理論力學(xué)第13章

1、 理論力學(xué) 河南科技大學(xué)土木工程學(xué)院工程力學(xué)系河南科技大學(xué)土木工程學(xué)院工程力學(xué)系 任課教師：張耀強(qiáng)任課教師：張耀強(qiáng) 第第 13 13 章章 達(dá)朗貝爾原理 達(dá)朗貝爾生平達(dá)朗貝爾生平 達(dá)朗貝爾（達(dá)朗貝爾（J.dAlembert，17171783， 法國(guó)）。達(dá)朗貝爾是法國(guó)著名的法國(guó)）。達(dá)朗貝爾是法國(guó)著名的物理學(xué)家物理學(xué)家、數(shù)數(shù) 學(xué)家學(xué)家和和天文學(xué)家天文學(xué)家，他一生研究了大量課題，完，他一生研究了大量課題，完 成了涉及多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域的論文和專著，其中最成了涉及多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域的論文和專著，其中最 著名的有著名的有8卷巨著卷巨著數(shù)學(xué)手冊(cè)數(shù)學(xué)手冊(cè)、力學(xué)專著、力學(xué)專著 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)、23卷的卷的文集文集、百科全書

2、百科全書 的序言等等。他的很多研究成果記載于的序言等等。他的很多研究成果記載于宇宙宇宙 體系的幾個(gè)要點(diǎn)研究體系的幾個(gè)要點(diǎn)研究中。達(dá)朗貝爾生前為人中。達(dá)朗貝爾生前為人 類的進(jìn)步與文明做出了巨大的貢獻(xiàn)，也得到了類的進(jìn)步與文明做出了巨大的貢獻(xiàn)，也得到了 許多榮譽(yù)。但在他臨終時(shí)，卻因?yàn)榻虝?huì)的阻撓許多榮譽(yù)。但在他臨終時(shí)，卻因?yàn)榻虝?huì)的阻撓 而沒有舉行任何形式的葬禮。而沒有舉行任何形式的葬禮。 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理為解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)為解決動(dòng)力學(xué)問(wèn) 題提供了題提供了另一種求解的方法另一種求解的方法。這種。這種 方法的特點(diǎn)是：方法的特點(diǎn)是：用靜力學(xué)研究平衡用靜力學(xué)研究平衡 問(wèn)題的方法來(lái)研究動(dòng)力學(xué)的不平衡問(wèn)題的方

3、法來(lái)研究動(dòng)力學(xué)的不平衡 問(wèn)題，問(wèn)題，因此這種方法也叫因此這種方法也叫動(dòng)靜法動(dòng)靜法。 由于靜力學(xué)研究平衡問(wèn)題的方由于靜力學(xué)研究平衡問(wèn)題的方 法比較簡(jiǎn)單，也易于掌握，因此動(dòng)法比較簡(jiǎn)單，也易于掌握，因此動(dòng) 靜法在工程中被廣泛使用。靜法在工程中被廣泛使用。 引引言言 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為設(shè)一質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m,加速度為加速度為a,作用于質(zhì)點(diǎn)的主作用于質(zhì)點(diǎn)的主 動(dòng)力為動(dòng)力為F,約束力為約束力為FN。由牛頓第二定律，有。由牛頓第二定律，有 將上式改寫成將上式改寫成 令令 I m Fa 13.1.1質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理 N m aFF N 0m FFa FI具有力的量綱，且與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量有關(guān)，稱其具有力的

4、量綱，且與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量有關(guān)，稱其 為質(zhì)點(diǎn)的為質(zhì)點(diǎn)的慣性力慣性力。它的大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與。它的大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與 加速度的乘積，方向與質(zhì)點(diǎn)加速度方向相反。加速度的乘積，方向與質(zhì)點(diǎn)加速度方向相反。 FI m F FN a 13.1 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理 即：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，作用在質(zhì)點(diǎn)即：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，作用在質(zhì)點(diǎn) 上的上的主動(dòng)力主動(dòng)力、約束力約束力和和假想加在質(zhì)點(diǎn)上的假想加在質(zhì)點(diǎn)上的 慣性力慣性力構(gòu)成了構(gòu)成了形式上形式上的平衡力系。這就是的平衡力系。這就是 質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理。 則有則有 NI 0 FFF 應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，質(zhì)點(diǎn)并非處于平衡應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，質(zhì)點(diǎn)并非處于

