文獻(xiàn)-

6、13 -1. 狀態(tài)反饋控制器1.1狀態(tài)反饋的定義經(jīng)典控制：只能用系統(tǒng)輸出作為反饋控制器的輸入；現(xiàn)代控制：由于狀態(tài)空間模型刻畫了系統(tǒng)內(nèi)部特征，故而還可用系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)作為反饋控制器的輸入。根據(jù)用于控制的系統(tǒng)信息：狀態(tài)反饋、輸出反饋控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，主要由其狀態(tài)矩陣的特征值（即閉環(huán)極點(diǎn)）決定。基于狀態(tài)空間表達(dá)式，可以通過形成適當(dāng)?shù)姆答伩刂?，進(jìn)而配置系統(tǒng)的極點(diǎn)，使得閉環(huán)系統(tǒng)具有期望的動態(tài)特性。狀態(tài)反饋的定義：將系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端，與參考輸入相加形成控制律，作為受控系統(tǒng)的控制輸入。給定線性定常被控系統(tǒng)：選取狀態(tài)反饋控制律為：代入可得，狀態(tài)反饋系統(tǒng)： 1.2狀態(tài)反饋

7、控制器系統(tǒng)僅有唯一的控制參數(shù)可供調(diào)整,而對于n維控制系統(tǒng),系統(tǒng)開環(huán)矩陣具有n個特征值或者開環(huán)傳遞函數(shù)具有n個極點(diǎn),即 det(a-i)=0 或 det(si-a)=0 要想將所有這些系統(tǒng)根極點(diǎn)調(diào)整到需要的位置,控制器至少需要n個獨(dú)立變量,因此僅僅將系統(tǒng)輸出信號進(jìn)行反饋將不能滿足控制器設(shè)計的要求。一個自然的想法就是將系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量x都進(jìn)行反饋,這就產(chǎn)生了狀態(tài)反饋控制器。對于siso系統(tǒng),狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)輸入變成 （1） 稱為系統(tǒng)的反饋系數(shù)。這樣，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以寫成 （2）閉環(huán)系統(tǒng)框圖如圖1所示。狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)是由的特征值決定的。改變控制增益可以調(diào)整根極點(diǎn)的位置，以獲得期望

8、的狀態(tài)響應(yīng)。事實(shí)上，如果該系統(tǒng)是完全可觀的，增益矩陣的n個元素就可以完全確定的所有特征值得期望位置。y1+1urd insumplantstate feed backgain matrixy outxksx圖1. siso系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器1.3完全可控性為了設(shè)計具有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制器,讓我們首先熟悉有關(guān)系統(tǒng)可控性的定義。假設(shè)一個sisolti系統(tǒng)由式（ 3）描述 （ 3）如果該系統(tǒng)能夠構(gòu)造一個無約束的輸入信號u(t),使得系統(tǒng)能夠在有限的時間間隔內(nèi)（t）由初始狀態(tài)運(yùn)動到任何其它的狀態(tài),則可以說系統(tǒng)在時刻是可控的。如果系統(tǒng)的每個狀態(tài)都是可控的,則稱該系統(tǒng)是完全可控的。不失一般性,假設(shè)

9、x()=0, =0,則 （ 4）根據(jù)完全可控性的定義，有 （ 5）或者 （ 6）根據(jù)sylvester積分公式 （ 7） 有 （ 8）或者 （ 9）當(dāng)如下矩陣非奇異時，系統(tǒng)滿足完全可控的條件： m=b ab a2ban-1 b ( 10)上面的矩陣又稱為系統(tǒng)的可控矩陣。1.4狀態(tài)反饋控制器的極點(diǎn)配置系統(tǒng)性能：穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能：穩(wěn)定性、靜態(tài)誤差動態(tài)性能：調(diào)節(jié)時間、響應(yīng)速度、超調(diào)量影響系統(tǒng)穩(wěn)定性、動態(tài)性能的因素：極點(diǎn)位置（系統(tǒng)矩陣的特征值），通過反饋控制器的設(shè)計，可使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于預(yù)先給定的期望位置。極點(diǎn)配置：通過選擇反饋增益矩陣k,將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好配置在根平面上所期望的位置，

10、以獲得所希望的動態(tài)性能。設(shè)計狀態(tài)反饋控制器的最簡單方法是采用極點(diǎn)配置。其基本思想是首先確定閉環(huán)系統(tǒng)n個根極點(diǎn)的期望位置,然后設(shè)計適當(dāng)?shù)姆答佋鲆?從而將系統(tǒng)的極點(diǎn)調(diào)整到期望的位置。如果系統(tǒng)是完全可控的,則這一過程完全可以表示成包含n個未知參數(shù)的n個方程組的求解。所需要設(shè)計的反饋控制增益就是該方程組的解。如果系統(tǒng)比較簡單,則完全可以通過手工計算完成系統(tǒng)的極點(diǎn)配置,但無論是手工計算,還是通過matlab函數(shù)自動計算,其基本步驟都是相同的，如下所示：（1）檢查系統(tǒng)的可控矩陣是否滿秩。 （2）確定閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn),1,2,n。（3）確定希望配置的極點(diǎn)位置后,可以建立期望的特征方程。（4）最后建立閉環(huán)系

