結構力學(二)復習資料_

1、一、基本概念一、基本概念 結構矩陣分析是采用矩陣方法分析結構力學問題的一結構矩陣分析是采用矩陣方法分析結構力學問題的一 種方法。與傳統(tǒng)的力法、位移法相對應，在結構矩陣分析種方法。與傳統(tǒng)的力法、位移法相對應，在結構矩陣分析 中也有矩陣力法和矩陣位移法，或柔度法與剛度法。矩陣中也有矩陣力法和矩陣位移法，或柔度法與剛度法。矩陣 位移法易于實現(xiàn)計算過程程序化而被廣泛應用。位移法易于實現(xiàn)計算過程程序化而被廣泛應用。 矩陣位移法是結構力學中的位移法加上矩陣方法。矩矩陣位移法是結構力學中的位移法加上矩陣方法。矩 陣位移法的基本未知量也是結點位移陣位移法的基本未知量也是結點位移獨立的線位移和獨立的線位移和 轉

2、角。但由于有時考慮桿件的軸向變形，且把桿件鉸結端轉角。但由于有時考慮桿件的軸向變形，且把桿件鉸結端 的轉角也作為基本未知量，因此，基本未知量數(shù)目比傳統(tǒng)的轉角也作為基本未知量，因此，基本未知量數(shù)目比傳統(tǒng) 位移法的基本未知量多一些。位移法的基本未知量多一些。 總總 結結 矩陣位移法的基本思路是矩陣位移法的基本思路是: : (1) 先把結構離散成單元，進行單元分析先把結構離散成單元，進行單元分析, ,建立單元桿建立單元桿 端力與桿端位移之間的關系；端力與桿端位移之間的關系； (2)在單元分析的基礎上，考慮結構的幾何條件和平衡在單元分析的基礎上，考慮結構的幾何條件和平衡 條件，將這些離散單元組合成原來

3、的結構，進行整體分析，條件，將這些離散單元組合成原來的結構，進行整體分析， 建立結構的結點力與結點位移之間的關系，即結構的總剛建立結構的結點力與結點位移之間的關系，即結構的總剛 度方程，進而求解結構的結點位移和單元桿端力。度方程，進而求解結構的結點位移和單元桿端力。 在從單元分析到整體分析的計算過程中，全部采用矩在從單元分析到整體分析的計算過程中，全部采用矩 陣運算。陣運算。 總總 結結 單元定位向量：單元定位向量：按單元連接結點編號順序由結點未按單元連接結點編號順序由結點未 知位移編號組成的向量。知位移編號組成的向量。 (1) 集成。集成。將單元剛度矩陣先按邊界條件進行處理將單元剛度矩陣先按

4、邊界條件進行處理, , 然后按照單元連接結點的總位移編號將單元剛度矩陣的元然后按照單元連接結點的總位移編號將單元剛度矩陣的元 素在結構的剛度矩陣中對號入座，形成總剛后即可進行求素在結構的剛度矩陣中對號入座，形成總剛后即可進行求 解。上述過程可通過引入定位向量來實現(xiàn)。在單元定位向解。上述過程可通過引入定位向量來實現(xiàn)。在單元定位向 量中考慮邊界條件，凡給定的結點位移分量，其位移總碼量中考慮邊界條件，凡給定的結點位移分量，其位移總碼 均編為零，與總碼編為零相應的行、列元素在集成總剛時均編為零，與總碼編為零相應的行、列元素在集成總剛時 被屏棄在外。被屏棄在外。 總總 結結 二、總剛度矩陣的集成及約束處

5、理二、總剛度矩陣的集成及約束處理 （2 2）邊界條件處理。）邊界條件處理。對于剛性支座，其位移總碼均編對于剛性支座，其位移總碼均編 為零。對于支座位移等于給定值時，通常也將其位移總碼為零。對于支座位移等于給定值時，通常也將其位移總碼 均編為零，將支座結點位移的影響轉換成單元非結點荷載均編為零，將支座結點位移的影響轉換成單元非結點荷載, , 即，將支座結點位移轉換成與該支座結點位移連接的各單即，將支座結點位移轉換成與該支座結點位移連接的各單 元在單元坐標系中的桿端位移，求出由此給定的桿端位移元在單元坐標系中的桿端位移，求出由此給定的桿端位移 產生的單元固端力，然后轉換成等效結點荷載。產生的單元固