5、平衡 狀態(tài)，這樣做的目的是將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)狀態(tài)，這樣做的目的是將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn) 化為靜力學(xué)問(wèn)題求解?；癁殪o力學(xué)問(wèn)題求解。達(dá)朗貝爾原理與達(dá)朗貝爾原理與 虛位移原理構(gòu)成了分析力學(xué)的基礎(chǔ)虛位移原理構(gòu)成了分析力學(xué)的基礎(chǔ)。 球磨機(jī)的滾筒以勻角速度球磨機(jī)的滾筒以勻角速度w w繞水平軸繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，內(nèi) 裝鋼球和需要粉碎的物料，鋼球被筒壁帶到一定高裝鋼球和需要粉碎的物料，鋼球被筒壁帶到一定高 度脫離筒壁，然后沿拋物線軌跡自由落下，從而擊度脫離筒壁，然后沿拋物線軌跡自由落下，從而擊 碎物料，如圖。設(shè)滾筒內(nèi)壁半徑為碎物料，如圖。設(shè)滾筒內(nèi)壁半徑為r，試求鋼球的脫，試求鋼球的脫 離角離角。 解：以某一尚未脫離筒

6、壁的鋼球?yàn)檠芯繉?duì)象解：以某一尚未脫離筒壁的鋼球?yàn)檠芯繉?duì)象,受力受力 如圖。如圖。 0a 2 n arw 慣性力的大小為慣性力的大小為 O Mr w w q q Fs FN mg FI 2 In Fmamrw 鋼球未脫離筒壁前鋼球未脫離筒壁前,作圓周運(yùn)動(dòng)，作圓周運(yùn)動(dòng)， 其加速度為其加速度為 例例 加上慣性力后，由達(dá)朗貝爾原理加上慣性力后，由達(dá)朗貝爾原理 nNI 0:cos0FFmgFq 2 N (cos ) r Fmg g w q 這就是鋼球在任一位置這就是鋼球在任一位置q q 時(shí)所受的法向反力，時(shí)所受的法向反力， 顯然當(dāng)鋼球脫離筒壁時(shí)，顯然當(dāng)鋼球脫離筒壁時(shí)，F(xiàn)N0，由此可求出，由此可求出 其脫

7、離角其脫離角為為 2 arccos() r g w q O Mr w w q q Fs FN mg FI 該式表明該式表明:質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上作用的主動(dòng)力、上作用的主動(dòng)力、 約束力和慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。這就約束力和慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。這就 是是質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理(形式形式1)。 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，對(duì)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，對(duì)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)i，有，有 NI 0 ( 1,2,., ) iii FFFin 13.1.2 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理 這樣的方程共有這樣的方程共有n個(gè)，代表個(gè)，代表n個(gè)平衡力系，個(gè)平衡力系， 相

8、加后仍然為一平衡力系。由靜力學(xué)知，空間相加后仍然為一平衡力系。由靜力學(xué)知，空間 任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和 對(duì)于任一點(diǎn)的主矩等于零，即對(duì)于任一點(diǎn)的主矩等于零，即 由于質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力總是成對(duì)存在，且等值由于質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力總是成對(duì)存在，且等值 、反向、共線，因此上式中、反向、共線，因此上式中不包含內(nèi)力不包含內(nèi)力。 由此可得：由此可得： NI 0 iii FFF NI ()()()0 OiOiOi MFMFMF 作用在質(zhì)點(diǎn)系中所有的主動(dòng)力、約束力和作用在質(zhì)點(diǎn)系中所有的主動(dòng)力、約束力和 慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。這就是慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。這就

