2018年高考數(shù)學(xué) 基本不等式教學(xué)案 理

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題34 基本不等式1。了解基本不等式的證明過(guò)程2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題 1。均值不等式：(1)均值不等式成立的條件：a0，b0.（2）等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào).(3)其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).2。幾個(gè)重要的不等式（1）a2b22ab(a，br），當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào).（2)ab（a，br）,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào).(3）(a，br），當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào).（4）2（a，b同號(hào)），當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào).3。利用均值不等式求最值已知x0，y0，則（1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí),xy有最小值是2

2、（簡(jiǎn)記:積定和最?。?（2)如果和xy是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí),xy有最大值是(簡(jiǎn)記：和定積最大).高頻考點(diǎn)一配湊法求最值【例1】 (1)已知x，求f（x)4x2的最大值；（2）求函數(shù)y的最大值?！痉椒ㄒ?guī)律】(1)應(yīng)用均值不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號(hào)成立的條件。(2）在利用均值不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式,然后再利用均值不等式?！咀兪教骄俊?（1）若對(duì)x1，不等式x1a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.（2）函數(shù)y(x1）的最小值為

3、_?！敬鸢浮浚?）（2）22【解析】析（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）x1在1,)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g（x）x12在0，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)在1，）的最小值為g(1），因此對(duì)x1不等式x1a恒成立,所以ag（x）最小值，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是。(2)y(x1）222.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時(shí)，等號(hào)成立。高頻考點(diǎn)二常數(shù)代換或消元法求最值 【例2】 （1）若正數(shù)x，y滿足x3y5xy,則3x4y的最小值為_(kāi)。(2）已知x0，y0，x3yxy9，則x3y的最小值為_(kāi)?！敬鸢浮浚?）5(2)6法二由x3y5xy，得x，x0，y0，y，3x4y4y4y425,當(dāng)且僅當(dāng)y時(shí)等號(hào)成立，（3x4y)min5.(

4、2)由已知得x。法一(消元法）因?yàn)閤0，y0，所以0y3，所以x3y3y3(y1)6266，當(dāng)且僅當(dāng)3(y1)，即y1，x3時(shí)，（x3y）min6.法二x0，y0，9（x3y)xyx(3y),當(dāng)且僅當(dāng)x3y時(shí)等號(hào)成立.設(shè)x3yt0，則t212t1080,（t6)（t18）0，又t0，t6.故當(dāng)x3，y1時(shí)，（x3y）min6。 【方法規(guī)律】條件最值的求解通常有三種方法：一是消元法,即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解;二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用均值不等式求解最值；三是對(duì)條件使用均值不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解

5、?！咀兪教骄俊?（1）已知x0,y0且xy1，則的最小值為_(kāi)。(2）已知正數(shù)x，y滿足x2yxy0，則x2y的最小值為（）a.8 b.4 c.2 d。0【答案】（1）18(2)a (2）由x2yxy0，得1，且x0，y0.x2y（x2y）4448。 高頻考點(diǎn)三均值不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【例3】 運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50x100(單位：千米/時(shí)）.假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元，而汽車每小時(shí)耗油升,司機(jī)的工資是每小時(shí)14元。（1）求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；(2)當(dāng)x為何值時(shí),這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值?！痉椒ㄒ?guī)律】（1）設(shè)變量時(shí)一般要把

6、求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)。（2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用均值不等式求得函數(shù)的最值.（3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域（使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量的取值范圍)求解.【變式探究】 某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量f（單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位:輛/時(shí)）與車流速度v（假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)，平均車長(zhǎng)l（單位：米)的值有關(guān)，其公式為f。(1)如果不限定車型，l6.05,則最大車流量為_(kāi)輛/時(shí)；(2）如果限定車型,l5，則最大車流量比 (1)中的最大車流量增加_輛/時(shí)?！敬鸢浮浚?）1 900(2)100【解析】析(1)當(dāng)l6。05

7、時(shí)，f,f1 900，當(dāng)且僅當(dāng)v，即v11時(shí)取“”。最大車流量f為1 900輛/時(shí)。 1。【2016高考天津理數(shù)】設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為( )（a）（b）6（c）10（d)17【答案】b【解析】可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形abc及其內(nèi)部，其中，直線過(guò)點(diǎn)b時(shí)取最小值6,選b。 2.【2016高考山東理數(shù)】若變量x，y滿足則的最大值是（ ）（a）4 （b）9 （c）10 （d)12【答案】c【解析】不等式組表示的可行域是以a(0,-3），b（0,2)，c(3,1）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,表示點(diǎn)(x,y）到原點(diǎn)距離的平方,最大值必在頂點(diǎn)處取到，經(jīng)驗(yàn)證最大值為，故選c.1?！?015高考四川，

8、理9】如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為（ ）（a）16 （b）18 （c)25 （d）【答案】b 2。【2015高考陜西,理9】設(shè)，若，則下列關(guān)系式中正確的是（ ）a b c d【答案】c【解析】，函數(shù)在上單調(diào)遞增,因?yàn)?所以,所以,故選c 3（2014遼寧卷）對(duì)于c0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a22ab4b2c0且使2ab最大時(shí)，的最小值為_(kāi)【答案】2【解析】由題知2c（2ab）23(4a23b2)（4a23b2）(2ab)24a23b2(2ab）2，即2c(2ab）2，當(dāng)且僅當(dāng)，即2a3b6（同號(hào))時(shí)，2ab|取得最大值，此時(shí)c402.22，當(dāng)且僅當(dāng)a，b,c時(shí)，取最小值2。 4（

