材料力學(xué),彎矩剪力圖[務(wù)實(shí)應(yīng)用]

1、5-5 5-5 按疊加原理作彎矩圖按疊加原理作彎矩圖 第五章第五章 梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力 5-1 5-1 平面彎曲的概念及工程實(shí)例平面彎曲的概念及工程實(shí)例 5-2 5-2 靜定梁的分類（三種基本形式）靜定梁的分類（三種基本形式） 5-3 5-3 剪力方程與彎矩方程剪力方程與彎矩方程 5-4 5-4 剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系及應(yīng)用剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系及應(yīng)用 1運(yùn)用材料 構(gòu)件構(gòu)件 Component, Structural member 桿桿 bar 梁梁 beam 拉壓桿：承受軸向拉、壓力拉壓桿：承受軸向拉、壓力 扭扭 桿：承受扭矩桿：承受扭矩 梁：承受橫向力梁：承受橫向力 為什么梁特別

2、重要？為什么梁特別重要？ 地球引力場(chǎng)方向地球引力場(chǎng)方向 + 人類需要空間人類需要空間 墻墻 樓板樓板 橋板橋板 2 運(yùn)用材料 一、彎曲實(shí)例一、彎曲實(shí)例 工廠廠房的天車大梁：工廠廠房的天車大梁： 5-1 5-1 平面彎曲的概念及工程實(shí)例平面彎曲的概念及工程實(shí)例 3運(yùn)用材料 火車的輪軸：火車的輪軸： F F F F 4運(yùn)用材料 樓房的橫梁：樓房的橫梁：陽(yáng)臺(tái)的挑梁：陽(yáng)臺(tái)的挑梁： 5運(yùn)用材料 6運(yùn)用材料 7運(yùn)用材料 二、彎曲的概念：二、彎曲的概念： 受力特點(diǎn)受力特點(diǎn)作用于桿件上的作用于桿件上的外力外力都都垂直垂直于桿的于桿的軸線軸線。 變形特點(diǎn)變形特點(diǎn)桿軸線由桿軸線由直線直線變?yōu)橐粭l平面的變?yōu)橐粭l平面

3、的曲線曲線。 主要產(chǎn)生彎曲變形的桿主要產(chǎn)生彎曲變形的桿- - 梁梁。 q P M A R B N 8運(yùn)用材料 常見彎曲構(gòu)件截面常見彎曲構(gòu)件截面 目錄 9運(yùn)用材料 平面彎曲平面彎曲 具有縱向?qū)ΨQ面具有縱向?qū)ΨQ面 外力都作用在此面內(nèi)外力都作用在此面內(nèi) 彎曲變形后軸線變成對(duì)稱面內(nèi)的平面曲線彎曲變形后軸線變成對(duì)稱面內(nèi)的平面曲線 目錄 10運(yùn)用材料 靜定梁的分類（三種基本形式）靜定梁的分類（三種基本形式） M 集中力偶集中力偶 q(x) 分布力 分布力 1 1、懸臂梁：、懸臂梁： 2 2、簡(jiǎn)支梁：、簡(jiǎn)支梁： 3 3、外伸梁：、外伸梁： 集中力集中力 F q 均布力 均布力 L L L L （L稱為梁的跨

4、長(zhǎng)）稱為梁的跨長(zhǎng)） 11運(yùn)用材料 12運(yùn)用材料 FN FS M 0 x F0 N F 0 y F 1AS FFF y 0 Mc F)( 1 axFxFM Ay F FS S剪力剪力，平行于，平行于 橫截面的內(nèi)力合力橫截面的內(nèi)力合力 M M 彎矩彎矩，垂直于，垂直于 橫截面的內(nèi)力系的橫截面的內(nèi)力系的 合力偶矩合力偶矩FBy FN FS M n5-2 剪力和彎矩及其方程 3 FAy 13運(yùn)用材料 FAy FN FS M FBy FN FS M 截面上的剪力對(duì)梁上任意一點(diǎn)的矩為截面上的剪力對(duì)梁上任意一點(diǎn)的矩為順時(shí)針順時(shí)針 轉(zhuǎn)向時(shí)，轉(zhuǎn)向時(shí)，剪力為正；剪力為正；反之反之為負(fù)。為負(fù)。 n5-2 剪力和彎矩