9、是質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系 的達(dá)朗貝爾原理的達(dá)朗貝爾原理(形式形式2)。 13.2 剛體慣性力系的簡(jiǎn)化剛體慣性力系的簡(jiǎn)化 對(duì)于對(duì)于剛體這種特殊的質(zhì)點(diǎn)系剛體這種特殊的質(zhì)點(diǎn)系，每個(gè)質(zhì)，每個(gè)質(zhì) 點(diǎn)均受到慣性力的作用，這些慣性力形成點(diǎn)均受到慣性力的作用，這些慣性力形成 一個(gè)力系，如果先利用靜力學(xué)的力系簡(jiǎn)化一個(gè)力系，如果先利用靜力學(xué)的力系簡(jiǎn)化 理論，求出慣性力系的主矢和主矩，會(huì)給理論，求出慣性力系的主矢和主矩，會(huì)給 解題帶來(lái)方便，這里分別討論解題帶來(lái)方便，這里分別討論剛體平移剛體平移、 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和和平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)時(shí)慣性力系的簡(jiǎn)化。時(shí)慣性力系的簡(jiǎn)化。 13.2.1 剛體作平移剛體作平移 故平移剛體的慣性力系

10、可以簡(jiǎn)化為故平移剛體的慣性力系可以簡(jiǎn)化為通過(guò)質(zhì)心通過(guò)質(zhì)心 的合力的合力，其大小等于剛體質(zhì)量與加速度的乘，其大小等于剛體質(zhì)量與加速度的乘 積，方向與加速度方向相反。積，方向與加速度方向相反。 剛體作平移時(shí)，質(zhì)心的加速度剛體作平移時(shí)，質(zhì)心的加速度aC如圖，如圖， C ma IR F IR F 13.2.2 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng) w w a a 工程中繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體工程中繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體 常常有質(zhì)量對(duì)稱平面常常有質(zhì)量對(duì)稱平面且該且該 平面與轉(zhuǎn)軸垂直。平面與轉(zhuǎn)軸垂直。 w w a a O 當(dāng)剛體有質(zhì)量對(duì)稱平面且繞垂直于此對(duì)稱當(dāng)剛體有質(zhì)量對(duì)稱平面且繞垂直于此對(duì)稱 面的軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)面的軸作定軸轉(zhuǎn)

11、動(dòng)時(shí)，慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化為時(shí)，慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化為 此對(duì)稱面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力等于此對(duì)稱面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力等于 剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加 速度方向相反，速度方向相反，作用線通過(guò)轉(zhuǎn)軸作用線通過(guò)轉(zhuǎn)軸。 這個(gè)力偶的矩等于這個(gè)力偶的矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度相反。與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度相反。 IRC m Fa IOO MJa aC O w a C FIR MIO 三種特殊情況：三種特殊情況： 1.當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心C時(shí)時(shí), aC0, FIR0,MIO

12、JCa a。此時(shí)慣性力系簡(jiǎn)化為一慣性力偶。此時(shí)慣性力系簡(jiǎn)化為一慣性力偶。 w a C MIO 2.當(dāng)剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)當(dāng)剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),a a0，若轉(zhuǎn)軸不過(guò)質(zhì)若轉(zhuǎn)軸不過(guò)質(zhì) 心，慣性力系簡(jiǎn)化為一慣性力心，慣性力系簡(jiǎn)化為一慣性力FIR，且，且FIR maC，同時(shí)力的作用線通過(guò)轉(zhuǎn)軸，同時(shí)力的作用線通過(guò)轉(zhuǎn)軸O。 aC O w C FIR 3.當(dāng)剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)且轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心當(dāng)剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)且轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心C時(shí)時(shí),FIR 0，MIO0，慣性力系自成平衡力系。，慣性力系自成平衡力系。 13.2.3 剛體作平面運(yùn)動(dòng)剛體作平面運(yùn)動(dòng) 工程中工程中,作平面運(yùn)動(dòng)的剛體作平面運(yùn)動(dòng)的剛體常常有質(zhì)量對(duì)常常有質(zhì)量對(duì) 稱平面稱平