6、端力，然后轉換成等效結點荷載。 通常用主對角元素疊加法處理彈性支座。如果結構通常用主對角元素疊加法處理彈性支座。如果結構 的第的第j個自由度是彈性約束，那么，把彈性支座的剛度系個自由度是彈性約束，那么，把彈性支座的剛度系 數(shù)疊加到原始剛度矩陣主對角線的第數(shù)疊加到原始剛度矩陣主對角線的第j個元素上即可得到個元素上即可得到 經約束處理后的總剛度方程。經約束處理后的總剛度方程。 3. 彈性支座的處理彈性支座的處理 總總 結結 總剛度方程為整體結構的結點荷載與結點位移之間總剛度方程為整體結構的結點荷載與結點位移之間 的關系式，是結構應滿足的平衡條件。無論何種結構，其的關系式，是結構應滿足的平衡條件。無

7、論何種結構，其 總剛度方程都具有統(tǒng)一的形式總剛度方程都具有統(tǒng)一的形式: : 4. 總剛度方程和總剛度矩陣的性質與特點總剛度方程和總剛度矩陣的性質與特點 K =P 式中式中K為總剛度矩陣，為總剛度矩陣， 為結構的結點位移列向量，為結構的結點位移列向量，P 為結點力列向量。為結點力列向量。 總剛度矩陣總剛度矩陣K反應了整個結構的剛度，是描述結點反應了整個結構的剛度，是描述結點 力與結點位移之間關系的系數(shù)矩陣。其矩陣的性質與力與結點位移之間關系的系數(shù)矩陣。其矩陣的性質與 特點：特點： 總總 結結 ( 1 )元素元素kij的物理意義為：當?shù)奈锢硪饬x為：當j=1=1而其他位移分量為而其他位移分量為 零時

8、產生在零時產生在i方向的桿端力。方向的桿端力。 （2）主子塊主子塊Kii是由結點是由結點i的相關單元中與結點的相關單元中與結點i相應的相應的 主子塊疊加而得。主子塊疊加而得。 （3）當當i、j為相關結點時，副子塊為相關結點時，副子塊Kij就等于連接就等于連接ij的桿的桿 單元中相應的子塊；若單元中相應的子塊；若i、j不相關，則不相關，則Kij為零子塊。為零子塊。 （4）總剛度矩陣為對稱矩陣?？倓偠染仃嚍閷ΨQ矩陣。 （5）總剛度矩陣為稀疏帶狀矩陣。愈是大型結構，總剛度矩陣為稀疏帶狀矩陣。愈是大型結構， 帶狀分布規(guī)律就愈明顯。帶狀分布規(guī)律就愈明顯。 （6）總剛度矩陣主對角元素都大于零。通常是主對總

9、剛度矩陣主對角元素都大于零。通常是主對 角元素占優(yōu)勢的矩陣，因此，線形方程組的解有較好的穩(wěn)角元素占優(yōu)勢的矩陣，因此，線形方程組的解有較好的穩(wěn) 定性。定性。 總總 結結 1.1.編號及建立坐標；編號及建立坐標； 三、計算步驟三、計算步驟 2.2.形成整體剛度矩陣形成整體剛度矩陣 K （2 2）求出整體坐標系下的單元剛度矩陣）求出整體坐標系下的單元剛度矩陣 ； eT kTkT （1 1）求出局部坐標系下的單元剛度矩陣）求出局部坐標系下的單元剛度矩陣 ； e k （3 3）按照各單元的定位向量，依次將各）按照各單元的定位向量，依次將各 “ “對號入座對號入座” ” 集合進整體剛度矩陣集合進整體剛度矩

10、陣 K 。 ek 3.3.形成結構的荷載列陣形成結構的荷載列陣 P （1 1）將各原始結點荷載集合進結構的荷載列陣）將各原始結點荷載集合進結構的荷載列陣 ； P （2 2）將各桿上荷載轉化后，集合疊加進結構荷載列陣）將各桿上荷載轉化后，集合疊加進結構荷載列陣 。 P 4.4.解方程解方程 ，求出結點位移，求出結點位移（整體坐標系）（整體坐標系）； KP 5.5.求桿端內力求桿端內力 （2 2）按公式）按公式 求出各桿單元桿端內力。求出各桿單元桿端內力。 eeee P FkF （1 1）由定位向量確定各單元）由定位向量確定各單元 ，并轉換為，并轉換為 （局部坐標系）（局部坐標系）； e e （局

11、部坐標系）（局部坐標系） EA l 6EI l2 6EI l2 EA l 12EI l3 12EI l3 4EI l 2EI l e k e = (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1)(2)(3)(4)(5)(6) 0000 00 6EI l2 0 6EI l2 0 -EA l -6EI l2 -6EI l2 EA l -12EI l3 12EI l3 2EI l 4EI l 0000 00 -6EI l2 0 6EI l2 0 1 1 u1 1 v 1 1 1 2 u1 2 v1 2 只與桿件本身物理性只與桿件本身物理性 質有關而與外荷載、質有關而與外荷載、 位移、位置等無關