11、統(tǒng)的特征方程,即(si-)=0,將（3）、（4）步建立的方程聯(lián)立,由于其多項(xiàng)式的系數(shù)相等,由此可以建立n個位置參數(shù)的n個方程組,從而可以唯一地確定系統(tǒng)的反饋增益矩陣。matlab中的place函數(shù)可以通過極點(diǎn)配置方法確定狀態(tài)反饋的增益矩陣。2.狀態(tài)觀測器設(shè)計問題的提出： 極點(diǎn)的任意配置離不開全狀態(tài)反饋，而系統(tǒng)的狀態(tài)變量并不都是易于直接檢測得到的，有些甚至根本無法檢測。2.1系統(tǒng)狀態(tài)觀測器定義設(shè)計狀態(tài)反饋控制器的主要問題是要求系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量都是可測的。然而對于一個實(shí)際系統(tǒng)而言,有些狀態(tài)的信號值很難測量甚至不可能直接通過傳感器進(jìn)行測量,或者雖然可以進(jìn)行直接測量,但在經(jīng)濟(jì)上卻要增加相應(yīng)的成本。這

12、樣,如果不能得到系統(tǒng)的全狀態(tài)向量,前面講述的狀態(tài)反饋控制就不可能實(shí)現(xiàn)。解決以上問題的方法是利用系統(tǒng)某種數(shù)學(xué)形式的仿真來估計不能測量的狀態(tài)值,這種方法稱之為系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器設(shè)計。下面假定以sisolti系統(tǒng)為研究對象,這意味著系統(tǒng)有唯一的可控變量和唯一的可測量。同時,假定系統(tǒng)輸出y(t)是唯一能夠測量的量,它將被引入到狀態(tài)觀測器中來提高狀態(tài)值的估計過程。這里采用來表示狀態(tài)向量x(t)的在t時刻的估計值。狀態(tài)觀測器的框圖如圖 2所示（注意變量xc表示）。該觀測器使用u(t)和y(t)作為輸入量,并且輸出系統(tǒng)狀態(tài)關(guān)于時間的估計值。從框圖中可以看出 （ 11）這里的l為未知的增益,它是根據(jù)該子系統(tǒng)期望

13、的暫態(tài)響應(yīng)特性確定的,稱為狀態(tài)觀測器的增益矩陣。對于siso系統(tǒng),l是長度為n的列向量。ab1+c21l+xc outa-matrixaxcdxc/dty inbuuu inb-matrixsumintegratorc-matrixsumy-cxcl(y-cxc)state observer gain matrix圖2. siso系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器模型觀測器的設(shè)計過程與前面講述的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)反饋控制器類似。這里的觀測器的增益選擇應(yīng)使?fàn)顟B(tài)觀測器的特征值是穩(wěn)定的,同時使得觀測器的動態(tài)變化快于整個閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)屬性。觀測器的特征值由下式確定：det(si-(a-l)=0 ( 12)在狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)中加入

14、狀態(tài)觀測器,可得到圖3所示的系統(tǒng)框圖。對于該系統(tǒng),系統(tǒng)輸入為 （13）如果系統(tǒng)模型與狀態(tài)觀測器模型都采用相同的狀態(tài)空間矩陣a、b、ct進(jìn)行描述,則對于被研究對象有 （ 14）將式（ 13）的輸入代入上面的方程,則得到系統(tǒng)的完整模型 （ 15）對于狀態(tài)觀測器,將式（ 13）代入式（ 11）可以得到觀測器的完整模型 （ 16）或者 （ 17）定義誤差向量： （ 18）將式（ 17）代入得到誤差向量的動態(tài)模型 （ 19）+11ksplanty outstate observestate feedback gainksxcsumrd inxcu圖3. 具有全狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)框圖（siso系

15、統(tǒng)）2.2完全可觀性如果系統(tǒng)的每個狀態(tài)x(t0)都可以通過y(t)一段時間的觀測值來確定,則該系統(tǒng)被稱為是完全可觀的?？紤]式（ 3）定義的sisolti系統(tǒng),其時域解為 （ 20）假設(shè)u()=0,為方便計算,上式可以寫成 （ 21）其中已知，y(t)可測。因此狀態(tài)向量x(0)可以通過y(t)的觀測值間接計算得到。對于siso系統(tǒng),方程（ 21）僅有一個方程,但包含n個未知參數(shù)。然而,由于該方程獨(dú)立于時間變量,因此,在多個時刻對y(t)進(jìn)行測量,可以獲得多個類似的方程,將它們聯(lián)立,就可以唯一確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)。下面給方程（ 21）兩邊同時乘以已知的系數(shù)矩陣,得到 （ 22）變換方程有 （