13、面,且平行于此平面運(yùn)動(dòng)且平行于此平面運(yùn)動(dòng)。當(dāng)剛體作。當(dāng)剛體作 平面運(yùn)動(dòng)時(shí)平面運(yùn)動(dòng)時(shí),其上各質(zhì)點(diǎn)慣性力組成的空其上各質(zhì)點(diǎn)慣性力組成的空 間力系間力系,可簡(jiǎn)化為可簡(jiǎn)化為在質(zhì)量對(duì)稱平面內(nèi)的平在質(zhì)量對(duì)稱平面內(nèi)的平 面力系面力系。 取質(zhì)量對(duì)稱平面內(nèi)的平面圖形如圖所示取質(zhì)量對(duì)稱平面內(nèi)的平面圖形如圖所示,取取質(zhì)質(zhì) 心心C為基點(diǎn)，設(shè)質(zhì)心的加速度為為基點(diǎn)，設(shè)質(zhì)心的加速度為aC,繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng) 的角速度為的角速度為w w,角加速度為角加速度為a a,此時(shí)慣性力系向此時(shí)慣性力系向質(zhì)質(zhì) 心心C簡(jiǎn)化的簡(jiǎn)化的結(jié)果結(jié)果為為 ICC MJa FIR MIC C aC w w a a IRC m Fa 有質(zhì)量對(duì)稱平面的剛

14、體，平行于此平面運(yùn)動(dòng)有質(zhì)量對(duì)稱平面的剛體，平行于此平面運(yùn)動(dòng) 時(shí)時(shí),剛體的慣性力系簡(jiǎn)化為在此平面內(nèi)的一個(gè)剛體的慣性力系簡(jiǎn)化為在此平面內(nèi)的一個(gè) 力和一個(gè)力偶。力和一個(gè)力偶。這個(gè)力通過(guò)質(zhì)心這個(gè)力通過(guò)質(zhì)心，其大小等其大小等 于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，其方向于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，其方向 與質(zhì)心加速度的方向相反與質(zhì)心加速度的方向相反; 這個(gè)力偶的矩等于這個(gè)力偶的矩等于剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心且垂直剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心且垂直 于質(zhì)量對(duì)稱面的軸于質(zhì)量對(duì)稱面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的 乘積，乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度相反。轉(zhuǎn)向與角加速度相反。 D B A 如圖所示，均質(zhì)桿如圖所示，均質(zhì)桿AB的質(zhì)量的

15、質(zhì)量m40kg，長(zhǎng)，長(zhǎng)l4m，點(diǎn)，點(diǎn) A以鉸鏈連接于小車上。以鉸鏈連接于小車上。不計(jì)摩擦不計(jì)摩擦，當(dāng)小車以加速度，當(dāng)小車以加速度a 15m/s2向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，求桿向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，求桿AB中點(diǎn)中點(diǎn)D處和鉸鏈處和鉸鏈A處的處的 約束力約束力(此時(shí)桿此時(shí)桿AB與與D處接觸處接觸)。 解：以桿為研究對(duì)象，受力如解：以桿為研究對(duì)象，受力如 圖，建立如圖坐標(biāo)。圖，建立如圖坐標(biāo)。 桿作平移桿作平移,慣性力的大小為慣性力的大小為FIR ma。假想地加上慣性力。假想地加上慣性力 IR ()0 cos30sin300 222 A D M lll mgFF F FIR A 30 D B 1m a a FD mg FAx

16、FAy x y 例例 由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理 IR 0sin300 xAxD FFFF 0cos300 yAyD FFFmg 代入數(shù)據(jù)代入數(shù)據(jù), , 解之得：解之得： 617.9N 357.82N 39.47N Ax Ay D F F F D B A FIRa FD mg FAx FAy x y 于是得于是得( cos30sin30 ) D Fm ga j j O x y C B A 質(zhì)量為質(zhì)量為m,長(zhǎng)為長(zhǎng)為l的均質(zhì)直桿的均質(zhì)直桿AB的一端的一端A焊接于半徑為焊接于半徑為r的圓盤的圓盤 邊緣上邊緣上,如圖。今圓盤以角加速度如圖。今圓盤以角加速度a a繞其中心繞其中心O轉(zhuǎn)動(dòng)