5、及其方程 Fs(+) Fs(+) Fs() Fs() 左上右下左上右下為正；為正；反之反之為負(fù)為負(fù) 14運(yùn)用材料 FAy FN FS M FBy FN FS M 截面上的彎矩使得梁呈截面上的彎矩使得梁呈凹形凹形為為正；正；反之反之為負(fù)。為負(fù)。 n5-2 剪力和彎矩及其方程 左順右逆左順右逆為正；為正；反之反之為負(fù)為負(fù) M(+) M(+) M() M() 15運(yùn)用材料 FN FN FQ FQ 內(nèi)力方向規(guī)定內(nèi)力方向規(guī)定 16運(yùn)用材料 解：解： 1. 確定支反力確定支反力 FAyFBy 0 y FFFF ByAy 2 0 A M aFFaaFBy23 3 F FBy 3 5F FAy 2. 用截面法

6、研究?jī)?nèi)力用截面法研究?jī)?nèi)力 FAy FSE ME 0 y F 3 5 2 F FF SE 0 E M 2 3 3 5 2 2 aF M a F E 3 F FSE 2 3Fa M E n5-2 剪力和彎矩及其方程 例題例題5-15-1 求圖示簡(jiǎn)支梁求圖示簡(jiǎn)支梁E E 截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力 FAy 17運(yùn)用材料 FBy FByFAy FSE ME O 3 F FBy 3 5F FAy 分析右段得到：分析右段得到： FSE ME O 0 y F0 BySE FF 3 F FF BySE 0 o MFa a FM ByE 2 3 2 3Fa M E n5-2 剪力和彎矩及其方程 18運(yùn)用材料 FAyF

7、By 3 F FBy 3 5F FAy 截面上的剪力等于截截面上的剪力等于截 面任一側(cè)外力的代數(shù)和。面任一側(cè)外力的代數(shù)和。 n5-2 剪力和彎矩及其方程 FSE FAy 3 5F FSE 2F FSE F2 3 F 左上右下左上右下為正；為正；反之反之為負(fù)為負(fù) 19運(yùn)用材料 FAyFBy 3 F FBy 3 5F FAy 截面上的彎矩等于截面任截面上的彎矩等于截面任 一側(cè)外力對(duì)截面形心力矩的代一側(cè)外力對(duì)截面形心力矩的代 數(shù)和。數(shù)和。 n5-2 剪力和彎矩及其方程 ME FAy 2 3 3 5aF M E 2 2 a F Fa 2 3 2F ME 左順右逆左順右逆為正；為正；反之反之為負(fù)為負(fù) 2

8、0運(yùn)用材料 計(jì)算任意截面的剪力和彎矩計(jì)算任意截面的剪力和彎矩法則法則 橫向力：載荷和約束反力橫向力：載荷和約束反力 分布力和集中力分布力和集中力 方向：左上右下為正，方向：左上右下為正， 反之為負(fù)反之為負(fù) 外力：載荷和約束反力外力：載荷和約束反力 分布力、集中力和集中力偶分布力、集中力和集中力偶 方向：左順右逆為正，方向：左順右逆為正， 反之為負(fù)反之為負(fù) 任意截面的剪力一側(cè)橫向力代數(shù)值 任任意意截截面面的的彎彎矩矩 一一側(cè)側(cè)外外力力對(duì)對(duì)截截面面形形心心之之矩矩代代數(shù)數(shù)值值 21運(yùn)用材料 三、剪力方程、彎矩方程三、剪力方程、彎矩方程： 注意注意： 不能用一個(gè)函數(shù)表不能用一個(gè)函數(shù)表 達(dá)的要分段，分

9、段點(diǎn)為：達(dá)的要分段，分段點(diǎn)為：集中力集中力 作用點(diǎn)、集中力偶作用點(diǎn)、分布作用點(diǎn)、集中力偶作用點(diǎn)、分布 力的起點(diǎn)、終點(diǎn)。力的起點(diǎn)、終點(diǎn)。 )( SS xFF 剪力方程剪力方程 )(xMM 彎矩方程彎矩方程 反映梁的橫截面上的剪力和彎反映梁的橫截面上的剪力和彎 矩隨截面位置變化的函數(shù)式矩隨截面位置變化的函數(shù)式 顯示剪力和彎矩隨截面位移的顯示剪力和彎矩隨截面位移的 變化規(guī)律的圖形則分別稱為變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力剪力 圖圖和和彎矩圖彎矩圖。 L q AB ,)(qxxFs , 2 1 )( 2 qxxM)0(lx )0(lx x s F x ( (- -) ) M x ql 2 5 . 0 ql

