高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 103二項(xiàng)式定理配套訓(xùn)練 理 新人教A版

1、第3講二項(xiàng)式定理基礎(chǔ)鞏固1.(1+2)3(1-)5的展開式中x的系數(shù)是()a.-4b.-2c.2d.4【答案】c【解析】(1+2)3的通項(xiàng)公式為tr+1=2r,(1-)5的通項(xiàng)公式為tk+1=(-1)k,要求展開式中x的系數(shù),只需(1+2)3中的常數(shù)項(xiàng)及一次項(xiàng)系數(shù)與(1-)5中的一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)分別相乘再求和,即1(-10)+121=2.2.若展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為-560,則n等于()a.4b.6c.7d.11【答案】c【解析】展開式的通項(xiàng)為tr+1=(-1)r2n-r,令=-1,則n=3r-2.又(-1)r2n-r=-560,顯然r必為奇數(shù),n亦為奇數(shù),經(jīng)驗(yàn)證n=7.3.已知(1+2x)4

2、=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,則a1-2a2+3a3-4a4等于()a.8b.-8c.16d.-16【答案】b【解析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式得:a1=1321=8,a2=1222=24,a3=1123=32,a4=1024=16,從而可知a1-2a2+3a3-4a4=-8.4.在的展開式中,所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為1024,則中間項(xiàng)系數(shù)是()a.330b.462c.682d.792【答案】b【解析】二項(xiàng)式的展開式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n,而所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等.由題意,得2n-1=1024,n=11.展開式共有12項(xiàng),中間項(xiàng)為第六項(xiàng)、第七項(xiàng),

3、系數(shù)為=462.5.設(shè)(1+x+x2)n=a0+a1x+a2nx2n,則a2+a4+a2n的值為()a.b.c.3n-2d.3n【答案】b【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理,令x=1,則a0+a1+a2+a2n=3n,又令x=-1,則a0-a1+a2-+a2n=1,兩式相加得2(a0+a2+a2n)=3n+1,又a0=1,所以a2+a4+a2n=.6.(1+ax+by)n展開式中不含x的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為243,不含y的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為32,則a,b,n的值可能為()a.a=2,b=-1,n=5b.a=-2,b=-1,n=6c.a=-1,b=2,n=6d.a=1,b=2,n=5【答案】d【解析】令x

4、=0,y=1,得(1+b)n=243=35;令x=1,y=0,得(1+a)n=32=25,則可取a=1,b=2,n=5,故選d.7.二項(xiàng)式(1-x)4n+1的展開式中,系數(shù)最大的項(xiàng)是()a.第2n+1項(xiàng)b.第2n+2項(xiàng)c.第2n項(xiàng)d.第2n+1項(xiàng)和第2n+2項(xiàng)【答案】a【解析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式tk+1=(-x)k=(-1)kxk,可知系數(shù)為(-1)k,與二項(xiàng)式系數(shù)只有符號(hào)之差,故先找中間項(xiàng)為第2n+1項(xiàng)和第2n+2項(xiàng),又由第2n+1項(xiàng)系數(shù)為(-1)2n=,第2n+2項(xiàng)系數(shù)為(-1)2n+1=-0,故系數(shù)最大項(xiàng)為第2n+1項(xiàng).8.若x+x2+xn=(1+x)n-1能被7整除,則x,n的值可

5、能分別為、.(寫出一組數(shù)即可)【答案】54【解析】x+x2+xn=(1+x)n-1,當(dāng)x=5,n=4時(shí),(1+x)n-1=64-1=3537能被7整除.9.已知(1+kx2)6(k是正整數(shù))的展開式中,x8的系數(shù)小于120,則k=.【答案】1【解析】由tr+1=(kx2)6-r=k6-rx2(6-r)得x8的系數(shù)為k4=15k4,由15k4120得k48,由于k為正整數(shù),于是k=1.10.(2012浙江卷,14)若將函數(shù)f(x)=x5表示為f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,a5為實(shí)數(shù),則a3=.【答案】10【解析】由x5=a0+a1(1+

6、x)+a2(1+x)2+a5(1+x)5可得,可解得11.(1+2x)n的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).【解】t6=(2x)5,t7=(2x)6,依題意有25=26n=8,(1+2x)8的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為t5=(2x)4=1120x4.設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大,則有即5r6.又rn,r=5或r=6.系數(shù)最大的項(xiàng)為t6=1792x5,t7=1792x6.12.已知(nn*)的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是101.(1)求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和;(2)求展開式中含的項(xiàng);(3)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).【解】由題意知,

7、第五項(xiàng)系數(shù)為(-2)4,第三項(xiàng)的系數(shù)為(-2)2,則有=,化簡(jiǎn)得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去).(1)令x=1得各項(xiàng)系數(shù)的和為(1-2)8=1.(2)通項(xiàng)公式tk+1=()8-k=(-2)k,令-2k=,則k=1,故展開式中含的項(xiàng)為t2=-16.(3)由于展開式中的第k項(xiàng),第k+1項(xiàng),第k+2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為2k-1,2k,2k+1,若第k+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大,則解得5k6.又t6的系數(shù)為負(fù),系數(shù)最大的項(xiàng)為t7=1792x-11.由n=8知第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大,此時(shí)t5=1120x-6.13.設(shè)(2-x)100=a0+a1x+a2x2+a100x100.求下列各式的值

8、:(1)a0;(2)a1+a2+a100;(3)a1+a3+a5+a99;(4)(a0+a2+a100)2-(a1+a3+a99)2.【解】(1)由(2-x)100展開式中的常數(shù)項(xiàng)為2100,即a0=2100,或令x=0,則展開式可化為a0=2100.(2)令x=1,可得a0+a1+a2+a100=(2-)100.所以a1+a2+a100=(2-)100-2100.(3)令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a100=(2+)100,與聯(lián)立相減,可得a1+a3+a99=.(4)原式=(a0+a2+a100)+(a1+a3+a99)(a0+a2+a100)-(a1+a3+a99)=(a0+a1+a2+a100)(a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100)=(2-)100(2+)100=1.拓展延伸14.(1)求證:1+2+22+25n-1(nn*)能被31整除;(2)求s=+除以9的余數(shù).【解】(1)證明:1+2+22+25n-1=25n-1=32n-1=(31+1)n