9、2014山東卷）若的展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)為20,則a2b2的最小值為_(kāi)【答案】2【解析】tr1c(ax2）6rca6rbrx123r，令123r3，得r3,所以ca63b320，即a3b31，所以ab1，所以a2b22ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab，且ab1時(shí),等號(hào)成立故a2b2的最小值是2.5（2014福建卷)要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元,則該容器的最低總造價(jià)是 (）a80元 b120元 c160元 d240元【答案】c【解析】設(shè)底面矩形的長(zhǎng)和寬分別為a m，b m，則ab4(m2)容器的總造價(jià)為20ab2（ab）1

10、08020（ab)8040160（元）（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立）故選c. 6（2014重慶卷)若log4（3a4b）log2，則ab的最小值是_【答案】74 5(2014四川卷）已知f為拋物線y2x的焦點(diǎn),點(diǎn)a，b在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),2（其中o為坐標(biāo)原點(diǎn)），則abo與afo面積之和的最小值是（）a2 b3 c。 d.【答案】b 6(2013年高考山東卷)設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當(dāng)取得最小值時(shí)，x2yz的最大值為（)a0 b。 c2 d?！敬鸢浮縞【解析】含三個(gè)參數(shù)x,y，z，消元，利用基本不等式及配方法求最值z(mì)x23xy4y2(x,y,zr),32 31。當(dāng)且僅

11、當(dāng)，即x2y時(shí)“成立，此時(shí)zx23xy4y24y26y24y22y2，x2yz2y2y2y22y24y2 (y1)22。當(dāng)y1時(shí),x2yz取最大值2.7（2013重慶卷）(6a3)的最大值為(）a9 b. c3 d.【答案】b【解析】因?yàn)?a3，所以，當(dāng)且僅當(dāng)3aa6，即a時(shí)等號(hào)成立，故選b。1.下列不等式一定成立的是（）a。lglg x（x0)b。sin x2（xk，kz）c.x212|x(xr) d。1(xr）【答案】c 2.若2x2y1，則xy的取值范圍是（）a。0，2 b。2，0c.2，） d。（,2【答案】d【解析】22x2y1，所以2xy，即2xy22,所以xy2。 3.若a，b都

12、是正數(shù)，則的最小值為（)a.7 b。8 c。9 d.10【答案】c【解析】a，b都是正數(shù)，5529，當(dāng)且僅當(dāng)b2a0時(shí)取等號(hào).故選c. 4.若a0，b0，且ab4，則下列不等式恒成立的是(）a. b.1c。2 d.a2b28【答案】d【解析】4ab2(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立），即2，ab4，選項(xiàng)a，c不成立;1,選項(xiàng)b不成立；a2b2（ab）22ab162ab8，選項(xiàng)d成立.5。若實(shí)數(shù)a，b滿足，則ab的最小值為()a. b.2 c.2 d。4【答案】c 6。若正數(shù)x,y滿足4x29y23xy30,則xy的最大值是（）a。 b. c。2 d?！敬鸢浮縞【解析】由x0，y0,得4x29y23x

13、y2(2x)(3y)3xy(當(dāng)且僅當(dāng)2x3y時(shí)等號(hào)成立）,12xy3xy30，即xy2,xy的最大值為2。7.已知a0,b0，ab，則的最小值為(）a。4 b。2 c。8 d.16【答案】b【解析】由a0,b0，ab，得ab1，則22.當(dāng)且僅當(dāng),即a,b時(shí)等號(hào)成立.故選b.8.已知函數(shù)f（x)x2的值域?yàn)?，04,)，則a的值是(）a. b。 c。1 d.2【答案】c【解析】由題意可得a0，當(dāng)x0時(shí)，f（x）x222,當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào)；當(dāng)x0時(shí)，f（x)x222，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào)。所以解得a1.9.正數(shù)a，b滿足abab3，則ab的取值范圍是_.【答案】9，)【解析】a，b是正數(shù),abab323,解得3，即ab9。10。已知實(shí)數(shù)m，n滿足mn0,mn1，則的最大值為_(kāi).【答案】4【解析】mn0，mn1，m0，n0，（mn）224，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí),取得最大值4。11.若對(duì)于任意x0,a恒成立，則a的取值范圍是_?！敬鸢浮?12.某工廠需要建造一個(gè)倉(cāng)庫(kù),根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研分析，運(yùn)費(fèi)與工廠和倉(cāng)庫(kù)之間的距離成正比，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)與工廠和倉(cāng)庫(kù)之間的距離成反比，當(dāng)工廠和倉(cāng)庫(kù)之間的距離為4千米時(shí),運(yùn)費(fèi)為20萬(wàn)元，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)為5萬(wàn)元，當(dāng)工廠和倉(cāng)庫(kù)之間的距離為_(kāi)千米時(shí),運(yùn)費(fèi)與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)之和最小，最小為_(kāi)萬(wàn)元.【答案】220【解析】設(shè)工廠和倉(cāng)庫(kù)之間的距離為x千