12、位移、位置等無關 00 001 0 0 00 00 0 0 CosSin SinCos 1000 CosSin SinCos 000 000 000 0 0 TT= = TT是一正交矩陣是一正交矩陣, , TT-1 -1 =T =TT T。 等效結點荷載等效結點荷載 P P e e 集成集成 1、在局部坐標系中求非結點荷載產生的各單元的固端力列向量：、在局部坐標系中求非結點荷載產生的各單元的固端力列向量： e T PPPPPP p MYXMYXF222111 2、形成局部坐標系中的單元等效結點荷載：、形成局部坐標系中的單元等效結點荷載： ee pe FP 3、形成整體坐標系中的單元等效結點荷載

13、：、形成整體坐標系中的單元等效結點荷載： ee ee PTP e 5、形成綜合結點荷載形成綜合結點荷載P 若結構還作用有直接結點荷載若結構還作用有直接結點荷載Pd，則，則P= Pe+ Pd。 4、按單元集成法集成結構的等效結點荷載按單元集成法集成結構的等效結點荷載P e 依次將各單元等效結點荷載依次將各單元等效結點荷載 中的元素按單元定位向量中的元素按單元定位向量 在結構的等效結點荷載在結構的等效結點荷載P e 中對號入座、同號相加，即得中對號入座、同號相加，即得P e 。 e e P e 查表查表 （1）初學者易把單元的固端力與傳統(tǒng)位移法中載常初學者易把單元的固端力與傳統(tǒng)位移法中載常 數(shù)混淆

14、，造成求等效荷載時出錯。單元的固端力是在固數(shù)混淆，造成求等效荷載時出錯。單元的固端力是在固 定單元的桿端其不能有任何位移時荷載作用下的桿端力定單元的桿端其不能有任何位移時荷載作用下的桿端力 （即固端力）。（即固端力）。 四、需要注意的幾個問題四、需要注意的幾個問題 （2）在考慮軸向變形的單元剛度矩陣中剔除）在考慮軸向變形的單元剛度矩陣中剔除EA項，項， 即得忽略軸向變形的單元剛度矩陣。即得忽略軸向變形的單元剛度矩陣。 例如，對于梁式桿，不論連接該桿的結點是鉸結點、例如，對于梁式桿，不論連接該桿的結點是鉸結點、 定向結點，均按兩端固定梁計算固端力。定向結點，均按兩端固定梁計算固端力。 總總 結結

15、 靜力荷載靜力荷載是指其大小、方向和作用位置不隨時間而變化的荷是指其大小、方向和作用位置不隨時間而變化的荷 載。這類荷載載。這類荷載對結構產生的慣性力可以忽略不計對結構產生的慣性力可以忽略不計，由它所引起的，由它所引起的 內力和變形都是確定的。內力和變形都是確定的。 動力荷載動力荷載是指其大小、方向和作用位置隨時間而變化的荷載。是指其大小、方向和作用位置隨時間而變化的荷載。 這類荷載這類荷載對結構產生的慣性力不能忽略對結構產生的慣性力不能忽略，因動力荷載將使結構產，因動力荷載將使結構產 生相當大的加速度，由它所引起的內力和變形都是時間的函數(shù)。生相當大的加速度，由它所引起的內力和變形都是時間的函

16、數(shù)。 若荷載對結構所產生的影響與靜荷載相比相差甚微若荷載對結構所產生的影響與靜荷載相比相差甚微 按靜荷載考慮；按靜荷載考慮； 若荷載對結構所產生的影響與靜荷載相比相差甚大若荷載對結構所產生的影響與靜荷載相比相差甚大 按動荷載考慮按動荷載考慮. . 小結小結 結構振動分析結構振動分析 隨機振動分析隨機振動分析 (1)(1)動力自由度數(shù)動力自由度數(shù)是確定質量空間位置的獨立坐標（參是確定質量空間位置的獨立坐標（參 數(shù)）個數(shù)，它和結構超靜定次數(shù)或獨立位移個數(shù)沒有關系。數(shù)）個數(shù)，它和結構超靜定次數(shù)或獨立位移個數(shù)沒有關系。 列運動方程時的剛度系數(shù)和柔度系數(shù)和解超靜定問題時的對列運動方程時的剛度系數(shù)和柔度系