10、 22運(yùn)用材料 F(x) x F FFxF AYs )( 解解：求支反力求支反力 )( )( LxF MxFxM AAY 寫出內(nèi)力方程寫出內(nèi)力方程 FL MFF AAY ; 根據(jù)方程畫內(nèi)力圖根據(jù)方程畫內(nèi)力圖 例例 列出梁內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。列出梁內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。 F A B )0(lx )0(lx FAY MA L x x M(x) FL 注意：彎矩圖中正的彎矩值注意：彎矩圖中正的彎矩值 繪在繪在x x軸的下方軸的下方( (即彎矩值繪即彎矩值繪 在彎曲時(shí)梁的受拉側(cè)在彎曲時(shí)梁的受拉側(cè)) )。 23運(yùn)用材料 例例 圖示簡(jiǎn)支梁受集度為圖示簡(jiǎn)支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖的滿布荷

11、載作用。試作梁的剪力圖 和彎矩圖。和彎矩圖。 解：解：1 1、求支反力、求支反力 2 ql FF BA 2 2、列剪力方程和彎矩方程、列剪力方程和彎矩方程 qx ql qxFxF A 2 S 222 2 qxqlxx qxxFxM A x FBFA B l A q 24運(yùn)用材料 ql 2 FS ql2 8 l/2 M 3 3、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖 2 max,S ql F 8 2 max ql M 22 2 qxqlx xM qx ql xF 2 SB l A q * 載荷對(duì)稱、結(jié)構(gòu)對(duì)稱則剪力圖反對(duì)稱，彎矩圖對(duì)稱 * 剪力為零的截面彎矩有極值。 25運(yùn)用材料 例例 圖示簡(jiǎn)支梁受集

12、中荷載圖示簡(jiǎn)支梁受集中荷載F作用。試作梁的剪力圖作用。試作梁的剪力圖 和彎矩圖和彎矩圖。 解：解：1、求支反力求支反力 l Fb FA l Fa FB 2 2、列剪力方程和彎矩方程、列剪力方程和彎矩方程 需分兩段列出需分兩段列出 B FBFA x l A F a b C 26運(yùn)用材料 AC段段 CB段段 lxa l Fa FxF B S ax l Fb xF0 S lxa xl l Fa xlFxM B )( axx l Fb xM0 FA x A M(x) FS(x) FB B FS(x) M(x) B FBFA x l A F a b C l Fb FA l Fa FB 27運(yùn)用材料 3

13、3、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖 xl l Fa xM)( 2 l Fb xF S1 x l Fb xM 1 l Fa xF S2 FS Fb l x Fb l M x Fab l B FBFA x l A F a b C 28運(yùn)用材料 FS Fb l x Fb l M x Fab l 為極大值。為極大值。時(shí)，時(shí)， 4 2/ max Fl Mlba * 在 集中力F 作用 處，剪力圖有突變， 突變值為集中力的 大??；彎矩圖有轉(zhuǎn) 折 x l A F a b C 29運(yùn)用材料 例例 圖示簡(jiǎn)支梁在圖示簡(jiǎn)支梁在C點(diǎn)受矩為點(diǎn)受矩為Me 的集中力偶作用。試的集中力偶作用。試 作梁的剪力圖和彎矩圖。作

14、梁的剪力圖和彎矩圖。 解解: : 1、求支反力、求支反力 l M FA e l M FB e 0 A M 0 e lFM A Me FA FB B l A C ab 30運(yùn)用材料 2、 列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程 剪力方程無(wú)需分段：剪力方程無(wú)需分段： lx l M FxF A 0 e S 彎矩方程彎矩方程兩段：兩段： AC段：段： CB段：段： x l M xFxM A e xl l M MxFxM A e e lxa ax 0 FA FB x A FA M(x) FS(x) x FB B FS(x) M(x) B l A C ab l M FA e l M FB e 31運(yùn)用材

15、料 3、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖 ba時(shí)時(shí) l bM M e max l M xF e S 發(fā)生在發(fā)生在C截面右側(cè)截面右側(cè) Fs l x Me l M x Mea l Meb * 集中力偶作用 點(diǎn)處剪力圖無(wú)影 響，彎矩圖有突 變，突變值的大 小等于集中力偶 的大小。 B l A C ab x l M xM e xl l M xM e lxa ax 0 32運(yùn)用材料 解解：1、支反力 2、寫出內(nèi)力方程 ),(2)(: 1 kNFxFAC AYs 1kN/m2kN A B C D 1m1m2m x1 x3 x2 FAYFBY )( 2);( 2 0432121, 0 0212, 0 kN