17、。求圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)。求圓盤剛剛 開始轉(zhuǎn)動(dòng)開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，桿時(shí)，桿AB上焊接點(diǎn)上焊接點(diǎn)A處的約束力。處的約束力。 解解:以桿為研究對(duì)象以桿為研究對(duì)象,受力如圖。受力如圖。 22 ( ) 2 CC aaOC l r a a 將慣性力系向?qū)T性力系向轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸O簡(jiǎn)簡(jiǎn) 化，慣性力的大小為化，慣性力的大小為 a a O r A B l a a mg aC FIR MIO FAx FAy MA 例例 圓盤圓盤剛開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，=0=0 a a O r A B l22 IR ( ) 2 C l Fmam ra 2 I 2 22 22 () 1 () 124 1 () 3 OOC MJJm OC l mlm r

18、 mlmr aa a a j j O x y C B A a a mg aC FIR MIO FAx FAy MA 由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理 IR 0sin0 xAx FFFj IR 0cos0 yAy FFFmgj IIR ()0sin0 2 AAO l MMMmgFrj F 2 2 sin 4 r l r j 2 2 cos 2 4 l l r j 將已知數(shù)值代入以上三式，解之得將已知數(shù)值代入以上三式，解之得 Ax Fmra 2 Ay l Fmgma 2 11 23 A Mmglmla j j O x y C B A a a mg aC FIR MIO FAx FAy

19、MA B C AB M l C 均質(zhì)桿均質(zhì)桿AB長(zhǎng)長(zhǎng)l，重，重W，B端與重端與重G、半徑為、半徑為r的均質(zhì)圓輪鉸接。在的均質(zhì)圓輪鉸接。在 圓輪上作用一矩為圓輪上作用一矩為M的力偶，借助于細(xì)繩提升重為的力偶，借助于細(xì)繩提升重為P的重物的重物C。 試求重物試求重物C的加速度及固定端的加速度及固定端A處的約束力處的約束力。 解：先以解：先以輪和重物輪和重物為研究對(duì)象為研究對(duì)象,受力受力 如圖。假想地加上慣性力如圖。假想地加上慣性力 2 I 1 22 BB GaGr MJra grg a I P Fa g 由質(zhì)點(diǎn)系的由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理 a M G FBx FBy MIB P FI II

20、 ()0()0 BB MMMr PFF 2() (2 ) MPr ag r GP 代入代入MIB 和和FI得得 例例 再以整體為研究對(duì)象，假想地加上全部慣性力再以整體為研究對(duì)象，假想地加上全部慣性力 00 xAx FF I 00 yAy FFWGPF I ()0 ()()0 2 A AIB M l MWGlMMPFlr F B C A a M G FAx FAy MIB P FI W MA A 2() (2 ) Ay MrP FWGPP r GP ()2 ()() 2(2 )(2 ) A WMrPrGM MlGMGlrP GPr GP 代入代入MIB 和和FI解得解得 由質(zhì)點(diǎn)系的由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理 在圖示機(jī)構(gòu)中，沿斜面向上作純滾動(dòng)的圓柱體和鼓輪在圖示機(jī)構(gòu)中，沿斜面向上作純滾動(dòng)的圓柱體和鼓輪 O均為均質(zhì)物體，各重為均為均質(zhì)物體，各重為P1和和P2，半徑均為，半徑均為R，繩子不，繩子不 可伸長(zhǎng)，其質(zhì)量不計(jì)，斜面傾角可伸長(zhǎng)，其質(zhì)量不計(jì)，斜面傾角q q ，如在鼓輪上作用，如在鼓輪上作用 一常力偶矩一常力偶矩M，試求：，試求：(1)鼓輪的角加速度？鼓輪的角加速度？(2)繩子繩子 的拉力？的拉力？(3)軸承軸承O處的約束力？處的約束力？(4)