17、數(shù)和解超靜定問題時的對 應系數(shù)之間也沒有關系。應系數(shù)之間也沒有關系。 (2)(2)直接平衡法有兩種建立方程的方法：剛度法和柔度直接平衡法有兩種建立方程的方法：剛度法和柔度 法。但都是根據(jù)達朗伯爾原理和所采用的阻尼假設在體系上法。但都是根據(jù)達朗伯爾原理和所采用的阻尼假設在體系上 加慣性力和阻尼力。剛度法是考慮質量各自由度方向的平衡；加慣性力和阻尼力。剛度法是考慮質量各自由度方向的平衡； 柔度法是建立各自由度方向位移的協(xié)調條件。柔度法是建立各自由度方向位移的協(xié)調條件。 (3)(3)集中質量多自由度體系的集中質量多自由度體系的質量矩陣質量矩陣是是對角矩陣對角矩陣，其，其 元素為各自由度方向的總質量。

18、元素為各自由度方向的總質量。剛度矩陣元素剛度矩陣元素為為“僅僅j j自由自由 度發(fā)生單位位移時，度發(fā)生單位位移時，i i自由度方向所需施加的（附加）約束自由度方向所需施加的（附加）約束 反力反力”，根據(jù)反力互等定理，根據(jù)反力互等定理剛度矩陣是對稱的剛度矩陣是對稱的。 動力計算中體系的自由度動力計算中體系的自由度 確定運動過程中任意時刻全部質量的位置所需獨立幾何參確定運動過程中任意時刻全部質量的位置所需獨立幾何參 數(shù)的個數(shù)稱為體系的振動自由度。數(shù)的個數(shù)稱為體系的振動自由度。 （1）基本未知量數(shù)目與自由度數(shù)目是一致的。前者強調獨立）基本未知量數(shù)目與自由度數(shù)目是一致的。前者強調獨立 位移數(shù)目，后者強

19、調獨立坐標數(shù)目。位移數(shù)目，后者強調獨立坐標數(shù)目。 （2）自由度數(shù)與質點個數(shù)無關，但不大于質點個數(shù)的）自由度數(shù)與質點個數(shù)無關，但不大于質點個數(shù)的2倍。倍。 （3）結構的自由度與是否超靜定無關。）結構的自由度與是否超靜定無關。 （4）可用加鏈桿的方法確定自由度。）可用加鏈桿的方法確定自由度。 （5）彈簧和桁架桿不影響體系的自由度。）彈簧和桁架桿不影響體系的自由度。 (4)單自由度體系的頻率、周期的計算公式單自由度體系的頻率、周期的計算公式；振幅、相；振幅、相 位的算式和各種力的平衡關系；簡諧荷載下純受迫振動的動位的算式和各種力的平衡關系；簡諧荷載下純受迫振動的動 力放大系數(shù)與頻率比、阻尼比間的關系

20、等等。這些基本概念力放大系數(shù)與頻率比、阻尼比間的關系等等。這些基本概念 必須深刻理解、熟練掌握。必須深刻理解、熟練掌握。 (5) 由于阻尼比一般很小，它對頻率、周期的影響一般由于阻尼比一般很小，它對頻率、周期的影響一般 可忽略?？珊雎浴?(6)在共振區(qū)，阻尼的作用是不可忽略的。從能量角度在共振區(qū)，阻尼的作用是不可忽略的。從能量角度 看，阻尼使能量耗散，當不希望有能量耗散時應減少阻尼，看，阻尼使能量耗散，當不希望有能量耗散時應減少阻尼， 而當希望盡可能使輸入結構的能量減少時，應增大阻尼。而當希望盡可能使輸入結構的能量減少時，應增大阻尼。 單自由度體系的自由振動單自由度體系的自由振動 自由振動：體

21、系在振動過程中沒有動荷載的作用。自由振動：體系在振動過程中沒有動荷載的作用。 自由振動產生原因：體系在初始時刻（自由振動產生原因：體系在初始時刻（t=t=0 0）受到外界的干擾。）受到外界的干擾。 剛度法剛度法 體系在慣性力作用下處于體系在慣性力作用下處于動態(tài)平衡。動態(tài)平衡。 振動方程振動方程 0my tky t 柔度法柔度法 質體的動位移等于質體在慣性力作用下的靜質體的動位移等于質體在慣性力作用下的靜 位移。位移。 my t y tmy t k 結構的自振周期和圓頻率結構的自振周期和圓頻率 （natural period and natural circular frequency ） 周期

22、周期 2 T 頻率頻率 1 2 f T 圓頻率圓頻率 完成一次振動需要的時間完成一次振動需要的時間 單位時間內完成振動的次數(shù)單位時間內完成振動的次數(shù) 22個單位時間內完成振動的次數(shù)個單位時間內完成振動的次數(shù) 2 2f T 幾個定義幾個定義 y a t 計算公式的幾種形式計算公式的幾種形式 1 21k 3mW g st 4W 2Tm k 2Tm 2TWg st 2Tg k m 1m g W st g 單自由度體系的強迫振動（不計阻尼）單自由度體系的強迫振動（不計阻尼） 強迫振動強迫振動結構在動力荷載作用下的振動，結構在動力荷載作用下的振動， 也叫也叫受迫振動受迫振動。 tFtkytym P )(