16、FkNF FM FFY BYAY AYB BYAY 例例 畫出梁的內(nèi)力圖。 ),.(2)( 111 mkNxxFxM AY , 0222)(: 2 AYs FxFCD ,21)(: 333 xxFxFBC BYs ),.(2) 1(2)( 222 mkNxxFxM AY , 2 2 2 1)( 2 3 3 3 333 x x x xxFxM BY 33運(yùn)用材料 3、根據(jù)方程畫內(nèi)力圖 1kN/m2kN A B C D FAYFBY x Fs(x) x 2kN 2kN )20( 2 2)( )20(2)(: )21 (2)( )21 (0)(: ) 10(2)( ) 10(, 2)(: 3 2 3

17、 33 333 22 22 111 11 x x xxM xxxFBC xxM xxFCD xxxM xxFAC s s s ， ， ， ， ， 2kN.m2kN.m M(x) 34運(yùn)用材料 5-4 5-4 剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系及應(yīng)用剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系及應(yīng)用 一、一、 剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系 1 1、支反力：、支反力： 2 ql FF BYAY L q FAyFBy 2 2、內(nèi)力方程、內(nèi)力方程 qxqlxF s 2 1 )()0(lx 2 2 1 2 1 )(qxqlxxM )0(lx 3 3、討論如下、討論如下 qxql dx xdM 2

18、1)( q dx xdFs )( x ),(xFs )(xq s F M A R A 35運(yùn)用材料 對(duì)對(duì)dx 段進(jìn)行平衡分析，有：段進(jìn)行平衡分析，有： 0)(d)(d)()( 0 xFxFxxqxF Y sss )(dd)( s xFxxq dx x q(x) M(x)+d M(x) Fs(x)+dFs (x) Fs(x) M(x) q(x) dx A y xq x xF d d s 剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率 等于該點(diǎn)處荷載集度的大小。等于該點(diǎn)處荷載集度的大小。 36運(yùn)用材料 q(x) M(x)+d M(x)Fs(x) M(x) dx A y , 0)( iA Fm )

19、( d )(d xF x xM s 彎矩圖上某點(diǎn)處的切彎矩圖上某點(diǎn)處的切 線斜率等于該點(diǎn)處剪力的線斜率等于該點(diǎn)處剪力的 大小。大小。 )( d )(d 2 2 xq x xM 0)(d( 2 1 )()d(-)(d)( 2 xxqxMxxFxMxM s Fs(x)+dFs (x) xq x xF d d s )( d )(d xF x xM s )( d )(d 2 2 xq x xM q、Fs和和M三者三者的微分關(guān)系的微分關(guān)系 37運(yùn)用材料 載荷集度、剪力和彎矩關(guān)系：載荷集度、剪力和彎矩關(guān)系： 2 2 ( )( ) ( ) S dF xd M x q x dxdx 1.1. q q0 0，F(xiàn)

20、 Fs s= =常數(shù)，常數(shù)， 剪力圖為直線剪力圖為直線, ,彎彎 矩圖為斜直線。矩圖為斜直線。 2.q2.q常數(shù)，剪力圖常數(shù)，剪力圖 為斜直線，彎矩為斜直線，彎矩 圖為拋物線。圖為拋物線。 3.3. 剪力剪力F FQ Q=0=0處，彎矩取極值或駐點(diǎn)。大小可用（無(wú)集處，彎矩取極值或駐點(diǎn)。大小可用（無(wú)集 中力偶）一側(cè)中力偶）一側(cè)Q Q圖面積的代數(shù)和計(jì)算。（左側(cè)面積或圖面積的代數(shù)和計(jì)算。（左側(cè)面積或 右側(cè)面積的相反數(shù)）右側(cè)面積的相反數(shù)） 載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系 目錄 q 下雨下雨 池塘池塘 Fs 圖：圖： M圖：圖： Fs圖：圖： M圖：圖： 38運(yùn)用材料 從左到右

21、，向上集中力作用處，剪力圖向上從左到右，向上集中力作用處，剪力圖向上 突變，突變幅度為集中力的大小。彎矩圖在該處突變，突變幅度為集中力的大小。彎矩圖在該處 為尖點(diǎn)。反之亦然。為尖點(diǎn)。反之亦然。 從左到右，順時(shí)針集中力偶作用處，彎從左到右，順時(shí)針集中力偶作用處，彎 矩圖向矩圖向M M正向突變，突變幅度為集中力偶的大正向突變，突變幅度為集中力偶的大 小。剪力圖在該點(diǎn)沒有變化。反之亦然。小。剪力圖在該點(diǎn)沒有變化。反之亦然。 4 4、集中力、集中力 5、集中力偶、集中力偶 u 剪力圖按橫向力走向可直接畫剪力圖按橫向力走向可直接畫 u 彎矩圖的段端值可用剪力圖面積計(jì)算彎矩圖的段端值可用剪力圖面積計(jì)算 3

