分?jǐn)?shù)階傅里葉變換

1、 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換 簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 定義與特點(diǎn) 發(fā)展與現(xiàn)狀 應(yīng)用 Definition & Characteristics 傅里葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法, 傅里葉變換在物理 學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光 學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。 例如在信號(hào)處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成幅值分量和 頻率分量 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，是經(jīng)典傅里葉分 析法的一種改進(jìn)方式，是基于坐標(biāo)軸的 旋轉(zhuǎn)思想提出的，從分?jǐn)?shù)階傅里葉域與 時(shí)、頻域間的關(guān)系可以看出分?jǐn)?shù)階傅里 葉變換實(shí)質(zhì)上是一種統(tǒng)一的時(shí)頻變換同 時(shí)反映了信號(hào)在時(shí)、頻域的信息。由于 它是線性變換，因

2、此避免了傳統(tǒng)時(shí)頻分 布的二次變換的交叉項(xiàng)問題。分?jǐn)?shù)階傅 里葉變換對(duì)許多種信號(hào)都具有能量聚集 特性，通過把信號(hào)聚集在一起，能夠更 加合理的去進(jìn)行信號(hào)分析，是一種非常 有效的方法。 分?jǐn)?shù)階Fourier變換是信號(hào)在時(shí)頻平面內(nèi)坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意 角度后構(gòu)成的分?jǐn)?shù)階Fourier域上的表示方法，是一種廣義的Fourier變 換。 現(xiàn)在很多人總喜歡拿分?jǐn)?shù)階傅里葉變換與短時(shí)傅里葉變換、小波變換以及威格納變換這些時(shí)頻 分析做比較，從此懷疑分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的實(shí)用價(jià)值。這是對(duì)分?jǐn)?shù)階傅里葉變化的廣義時(shí)頻分 析特點(diǎn)認(rèn)識(shí)不足所致。首先，必須聲明的一點(diǎn)是分?jǐn)?shù)階傅里葉變換并不是傳統(tǒng)意義上的時(shí)頻分 析，它只是一種廣

3、義的時(shí)頻分析，它并沒有完全解決傳統(tǒng)傅里葉變換在時(shí)頻定位以及分辨率上 的局限性。所以，我們要做的工作是在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的基礎(chǔ)上構(gòu)建新的時(shí)頻分析體系，例 如短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換、分?jǐn)?shù)階小波包變換等。 關(guān)于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換階次的表示問題。很多人都習(xí)慣用分?jǐn)?shù)階傅里葉域相對(duì)時(shí)域的旋轉(zhuǎn)角度 來表示相對(duì)分?jǐn)?shù)階傅里葉域的階次，這沒有對(duì)“分?jǐn)?shù)階”三字的進(jìn)行充分認(rèn)識(shí)。所謂分?jǐn)?shù)階傅 里葉域是指該變換域相對(duì)時(shí)域的旋轉(zhuǎn)角度是90度的分?jǐn)?shù)倍，不同于以往的FFT、IFFT分別為90度 的+1、-1倍，因此稱該種變換為分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，因此，使用旋轉(zhuǎn)角度來表示分?jǐn)?shù)階的階次 極為不妥。 Development & Curre

4、nt Situation 1807年法國(guó)科學(xué)家傅里葉為了得 到熱傳導(dǎo)方程的簡(jiǎn)便解法首次提 出了傅里葉分析，由此傅里葉分 析被廣泛的應(yīng)用在各種科學(xué)研究 和工程技術(shù)方面，并且在這些領(lǐng) 域中發(fā)揮了非常關(guān)鍵的作用 傅里葉變換對(duì)于分析和處理平穩(wěn)信號(hào)是一種非常準(zhǔn)確和有效地工具，可隨著所研究的對(duì)象和 范圍不斷地?cái)U(kuò)展，傅里葉變換的局限性也逐漸的顯現(xiàn)出來，傅里葉變換將信號(hào)在整體上分解 為具有不同頻率的正弦（復(fù)指數(shù)）分量，所得的是信號(hào)的整體頻譜，而得不到信號(hào)的局部特 性，不能對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行有效地分離，而局部特性對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)是最基本最關(guān)鍵的性質(zhì) 。所以人們?yōu)榱四軌蚪鉀Q這一難題，提出并且在所提出的觀點(diǎn)上發(fā)展了一系

5、列有效信號(hào)分析 的方法，如分?jǐn)?shù)階傅里葉變換.、小波變換等等，而其中作為傅里葉變換的廣義形式，分?jǐn)?shù) 階傅里葉變換以自身的旋轉(zhuǎn)特性和值的靈活運(yùn)用，受到了業(yè)界人士的高度重視并廣泛的應(yīng)用 在眾多領(lǐng)域中。 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換實(shí)際是一種統(tǒng)一的時(shí)頻變換，同時(shí)也反映出了信號(hào)在 時(shí)域和頻域的信息，而與常用的二次型時(shí)頻分布的不同在于分?jǐn)?shù)階傅里 葉變換用單一的變量來表示時(shí)頻信息，并且還沒有交叉項(xiàng)的干擾。相比 于傳統(tǒng)的傅里葉變換，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換十分的適用于處理非平穩(wěn)信號(hào) ，尤其大部分的類信號(hào)，并且多了一個(gè)自由的變換階數(shù)。所以分?jǐn)?shù)階傅 里葉變換在同等條件下能夠得到傳統(tǒng)時(shí)頻分析或者傅里葉變換得到不同 的效果，并且所得到的效果比其它方法有著更高的分辨率并且提高了性 噪比，而且有力的消除了帶來的一些噪聲。由于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換具有 比較成熟的快速離散算法，因此在得到更好效果的同時(shí)還不需要付出更 多的計(jì)算代價(jià)。 Applicatio