23、) ( 運動方程運動方程或或 m tF tyty P )()( 2 P m P y st 2 荷載幅值作為靜荷載所引起的荷載幅值作為靜荷載所引起的最大靜位移最大靜位移 stst yyty )1 ( 1 2 2max 最大動位移最大動位移： )1 ( 1 2 2 max st y ty 動力系數(shù)動力系數(shù)： 1 1） 0 1 干擾力產生的動力作用不明顯，因此可當作靜荷載處理。干擾力產生的動力作用不明顯，因此可當作靜荷載處理。 當當 時，時， 為增函數(shù)。為增函數(shù)。 01 2 2） 1 共振共振 為避開共振，可改變干擾力頻率或改變結構的自振頻率為避開共振，可改變干擾力頻率或改變結構的自振頻率, , 使

24、使 或或 。 1.25 0.75 隨隨/的增大而增大。的增大而增大。 體系處于靜止狀態(tài)體系處于靜止狀態(tài) 1 0 max 0y 3 3）為減函數(shù)為減函數(shù) 01 應使頻率比減小，增加結構的自振頻率，增大剛度，應使頻率比減小，增加結構的自振頻率，增大剛度， 減小質量；減小質量； （剛性方案）（剛性方案） （2 2）降低振幅的措施）降低振幅的措施 頻率比頻率比 2 k m 應使頻率比增大，減小結構的自振頻率，減小剛度，應使頻率比增大，減小結構的自振頻率，減小剛度， 增大質量。增大質量。 （柔性方案）（柔性方案） 1 有阻尼的自由振動 m c m k 2 ,( 阻尼比damping ratio ） )1

25、( 2 02 22 ) ( t Cety設解為： 特征方程為： (characteristic equation)1)1 強阻尼：不出現(xiàn)振動，實際問題不常見。 有阻尼的強迫振動（間諧荷載） （低阻尼體系，1） 12 2 22 222 22 14, Pst yABy 振幅:yp，最大靜力位移 yst=F/k=F/m2 st P y y 2 1 2 2 2 2 2 2 41 2 2sin F yyyt m . st P y y 2 1 2 2 2 2 2 2 41 與頻率比/和阻尼比有關 4.0 3.0 2.0 1.0 0 1.02.03.0 / =0 =0.1 =0.2 =0.3 =0.5 =1

26、.0 幾點討論： 隨增大曲線漸趨平緩， 特別是在/=1附近的 峰值下降的最為顯著。 當接近時，增加的 2 1 共振時共振時 很快，對的數(shù)值影響 也很大。在0.75/1.25 (共振區(qū))內，阻尼大大地減 小了受迫振動的位移，因此, 為了研究共振時的動力反映, 阻尼的影響是不容忽略。在 共振區(qū)之外阻尼對的影響 較小，可按無阻尼計算。 max并不發(fā)生在共振/=1時， 而發(fā)生在， 由y=yPsin(t) 可見， 只要有阻尼位移總滯后荷載 P=Fsint一個 相位角， 2 1 12 1 1 2 max 2 1 )(1 )(2 tg 但因很小，可近似地認為： 2 21 當時,180體系振動得很快，F(xiàn)I很大

27、，S、R相對 說來較小，動荷主要由FI 平衡， FI 與y同向，y與P反向； 位移y、彈性力S，慣性力FI， 阻尼力R分別為： )cos(),sin( ),sin(),sin( 2 tyccyRtymmyF tkykyStyy PP I PP . （3-21） nk k t t y y n ln 2 1 阻尼比：阻尼比： 體系阻尼的測試：體系阻尼的測試： 2 2）計算阻尼比：）計算阻尼比： nk k t t y y nk k t t y y n ln 2 1 kmmc 22 t y(t) e t 2 D T= yt k+n yt k tk t +nT k 0 e (t +nT) k e tk

28、1）實測體系經過個周期后的位移幅值比：）實測體系經過個周期后的位移幅值比： 3 3）計算阻尼系數(shù)：）計算阻尼系數(shù)： （7） 兩個自由度體系自由振動兩個自由度體系自由振動主要問題主要問題是確定體是確定體 系的全部自振頻率及其相應的主振型。系的全部自振頻率及其相應的主振型。 （8） 兩個兩個(多個多個)自由度體系自由度體系自振頻率自振頻率個數(shù)與自由個數(shù)與自由 度的個數(shù)相等。自振頻率可由度的個數(shù)相等。自振頻率可由特征方程特征方程求出。求出。 （9） 每個自振頻率有自己相應的每個自振頻率有自己相應的主振型主振型.主振型主振型 就是兩個自由度體系能夠按單自由度振動時所具有的就是兩個自由度體系能夠按單自由

