北京市西城區(qū)高二上學期期末考試數(shù)學（理）試卷

1、 北京市西城區(qū)2013 2014學年度第一學期期末試卷 高二數(shù)學 2014.1（理科）試卷滿分：150分 考試時間：120分鐘題號一二三本卷總分171819202122分數(shù)一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1圓的半徑為( )a. b. c. d. 2雙曲線的實軸長為( )a. b. c. d. 3若，且，則( )a. b. c. d. 4命題“,”的否定為( )a. ，b. ， c. ，d. ， 5 “”是“方程表示圓”的( )a. 充分而不必要條件b. 必要而不充分條件 c. 充分必要條件d. 既不充分也不必要條件6關(guān)于直線以

2、及平面,下列命題中正確的是( )a. 若，則b. 若，則 c. 若，且，則d. 若，則7已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點， ，則( ) a. b. c. d. 8某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積等于（ ）a. b. c. d. 9已知平面內(nèi)兩個定點，過動點作直線的垂線，垂足為.若，則動點的軌跡是（ ）a. 圓b. 拋物線c. 橢圓d. 雙曲線fdabca1b1c1d1eg10. 已知正方體，點，分別是線段，和上的動點，觀察直線與，與給出下列結(jié)論： 對于任意給定的點，存在點，使得； 對于任意給定的點，存在點，使得； 對于任意給定的點，存在點，使得； 對于任意給定的點，存在點，使得其

3、中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）a. 1個b. 2個c. 3個d. 4個二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 把答案填在題中橫線上.11. 已知拋物線的準線為，則其標準方程為_.12. 命題“若，則”的否命題是：_.13. 雙曲線的離心率為_；漸近線方程為_.dabca1b1c1d114. 一個正方體的八個頂點都在同一個球面上，則球的表面積與這個正方體的表面積之比為_.15. 如圖，長方體中，是邊長為的正方形，與平面所成的角為，則棱的長為_；二面角的大小為_.16. 已知為橢圓上一點，為橢圓長軸上一點，為坐標原點.給出下列結(jié)論： 存在點，使得為等邊三角形； 不存在點，使得為等邊三角形；存

4、在點，使得；不存在點，使得.其中，所有正確結(jié)論的序號是_.三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分13分）abcdnpm如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，、分別是、中點. （）求證：平面； （）求證：.18.（本小題滿分13分）已知圓經(jīng)過坐標原點和點，且圓心在軸上.（）求圓的方程；（）設(shè)直線經(jīng)過點，且與圓相交所得弦長為，求直線的方程.19.（本小題滿分13分）abca1b1c1e如圖，在直三棱柱中，是中點.（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值.20.（本小題滿分14分）如圖所示，四邊形為直角梯形，為等邊三角形，且平面平面，為

5、中點（）求證：；（）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；abecdp（）在內(nèi)是否存在一點，使平面，如果存在，求的長；如果不存在，說明理由 21.（本小題滿分13分）已知拋物線，點，過的直線交拋物線于兩點.（）若線段中點的橫坐標等于，求直線的斜率；（）設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，求證：直線過定點.22.（本小題滿分14分）已知為橢圓上的三個點，為坐標原點.（）若所在的直線方程為，求的長；（）設(shè)為線段上一點，且，當中點恰為點時，判斷的面積是否為常數(shù)，并說明理由.北京市西城區(qū)2013 2014學年度第一學期期末試卷高二數(shù)學（理科）參考答案及評分標準 2014.1一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共

6、40分. 1.b 2.c 3.a 4.d 5.b 6.d 7.c 8.c 9.d 10. b 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 11. 12. 若，則. 13. ，14. 15. 16. 注：一題兩空的試題，第一空3分，第二空2分；16題，僅選出或得3分；錯選得0分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.abcdnpmq17. 證明：（）取中點，連結(jié).因為 是中點，所以 . 2分又是中點，,所以 ，四邊形是平行四邊形. 4分所以 . 5分因為 平面，平面，所以 平面. 7分（）因為 平面,所以 . 8分又 是矩形，所以 . 9分所以 平面, 10分所以 . 11分又 , 所以

7、 . 13分18. 解：（）設(shè)圓的圓心坐標為，依題意，有， 2分即，解得， 4分所以圓的方程為. 6分（）依題意，圓的圓心到直線的距離為， 8分所以直線符合題意. 9分另，設(shè)直線方程為，即，則， 11分解得， 12分所以直線的方程為，即. 13分綜上，直線的方程為或.19.abca1b1c1exyz（）證明:因為是直三棱柱， 所以，又，即. 2分如圖所示，建立空間直角坐標系.,，所以 ，. 4分又因為 ， 6分所以 ，平面. 7分（）解：由（）知，是平面的法向量， 9分 ， 10分則 . 12分 設(shè)直線與平面所成的角為， 則. 所以直線與平面所成角的正弦值為. 13分20. （）證明：取中點，

8、連結(jié)， 1分因為是正三角形，所以.因為 四邊形是直角梯形，abecdpyxzo所以 四邊形是平行四邊形，又 ，所以 .所以 平面，3分所以 . 4分（）解：因為平面平面，所以平面，所以 . 5分如圖所示，以為原點建立空間直角坐標系. 則 ，. 所以 ,， 6分設(shè)平面的法向量為，則 ， 7分令，則,.所以. 8分同理求得平面的法向量為， 9分設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則. 所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為. 10分（）解：設(shè)，因為，所以，,.依題意 即 11分解得 ，. 12分符合點在三角形內(nèi)的條件. 13分所以，存在點，使平面，此時.14分21.解：（）設(shè)過點的直線方程為，由 得. 2分因為 ，且，所以，. 3分設(shè)，則，. 5分因為線段中點的橫坐標等于，所以， 6分解得，符合題意. 7分（）依題意，直線， 8分又 ，所以 ， 9分 10分因為 ， 且同號，所以， 11分所以 ， 12分所以，直線恒過定點. 13分22. 解：（）由 得，解得或， 2分所以兩點的坐標為和， 4分所以. 5分（）若是橢圓的右頂點（左頂點一樣），則，因為，在線段