16、 23） （ 24）將整個觀測時間內(nèi)的所有方程進(jìn)行聯(lián)立，得到 （ 25）其中 （ 26）最后求解方程（ 25）,得到 （ 27）如果w是非奇異的,x(0)可以由y(t)的觀測值唯一確定,從而系統(tǒng)是完全可觀的。再次使用sylvester的積分公式,得到 （ 28） （ 29）定義 （ 30）2.3觀測器增益的確定確定觀測增益矩陣同樣采用極點(diǎn)配置的方法。然而在這里,我們確定的是狀態(tài)觀測器誤差方程的極點(diǎn)位置。誤差極點(diǎn)位置的選擇比較隨意,但誤差動態(tài)變化應(yīng)該比被控系統(tǒng)的動態(tài)變化快一些。如果系統(tǒng)完全可觀,則的n個特征值的位置應(yīng)該唯一確定觀測器增益矩陣的n個元素。設(shè)計的過程如下：（1） 檢查系統(tǒng)可觀矩陣是否

17、奇異。（2） 為誤差方程指定期望的極點(diǎn)位置（1,2,n）。這些極點(diǎn)位置與系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)相比較應(yīng)該更靠近復(fù)平面的左手邊。（3） 根據(jù)期望的極點(diǎn)位置創(chuàng)建期望的特征方程。（4） 最后創(chuàng)建誤差方程的特征方程,從而得到含有n個位置參數(shù)的方程組。3.帶全觀測器的狀態(tài)反饋控制用matlab的place函數(shù)設(shè)計狀態(tài)反饋控制器與全狀態(tài)觀測器。3.1仿真程序及分析%sfsotest.m siso lti系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器與全狀態(tài)觀測器的設(shè)計 clear all, close all, nfig=0;%打開二進(jìn)制文件保存結(jié)果delete sfsotest.outdiary sfsotest.outdisp( )d

18、isp(* * * sfsotest.out * * * diary file for sfsotest.m)disp( )%part i.創(chuàng)建線性系統(tǒng)模型，顯示其開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的setup base data for the lineara=0 1;20.6 0; b=0 1; %建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型c= 1 0; d= 0;disp(state space matrices for the plant)a, b, c, d%compute eigenvalues of state matrix for open loop plantdisp(eigenvalues of the ope

19、n loop plant);%計算開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣特征值ev=eig(a)%part ii.加入狀態(tài)反饋控制器以穩(wěn)定系統(tǒng)，對狀態(tài)1的輸出量進(jìn)行仿真%檢查系統(tǒng)的可控性disp(controllability matrix for this system), m=ctrb(a,b)disp(rank of controllability matrix), rank(m)clp=-1.8+2.4j -1.8-2.4j;%計算狀態(tài)反饋控制增益ks=place(a,b,clp);disp(desired closed loop poles for state feedback controller);

20、clpdisp(state feedback gains needed to give desired poles); ksdisp (calculated eigenvalues of system with state feedback);eig (a-b*ks)nv=-1.0/(c*inv(a-b*ks)*b);%計算nvdisp(setpoint gain for zero ss error);nvto=0; tf=5;nfig=0;%對被控系統(tǒng)+控制器進(jìn)行仿真t=linspace(to,tf,101);syscl1=ss (a-b*ks, b*nv, c, d);y1,t,x1=st

21、ep(syscl1,t);nfig=nfig+1; figure(nfig)%繪制相關(guān)結(jié)果曲線subplot(2,1,1),plot(t,x1(:,1),r-,t,x1(:,2),g-),grid,title(states for state feedback test case)xlabel (time), ylabel (state variables)legend (x1(t),x2(t)%partiii.加入狀態(tài)反饋控制器與全狀態(tài)觀測器，仿真狀態(tài)1的階躍響應(yīng)特性%檢查系統(tǒng)的完全可觀性disp (observability matrix for this system), h=obsv

22、(a,c)disp (rank of observability matrix), rank (h)%針對指定的觀測器極點(diǎn)計算觀測器增益op=3*clp;%觀測器的速度是閉環(huán)系統(tǒng)的3倍l=place (a, c, op); l=l;disp (desired observer poles for state feedback controller); opdisp (estimator gains needed to give desired poles); ldisp (calculated eigenvalues of estimator system); eig (a-l*c)a11=a; a12=-b*ks; b1=b*nv;a21=l*c; a22=a-l*c-b*ks; b2=b*nv;zz=0;ab=a11 a12;a21 a22; bb=b1;b2;cb=c zz*c;%對控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真syscl2=ss(ab,bb,cb,d);y2,t,x2=step(syscl2,t);%分離系統(tǒng)狀態(tài)與觀測器的估計狀態(tài)nn=max(size(a);xp2=x2(:,1:nn); xe2=x2(:,nn+1:2*nn);%繪制全觀測器情況下的計算結(jié)果subplot(2,1,2),plot(t,xp2(:,1),r-,t,xp2(:,2),g-),grid,tit