29、度振動時所具有的 特定形式特定形式。 （10） 兩個自由度體系的自振頻率和主振型是體兩個自由度體系的自振頻率和主振型是體 系本身的系本身的固有性質固有性質。自振頻率只與體系本身的剛度系。自振頻率只與體系本身的剛度系 數(shù)及其質量的分布情形有關，而與外部荷載無關。數(shù)及其質量的分布情形有關，而與外部荷載無關。 振型計算公式 頻率計算公式 頻率方程 )sin()( )sin()( 22 11 tYty tYty 0 0 22212122 21211111 ykykym ykykym . .振型方程 0)( 0)( 22 2 22121 21211 2 11 YmkYk YkYmk 0 2 2 2221

30、 121 2 11 mkk kmk D 21 21122211 2 2 22 1 11 2 22 1 11 2 2, 1 2 1 2 1 mm kkkk m k m k m k m k 可以證明這兩個根都是正根?？梢宰C明這兩個根都是正根。 與與2相應的第二振型：相應的第二振型： 1 2 211 12 22 12 mk k Y Y 因為因為D=0，兩個振型方程式線性相關的，不能求出振幅的值，兩個振型方程式線性相關的，不能求出振幅的值， 只能求出其比值只能求出其比值 求與求與1相應的第一振型：相應的第一振型： 1 2 111 12 21 11 mk k Y Y 兩個自由度的體系兩個自由度的體系 1

31、 1、剛度法：、剛度法：（建立力的平衡（建立力的平衡 方程）方程） 0 222211 122111 mm mm D 頻率方程：為一關于頻率方程：為一關于的二的二 次方程。解出次方程。解出的兩個根：的兩個根： 振型方程：其中：振型方程：其中：=1/2 Y Y1 1 ， ，Y Y2 2不能全為零。不能全為零。 2 )(4)()( 2121122211 2 222111222111 1 2 mmmmmm 2 2 1 1 1 , 1 求得頻率：求得頻率： 2222 2 2111 2 2 1222 2 1111 2 1 )()( )()( YmYmY YmYmY 0)( 0)( 22221211 212

32、21111 YmYm YmYm 頻率方程和自振頻率：頻率方程和自振頻率： 設各質點按相同頻率和初相角作簡諧振動設各質點按相同頻率和初相角作簡諧振動 )sin()( )sin()( 22 11 tYty tYty Y Y1 1 ， ，Y Y2 2是質點位移幅值是質點位移幅值 222221112 122211111 )()()( )()()( tymtymty tymtymty . . . . 振動微分方程 體系頻率的數(shù)目總體系頻率的數(shù)目總 等于其自由度數(shù)目等于其自由度數(shù)目 2 2、柔度法、柔度法 主振型主振型(normal mode shape) 0 222211 122111 mm mm D

33、頻率方程：為一關于頻率方程：為一關于的二的二 次方程。解出次方程。解出的兩個根：的兩個根： 振型方程：其中：振型方程：其中：=1/2 Y Y1 1 ， ，Y Y2 2不能全為零。不能全為零。 0)( 0)( 22221211 21221111 YmYm YmYm 不能有振型方程求出不能有振型方程求出Y Y1 1 ， ，Y Y2 2的解的解，只能求出它們的比值。只能求出它們的比值。 第一主振型第一主振型 1111 212 21 11 m m Y Y 第二第二 主振型主振型 2111 212 22 12 m m Y Y 111 212 2 1 m m Y Y頻率的數(shù)目總等頻率的數(shù)目總等 于其自由度

34、數(shù)目于其自由度數(shù)目 主振型是體系由此主振型慣性力幅值主振型是體系由此主振型慣性力幅值 所引起的靜力位移。所引起的靜力位移。 ),( 22 2 11 2 YmYm Y11 Y21 212 2 1 Ym 111 2 1 Ym Y12 Y22 222 2 2 Ym 121 2 2 Ym ) 1( ) 1( 22 2 221 2 1 12 2 211 2 1 0 mm mm D ) 1( 22 2 22 12 2 21 1 m m D P P P P m m D 221 2 1 111 2 1 2 ) 1( 0 2 2 0 1 1 D D Y D D Y解得振幅： 產生的位移。 位移幅值相當于靜荷載時

35、，當,D,D, 1D0 22110PP 位移幅值很小。時，當, 0, 0,D,D,D 21 2 2 2 1 4 0 YY 共振現(xiàn)象。不全為零時，時，或當,D, 0D 2121021 YYD n各自由度體系，存在各自由度體系，存在n個可能的共振點個可能的共振點 tyymym tyymym P P sin sin 2222222111 1112221111 兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動 tPtP tPtP sin)( sin)( 22 11 如 在平穩(wěn)階段在平穩(wěn)階段,各質點也作簡諧振動各質點也作簡諧振動: tYty tYty sin)( sin)( 22