22、9運(yùn)用材料 確定剪力、確定剪力、 彎矩圖上各點(diǎn)處的數(shù)值。彎矩圖上各點(diǎn)處的數(shù)值。 d d s M F x 22 11 s dd xx xx MF x 2 1 21s x x M xM xA F s d d F q x 22 11 dd xx s xx Fq x 2 1 21 x ss x FxFxA q 載荷集度、剪力和彎矩間的積分關(guān)系載荷集度、剪力和彎矩間的積分關(guān)系 12 xx區(qū)間 )(xq P 0 M x 從左向右從左向右 從右向左從右向左 2 1 12 x ss x FxFxA q 2 1 12s x x M xM xA F40運(yùn)用材料 利用剪力、彎矩與分布荷載間積分關(guān)系利用剪力、彎矩與分

23、布荷載間積分關(guān)系定值定值 梁上任意兩截面的剪力差等于兩截面間載荷圖梁上任意兩截面的剪力差等于兩截面間載荷圖 所包圍的面積所包圍的面積 梁上任意兩截面的彎矩差等于兩截面間剪力圖所梁上任意兩截面的彎矩差等于兩截面間剪力圖所 包圍的面積包圍的面積 積分關(guān)系積分關(guān)系: : 41運(yùn)用材料 控制點(diǎn)控制點(diǎn): :端點(diǎn)、分段點(diǎn)（外力變化點(diǎn)）和駐點(diǎn)（極值點(diǎn)）等端點(diǎn)、分段點(diǎn)（外力變化點(diǎn)）和駐點(diǎn)（極值點(diǎn)）等。 三、簡(jiǎn)易法作內(nèi)力圖：三、簡(jiǎn)易法作內(nèi)力圖： 利用微分關(guān)系定形，利用特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來定值利用微分關(guān)系定形，利用特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來定值 利用積分關(guān)系定值利用積分關(guān)系定值 基本步驟： 1、確定梁上所有外力（求支座反力）；

24、 2、分段 3、利用微分規(guī)律判斷梁各段內(nèi)力圖的形狀； 4、確定控制點(diǎn)內(nèi)力的數(shù)值大小及正負(fù)； 5、畫內(nèi)力圖。 42運(yùn)用材料 左端點(diǎn)：剪力圖有突變，突變值左端點(diǎn)：剪力圖有突變，突變值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。 右端點(diǎn)：彎矩圖有突變，突變值等于集中力偶的大小。右端點(diǎn)：彎矩圖有突變，突變值等于集中力偶的大小。 qa x aa qa q 解解：1、確定支反力（可省略）、確定支反力（可省略） AB： BC： 2、畫內(nèi)力圖、畫內(nèi)力圖 Fy m 2 2 3 ; 0qamFY A B C s F x s F s F, , 0qaqaF cs ,qaF As 右右 ； , 0q q 0, ； M, 2

25、 qaM B , 0 A M ;5 . 1 2 qaMC ,qaF Bs M qa2 (Fs 0, 所以所以Fs圖向正方向斜圖向正方向斜) ( 積分關(guān)系積分關(guān)系FsB=FsA+0) MC= MB+(-1/2qa a)= qa2 1/2 qa2 MB= MA+(-qa a)=0-qa2 ) M ;5 . 1 2 qa 43運(yùn)用材料 例例畫組合梁的剪力與彎矩圖畫組合梁的剪力與彎矩圖 組合梁組合梁, ,需拆開需拆開, ,以分析梁的受力以分析梁的受力 2 F FF CyAy 2 3F FDy 2 3Fa M D 1. 受力分析受力分析 44運(yùn)用材料 特點(diǎn)特點(diǎn)：鉸鏈傳力不傳力偶矩，：鉸鏈傳力不傳力偶矩，與鉸相連與鉸相連 的兩橫截面上的兩橫截面上, M = 0 , FS 不一定為零不一定為零 2. 畫畫 FS 圖圖 水平直線水平直線 3. 畫畫 M 圖圖 直線直線 2 3 max S F F 2 3 max Fa M M Fa/2 -Fa/2 3Fa/2 45運(yùn)用材料 aa q AB aa 46運(yùn)用材料 解解 （一）求支座反力（一）求支座反力