36、 11 222 2 22121 121211 2 11 )( )( PYmkYk PYkYmk Y1=D1/D0 Y2=D2/D0 2 2 2221 121 2 11 0 mkk kmk D )( 2 2222 121 1 mkP kP D 求得位移幅值求得位移幅值Y Y1 1、Y Y2 2 , ,計算慣性力幅計算慣性力幅 值值I I1 1= =m m1 12 2Y Y1 1 I I2 2= =m m2 2 2 2Y Y2 2 。將慣性力。將慣性力 幅值連同荷載幅值加在體系上，按靜幅值連同荷載幅值加在體系上，按靜 力計算方法求得動內力幅值。力計算方法求得動內力幅值。 0 0 22212122

37、21211111 ykykym ykykym . . )( )( 2 1 tP tP 221 11 2 11 2 Pk Pmk D (11)不管運動方程用那種方法建立，多自由度體系自由不管運動方程用那種方法建立，多自由度體系自由 振動最終歸結為求解頻率和振型方程，從數(shù)學上說屬矩陣特振動最終歸結為求解頻率和振型方程，從數(shù)學上說屬矩陣特 征值問題。征值問題。 (12)多自由度體系的自振頻率取決于結構的剛度矩陣多自由度體系的自振頻率取決于結構的剛度矩陣 （或柔度矩陣）和質量矩陣，頻率方程為：（或柔度矩陣）和質量矩陣，頻率方程為： 0 2 MK 或 M 0I（ 2 1 ） 0. . 0. 0. 221

38、1 222212122 121211111 nnnnnnn nn nn ykykykym ykykykym ykykykym . . . ),.,2 , 1(. 2211 niykykykr niniii 或： 設解為：設解為： y=Ysin(t+) 得振幅方程：得振幅方程： ( K2 M )Y=0 得頻率方程：得頻率方程： K2 M0可求出個頻率可求出個頻率 與與 相應的主振型向量由 相應的主振型向量由 ( K2 M )Y（ （）= 0 不過只能確定主振型的形狀，而不能唯一地確定它的振幅。不過只能確定主振型的形狀，而不能唯一地確定它的振幅。 標準化主振型：令標準化主振型：令Y1i=1，或最大

39、元素，或最大元素=1等。等。 )sin( 2 tYy . ),.,2 , 1(0nirym iii . 0yKyM . 0 . 0 0 . . . . . . 2 1 21 22221 11211 2 1 2 1 nnnnn n n nn y y y kkk kkk kkk y y y m m m . . . I KP KP , 利用剛度法的方程間接導出柔度法方程：利用剛度法的方程間接導出柔度法方程： 由剛度法振幅方程：由剛度法振幅方程： ( K2 M )Y=0 前乘前乘K 1=后得： 后得： ( I 2 M )Y=0 令令=1/2 ( M I )Y=0 得頻率方程：得頻率方程： M I =0

40、 其展開式其展開式: 0 )(. . .)( .)( 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn mmm mmm mmm 是關于是關于的的n次代次代 數(shù)方程數(shù)方程,先求出先求出i 再求出頻率再求出頻率i 將將i代入代入 ( M i I )Y(i)=0 可求出可求出n個主振型個主振型. 可見剛度法、柔度法實質上是相同的，可以互相導出。當可見剛度法、柔度法實質上是相同的，可以互相導出。當 計算體系的柔度系數(shù)方便時用柔度法（如梁）；當計算體系的計算體系的柔度系數(shù)方便時用柔度法（如梁）；當計算體系的 剛度系數(shù)方便時用剛度法（如橫梁剛度為無窮大的多層剛架）。剛度系數(shù)方便時用剛度法（

41、如橫梁剛度為無窮大的多層剛架）。 T 0 ji YYMij 一般地一般地 同理同理 T 0 ji YYKij 振型對質量矩陣正交振型對質量矩陣正交 振型對剛度矩陣正交振型對剛度矩陣正交 利用正交性判斷各振型的形狀特點和所求振型是否正確利用正交性判斷各振型的形狀特點和所求振型是否正確 k Tkk Tk k YKYYMY 2 0 kkk KM 2 kkk KM 2 0 利用廣義剛度和廣義質量求自振頻率利用廣義剛度和廣義質量求自振頻率 利用正交性進行位移按振型的分解利用正交性進行位移按振型的分解 n n yYYY 12 12 j T j j YMy M 位移按振型分解位移按振型分解 左乘左乘 Tj

42、YM 得得 主振型向量組成的方陣主振型向量組成的方陣 11121 21222(1)(2)( ) 12 n nn nnnn YYY YYY YYY YYYY (1)T 11212 (2)T 12222T ( )T 12 n n n nnnn YYY YYY YYY Y Y Y Y 轉置矩陣為轉置矩陣為 主振型矩陣主振型矩陣 TTTn TTTn n Tn Tn Tn YM YYM YYM Y YM YYM YYM Y YM YYM YYM Y 11121 21222 12 * n M M M M 1 2 00 00 00 廣義質量矩陣廣義質量矩陣 * n K K K K 1 2 00 00 00

43、廣義剛度矩陣廣義剛度矩陣 多自由度體系自由振動的計算步驟：多自由度體系自由振動的計算步驟： 建立體系自身的質量矩陣建立體系自身的質量矩陣M M： 根據(jù)頻率方程計算結構的各階自振頻率根據(jù)頻率方程計算結構的各階自振頻率 i i n m m m M 0 0 2 1 計算體系自身的剛度矩陣計算體系自身的剛度矩陣K K或柔度矩陣或柔度矩陣 ： nnnn n n kkk kkk kkk K 21 22221 11211 11121 21221 12 n n nnnn fff fff fff 2 1 0MI 0 2 MMK K 計算結構的主振型向量計算結構的主振型向量Y Yi i 2 ()0KM Y 2 1

44、 0MI Y 對于n個自由度體系強迫振動方程 Pn(t) Pi(t) P1(t) y1 yi yn 如果荷載時簡諧荷載如果荷載時簡諧荷載tPtPsin)( 則在平穩(wěn)階段則在平穩(wěn)階段,各各 質點作簡諧振動質點作簡諧振動. tYtysin)( 振幅方程振幅方程:)( 2 PYMK 如系數(shù)矩陣的行列式如系數(shù)矩陣的行列式0 2 0 MKD 可解得振幅可解得振幅Y 如系數(shù)矩陣的行列式如系數(shù)矩陣的行列式D0=0(=i)解得振幅解得振幅Y=無窮大無窮大 對于具有對于具有n個自由度的體系個自由度的體系,在在n種情況下都可能出現(xiàn)共振種情況下都可能出現(xiàn)共振. )(. . )(. )(. 2211 22222121

45、22 1121211111 tPykykykym tPykykykym tPykykykym nnnnnnnn nn nn . . . )(tPyKyM 寫成矩陣型是： . 四四 . .穩(wěn)定自由度穩(wěn)定自由度 在穩(wěn)定計算中在穩(wěn)定計算中, ,一個體系產生彈性變形時一個體系產生彈性變形時, ,確定確定 其變形狀態(tài)所需的獨立幾何參數(shù)的數(shù)目其變形狀態(tài)所需的獨立幾何參數(shù)的數(shù)目, ,稱為穩(wěn)定稱為穩(wěn)定 自由度。自由度。 2個自由度個自由度 F y1 y2 EI= EI= 2個自由度個自由度 F y1 y2 EI = EI = 與支承彈簧的與支承彈簧的 數(shù)量無關數(shù)量無關 1個自由度個自由度 F EI= F y

46、無限多個無限多個 自由度自由度 46 靜力法的解題思路: 先對變形狀態(tài)建立平衡方程，然后根據(jù)平 衡形式的二重性建立特征方程，再由特征方程求出臨界荷載。 不同的是，平衡方程是 代數(shù)方程（有限自由度體系） 微分方程（無限自由度體系） 3 3 彈性壓桿的穩(wěn)定彈性壓桿的穩(wěn)定靜力法靜力法 例：等直壓桿，上下端各有一抗轉彈簧，剛度分別為例：等直壓桿，上下端各有一抗轉彈簧，剛度分別為 k2 、 k1 ，上端還有一抗移彈簧，剛度為，上端還有一抗移彈簧，剛度為k3 ，試寫出其穩(wěn)定方程。，試寫出其穩(wěn)定方程。 k2 2 k3 F B A EI k2 y 2 k3 l x k1 k1 1 y 1 解解：由整體平衡由整體平衡 ，得，得 k2 2 k3 3 F -y l-x FS M FN =F 2 0 A M Fklkk 22311 2 1 2 3 1 1 )( 1 k k lkF k )()( 322 xlkyFkM MEIy 223 kxlkFFyEIy 取上段隔離體分析，得取上段隔離體分析，得 而而 ，所以，所以 EI F n 2 2 22322 1 F k nxl F k nyny 2 23 1sincos F k xl F k nxBnxAy 令令 ，則有，則有 方程的通解方程的通解（撓曲（撓曲 線方程）線方程）為為 2 1 2 3 1 1 )( 1 k k lkF k y 式中，式中